JGP-VoL3,n. 1,1986 Sur les algèbres de Lie nilpotentes de dimension ~ 7 L.MAGNIN * LaboratoiredePhysique-Mathématique UniversitédeDijon BP 138 21004-DijonCedex Abstract. We consider the embedding problem of a nilpotent Lie algebrainto a stratified one, we construct all nilpotent Liealgebrasofdimension ~ 7 having a fixed Lie algebraofcodimension 1, andwegetamong otherresults, a new classi- fication of 6-dimensionalnilpotent Liealgebras. Thisstudyhasapplicationson the analysis of deformations of the internal space of 11 dimensionalKaluza-Klein theories(nonabelian theories)and in 11-dimensionalsupergravity. Resume.Onétudieleproblèmeduplongementd‘unealgèbredeLienilpotentedans unealgèbre deLienilpotentestratifieeminimale;on construittouteslesalgébresde Lienilpotentes dedimension~ 7contenantune algébrenilpotentefixee decodi- mension 1, et l’on obtient entreautres une nouvelle classification desalgèbresde Lie nilpotentes de dimension 6. Cette étude a des dans l’analysede deformations de 1‘espace interne des theories de Kaluza-Klein de dimension 11 (theoriesnonabéliennes)etensupergravirédedimension 11. INTRODUCTION La classification des algèbres de Lie nilpotentes de dimension finie est un a a problbme ce jour non résolu et qui présente d’intéressantes applications d’autres theories, parexemple lesalgèbres de Kac-Moody 10. La dimension joue un rOle particulier, car c’est la plus petite dimension UAC.N.R.S. 1102. * Key-Words: NilpotentAlgebras, Classification, LieAlgebras. 1980Mathematics SubjectClassification: 17B30. 120 L.MAC;NIN 00 apparaissent divers phénomènes: de classification (series continues d’algèhres non-isomorphes). de structure (existence d’ideaux abéliens maximaux de diffé- a rentesdimensions), ou lies la notiond’algèbre nilpotente stratifiée. ete Cette notion a introduite recemment par divers auteurs, soit comme dCfor- mation du cas abelien IR’~pour 1’Analyse Harmonique 4, soit comme hypothèse technique dans certains problèmes d’analyticite jointe et séparee pour les repre- sentations des groupes de Lie nilpotents 2. Dans ce dernier cas. Ic résultat obtenu est Ic suivant: pourune algèbrede Lie g nilpotente stratifieeengendrCe par Xi...., X~,et (ir, ~C) representation unitaire continue du groupe de Lieconnexe simplement connexe d’algèbre de Lie g. ~ est un vecteur analytique pour ir si et seulement si ~pest un vecteur C~qui verifie pourun C 0 Idir(~ 1)...dir(X,~)PMC~n!VnEIN,Vi1,..., i,~,l~i i,~p. oü direst la representation derivee de g. Ce resultat demeure valable pour les algèbres nilpotentes non stratifiees. car ii a est bien connu que toute algèbre de Lie nilpotente de longeur r p generateurs est quotient d’une algèbre de Lie stratifiee:l’algêbrede Lienilpotente delongueur a r libre p generateurs; mais d’autres méthodes permettent d’eliminertotalement l’hypothèse destratification. De ce fait, ii semble interessant d’etudier les relations entre algèbres stratifiées et non-stratifiees, et un probléme naturel est celui du plongement d’une algébre de Lie nilpotente dansune algèbrestratifiee minimale. Mais la dimension 7 joue aussi un rOle majeur en physique contemporaine. En theorie de Kaluza-Klein generalisee, on considère une variété fibrCe sur l’espace-temps physique (ou une variété produit) dont la fibre-type est une variete dite espace interne; sur l’espace interne doit operer legroupe de grande unification (forte-électrofaible) SU(3) x SU(2) x U(1). Le dimension minimale d’une variété sur laquelle opère ce groupe est 4 + 2+ 1 = 7 Ct l’espace interne est pris comme variete de groupe abélien de dimension 7, en general compact, a ce qui aboutit une tIleorie deKaluza-Kleindedimension 11. a De manière analogue au passage de la mécanique classique Ia mécanique quantique du cas nilpotent, et dans l’esprit de la théorie desstar-produits.nous nous sommes demandé s’il etait possible de substituer par dc~for,nationsminima- a les, l’espace interne précédent une variété de groupe nilpotent de dimension 7. Le problème conduit naturellement aux questions suivantes 1) classifier toutes les algèbres de Lie nilpotentes de dimension 7: 2) determiner lesgroupespouvant operersurles algèbresde manière cohérente. a L’analyse de supergravite en dimension II conduit des etudes analogues. On voit l’importance, mathematique et physique, de la dimension 7 pour les algèbres de Lie nilpotentes. Nous donnons ici une étude préliminaire, mais qui SUR LESALGEBRES DELIE NILPOTENTESDEDIMENSION ~ 7 121 nous semble résoudre, dans cc contexte, des problèmes mathématiques naturels ouverts. Le problème du plongement stratifié peut étre formule de deux facons diffe- rentes et dans les deux cas il existe toujours une solution. Mais nous donnons des exemples oO ii existe plusieurs solutions non isomorphes.etmème,en dimen- sion 7,uninfinite continue detellessolutions. Nous sommes aussi conduits a essayer de classifierles algèbresde Lienilpoten- a tes de dimension n + 1, contenant, isomorphisme près, une algebre de Lie nilpotente fixée de dimension n. Nous introduisons pour cela la méthode des derivations nilpotentes, Ia difficulté étant Ia separation des series obtenues en classes de solutionsnon isomorphes. En dimension6, onobtient une classification plus fine que Ia classification de Morosov 8. En dimension 7, on determine toutes les algèbres de Lie nilpotentescontenant une algèbre donnée de dimension 6, par des series comportant des paramètres reels arbitraires; certaines series comprennent une infinite d’algèbres, d’autres un nombre fini. La separation qui a pu être effectuée dansun certain nombre de casmontre que laclassification annonceedans 91est certainement incomplete. Le corpsde base est ici IR. 1. ALGEBRES DE LIE STRATIFIEES Soit g une algèbre de Lie nilpotente de dimension finie de Iongueur r, i.e. (~‘Tg* 0, ~‘ r+ = 0 oO ((,~Pg)~1 désigne Ia série centrale descendante. La suite des n 1 = dim ~“g — dim ~ ‘g, 1 ( i~ r, sera appelée la graduation de g. On dira qu’un sous-espace vectoriel de g engendre g comme algèbre de Lie si g = + - . . +g~oO est defini inductivement pouri~2 parg1 = g1, g~_1: g est dite stratifiée s’il existe un sous-espace vectoriel de g tel que g = n g~.L’existence d’un sous-espace g1 tel que Ia somme g + = + - - - ne soit pas directe n’implique nullement que g ne soit pas stratifiée, comme le montre l’exemple suivant de dimension 7, plus petite dimension oO cc cas se produit: g a pour base (Xi) 1 e~i~ 7 avec lesrelationsde commutationsuivantes: X1, X21 = X3 + X7, X1, X4 = — X5 + 2X.~,X1, X5 = X7 X2, X3 = X7. X7, X41 = X5, X~.X5 = X6, X3. X4 = X6. Si IRX1 ~IRX2~ IRX4, la somme + + g3 n’est pas directe, mais = = = IRX1 e IR(X2 + X5) 0 IRX4 est tel que g = 0 0 g~. 122 L. MAGNIN 2. CLASSIFICATION DE MOROSOV DES ALGEBRES NILPOTENTES DE DIMENSION ~ 6 La classification de Morosov 8 est basée sur Iaplus grande dimensionin d’un ideal abélien maximal: on a toujours 2m Vl + 8 dimq 1. Les algébres — nilpotentes de dimension ~ S avaient déjà été classées par ciautres méthodes dans 3. Par ailleurs, dans 11 a Cté introduite une mëthode qui permet en théorie de classifiertoutes les algebres nilpotentesde dimensionn + 1 connaissant celles de dimension ~ n et leursgroupesd’automorphismes.Les objets classifiants sont alors la dimension k du centre ~ de q et certaines orbitesdans l’ensemblede tous les sous-espaces de dimension k du second groupe de cohomologie de q/~ pour I’action canonique du groupe des automorphismes de g/~ Cette méthode . n’a eté appliquee qu’en dimension 6, redonnant Ia classification de Morosov; le calcul des orbites présentant des difficultés, elle ne semble pas pouvoir étre actuellement utilisée pour la classification des algèbres de dimension 7. Mention- nons aussi quelques procedures surordinateur 7. On donne dans Ic tableau 1 les commutateurs * 0, et entre parentheses les dimensions dela série centrale descendante. Tableau I Dimension 1 g 1, algèbreabélienne (1) Dimension 2 2=g (g1) 1xg1 (2) Dimension 3 3 (3) (g1) n : X 1, X2 = (3, 1) Dimension 4 4 (4) (g1) nxg 1 (4,1) g4. X1, X2 = X3, X1, X3 = X4 (4. 2. 1) SUR LESALGEBRESDE LIE NILPOTENTESDEDIMENSION ~ 7 123 Dimension 5 5 (5) (g 1) n x (g 2 (5,1) 1) g 4xg1 (5,2,1) g51 : x1, x2 = x5, x3,x4 = x5 (5, 1) g52 : x1,x2 = x4, x1, x3 = x5 (5, 2) x1, x2 = x3, x1, x3 = x4, x2,x5 = x4 (5, 2, 1) g54 : x1,x2 = x3. x1. x3 = x4, x2,x3 = x5 (5, 3, 2) g55 : x1, x2 = x3, x1, x3 = x4, x1,x4 = x5 (5, 3,2, 1) g56 :x1, x2 = x3, x1, x3 = x4, x1, x4 = x5, xi, x3 = x5 (5, 3, 2, 1) Dimension 6 6, n x n,n x(g 3, g 2, g produits directs.(10): (g1) 1) 4x (g1) 1 x g~(1 ~ I ~ 6) Autres. (22): m=5 1) X1. X2 = X3, X1,X31 = X4, Xi,X5 = X6 (6, 3, 1) 2) X1. X21= X3, Xi,X3 = X4, X1,X41 = X5, X1,X5 = X6 (6, 4,3, 2, 1) m=4 Centrede dim 3 3) X1,X2 = X6, X1.X3 = X4, X~,X3 = (6, 3) Centre dedim 2 4) X1, X2 = X5, X1. X3 = X6, X2,X4 = (6, 2) 5) X1,X3 = X5, X1, X4 = X6. X2, X4 = X5, X2, X3 = ‘yX6 2) (6, 2) (~y* 0,a 6) X 1,X21 = X6, X1. X3 = X4. X1, X4 = X5. X2, X31 = X5 (6. 3, 1) 7) X1,X3 = X4, X1. X4 = X5, X2, X3 = X6 (6, 3. 1) 8) X1, X2 = X3 + X5. X1, X~ = X4. X2, X5 = X6 (6, 3,2) 9) X1,X2 = X3. X1, X3 = X4, X1, X5 = X6. X2, X3 = X6 (6. 3,2) 124 L.MAGNIN 10) X 1, X2 =X3, Xi, X3 =X5, Xi, X4 = X6, X~, X4 = X5. 2) (6,3, 2) X2,X3 =~yX6 (-y* 0,a 11) X 1, X2J =X3, X1, X3~= X4, X1, X4 =X5, X2,X3 =X6 (6,4,3, 1 Centre dedim 1 12) X1, X3 = X4, X1, X4 =X6, X2, X5 =X6 (6, 2, I x3~ 13) X1, X2 = X5, X1, =X4, Xi, X4 = X6. X2, X5 =X6 (6, 3, 1) 14) X1, X3 = X4, X1, X4 = X6, X2, X3~= X5. X2. X5J= 7X6 (y*0) (6,3,1) 15) X1, X21 =X3 +X5, Xi, X3 =X4, X1, X4 = X6, X2,X5=X6 (6,3,2,1) 16) X1, X3J= X4, X1, X4 =X5, X1, X5 =X6, Xi, X3 = X5, X2,X4J=X6 (6,3,2,1) x4. 17) X1, X2 =X3, X1, X3~= X1, X4 =X6. X2, X51 =X6 (6,3, 2, 1) 18) X1, X2 = X3, X1, X3 =X4, X1, X4 =X6, X2, X3 = X2,X5=’yX6 (y*0) (6,4,3,1) 19) X1, X2 =X3, X1, X3 =X4, X1, X4 =X5, X1, X5 =X6, X2,X3=X6 (6,4,3,2.1) 20) X1, X2 =X3, X1, X3 =X4, X1, X4 =X5, X1, X5 = X6. x2,x3 =X5, X2,X~ =X6 (6,4,3,2, 1) m=3 21) X1, X2 =X3, X~ X5J =X6, X2, X3 =X4, X2, X4 = X5, X3,X4=X6 (6,4,3,2,1) 22) X1, X21 =X3, X1, X3 =X5, X1, X5 =X6, X2, X3 = X2, X4 =X5, X3, X4 =X6 (6,4,3,2, 1) Remarque 1) Il y a 2 types 14 et 2 types 18 non isomorphes (-y= ±1) mais unseul type 5 et un seul type 10 (‘y = 1): si l’on pose y = I dans lesrelations dc commuta- — SURLESALGEBRESDELIE NILPOTENTESDLDIMENSION~ 7 125 tion du type 10, on obtient le type 8 avec X = X 1 —X2, X~= X1+ X2, X~= =x3 x~,X~= 2(X5 X6), X~= x~+ X4, X~= 2(X5 +X6), et de méme — — avec le type5 on obtient n x n. 2) Les idéaux abéliens d’une algèbre de Lie de dimension ~ 6 ont tous la mbme dimension. On verraqu’iI n’enest pas deméme en dimension 7. 3) Les algèbres de Lie nilpotentes non stratifiées de dimension ~ 5 sont g53 et g56 et celles de dimension 6 sont g1x g53, g1 xg56 et les types 6, 8. 10, 12, 15, 16, 17, 19, 20,22. 3. PROBLEMEDE STRATIFICATION 3.1. Soit g une algèbre de Lie nilpotente de longueur r et un supplementaire de~”~’gdans~”~g(~ln~r).Onag=~ V~.Soit~=1~t~id~(tEIR), H~I’ensemble des fo1njkc~tioLn’aslgfèbpreoldyenoLmieial~esdedsecdheagmrépsndseurvegc,teiu.er.sfoTa6~c=oetf~fif- Vt E IR, et P =k~~n cientspolynomiaux surg (i.e. derivations de l’algèbrePdesfonctionspolynomiales - sur g) tels que TP~C ‘c/n (1 ~ n e~r) est une algebre de Lie nilpotente stratifiéedelongueur ret l’application p :g ~définie par: -+ d 1 (p(X)f)(Y)=t —f(H(—tX,Y))I VfEP Ldt jt= 0 00 H ( ., .) désigne la série de Hausdorff, est un homomorphisme injectif de g dans ~ 6. ~ ne dépendant que de la graduation de g, toute algèbre de Lie nil- potente dc mémegraduationque g est isomorphe a unesous-algèbre de ~. Exempie g5•6estl’algèbre de Lie stratifiéede dimension 26 engendrée par a a a a a a a (~)~ — — — — (~)2 — a~1 a~3 a~4 ~2 - a a a a a 2 ~ E (~)3 ~ E1(~2) — — ‘ — ~ — — 4 a a a ~i ~3 — ~2~3— — et l’on a a~5 a~5 a~5 a 1 a 1 1 a p(X1) = — — — 2 ~2 a~3+ —12 ~1~2 — —2 ~3 —a~4+ 126 LMAGNIN 1 2) 1 a + —12 (~~~3+(E) — —2 + (~)2 _(~a~1~2+ ~3) — — .- + + (~)2 — a~ — — — — — 3 2 a~4 2 12 a~5 a 1 a p(X4)=—— a~4+—~2-— a~5 a = — a oft ~ sont les coordonnécs sur la base (X~)1 de g56 ayant les rela- a a tions de commutation donnécs dans le tableau 1. Dans g56, + ~ ~-~— , ~-— a a + E1 E3 engendre une sous-algCbre isomorphe a g~,s~e5ule algèbre ~-~— + ~-~— de dimension 5 ayant méme graduation que g56. 3.2. Une algèbre dc Lie nilpotente g de longueur r étant fixée, on peut donc poserles 2 questionssuivantes: 1) Y a t’il une unique algébre de la olus petite dimension parmi lcs algèbres - - nilpotentes stratifiées dc longueur r contenant a isomorphisme pres toutes les algèbrcs nilpotentes de méme graduation que q? 2) Y a t’il une unique algébre de la plus petite dimension parmi les algèhres - - nilpotentes stratifiées, non nécessairement de longucur r, qui contiennent a isomorphisme près g? 4. METHODE DES DERIVATIONSNILPOTENTES 4.1. Les questions ci-dessus mènent au probléme suivant: étant donné une algébre de Lie nilpotcnte de dimension n. determiner touteslcsalgèbresde Lie a nilpotcntcs de dimension n + 1 qui lacontiennent isomorphisme près. LEMME 1. Soit g une aigèbre de Lie nilpotente et 6 une derivation nilpotente de g. Alors, pour tout XEg, 6 + adX est nilpotente et le produit semi-direct = 1R6® qestune aigèbre de Lie niipotente. SUR LESALGEBRESDLLIE NILPOTENTESDEDIMENSION~ 7 127 7(Y) = ~ C’ Demonstration. Pour YE g, (6 + ad XY 1 avec C~.= X0, X1, . 1’~Xou6”~Y 0~j~i, X1=XouYou6 X1_1,X~.... n = i+ p 1 1= 0 Vn ~ (N+ d+el)sro—rtel.que si 6N = Oct si rdesigne la Iongueur deg, (6 + ad Xf Toute sous-algèbre dc codimension 1 d’une algèbre dc Lie nilpotente étant un ideal, on peut ainsi obtenir a partir d’une algèbre de Lienilpotente dc dimension n toutes lesalgébresde Liede dimensionn + 1 qui lacontiennent aisomorphisme près, d’oft Ia determination dc toutes les algèbresde Lie nilpotentesde dimension n+ 1 a partir decelles dc dimensionn. Un point délicat est la separation entypes non-isomorphes des series obtenues. A cc sujet, on a le résultat partiel suivant, qu’on utiliscra implicitement dans la suite, et dont nous omettons la démonstra- tion. LEMME 2. Soit g une algébre de Lie nilpotente et 6, 6’ deux derivations nilpo- tentes deg. Iiexisteunisomorphismedel‘algèbredeLie = IR6eg sur I‘algèbre de Lie = 1R6’ ®g laissant g stable si et seulement si ii existe un automor- phisme 5ode get ke IR\0teisque 6’ = k~’ ö~modad(g). 4.2. Algèbres nilpotentesde dimension ~ 5 (~~), 4.2.1. Dimension 3: La seule algèbre de Lie nilpotente de dimension 2 ëtant 2, on peut supposer 6 =0 ou 6 = d’oO respectivement (g 3 ou n. (g1) 1) 4.2.2. Dimension 4:Typesissus de (g 2 :(g 4.n xg 1) 1) 1, g4. /0 0 ( ) o o Types issus de n: si 6 * 0, on peut supposer 6 = 1 (avec X1, X21 = \o o 0/ = X3) d’oft g4. 4.2.3. Dimension 5. On4:dIeatesrumitienedelesstinyvpaersiaanuttsredsequsiemleilsitpurdoedudiets6diéretacntst. (5) ou Types issus de (g1) (3, 2), on obtient g 55 oug52. Types issus dc n x g1: dans la base (X~)1 = X3. on a 6 = ~ Xi, X2 ( ), = 0 0 0 ~ A matrice 2 x 2 nilpotente, a,/3,~ EIR. On obtient lesalgèbres j3 0 0/ 128 L.MAGNIN suivantcs: 1/A =0 i) a=/3=O, y=1 :g 51ii)a=1(j3~=~0:g5)2,poury=0, g53 pour 7=1. 2/A*O. On pcut supposer A = d’oO: g4 si /3*0, 0;g56 si/3* 0,7* 0;g53 si/3= 0. 00 0 Types issus de g4: on a 6 = ~ a, /3 E IR, donc contient unc sous- 0/30 4 oun xg a -algébreisomorphe (g1) 1 et lestypes sont déjàobtcnus. Tableau 2 a Algébre de dimension 4 Aigèbresdedimension5Ia contenant isomorphismeprès 4 (g 5 g 2 x n, g (g1) 1) 55 g52 (g1) 4 x 2 g n x g1 n x (g1) 4 x g1 g51 /* 5 g4xg1, g5~ /=3,5,6 4.3. Algèbresnilpotentesde dimension6 a On determine, partirdes algèbres de dimension 5, lestypes d’isomorphismes d’algêbres de dimension 6 autres que les produits directs. 6 désigne toujours une derivation nilpotente de l’algèbre de dimension 5 considérée, modulo une derivationintérieure et unfacteurreel(cid:16) 0. 5 4.3.1. Typesissusde(g1) Lasuite desinvanants desimilitude de 6étant (5) ou(3, 2) onobtient lestypes 2et 1 deMorozov. 4.3.2. Typesissusdenx(g 2 1) 000 A 000 Dans la base (e~) 1,~~ avec e1, e2 = e5, on a 6 = a ~ B o avec 0 OOpvO A, B nilpotentes, a, ~3‘,y,X, ~t,V E IR.
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