Sur les grands clusters en percolation

158 Pages·2004·0.869 MB·French

by  Couronne O.

N0 D’ORDRE : 7743
Universite(cid:19) de Paris-Sud
U.F.R. S
ientifique d'Orsay
(cid:18)
THESE
pr´esent´ee pour obtenir le grade de
´
DOCTEUR EN MATHEMATIQUES
´
DE L’UNIVERSITE PARIS XI ORSAY
par
(cid:19)
Olivier COURONNE
Sujet :
SUR LES GRANDS CLUSTERS
EN PERCOLATION
Rapporteurs : M. Fran
is COMETS
M. Geo(cid:11)rey GRIMMETT
Soutenue le 9 d´ecembre 2004 devant la Commission d’examen compos´ee de :
M. Kenneth ALEXANDER
M. Rapha(cid:127)el CERF Dire
teur de th(cid:18)ese
M. Fran
is COMETS Rapporteur
M. Vladas SIDORAVICIUS
M. Wendelin WERNER

1
Abstra
t
This thesis is dedicated to the study of large clusters in percolation and is divided
into four articles. Models under consideration are Bernoulli percolation, FK percolation
and oriented percolation. Key ideas are renormalization, large deviations, FKG and BK
inequalities and mixing properties.
We prove a large deviation principle for clusters in the subcritical phase of Bernoulli
percolation. We use FKG inequality for the lower bound. As for the upper bound, we use
BK inequality together with a skeleton coarse graining.
We establish large deviations estimates of surface order for the density of the maximal
cluster in a box in dimension two for supercritical FK percolation. We use renormaliza-
tion and we compare a block process with a site–percolation process whose parameter of
retention is close to one.
We prove that large finite clusters are distributed accordingly to a Poisson process in
supercritical FK percolation and in all dimensions. The proof is based on the Chen–Stein
method and it makes use of mixing properties such as the ratio weak mixing property.
We establish a large deviation principle of surface order for the supercritical oriented
percolation. The framework is that of the non–oriented case, but difficulties arise despite
of the Markovian nature of the oriented process. We give new block estimates, which
describe the behaviour of the oriented process. We also obtain the exponential decay of
connectivities outside the cone of percolation, which is the typical shape of an infinite
cluster.
Keywords: percolation, large deviations, renormalization, FK percolation, oriented
percolation
Classification MSC 1991 : 60F10, 60K35, 82B20, 82B43
2
3
Remer
iements / A
knowledgments
Je tiens `a exprimer toute ma reconnaissance `a Rapha¨el Cerf qui m’a fait d´ecouvrir la
recherche et m’a aid´e tout au long de cette th`ese. J’ai beaucoup appr´eci´e les sujets de
recherche qu’il m’a donn´es `a ´etudier. J’ai particuli`erement aim´e ses conseils multiples, son
aide pr´ecieuse sur les questions difficiles.
JeremercieFrancisCometsd’avoiraccept´e d’ˆetrerapporteur. Sescours enlicencem’ont
apport´e une vision claire des probabilit´es.
I wish to thank Geoffrey Grimmett for accepting to be one of the referees. His book on
percolation has been an unvaluable help to this thesis.
Je remercie Kenneth Alexander, Vladas Sidoravicius et Wendelin Werner pour avoir
accept´e d’ˆetre dans mon jury.
Je remercie Reda–Ju¨rg Messikh, qui m’a apport´e un grand soutien durant cette th`ese.
Ses connaissances dans notre sujet de recherche commun ont souvent ´et´e salvatrices.
Mes remerciements vont aux th´esards d’Orsay que j’ai cotoy´es. Je tiens `a remercier en
particulier C´edric Boutillier, B´eatrice Detili`ere, Yong Fang et C´eline L´evy–Leduc. Ce fut
un plaisir de passer ces ann´ees avec eux `a Orsay.
JeremercieGa¨elBenabou, NicolasChampagnat, OlivierGaret, Myl`eneMa¨ıdaetR´egine
Marchand. C’est toujours un grand plaisir de les rencontrer lors d’un s´eminaire ou au
hasard d’un colloque.
Je remercie les chercheurs que j’ai rencontr´es `a Prague, `a Eindhoven et `a Aussois. Leur
comp´etence et leur gentillesse ont ´et´e tr`es appr´eciables.
Cette th`ese a ´et´e r´ealis´ee avec le soutien affectif de mon entourage. Mes plus vifs remer-
ciements vont `a Delphine Gauchet. Ses encouragements et son aide sont pour beaucoup
dans le travail contenu dans cette th`ese.
Un grand merci `a toi, Lecteur, pour l’attention que tu portes `a cette th`ese.
4
5
Table des mati(cid:18)eres
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chapitre 1 : Introduction
1 Introduction `a la percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Des estim´es exponentiels en FK percolation . . . . . . . . . . . 10
3 Un principe de grandes d´eviations dans le r´egime sous–critique . . 14
4 Les grands clusters sont distribu´es comme un processus de Poisson . 17
5 Une ´etude sur la percolation orient´ee en dimensions sup´erieures `a 3 20
6 La percolation `a orientation al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . 23
7 Organisation de la th`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chapitre 2 : Surface order large deviations for 2D
FK–percolation and Potts models
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Connectivity in boxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Proof of the surface order large deviations . . . . . . . . . . . 46
Chapitre 3 : Large deviations for subcritical Bernoulli percolation
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 The 1 measure and the space of the large deviation principle . . . 59
Hξ
4 Curves and continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 The skeletons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 The lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Coarse graining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 The upper bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Chapitre 4 : Poisson approximation for large finite clusters
in the supercritical FK model
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 Statement of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 FK model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Mixing properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 The Chen Stein method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Second moment inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6
7 A control on p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
x
8 Proof of Theorem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9 Proof of Theorem 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10 A perturbative mixing result . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chapitre 5 : Surface large deviations for supercritical
oriented percolation
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3 Block events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 The rescaled lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Surface tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 The Wulff crystal and the positivity of the surface tension . . . 109
7 Separating sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8 Interface estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9 An alternative separating estimate . . . . . . . . . . . . . . 117
10 Geometric tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11 Surface energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12 Approximation of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13 Local upper bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
14 Coarse grained image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15 The boundary of the block cluster . . . . . . . . . . . . . . 129
16 Exponential contiguity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
17 The –tightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
I
18 Lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
19 The geometry of the Wulff shape and more exponential results . 143
20 Exponential decrease of the connectivity function . . . . . . . 146
21 A note on the Wulff variational problem . . . . . . . . . . . 149
Introduction 7
Chapitre 1
Introdu
tion
8 Chapitre 1
Cette th`ese porte sur la percolation, et plus particuli`erement sur l’´etude des grands
clusters. Dans ce chapitre introductif, nous expliquons le processus de percolation dans la
section 1 et donnons les diff´erents r´esultats que nous avons obtenus dans les sections 2, 3,
4 et 5. La section 2 porte sur la FK percolation sur–critique dans une boˆıte en dimension
deux, et contient des estim´es d’ordre surfacique sur le comportement du cluster maximal et
des clusters interm´ediaires. Dans la section 3, nous nous int´eressons aux grands clusters en
r´egime sous–critique et nous donnons un principe de grandes d´eviations. Nous consid´erons
dans la section 4 les grands clusters finis dans le r´egime surcritique. D’apr`es un r´esultat
que nous ´etablissons, ces clusters sont distribu´es comme un processus spatial de Poisson.
La section 5 porte sur la percolation orient´ee en r´egime surcritique. Nous y donnons un
principe de grandes d´eviations pour le cluster de l’origine. La section 6 est une petite
note sur la percolation `a orientation al´eatoire. La section 7 donne le contenu des chapitres
suivants.
1 Introdu
tion (cid:18)a la per
olation
1.1 Explication physique. La situation initiale est la suivante : une pierre spongieuse est
immerg´ee dans de l’eau, commerepr´esent´e sur la figure 1, et nous voulons savoirsi le centre
de la pierre est mouill´e. Broadbent et Hammersley ont d´efini un mod`ele math´ematiques
qui permet de r´epondre `a ce genre de question.
figure 1: La pierre spongieuse immerg´ee.
1.2 Le mod`ele math´ematiques [9]. Consid´erons Zd l’ensemble des vecteurs d’entiers `a d
coordonn´ees. Nous le munissons d’une structure de graphe en mettant une arˆete pour
chaque couple de points (x,y) voisins. Nous notons Ld = (Zd,Ed) le graphe obtenu. Ce
graphe est infini et invariant par les translations enti`eres.
L’espace des configurations pour la percolation sur Zd est Ω = 0,1 Ed. Soit ω un
{ }
´el´ement de Ω. Une arˆete e de Ed est dite ouverte dans ω si ω(e) = 1, et ferm´ee si ω(e) = 0.