Sur la théorie des représentations et les algèbres d'opérateurs des produits en couronnes libres

22 Pages·2014·0.21 MB·French

by  François Lemeux

Surlath´eoriedesrepr´esentationsetlesalg`ebresd’op´erateursdesproduitsencouronneslibres
Sur la th´eorie des repr´esentations et les alg`ebres
d’op´erateurs des produits en couronnes libres
- Soutenance de th`ese -
Fran¸cois Lemeux
Universit´edeFranche-Comt´e
[email protected]
28 Mai 2014
Surlath´eoriedesrepr´esentationsetlesalg`ebresd’op´erateursdesproduitsencouronneslibres
Sommaire
1 Des groupes aux groupes quantiques
2 Exemples de groupes quantiques compacts
3 Motivations
R`egles de fusion des groupes quantiques de r´eflexions complexes
Propri´et´es des alg`ebres d’op´erateurs de groupes quantiques
compacts
4 R`egles de fusion des produits en couronnes libres (cid:98)Γ(cid:111)∗SN+
5 Propri´et´es des alg`ebres d’op´erateurs associ´ees aux produits en
couronnes libres (cid:98)Γ(cid:111)∗SN+
6 Perspectives
Surlath´eoriedesrepr´esentationsetlesalg`ebresd’op´erateursdesproduitsencouronneslibres
Desgroupesauxgroupesquantiques
Sommaire
1 Des groupes aux groupes quantiques
2 Exemples de groupes quantiques compacts
3 Motivations
R`egles de fusion des groupes quantiques de r´eflexions complexes
Propri´et´es des alg`ebres d’op´erateurs de groupes quantiques compacts
4 R`egles de fusion des produits en couronnes libres (cid:98)Γ(cid:111)∗SN+
5 Propri´et´es des alg`ebres d’op´erateurs associ´ees aux produits en couronnes
libres (cid:98)Γ(cid:111)∗SN+
6 Perspectives
Surlath´eoriedesrepr´esentationsetlesalg`ebresd’op´erateursdesproduitsencouronneslibres
Desgroupesauxgroupesquantiques
Dualit´e de Pontrjagin : G groupe ab´elien localement compact.
G(cid:98) = {χ : G → C : homomorphisme continu} groupe des caract`eres,
g (cid:51) G (cid:55)→ (χ (cid:55)→ χ(g)) ∈ G(cid:98)(cid:98) isomorphisme.
Si G non ab´elien G(cid:98)(cid:98) (cid:54)(cid:39) G.
Tannaka-Krein : Regarder les repr´esentations de G compact (et le
reconstruire). Analogie :
produit des caract`eres ↔ produit tensoriel des repr´esentations.
Irr(G) n’est pas un groupe. Exemple : SO (R) (Clebsch-Gordan) les
3
irr´eductibles de SO (R) sont index´es par N avec les r`egles de fusion
3
2min(k,l)
(cid:77)
(k)⊗(l) = (k +l −r).
r=0
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Desgroupesauxgroupesquantiques
G´en´eralisation des groupes et de leurs duaux :
• Enock et Schwartz, Kac et Vainermann (70’) : alg`ebres de Kac.
• Woronowicz (80’) : groupes quantiques compacts (matriciels).
• Baaj et Skandalis (90’) : unitaires multiplicatifs.
Etc...
• Kustermann, Vaes (00’) : groupes quantiques localement compacts.
Construction `a partir d’une C∗-alg`ebre ou alg`ebre de von Neumann
avec comultiplication comme point de d´epart.
Surlath´eoriedesrepr´esentationsetlesalg`ebresd’op´erateursdesproduitsencouronneslibres
Exemplesdegroupesquantiquescompacts
Sommaire
1 Des groupes aux groupes quantiques
2 Exemples de groupes quantiques compacts
3 Motivations
R`egles de fusion des groupes quantiques de r´eflexions complexes
Propri´et´es des alg`ebres d’op´erateurs de groupes quantiques compacts
4 R`egles de fusion des produits en couronnes libres (cid:98)Γ(cid:111)∗SN+
5 Propri´et´es des alg`ebres d’op´erateurs associ´ees aux produits en couronnes
libres (cid:98)Γ(cid:111)∗SN+
6 Perspectives
Surlath´eoriedesrepr´esentationsetlesalg`ebresd’op´erateursdesproduitsencouronneslibres
Exemplesdegroupesquantiquescompacts
D´efinition (Woronowicz 80’)
G = (C(G),∆) GQC : C(G) C∗-alg`ebre de Woronowicz ; C(G) est
unitale, ∆ : C(G) → C(G)⊗ C(G) t.q
min
1 (∆⊗id)∆ = (id ⊗∆)∆,
2 {∆(a)(b⊗1) : a,b ∈ C(G)} et {∆(a)(1⊗b) : a,b ∈ C(G)} sont
lin. denses dans C(G)⊗C(G).
Th´eorie de Peter-Weyl : Corep. u ∈ M (C(G)) (cid:39) M (C)⊗C(G),
N N
∆(u ) = (cid:80)N u ⊗u .
ij k=1 ik kj
• Hom(u;v) = {T ∈ M (C) : v(T ⊗1) = (T ⊗1)u},
nv,nu
• u ∼ v, ∃T inversible T ∈ Hom(u;v),
• u est irr´eductible si Hom(u;u) = Cid.
Th´eor`eme (Woronowicz)
Soit G = (C(G),∆) un GQC. Les corepr´esentations de C(G) se
d´ecomposent en sommes directes d’irr´eductibles.
Surlath´eoriedesrepr´esentationsetlesalg`ebresd’op´erateursdesproduitsencouronneslibres
Exemplesdegroupesquantiquescompacts
On consid`ere la C∗-alg`ebre unif`ere d´efinie par g´en´erateurs et relations :
C∗ −(cid:104)s : 1 ≤ i,j ≤ N : (s ) unitaire magique(cid:105) (cid:39) C(S )
com ij ij N
s (cid:55)→ (σ ∈ S ⊂ M (C) (cid:55)→ σ ).
ij N N ij
Unitaire magique : (s ) matrice unitaire, les entr´ees sont des projections
ij
dont les sommes sur les lignes et colonnes valent 1.
En “lib´erant” cette C∗-alg`ebre de la commutativit´e :
C(S+) := C∗−(cid:104)v : 1 ≤ i,j ≤ N : (v ) unitaire magique(cid:105),
N ij ij
on obtient une nouvelle C∗-alg`ebre pour N ≥ 4. On a le coproduit sur
C(S+) :
N
N
(cid:88)
∆ : C(S+) → C(S+)⊗C(S+), ∆(v ) = v ⊗v .
N N N ij ik kj
k=1
S+ = (C(S+),∆) est le groupe quantique de permutations (Wang 98).
N N
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Exemplesdegroupesquantiquescompacts
On note NC(k,l) l’ensemble des partitions non-crois´ees de k+l points :
· · · ·
 
 
p = P P diagramme sans croisement.
 
 
· · ·
Th´eor`eme (Banica 99)
Hom (v⊗k;v⊗l) = span{T : p ∈ NC(k,l)}, T ∈ B(CN⊗k;CN⊗l) :
S+ p p
N (cid:80)
T (e ⊗···⊗e ) = δ (i,j)e ⊗···⊗e .
p i1 ik j1,...,jl p j1 jl
Corollaire (Banica 99)
Les corepr´esentation irr´educibles de S+ peuvent ˆetre index´ees par N avec
N
• v(0) = 1 est la repr´esentation triviale et v = 1⊕v(1)
• v(k) = (v(k)∗) est ´equivalente `a v(k),∀k ∈ N.
ij
• ∀k,l ∈ N,v(k)⊗v(l) = (cid:76)2min(k,l)v(k+l−r) (Clebsch-Gordan).
r=0
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Exemplesdegroupesquantiquescompacts
D´efinition (Bichon 00’)
H+(Γ) := (C(H+(Γ)),∆) ou` C(H+(Γ)) est la C∗-alg`ebre engendr´ee par
N N N
des ´el´ements a (g),i,j = 1,...,N tels que ∀g,h ∈ Γ,
ij
• a (g)a (h) = δ a (gh), a (g)a (h) = δ a (gh),
ij ik j,k ij ji ki j,k ji
(cid:80) (cid:80)
• a (e) = 1 = a (e),
i ij j ij
• ∆(a (g)) = (cid:80)N a (g)⊗a (g).
ij k=1 ik kj
Bichon : HN+(Γ) (cid:39)(cid:98)Γ(cid:111)∗SN+ ou`
C((cid:98)Γ(cid:111)∗SN+) := C∗(Γ)∗N ∗C(SN+)/(cid:104)g(i)vij −vijg(i) = 0(cid:105)
via a (g) (cid:55)→ g(i)v = v g(i).
ij ij ij
Exemple
• Γ = {e} trivial : S+.
N
• Γ = Z/sZ : groupes quantiques de r´eflexions complexes Hs+.
N