Sur les intégrales de Stieltjes et leurs applications aux problèmes de la physique mathématique

496 Pages·1932·30.408 MB·French

by  Gunther N.

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N. Gunther, Sur les int´egrales de Stieltjes et leurs applications aux
probl`emes de la physique math´ematique, Travaux Inst. Physico-
Math. Stekloff, 1932, Volume 1, 1–494
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TABLE DES MATIERES
PAG.
Preface 1
Chapitre 1. Les fonctions moyennes 3
Chapitre 2. Les integrales de Stieltjes 48
Chapitre 3. Les equations integrales en integrales de Stieltjes 93
Chapitre 4. Sur les developpements suivant les fonctions fondamentales 147
Chapitre 5. Sur quelques points de la theorie du potentiel 213
Chapitre 6. Le probleme de Neumann 260
Chapitre 7. Le probleme de Dirichlet * * 302
Ghapitre 8 Sur le potentiel newtonien . 348
Chapitre 9. Sur quelques problemes relatifs au laplacies > 428
ом Т ТРУДЫ I
-ОКИЗИФГО ОКСЕЧИТАМЕТАМ ИНСТИТУТА НИ ЕМИ В. А. СТЕКЛОВА
N. GUNTHER
SUE bES INTEGRALES DE STIELTJES ET LEUES APPLICATIONS AUX
PROBLfMES EONDAMENTAUX DE LA PHYSIQUE MATHEMATIQUE
PREFACE
Pour expliquer pourquoi j'entreprends la publication de mes recherches
de trois dernieres ann6es je me permets de citer textuellement les paroles
?
de M. H. Lebesgue dans ses «Le§ons sur Fint6gration». Nous lisons * dans
Fouvrage de Fillustre auteur:
«Que les fonctions de domaine s'introduisent en physique et у apparais-
sent m§me comme plus directement adaptees aux besoins du physicien que
les fonctions de point—ne doit pas nous etonner. Un point n'est que la concep­
tion limite de corps de plus en plus petits, une fonction du point ne peut
s'introduire en physique que comme limite d'une fonction du corps, d'une
fonction de domaine.
ccSi pourtant, on parle peu de ces fonctions, c'est que les mathematiciens
n'ont pas encore ёё гс l'Algebre et Г Analyse des fonctions de domaine. On
possede par contre des notations remarquablement maniables pour les fonc­
tions de points; aussi, par des artifices divers—mais qui se reduisenttoujours
au fond a ne raisonner que sur les domaines assez speciaux pour qu'ils ne
dependent plus que d'un nombre fini de variables—remplace t'on toujours
l'emploi des fonctions de domaine par celui des fonctions de point».
En eommengant mes recherches en 1926, j'essayais de generaliser
une formule de Stekloff par ma methode des fonctions de Stekloff et je ne
* H. Lebesgue. Lecons sur Integration et la recherche des fonctions primitives, Paris*
1928, chap. XI, p. 292.
ТрФШГ, I — 1 — 1
2 N. GUNTHER. SUE LES INTEGRALES BE STIELTJES.
parvins * a la solution du probleme qu'en introduisaiit a la place de ces
fonctions certaines fonctions des domaines; pour les mieux distinguer je leur
ai donne dans ce memoire le nom des «quasi-fonctions» en faisant observer
en meme temps, que les operations avec ces quasi-fonctions sont identiques
aux operations avec des integrales de Stieltjes. Depuis ma communication au
Congres des Mathematiciens aBologne, j'emploi maintenant pour ces fonctions
des domaines en vue de leurs applications le nom de «fonctions moyennes»;
Г experience ne conduit le physicien qu'a la connaissance des valeurs
moyennes des objets de ces recherches, que ce soit la densite, la vitesse,
la probability etc.
Remarquons encore que I'utilisation des fonctions moyennes dans les
recherches purement analytiques date des temps de Riemann au moins, ayant
ainsi шх age surpassant 70 annees: pour s'en convaincre, il suffit seulement
de faire attention au probleme de la sommation des series divergentes, ou
les fonctions moyennes s'introduisent tout naturellement.
La formation des fonctions des points comme limites des fonctions
moyennes conduit souvent a des fonctions non continues, qui nonobstant
conviennent aux operations analytiques etant, par exemple, sommables.
Or une fonction sommable etant mal definie suivant sa nature meme,
on ne pent pas esperer l'obtenir par un calcul direct: les series, donnant
generalement les fonctions continues, deviennent divergentes.
Cette circonstance devient un obstacle insurmontable dans les recherches,
ou une pareUle fonction intervient comme une inconnue auxiliaire, neces-
sitant toujours Finvention des voies indirectes.
Comme, au contraire, la fonction moyenne est bien definie, on peut
presumer, que son introduction a la place de la fonction limite rendra les
calculs exacts et pratiquables.
Par exemple, on salt bien qu'une suite normale, orthogonale et fermee
des fonctions F, F,.. . V... etant doimee, quoique la serie
x 2 n
* N. Guntber. Sur une application des fonctions universelles de M. Kora. С. E., t. 183,
1926, p. 551; он же. Об одном приложении теории замкнутости. Изв. Акад. Наук СССР,
1927, JVs№ 1—2 и 3—4, стр. 63 и 255.
LES FONCTIONS MOYENNES 3
correspondante a une fonction £ a carre integrable, soit parfois divergente,
la serie
^V™/P*o-+--
a^^JY^^a, .1|>,&»н
n
(o>) (<o) (to)
est toujours convergente et donne la valeur de
(1) I jVdo,
II s'agit done de poser les problemes de maniere, que la fonction
moyenne (1) у entre direetement et de systematiser les regies concernant
les operations avec ces fonctions moyennes; comme les fonctions moyennes
utilisees jusqu'a present n'appartiennent qu'au cas tres particulier des fonc­
tions moyennes, on peut esperer que leur theorie permettra d'aborder avec
succes de nouveaux problemes plus generaux.
Septembre 1929.
CHAPITEE 1
les fonctions moyennes
1, Etant donne un intervalle (un intervalle proprement dit dans le cas
des domaines d'une dimension, un carre, un cube, etc., dans le cas des
domaines a deux, a trois, etc. dimensions), formons une suite infinie des
reseaux d'intervalles
(1) B B,... B,...
v 2 n
en.prenant pour le premier membre de la suite Г intervalle, qui est donne,
et en divisant en portions egales chaque intervalle d'un reseau de la suite
en passant d'un nombre de la suite au suivant.
En parlant d'un intervalle nous supposons toujours que e'est un
ensemble des points, qui est ferme.
Si les points envisages appartiennent a une portion d'une ligne (pour
les domaines a deux dimensions) ou a une portion d'une surface (pour les
domaines a trois dimensions) nous supposons toujours que les droites paral­
lels а ил des aretes d'un intervalle coupent la portion de la ligne,
l*
4 N. GTJNTHEE. SUE LES INTEGEALES DE STIELTJES.
respectivement de la surface, en un point au plus et nous prenons pour les
intervalles des reseaux sur la ligne, respectivement sur la surface, les por­
tions de la ligne, respectivement de la surface, decoupees par les reseaux (1).
Nous disons que la mesure de Г ensemble (E^) est nulle, si, quelque soit
le nombre positif s il existe un nombre N, tel que dans chaque B ou n"> JV,
n
la mesure totale des intervalles, ayant des points communs avec (E), ne sur-
passe pas г. La mesure d'un ensemble ouvert (E) est toujours positive, car
quelque soit le point (%) de (E\ il est un point interieur d'un intervalle,
ayant tous ces points appartenants a (E).
Envisageons un ensemble ouvert (E) et Г ensemble de ses points
limites, qui ne sont pas les points interieurs de (E). Si la mesure de (E^ est
nulle, nous disons que Г ensemble (E+E^ est un domaine (со); nous disons
que Г ensemble (E^ forme la frontiere de (со).
La limite pour n—> oo de la mesure totale des intervalles du reseau JS,
n
qui contiennent les points de (со) et ne contiennent pas les points de sa
frontiere est dite la mesure de (со).
Si tous les points interieurs d'un domaine (co) appartiennent а (со)
x
et si (co) ne coincide pas avec (со), il у a dans (со) les points interieurs
x
n5 appartenants pas а (со); on obtient un domaine (co), en ajoutant а Г en­
х 2
semble (E!) des points de (со), n'appartenants pas а (со.,), tous ces points etant
limites; car chacun de ces points limites, s'il n'appartient pas a la frontiere
de (со), est un point interieur pour (со) et s'il n'est pas un point interieur
de (E'\ il appartient a la frontiere de (co). Le reseau 72, qui correspond
x n
au nombre ~ pour les frontieres des domaines (co) et (со), correspond au
x
nombre e pour la frontiere du domaine (co).
2
Nous disons, que le domaine (со) est decompose en deux domaines (co)
x
et (co), en ecrivant
2
(<o) = (w)-H(a)).
3 8
En designant par со la mesure de (со), nous avons
CO = G^-J- CO.
g
Ayant decompose le domains (со) en deux portions, on peut en conti­
nuant ainsi le decomposer en trois, en quatre... en un nombre fini de por-
LES FONCTIONS MOYENNES 5
tions. Kemarquons, qu'en continuant le procede jusqu'a l'infini nous pouvons
obtenir nn ensemble
forme par la reunion des points des domaines (со), (co).. ., qui est different
х 2
du domaine (со); on obtient une pareille divison, par exemple, en reimiant
les intervalles en nombre infini, qui forment l'ensemble ouvert des points
interieurs de (со).
Si deux domaines (co) et (co) ont des points interieurs communs, on
x 2
obtient un domaine (co) en ajoutant a l'ensemble (E) de ces points ses
3
points limites. Le point limite de (E), s'il n'est pas un point interieur, doit
appartenir a (co) ou a (co) et s'il est un point interieur de (co), il est sur
x 2 x
la frontiere de (co) comme un point limite des points, appartenants a (co).
2 x
Le reseau B, qui correspond au nombre pour les frontieres des domaiues (co)
n 2
et (co), correspond au nombre & pour la frontiere du domaine (co).
2 3
Le domaine (co) devient la somme du domaine (co) et d'un domaine (co^);
x 3
le domaine (co) devient la somme du domaine (co) et d'un domaine (ш').
2 g 2
2. A chaque domaine (co.) appartenant a un domaine (DJ des points (x),
t
nous faisons correspondre un nombre и (co).
f
L'ensemble des nombres и (co-), correspondant a tous les domaines
t
possibles, constitue une fonction и (со) des domaines (со).
Nous n'excluons pas le cas, quand les nombres и dependent outre des
domaines (со) encore des points (x) du domaine (DJ, en utilisant dans ce cas
le signe w(co, x).
3. Definition 1. La fonction и (со) est dite une fonction moyenne additive,
si pour chaque division d'un domaine (со), en deux domaines (co) et (co) on a
x 2
(2) и (со) со = и (со) со -+- и (со) со.
х х 2 2
Exemples.
1) La fonction f etant sommable dans (DJ, posons
(i)
en dfeignant par йсо l'element du domaine (D).
x
Nous donnerons a la fonction (1) le nom de la moyenne de f.
6 N. GUNTHEE. SUE LES INTEGRALES LE STIELTJES.
Les fonctions de Stekloff, correspondantes a f, sont les valeurs d'une
fonction moyenne de f.
2) Supposons que le domaine (D) est un intervalle ferme a^x<b.
x
Soit donnee une serie absolument convergente
(3) \-+-b-i ьЬ-§-...,
2 п
et une suite des nombres
c3') or„ x„ . .. x, ...
n
ontenus dans 1'interieur de l'intervalle (a, 6).
En supposant que (о)с est un intervalle ferme (a, (3), posons и (co)= 0,
si aucun des nombres (3) n'appartient a l'intervalle (a, j3), et
«(U>) = -
en cas contraire, la somme etant etendue sur tous les nombres Ъ correspond
dants aux nombres appartenants a l'intervalle (a, etant pose qu'a
un nombre x correspond le nombre b avec le meme indice, si x est a l'in-
n n n
terieur de (a, (3), et le nombre ~ b, si x est egale a a ou a [3.
n n
3) En supposant que les points et (x) sont situes sur une sur­
face (#), repondant a trois conditions bien connues de Liapounoff, posons
4) ^ I J ^ M *,
(
r etant la distance entre les points (x) et (xj dirigee vers (#), N la direction
10 0
exterieure de la normale a (£) au point (#), (a) une portion de (S). Remar-
quons, que la fonction moyenne (4) des (a) est une fonction des points (xj
de la surface (S) et une fonction continue de ces points, comme un potentiel
d'une double couche, repandue sur (8) avec la densite fx egale a —1
sur (or) et a 0 ailleurs.
4. Definition 2. La fonction moyenne и (a) est dite une fonction
a variation bornee, si pour chaque division du domaine (со) en portions
(со,), (co) . . . (coj
2
LES EONCTIONS MOYENNES 7
en nombre fini on a
l " WI wi~4M«>l W2H 4t tWI wn <B>
oii В est un nombre determine.
Les fonctions des exemples (1), (2) et (3) sont a variation е.бпгоЬ
Si toutes les valeurs d'une fonction moyenne additive sont positives, ell
est a variation bornee, car on a dans ce cas
Iu WI *>i н н I и (coj J со = и (co) co ~н • •. н- it (coj co = ft (D J .
я x x w
Prenons un domaine quelconque (о)с et divisons le d'une maniere quel-
conque en portions (со,),... (coj en nombre fini. La fonction moyenne и(ы)
etant a variation bornee, la somme
(5) |wW|*>iH ^|^К)|со
п
a une borne superieure. Designons la par Z7(co) со et nommons £7 (о)с со la
variation totale de г* (о)с en ()ос, en donnant а Щсо) le nom de la variation
moyenne de и (о)с en ()ос.
Remarque. Si au lieu de se bomer a la division du domaine (о)с en un
nombre fini de portions, on tient compte aussi d'un nombre illimite de por­
tions, on n'augmente pas la variation totale.
En effet, supposons que la serie des domaines
(co)-+-(co)-i 4wn)
x 2
converge vers ()ос. La serie
wi-HwK)l s-1 H WK)I
lwWI ^ я4- —
est convergente, car la somme de ses n premiers termes est bornee.
Or
i=l
etant un domaine, on a
|(м)дйс| сон ^^(coJI co-f-jw(co(1))|co(1)^?7(co;co,
2 n
8 N. GrUNTHEE. SUB LES INTEGEALES BE STIELTJES.
d'ou suit que
w <
4wWl CT(co)a).
<*х-л n
Quelque soit le nombre positif s, on a pour un n suffisament grand
CO
2i«K-)i^<e-
t=W-4-l
Or la somme des n premiers termes de la serie ne surpasse pas CT(co)<o.
II suit de la qu'on a
CO
U (ct).)| (0 < Z7(o>) CO —I— £
t {
1=1
et comme s est arbitraire
CO
^1
La variation d'une fonction additive et a variation bornee
IMoreme.
est additive et a variation bornee.
Suivant la definition, la variation totale U (со) со d'une fonction
additive Z7(co) est la borne superieure des sommes (5).
Divisons (со) d'une fa<jon quelconque en m portions (со,), (co). .. (co^).
2
II existe une division de (co.) en portions (<oP"}) telle, qu'on ait
4
3
II suit de la qu'on a
^ w -ъ i7 (со j ^ < 2 21u -к(Л) I + 1<B +l
*=i i
Comme la division de (со) en m portions (со,), . .. (co) etait quelconque,
m
U(со) est a variation bornee.
Supposons maintenant, que le domaine (со) est divise en deux por­
tions (со,) et (co). Divisons les domaines (со,) et (co) respectivement en por­
2 2
tions:
(6) (ш «),.-., K( m )) et « ) , . . -, « ')