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SUR LES DISTRIBUTIONS COVARIANTES DANS LES ALGÈBRES DE LIE RÉDUCTIVES ABDERRAZAKBOUAZIZ 9 0 0 Résumé. Nous étudions le problème de la dé omposition d'une distribution o- 2 variantesurunealgèbredeLierédu tiveensomme(cid:28)niedeproduitsd'unedistri- bution invariante par unpolynme ovariant. n a J 1. Introdu tion 0 G E 2 Soit un groupe de Lie agissant linéairement dans un espa e ve toriel réel et V E ] dans un espaV e ve toriel réel ou omplexe . Une dGistribution ovariaCn∞te(Esu)r à T c valeurs dans est une appli ation linéaire ontinue -équivariante de dans V P G E V R .Parexemplesi estunpolynme -équivariantde dans ,onasso ieà haque G θ E G θP . h distribution -invariante sur une distribution -équivariante dé(cid:28)nie de la P = p ⊗v (v ,...,v ) V t façon suivante. On é rit i i i, où 1 n est une base de , et, pour a f ∈ C∞(E) c m , on pose P hθP,fi= hθ,p fiv . i i [ i X 1 V v Cette dé(cid:28)nition ne dépend pas du hoix de la base de . G G E 9 Si est ompa t et l'a tion de dans est olibre, A.I. Oksak [O℄ a montré que 4 T T = θ1P1 +···+θkPk toute distribution ovariante se fa torise en somme (cid:28)nie , 0 P ,...,P 1 k 3 où est une base de l'espa e des polynmes ovariants omme module sur E . l'anneau des polynmes invariants sur ; e résultat a été étendu ré emment par A. 1 0 Saidi [S℄Gau= SaLs (g2é,nRér)al de l'a tion d'un groupe ompa t (sans l'hypothèse oslli(b2r,eR).) 09 Pour sl(2,R),P.Lavaud [L℄adé ritlesdistributions ovariantessur àvaleursdans dontlesupportestin lusdansle nenilpotent.Ilamontréen : v parti ulier, mais ave une formulation di(cid:27)érente, que de telles distributions se fa to- i θP P θ X risentsouslaforme ,où estunpolynme ovariant (cid:28)xe et par ourt l'ensemble G g r des distributions -invariantes sur à support in lus dans le ne nilpotent. a Cet exemple onstitue la motivation prin ipale de e travail. Nous nous proposons d'entreprendre l'étude des distributions ovariantes sur une algèbre de Lie rédu tive g V àvaleursdansl'espa ed'unereprésentation dedimension(cid:28)nie dugroupe adjoint G g de . Dans ette situation, on sait, d'après Kostant [K℄, qu'il existe un nombre (cid:28)ni g V P g de polynmes ovariants de dans tels que tout polynme ovariant de dans V P = Q P +···+Q P Q 1 1 r r i se fa torise de façon unique en somme , où les sont des polynmes invariants. On se pose alors la question suivante. T g V Est- e que toute distribution ovariante dans à valeurs dans se fa torise T = θ P +···+θ P θ 1 1 r r i sous la forme , où les sont des distributions invariantes? θ i Dans et arti le, nous montrons une forme faible de ette dé omposition (où les g ne sont pas for ément invariantes) pour les distributions ovariantes sur à valeurs g dans ; notre démonstration s'inspire beau oup des méthodes développées dans [D℄. Nous montrons aussi le même type de dé omposition pour les fon tions lisses et 1 2 ABDERRAZAKBOUAZIZ analytiques, et nous étendons au as lisse la des ription de Dixmier des hamps de ve teurs tangents aux orbites, répondant ainsi à une question de Miranda et Zung [MZ℄. 2. Notations g G ℓ Soit unge algxèb∈regde Liegxrédu tiveGxréelle et soit son groupegadjoint.GOn note le raxng∈dge . Si , soidtimg(xre=spℓ. ) son rentralisateur dans (resp. ). On dit que est régulier si . On note l'ensemble des éléments réguliers de g . G κ g On (cid:28)xe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée -invariante sur . gC g GC rC On note l'algèbre de Lie omplexi(cid:28)ée de , son groupe adjoint et l'ensemble de ses éléments réguliers. (π,V) GC V OCn (cid:28)xe une représentπation de dimension (cid:28)πnie de V ( espa e ve toriel sur ). On note en ore la di(cid:27)érentielle de . Les poids de sont dans le réseau 0 V r H des ra ines; en parGtiC ulier estVuHn poids de , on note sa multHipli ité.VSi est un sous-groPup(geCd,eV)GC, on note l'ensembleGdCes points (cid:28)xes de gCdans . Onnote l'espa edespolynmes -équivariants sur àvaleursdans V P :gC → V , 'est-à-dire les polynmes véri(cid:28)ant P( (g)·x) = π(g)·P(x), g ∈ GC,x∈ gC, Ad pour tous P(gC)GC GC gC et on note l'algèbre des polynmes -invariants sur . D'après Kostant ([K℄, thPéo(grèCm,Ve)9G)C: P(gC)GC r K1. P1,...,Prest un -mPo(dguCl,eVl)ibGrCe de rang , K2. si x∈ rC est une basPe1(dxe),...,Pr(x) formée d'éléments hoVmGoxCgènes, alors pour tout , les ve teurs forment une base de . Dans[K℄l'algèbredeLieestsupposéesemi-simple,maisl'extensionde esrésultats au as rédu tif est évidente. V VR π(G) Remarque 2.1. Si admet une forme réelle stable par , on peut prendre Pi Pi(g)⊂ VR les de sorte que (voir appendi e). U F Si est un ouvertRd'un espaC e ve torielEr(éUel,Fd)e dimension (cid:28)nie et si est un eCs∞pa e Ude Fré hFet suEr (U,oFu)sur , on note E(U,Fl)'espa e des fon tions de lasse c de dans ,et lesousespa ede formEé(dUes)fon tionsàEsu(Upp,Cor)t omKpa t. Sauf mention expli ite duU ontraire, Ela n(Uot,aFti)on désignera E (U,F). K c Si est une partie ompa te de , on note le sous-espa e de K formé des fon tions à support in lus dans . Tous es espa es seront munis de leurs topologies naturelles. 3. Fon tions ovariantes P ∈ P(gC,V)GC D'après les prPopr=iétéRs1KP11+et··K·+2 R i-rdPerssus, toRu1t,.p.o.l,yRnrm∈eP(gC)GC s'é rit de façon unique , ave . On se propose de montrer des dé ompositions analogues dans di(cid:27)érents espa es de fon tions. U gC 3H.1.(UF,oVn) tions holomorphes ovariantes. SiU est uVn ouvVert=deC , on note l'eHspa( Ue)des fon tionUs holGomCrphes de dans H;(sUi,V)GC , on le note simHple(mUe,nVt) .Sideplus eGstC -invariant, onnote lesous-espa e de formé des fon tions - ovariantes. SUR LES DISTRIBUTIONS COVARIANTES DANS LES ALGÈBRES DE LIE RÉDUCTIVES 3 U gC f ∈ H (U,V) Proposition 3.1. Soient un ouvert de et . Alors les onditions suivantes sont éxqu∈ivaUlentes :f(x)∈ VGxC (i) pour tout x ∈U,∩onrCa f(x) ∈;VGxC (ii) pour tout , on af ,...,f ∈ H; (U) 1 r (iii) il existe des appli ations , uniquement déterminées, telles f = f P +···+f P 1 1 r r que . ⇒ ⇒ f gC Démonstration. Il est lair que (iii) (i) (ii). Supposons que véri(cid:28)e (ii). Si est Pi gC abélienne, les sont des onstantes et tout est trivial. On suppose don que r f ,...,f 1 r n'est pas abélienne. D'après K2, il existe fon tions à valeurs omplexes U ∩rC sur , uniquement déterminées, telles que f(x) = f1(x)P1(x)+···+fr(x)Pr(x) x∈ U ∩rC. (1) pour tout fi U \rC Il est lair que les sont holomorphes. D'autre part, la odimension de dans U 3 f i est ([Ve℄, th. 4.12). Don , d'après le théorème de Hartogs, les se prolongent U en des fon tions holomorphes sur , qu'on note de la même façon. L'identité (1) est x∈ U U ∩rC U don vraie pour tout par densité de dans . U GC gC f ∈ H (U,V)GC Corollairre 3.2. Soifen,t...,ufn o∈uvHer(tU)G-Cinvariant de et . Aflor=s 1 r il existe fon tions , uniquement déterminées, telles que f P +···f P 1 1 r r . f(x)∈ VGxC x∈ U Démonstration.La ovrian e ifmp∈liqHue(Uqu)e pourftout .Lethéorème i i implique alors l'existen e des ; l'invarian e des dé oule de leur uni ité. Remarque 3.3. Ce orollaire est un as parti ulier d'un résultat de G. S hwarz ([S ℄, proposition 6.8) obtenu par une autre méthode. U g 3.2. FAon(U ,tVio)ns analytiques réelles ovariantesU. Si Vest un ouverAt (dUe) , on Ano(tUe,C) l'espa e des fon tions analytiques de dans . On note pour . q1,...,qℓ P(gC,gC)GC P(gC)GC On (cid:28)xe une base de , en tant que -module, formée q (g)⊂ g i = 1,...,ℓ i d'éléments homogènes et telle que pour tout . L'existen e d'une telle base dé oule de lPa (rgemC)aGrCque 2.1; on peut aussi la voir dp'1u,n.e..a,uptℓre façon : il est bien onnu que admet un système générateur formé de g g g∗ κ polynmes homogènes réels sur , alors, si on identi(cid:28)e à à l'aide de , les dp ,...,dp 1 ℓ polynmes ont les propriétés requises. U g f ∈ A(U,V) Proposition 3.4. Soient un ouvert de et . Alors les onditions suivantes sont éxqu∈ivaUlentes :f(x)∈ VGx (i) pour tout x ∈U,∩onr a f(x)∈ V;Gx (ii) pour tout , on a f ,...,f ∈;A(U) 1 r (iii) il existe des appli ations , uniquement déterminées, telles f = f P +···+f P 1 1 r r que . ⇒ f˜ fDémonstration.Ils'agitdU˜emonUtrer(ii)gC(iii).Soit unprolongementholomorphede à un voisinUãge ouvert Ude dans . On peut supposerf˜que haque omposante onnexe de ren ontre . Il su(cid:30)t alors de mUontrer que véri(cid:28)e la ofñdition (ii) de la proposition 3.1, ar, par restri tion à , la dé omposition de fournit la f dé omposition de . 4 ABDERRAZAKBOUAZIZ x ∈ U˜ ∩ rC GxC VGxC = VgxC Soit .qD('xa)p,r.è.s.,(q[K(℄x,)lemme 5), gx est oCnnexe, don . 1 ℓ C Comme les ve teurs engendrent (sur ), il su(cid:30)t de montrer que π(qi(x))·f˜(x) = 0 i= 1,...,ℓ x∈ U˜ ∩rC g : xpo7→urπt(oqu(tx))·f˜(x) et pour tout U˜ . x ∈ g i i VGLxa⊂foVn gtxion g est holoUmo∩rprhe sur . Pour touUt , on a i , don d'après (ii) est nulle sur et don nulle sur . Il s'ensuit U qU˜u'elle est identiquement nulle, ar ren ontre toutes les omposantes onnexes de . U G g f ∈ A(U,V)G Corollairre 3.5. Soifen,t...,fun∈ouAve(rUt )G-invariant de et . Aflor=s 1 r il existe fon tions , uniquement déterminées, telles que f P +···f P 1 1 r r . Démonstration. Analogue à elle du orollaire 3.2 3.3. Fon tions lisses ovariantes. U g f ∈ E(U,V) Proposition 3.6. Soient un ouvert de et . Alors les onditions suivantes sont éxqu∈ivaUlentes :f(x)∈ VGx (i) pour tout x ∈U,∩onr a f(x)∈ V;Gx (ii) pour tout , on a f ,...,f ∈;E(U) 1 r (iii) il existe des appli ations , uniquement déterminées, telles f = f P +···+f P 1 1 r r que . ⇒ x ∈ r Vgx = VgxC DémonsVtrGaxCtio⊂n.VIlGsx'a⊂gitVdgexmontrer (ii) (iii). Soit . Il est laVirGqxCu=e VgxC eVtGqxue= Vgx , de plus, omme on l'aUdéjàgsigfna∈lé,E(U,V) , dfon∈ A(U,V) . Il en dé oule que pour tout ouvert de , (resp. ) véri(cid:28)e la propriété (ii) (resp. la propriété (ii) de la proposition 3.4) si et seulement si π(q (x))·f(x) = 0 i= 1,...,ℓ x∈ U ∩r. i (2) pour tout et pour tout x ∈ U ∩ r On peut évidemment rempla er dans (2) l'expression par l'expression x∈ U . Considérons les appli ations E(U)r −ι→U E(U,V) E(U,V) −τ→U E(U,V)ℓ et ι (f ,...,f ) = f P +...+f P τ (f) = (g ,...,g ) g (x) = U 1 ℓ 1 1 r r U 1 ℓ i dé(cid:28)nies par et , ave π(q (x))·f(x) i . Tout revient don à montrer que la suite suivante est exa te. 0−→ E(U)r −ι→U E(U,V)−τ→U E(U,V)ℓ. (3) E A Ngotons (resp. C) le fais eau des germes de fon tions lisses (resp. analytiques) sur à valeurs dans . Ces notatiEons sont ohérentes ave Ules pré édentesE,(dUa)ns le sens où l'ensemble des se tions de au dUessus d'un ouv(eErt⊗ ,Vq)u(U'o)n=notEe(U,V), est bien l'ensemble des fon tioAns(Ulis)ses sAur(U,V; o)n a aussi . La même remarque vaut pour et . U D'aprèslaproposition 3.4,onal'analogue de(3)pour toutouvert ;d'oùlasuite exa te de fais eaux 0 −→ Ar −→ι A ⊗V −τ→ (A ⊗V)ℓ, (4) E A et, omme Eest (cid:28)dèlement plat sur ([M1℄, hapitre VI, orollaire 1.12), en ten- sorisant par , on obtient la suite exa te 0−→ Er −→ι E ⊗V −τ→ (E ⊗V)ℓ. SUR LES DISTRIBUTIONS COVARIANTES DANS LES ALGÈBRES DE LIE RÉDUCTIVES 5 Par un argument bien onnu de partition de l'unité, on en déduit que la suite (3) est exa te. U G g f ∈ E(U,V)G Corolrlaire 3.7. fSo,i.e.n.t,f ∈unE(oUuv)eGrt -invariant de et f.=AfloPrs+il 1 r 1 1 existe fon tions , uniquement déterminées, tellesque ···f P r r . V VR G Remarque 3.8. On suppose que admet une forme réelle stable par et on Pi g VR hoisit les de sorte que leur restri tion à soit à valeurs dans . Alors dans les f VR fi énon és 3.4, 3.5, 4.1 et 3.7, si est à valeurs dans , les sont à valeurs réelles. 4. Une généralisation d'un théorème de Dixmier Dans ([D℄, théorème 2.6), Dixmier montre, entre-autres, que, pour tout hamp X g G de ve teurs analytique sur tangent aux orbites de , il existe un hamp de Y g X(x) = [x,Y(x)] x ∈g ve teurs analytique sur tel que pour tout . On se propose d'étendre e résultat aux hamps de ve teurs lisses ( 'est une question posée par Miranda-Zung) et aux hamps de ve teurs à dé roissan e rapide. 4.1. ExtensUion aux hamps dge ve teurAs(lUis,sge)s. On onserve les notations de la se tion 3.Si est un ouvert de ,on note l'espa e desfon tions analytiques U g sur à valeurs dans . U g X ∈ E(U,g) Proposition 4.1. Soient un ouvert de et . Alors les onditions suivantes sont équivalentes : U (i) X annule les fon tions lisses lo alement invariantes sur ; x ∈r∩U X(x) ∈[x,g] (ii) pour tout , on a ; x∈ U X(x) ∈ [x,g] (iii) pour tout , on a Y ∈ E(U,;g) X(x) = [x,Y(x)] (iv) il existe une appli ation telle que pour tout x∈ U . ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Démonstration. Comme dans [D℄, les impli ations (iv) (iii) (ii) (i) et (i) (ii) ⇒ sont évidentes, il su(cid:30)t don de moAntrer queE(ii) (iv). La preuve est analogue à elle de la proposition 4.1. Ongnote (resp. R) le faΩis eau des germes dge fon tYion∈s Aan(aΩly,tgiq)ues (resp. liτs(sYes))∈suAr (Ωà,gv)aleursτ(dYan)(sx).=S[ix,Ye(sxt)u]n ouδ(vYer)t∈deA(Ωet,gs)iℓ , on dé(cid:28)nit par , et par δ(Y)(x) = (κ(q (x),Y(x)),...,κ(q (x),Y(x))), 1 ℓ x ∈ Ω∩r Y(x) ∈ [x,g] δ(Y)(x) = 0 d[xe,gso]rte que, pour gx , on a κ q s(ixe),t.s.e.u,lqem(xe)nt si g,x ar 1 ℓ est l'orthogonal de pour la forme et est une base de . Ω g Le théorème 2.6 de [D℄ a(cid:30)rme que, pour tout ouvert de , la suite A(Ω,g) −τ→ A(Ω,g) −→δ A(Ω)ℓ est exa te, d'où une suite exa te de fais eaux A ⊗g −τ→ A ⊗g −→δ Aℓ, E A et en tonsorisant par , qui est (cid:28)dèlement plat sur , on obtient la suite exa te E ⊗g −τ→ E ⊗g −→δ Eℓ; le résultat en dé oule par une partition de l'unité. 6 ABDERRAZAKBOUAZIZ En multipliant par des fon tions plateux, on obtient fa ilement le orollaire sui- vant. f Corollaire 4.2. Ave les notations de la proposition pré édente, si est à support g ompa t, on peut hoisir à support ompa t. S4.2(.g,Egx)tension aux hampfs ∈deE(vge,g )teurs à dé roissan e rapide. On note l'espa e des fon tions véri(cid:28)ant sup|Df(x)| < +∞ x∈g D g pour tout opérateur di(cid:27)érentiel à oe(cid:30) ients polynomiaux sur . X ∈ S(g,g) Proposition 4.3. Soit . Alors les onditions suivantes sont équiva- lentes : g (i) X annule les fon tions lisses lo alement invariantes sur ; x ∈r X(x) ∈[x,g] (ii) pour tout , on a ; x∈ g X(x) ∈ [x,g] (iii) pour toutY ∈ S,(go,ng)a X(x) =; [x,Y(x)] x∈ g (iv) il existe tel que pour tout . Ladémonstrationde ettepropositionreposesurunlemmedefa torisationinspiré k·k g 0 < a< 1 du lemmeB8.1.1 de [B℄. On (cid:28)xe une norgmeKeu= lid{ixen∈neg;a ≤sukrxke2t≤un1r}éel E (g,g). K 0 On note la boule ufni∈téEfer(mg,ége)de , et K l'espa e des fon tions véri(cid:28)ant f(x) ∈[x,g] x∈ r. pour tout f ∈ E (g,g) f ,...,f ∈ K 0 1 k ELem(gm,ge) 4.4. Soit χ ,....,χIl e∈xiEste u(nRe,Rno)mbre (cid:28)ni dfe(fxo)n= tiχon(skxk2)f (x)+ K 0 1 r [a,1] 1 1 et des fon tions telles que ···+χ (kxk2)f (x) x∈ g k k pour tout . Démonstration. La preuve étant semblable à elle de ([B℄, lemme 8.1.1), nous nous ontentons Sd'indiquer le point oùgilEy(Sa,ug)ne légère di(cid:27)éren e. C∞ S g E(OS,ng)note la sphère unitfé d∈eE(,S,g) l'espa e des fon tions de dans et 0 le sous-espa e des véri(cid:28)ant f(x) ∈[x,g] x∈ S ∩r. pour tout E(S,g) E(S,g) 0 Il est lair que est un sous-espa e fermé de l'espa e de Fré het , 'est Edon( g,ugn) espa e de Fré het pour la topologie induite. Il en est de même de l'espa e K 0 . Comme dans la preuve du lemme 8.1.1 de [B℄, on voit que l'appli ation P :E (g,g)−→ E (R,E(S,g)) K [a,1] 1 P(ϕ)(t)(x) = ϕ(t2x) t ∈ [a,1] P(ϕ)(t)(x) = 0 t 6∈ [a,1] dé(cid:28)nie par si , et si , est r P un isomorphismEe to(gp,oglo)gique.EEt p(uRis,qEu(eS,ge)st)un ne, induit un isomorphisme K 0 [a,1] 0 topologique de sur . Le resteEd(eS,lag)preuve est Een(St)out 0 point identique à elui de ([B℄, lemme 8.1.1), à e i près, rempla e . Revenonsàladémonstration dela proposition 4.3⇒.On voit, oXmm∈eSda(gn,sgl)epreuve de la proposition 4.1, qu'il su(cid:30)t de montrer que (ii) (iv). Soit tel que X(x) ∈ [x,g] x∈ r pour tout . D'après ([S℄, lemme 2.3), la fon tion X( x ) kxk < 1 X˜(x) = (1−kxk2)12 si ( 0 sinon SUR LES DISTRIBUTIONS COVARIANTES DANS LES ALGÈBRES DE LIE RÉDUCTIVES 7 E (g,g) X˜(x) ∈ [x,g] x∈ r B appartiχen∈t àE (g) . Il est lairBque 1 pour tout . 0 a c Soit àsupport dans et égale à φsu∈rEla(bgo,ugl)e de entre[x,eφt(xd)e]r=ayXoñ(x). c D'après lex o∈rogllaire 4.2[x,,ilχe(xxi)sφt(exu)n]e=foχn( xt)iXoñ(x) txell∈e qgue pour tout (1;−dχ'o)ùX˜ K pour tout . Lafon tion estàsupportdans etvéri(cid:28)elapropriété(ii).Don ,d'après le lemme 4.4, on peut é rire (1−χ)X˜ = (χi◦k·k2)·fi, 1≤i≤k X f ∈ E (g,g) i g ∈ i K 0 i Eavc(eg ,g)telleque[x.,gDi('axp)]rè=slfei( xo)roplloauirreto4u.2t,xpo∈urg. Ohanqpueose,iψle=xiste1≤uni≤ekf(oχni ◦tki·okn2)·gi. ψ ∈ E (g,g) (1−χ(x))X˜(x)= [x,ψ(x)] x∈ g Alors K h =eχtφ+ψ C∞(g,gp)our tout X˜(Px.) = [x,h(x)] B La fon tion appartient à et véri(cid:28)e pour x∈ g tout . x∈ g Pour tout , on pose 1 x Y(x) = h( ). 1 1 (1+kxk2)2 (1+kxk2)2 Y ∈ S(g,g) IXl(dxé) o=uleXã(lorsxde la) démonstratxion∈dge ([S℄, lemme 2.3) que .YOn a 1 (1+kxk2)2 pour tout , il dé oule alors de la dé(cid:28)nition de que X(x) = [x,Y(x)] x∈ g pour tout . 5. Distributions ovariantes π∗ π V∗ Onnote lareprésentation dualede dans .Chaquefoisqu'onadeuxespa es h·,·i ve toriels en dualité, on note le ro het de dualité. g V Dé(cid:28)nition E5.(1g.)Une dVistribution suDr′(gà,Vva)leurs dans est une appli ation linéaire c ontinue de dans . On note l'espa e de es distributions. D′(g,V) E (g,V∗) c T L∈'eDsp′(ag ,eV) s'identi(cid:28)Se n∈atEur(egll,eVm∗e)n′t au dual topologiqueEde(g,V∗) : si c c , on lui asso ie , dual topologique de , dé(cid:28)nie par hS,f ⊗λi = hT(f),λi, f ∈ E (g),λ ∈ V∗. c χ ∈E(g,V) θ ∈ D′(g) v ,...,v V χ ,...,χ 1 n 1 n Soient et .Si estunebasede ,onnote χ les oe(cid:30) ients de dans ette base, de sorte que χ(x) = χ (x)v +···+χ (x)v , x∈ g. 1 1 n n pour tout g V On voit alors fa ilement qu'on dé(cid:28)nit une distribution sur à valeurs dans , qu'on θχ notera , par n hθχ,fi= hθ,fχ iv . k k k=1 X V Cette distribuGtion ne dépenDd′p(ga,sVd)u hoix de la base de . Le groupe opère dans par hg·T,fi= π(g)·hT,g−1·fi, g ∈ G,T ∈ D′(g,V),f ∈E (g); c g−1 ·f x 7→ f( (g−1)·x) où désigne la fon tion Ad . Une disDtr′i(bgu,tVio)nGinvariante par ettDe′a(g ,tiVon) est appelée distribution ovariante. On notera le sous-espa e de formé des distributions ovariantes. 8 ABDERRAZAKBOUAZIZ χ ∈ E(g,V)G θ ∈ D′(g)G θχ D′P(ga,rVe)xGemple si et si , la distribution appartient à . v ,...,v V η ,...,η 1 n 1 n Remarque 5.2. On rappelle la base de et on note les g v ,...,v T ∈ 1 n fDon′( gt,ioVn)s onstantes sur à valeurs respe tives T = T η. T+o·u·t·e+dTistrηibution T ∈ 1 1 n n i D′(g) sTe dé ompose de façon unique enTsommeG , ave i .Si est ovariante,lesdistributions sont -(cid:28)nies,et,ré iproquement,toute G g distribution -(cid:28)nie sur apparaît omme oe(cid:30) ient d'une distribution ovariante. (P ,...,P ) P(g,V)G P(g)G 1 k Problème 1.Soit D′(g,V)G unebasede omme -module.Est- e que tout élément de se fa torise sous la forme θ P +···+θ P , θ ∈ D′(g)G? 1 1 k k i V VR G Si admet une forme réelle stable par , il est lair omment on reformule le VR Pi problème pRour les distributions ovariantes à valeurs dans , en hoisissant les dé(cid:28)nis sur . En utilisant la méthode de des ente de Harish-Chandra, on peut réduire le pro- blème au as des distributions ovariantes à support in lus dans le ne nilpotent. Mais je n'ai pas réussià obtenir la fa torisation de es dernières. La méthode présen- tée dans la suite donne, au moins pour les distributions ovariantes à valeurs dans g , unesld(2é, Rom) position plus faible, et on verra qu'elle fournit des résultats omplets pour . (q ,...,q ) P(g,g)G 1 ℓ Onrappelle labase g∗ deg foκrmée depolynEm(egs)homogènes (voir c paragraphe3.2),etonidenti(cid:28)eC∞à àl'aidede .DanslagsuiteD′(g) désignel'espa e desfon tions réellesde lasse àsupport ompa t sur ,et désignesondual topologique. T ∈ D′(g,g)G θ ,...,θ ∈ D′(g) 1 ℓ Théorème 5.3. Soit . Il existe alors telles que T = θ q +···+θ q 1 1 ℓ ℓ . f ∈ E (g,g) k = 1,...,ℓ hf,q i c k Dxé7→moκn(fst(rxa)ti,oqn.(xP)o)ur et Epo(ugr) , on note la fon tion k c ; elle appaψrti:enEt(àg,g) −→. E (g)ℓ c c On onsidère l'appli ation dé(cid:28)nie par ψ(f) = (hf,q i,...,hf,q i). 1 ℓ tψ Elle eDst′(lgin,éga)ire ontinue etψl'image de sa transposée, , oïn ide ave l'orthogonal, dans , du noyau de . En e(cid:27)et, par une partition de l'unité on se ramène au as des distributions à support omψpa t;Ed(agn,sg) ette siEtu(agt)iℓon, le résultat dé oule du fait que l'analogue de l'appli ation de dans est à image fermée ([T℄, Chapitre VI, orollaire 1.5). On pourra trouver une démonstration détaillée dans ([S℄, lemme 3.2). E (g)ℓ D′(g)ℓ tψ(θ ,...,θ ) = θ q +···+θ q c 1 ℓ 1 1 ℓ ℓ On identi(cid:28)e le dual de à , alors . Il T ψ su(cid:30)t don de montrer que appartient à l'orthogonal du noyau de . f ∈ ker(ψ) x ∈ r q (x),...,q (x) 1 ℓ SgoGitx = gx . Pour tout κ, lesgxve teursg [x,g] forment unexb∈asre dfe(x) ∈ [x,g] et l'orthogoanl pour de dans est . Don , pour toϕut∈ E (g), c . Il dé oule alors du orollaire 4.2 qu'il existe une fon tion f(x)= [x,ϕ(x)] x∈ g telle que pour tout . ξ g τ(ξ) g Si est un élément de , on note le hamp de ve teurs adjoint sur qui lui τ(ξ)(x) = [x,ξ] x∈ g est atta hé, 'est le hamp de ve teurs dé(cid:28)ni par pour tout . Il T dé oule alors de la ovarian e de que hT, ξ◦hi = hT,τ(ξ)·hi, h∈ Ec(g,g). (5) ad pour tout SUR LES DISTRIBUTIONS COVARIANTES DANS LES ALGÈBRES DE LIE RÉDUCTIVES 9 ξ ,...,ξ g α ,...,α 1 n 1 n f sS'éo itrit f = ni=u1naedbξai◦s(eαdiϕe)..DOonn n,odt'eaprès (5), sa base duale. Alors la fon tion P n hT,fi = hT, ξi◦(αiϕ)i ad i=1 X n = hT,τ(ξ )·(α ϕ)i i i i=1 X n n = hT, (τ(ξ )·α )ϕi+hT, α τ(ξ )·ϕi. i i i i i=1 i=1 X X n (τ(ξ )·α )(y) = y y ∈ g Ogn a i=1 i i trad pour toutn α τ,(dξo)n ette fon tion est nulle ar esntPréαduτ (tξiv)e·,ϕet=le0 hamphdTe,fvie =te0urs i=1 i i est nul en haque point, don i=1 i i . D'où . P P S′(g,g)G On dé(cid:28)nit de façon évidente l'espa e des distributions tempérées ovariantes. Alors, en utilisant la proposition 4.3, on obtient omme i-dessus : T ∈ S′(g,g)G θ ,...,θ ∈ S′(g) 1 ℓ Théorème 5.4. Soit . Il existe alors telles que T = θ q +···+θ q 1 1 ℓ ℓ . θ i Remarques 5.5. 1. Les distributions ne sont pas uniques et on voudrait les hoisir invriantes. Il est lair que ha une d'elles est invariante sur l'image (fermée) f 7→ hf,q i i de l'appli ation , et qu'elle n'est uniquement déterminée que sur ette image. Pour pouvoir les hoisir invariantes, il faudrait montrer que toute forme li- ψ néaire ontinueEin(vga)ℓriante surl'imagede seprolongeenuneformelinéaire ontinue c invariante sur . 2. On pourrait déduire le théorème 5.3 du théorème de division de Malgrange ([M2℄, théorème 1), mais ela ne hange pas fondamentalement la preuve, puisque la véri(cid:28) ation des hypothèses du théorème de Malgrange né essite la des ription de Dixmier des hamps de ve teurs analytiques tangents aux orbites et le al ul fait dans la preuve du théorème 5.3. 3. Le théorème de Dixmier ([D℄, théorème 2.6) joue un rle ru ial dans la preuve des deux propositions pré édentes. Pour les étendre aux distributions ovariantes à valeursdansn'importequellereprésentation, ilsu(cid:30)tderésoudreleproblèmesuivant. Pq1r,o..b.l,èqmℓ e2.PO(gnCr,egpCr)eGnCdlesnotationsduparagraphe2etonrappellelesUgénérateurs de introduits au début du paragraphe 3.2. Soit un ouvert gC f U de qui soit une variété de Stein, et soit une fon tion holomorphe de dans V f(x) π(x) x ∈ r∩U telle que appartient à l'image de pour tout . Existe-t-il des g ,...,g U V 1 ℓ fon tions holomorphes de dans telles que f(x)= π(q (x))·g (x)+···+π(q (x))·g (x), x∈ U? 1 1 ℓ ℓ pour tout Ce problème a un analogue algébrique, qui pourrait servir pour appliquer le théo- rème de division de Malgrange (voir [M3℄, paragraphe 3). P ∈ P(gC,V) P(x) π(x) Probxlè∈mre 3. Soit tePl 1q,u.e..,Pℓ ∈aPpp(agrCti,eVnt) à l'image de pour tout . Existe-t-il des polynmes tels que P(x) = π(q1(x))·P1(x)+···+π(qℓ(x))·Pℓ(x), x∈ gC? pour tout 10 ABDERRAZAKBOUAZIZ sl(2,R) 6. Cas de On se propose de montrer, dans e paragrapheg, =qusel(l2a,Rm)éthode de la se tion pré édente donne une solution au problème 1 pour . G g Les représentations irrédu tibles du groupe adjoint de ont pour di(cid:27)érentielles g (π,V) les représentations irrédu Gtibles de dimPe(ngs,iVon)Gimpaire de . Si est une r1epré- sPe(ngt)aGtion irrédu tible de , l'espa e P P(ge,sVt)uGn modulePl(igb,rVe )dGe=ranPg(g)GsPur . On (cid:28)xe un élément homogène de tel que . π π Quoique la représentation ontragrédiente de soit équivalente à , nous préférons P∗ gPa(rgd,eVr∗u)Gne distin tion entre lesPdeux; onP(cid:28)(xge,Va∗lo)rGs=unP(églé)mGPen∗t homogène de (de même degré que ) tel que sl(2,R) . Pour les représentations de dimension impaire de , le problème 2 admet q ,...,q 1 ℓ une réponse positive. I i la base est formée d'un seul élément, l'identité de g . U gC f Proposition 6.1. Soit un ouvert de qui soit une variété de Stein et soit une U V∗ f(x) ∈ π∗(x)(V∗) x∈ rC∩U fon tion holomorphe de dans telle que pour tout . g U V∗ f(x)= π∗(x)·g(x) Alors il existe une fon tion holomorphe de dans telle que x∈ U pour tout . E′ rC ∩U Ex′ Démonstration. On note le (cid:28)bré en droites au dessus de dont la (cid:28)bre x ∈rC∩U kerπ∗(x) en haque point est égale à . Ce (cid:28)bré admet une se tion globale, P∗ rC∩U , qui ne s'annule en au un point de ,il estdon trivial. La suite dela preuve est identique à elle du théorème 2.4 de [D℄. U g f ∈ A(U,V∗) f(x) ∈ πC∗o(rxo)(lVla∗ir)e 6.2. Soixt ∈ ru∩nUouvert de et Asoi(tU,V∗) f(txel)le=qπu∗e(x)·g(x) pour tout . Alors il existe telle que x∈ U pour tout . Démonstration. Les arguments de la preuve du théorème 2.6 de [D℄ permettent de déduire le orollaire à partir de la proposition 6.1. U g f E(U,V∗) CEo(Uro,lVla∗i)re 6.3. Sfo(ixt) ∈πu∗n(xo)u(vVe∗r)t de et sxoit∈ r∩uUn élément de g ∈E(U(,reVs∗p). c g ∈)Ete(Ul q,uVe∗) f(x)= πp∗o(uxr)t·ogu(tx) . Axlor∈sUil existe c (resp ) tel que pour tout . Démonstration. Résulte du orollaire pré édent par les mêmes arguments que la proposition 4.1 et le orollaire 4.2. On peut maintenat prouver le résultat prin ipal de e paragraphe. T ∈ D′(g,V)G θ ∈ D′(g)G Théorème 6.4. Soit . Alors il existe une distribution T = θP telle que . Démonstratioψn.:OEn(gp,rVo ∗è)d−e→ oEmm(ge) dans la preψuv(fe)d(xu)t=héhofrè(mx)e,P5.(3x.)iOn onsidère c c lt'ψappli ation dé(cid:28)nie pψar . L'image de oïn ide ave l'orthogonal du noyau de . Le orollaire 6.3 dé rit les éléments ψ du noyau deT . Un al ul aknearloψgue à elui fait dans la preuSvPe de laSpr∈opDo′s(igti)on 5.3 montre queP(xe)s6=t n0ulle sur x,∈elrle=esgt\d{o0n} de la formeψ ave D(g\{0}.) Comme pour tout , l'image de ontient . On E g ψ note l'enseDm′b(gle)desdistribuGtionssur nullessurl'imagede ; 'estunsous-esp{a0 }e ve toriel de stable par et formé de distributions à support in lus dans , E G don tout élément de est -(cid:28)ni.