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Version du 23 janvier 2009 SUR LA LINÉARISATION DES TISSUS 9 par Luc PIRIO 0 0 2 Résumé. Nous donnons un critère analytique simple qui caractérise les tissus en hypersurfaces linéarisables. n On en donne une interprétation géométrique invariante en terme de connexion projective. Nous expliquons a que notre approche permet de traiter le problème de la linéarisation d’objets plus généraux que les tissus J decodimension 1. Quelques exemples particuliers sont étudiés ensuite en guised’illustration.Nous concluons 3 finalementpardesremarqueshistoriquessurlaquestionabordéeici. 2 ] Abstract. We give a simple analytic criterion which characterizes linearizable 1-codimensional webs. Then G wegiveaninvariantgeometricalinterpretationofit,intermofprojectiveconnection.Weexplainthenhowour approachallowstostudylinearizationofmoregeneralobjectsthan1-codimensionalwebs.Bywayofillustration, D wetreatsomeexplicitinterestingexamples.Wefinishbyhistoricremarksonthequestionapproachedhere. . h t a m 1. Introduction [ 2 On peut faire remonter la question de la linéarisation des tissus au problème de l’anamorphose en nomo- v graphie. Cette problématique date donc de plus d’un siècle. La géométrie des tissus s’est constituée comme 0 disciplineautonomeàHambourgverslafindes années1920:Blaschkeetses collaborateursontalorsétabliun 1 8 nombreimportantderésultats,quiontconstituéuncadresolidesurlequels’estbâtielathéorieparlasuite.Le 1 problème de savoir si un tissu donné est linéarisable ou pas a bien sûr retenu l’attention de ces géomètres qui . 1 en ont donné une solution satisfaisante en dimension 2. Cette question a été reprise récemment dans ce même 1 cadre par différents auteurs, de façon indépendante semble-t-il. À notre connaissance, il n’y a pas de résultat 8 général concernant la linéarisation des tissus qui ne sont pas plans.(1) 0 : Danscetarticle,nousdonnonsunesolutioncomplèteauproblèmedecaractériserlesd-tissusdecodimension v 1 linéarisables en dimension n arbitraire, lorsque d est plus grand que n+2. Il nous semble que l’approche i X développée ici peut se généraliser sans véritable difficulté à la caractérisation des tissus en toute dimension r et/ou codimension. La difficulté qu’il y a à savoir si un tissu est linéarisable ou pas provient du fait qu’un tel a objetestladonnéed’unensemblediscretdefeuilletages,alorsquelesméthodesclassiquespermettantd’étudier l’équivalence analytique (locale) d’objets géométriques sont du ressortde la géométrie différentielle et traitent donc des structures géométriques continues. Il se trouve que cette difficulté disparaît si l’on “interpole” tous les feuilletages d’un tissu donné par un même système différentiel d’ordre 2, puisqu’il est immédiat qu’ un tissu est linéarisable si et seulement si les feuilles des différents feuilletages qui le constituent sontdesvariétésintégralesd’unmêmesystèmedifférentieldusecondordre(avec16α6β <n) ∂2xn (1.1) =F (x) ∂xα∂xβ αβ linéarisable, c’est-à-dire équivalent au système «plat» ∂2xn (1.2) =0 ∂xα∂xβ via un changement de coordonnées ponctuelles x=(x1,...,xn)7−→(x1(x),...,xn(x)). Mots-clés:tissu,linéarisation,connexion projective,courbure. Classificationmath.:53A60,53B10. (1)Nousrenvoyons lelecteur àlaSection6pourunediscussionsurcepoint. 2 LUCPIRIO C’est sur ce principe particulièrement simple que repose notre approche. En effet, la caractérisation des systèmes du second ordre (1.1) équivalents par changement de coordonnées ponctuelles au système plat (1.2) est classique et bien comprise. Elle peut se formaliser en terme de connexion projective. L’utilisation alors de la notion d’espace généralisé introduite par É. Cartan permet d’obtenir facilement un critère caractérisantles connexions projectives intégrables, c’est-à-dire (localement) équivalentes à la connexion projective plate. La question de linéariser un d-tissu W se ramène alors à celle de trouver une connexion projective (i.e. un d systèmedelaforme(1.1)sousunecertaineformenormale)interpolanttouslesfeuilletagesdeW .Ceproblème d estenfaittrèssimplepuisqu’équivalentàlarésolutiond’unsystèmed’équationslinéaires,systèmequisetrouve être surdéterminé lorsque d est suffisamment grand. ♦ C’est en essayantd’interpréter avec un formalisme plus moderne le chapitre 27 du livre de référence [2] que nous avons compris que la bonne notion pour étudier la question de la linéarisabilité des tissus était la notion deconnexionprojective.Nousavonsensuiteréaliséquel’approchede[2]segénéralisaitsansvéritabledifficulté au cas des tissus de codimension 1. Nous avons écrit cet article sans prétendre à une grande originalité mais en espérant faire un exposé clair sur une question naturelle en géométrie des tissus. ♦ Indiquons maintenant comment est organisée la suite de cet article. Dans la Section 2, on commence par énoncer le THÉORÈME 2.1 que nous présentons comme notre résultat principal:ils’agitd’uncritèrecaractérisantdefaçoninvarianteles(n+2)-tissusdecodimension1linéarisables. OnénonceaussileCOROLLAIRE2.2quiestuneadaptationimmédiatedurésultatprécédentaucasdesd-tissus lorsque d>n+2. On introduit ensuite en §2.2 les notions et notations qui seront utilisées dans la suite. L’outil essentieldans cet article est la notion de connexionprojective: onla présente sous différents aspects dans la Section 3 et l’on donne les ingrédients utilisés pour caractériser les connexions projectives intégrables par l’annulation de leur courbure. Cette section ne comporte pas de résultat qui ne soit déjà connu et le spécialiste n’y apprendra rien de nouveau. Par contre, elle sera peut-être utile au lecteur peu familier avec les connexionsprojectives,quiytrouveraune présentationquel’onespèreassezcomplèteetbienréférencée.Dans tous les cas, cette section peut être sautée en première lecture. Dans la Section 4, nous montrons que les feuilles d’un (n+2)-tissu W de codimension 1 sont totalement géodésiques pour une certaine connexion projective Π uniquement déterminée qui se trouve donc être cano- W niquement associée à W. Combiné avec les résultats de la section précédente, on en déduit assez simplement une preuve de notre résultat principal. Lepointdevueadoptédanscetarticlepermetd’obtenirdanscertainscasdescritèresdelinéarisabilitépour des objets plus généraux que les tissus de codimension 1. C’est ce thème qui est discuté dans la Section 5. En guise d’illustration, nous traitons plusieurs exemples différents. Enfin, nous présentons dans la Section6 quelques remarqueshistoriques sur différents travaux antérieursau présent article qui avaient abordé la question de la linéarisabilité des tissus. 2. Énoncé du résultat principal et notations Danstoutl’article,onseplacedansuncadreholomorphe.Touslesobjetsconsidérésserontdoncanalytiques complexes.Nos résultats sontcependant valides dans un cadreréel, sous des hypothèses de régularitéCk pour k >2. Nous laissons le soin au lecteur intéressé d’adapter et/ou de modifier les énoncés/preuves de cet article à d’autres situations. SUR LA LINÉARISATION DES TISSUS 3 2.1. Énoncés du résultat principal et d’un corollaire Nous dirons qu’une connexion projective Π et un tissu W sont compatibles si les feuilles de W sont toutes totalementgéodésiquespourΠ.Cettedéfinitionposée,notrerésultatprincipalseformuledelafaçonsuivante: Théorème 2.1. — Étantdonnéun(n+2)-tissuW decodimension1surundomaineU ⊂Cn,ilexiste une unique connexion projective Π qui lui est compatible. De plus, les assertions suivantes sont équivalentes : W – W est linéarisable; – Π est plate; W – la courbure C(W)∈Ω1 ⊗sl (C) de Π est identiquement nulle. U n+1 W Ce théorème se démontre très simplement : on commence par établir l’existence et l’unicité de la connexion projective ΠW compatible avec un (n+2)-tissu W donné. C’est la PROPOSITION 4.3 dont la preuve repose essentiellementsurdel’algèbrelinéaire.LecritèredelinéarisationénoncédansleTHÉORÈME2.1provientalors du critère (classique) caractérisant les connexions projectives plates que l’on aura rappelé auparavant dans la Section 3 (cf. le THÉORÈME 3.24 ainsi que le COROLLAIRE 3.26). Du théorème précédent, on déduit immédiatement le Corollaire 2.2. — Soit d > n+2. Un d-tissu en hypersurfaces sur un domaine U de Cn est linéarisable si et seulement si toutes les connexions projectives de ses (n+2)-sous-tissus coïncident et sont plates. Dans la Section 4, nous donnons différentes formulations invariantes des conditions de linéarisation qui apparaissentdans le THÉORÈME 2.1 et le COROLLAIRE 2.2. 2.2. Notations La liste ci-dessous présente certaines des notations utilisées dans l’article : n entier plus grand que 2; i,j,k,l indices variant entre 1 et n; α,β,γ,δ indices variant entre 1 et n; M variété complexe connexe de dimension n; U domaine (i.e ouvert connexe et simplement connexe) de M identifié à un domaine de Cn; T fibré tangent de M; M Ωk k-ième puissance extérieure du fibré cotangent de M; M x1,...,xn système de coordonnées holomorphes sur U; ∇ connexion affine sur M; Γk symboles de Christofell de ∇ dans les coordonnées x1,...,xn; ij [∇] classe d’équivalence projective de ∇; Π connexion projective sur M; Πk coefficients de Thomas de Π dans les coordonnées x1,...,xn; ij D(Cn,0) groupe Diff(Cn,0) des germes de biholomorphismes holomorphes en (Cn,0); G groupe de Lie complexe; H sous-groupe de Lie fermé de G; g,h algèbres de Lie de G et H (respectivement); ρ application de passage au quotient ρ:g→g/h; P H-fibré principal à droite sur M; ω g-connexion de Cartan sur P ; Ω=C(ω) courbure de ω; t(ω) torsion ρ(Ω) de ω; σ jauge pour le fibré P| →U; U ω forme de soudure σ∗ω associée à σ; σ F feuilletage; W tissu; d nombre de feuilletages formant W ; W d-tissu. d 4 LUCPIRIO Quelques commentaires et précisions s’imposent : l’ouvert U désignera le plus souvent un voisinage ouvert connexe et simplement connexe de l’origine dans Cn et on aura souvent M = U. L’expression système de coordonnées x1,...,xn sur U fera référence aux composantes xi d’un biholomorphisme x : U →∼ x(U) ⊂ Cn. Comme l’on s’intéresse au problème de caractériser les tissus linéarisables par un biholomorphisme local, l’on se permettra de restreindre U autour de l’origine aussi souvent qu’il sera nécessaire de le faire. Si F est un fibré vectoriel sur M, on commettra l’abus d’écrire F au lieu de H0(M,F) : par exemple, la formule (3.26) doit se comprendre comme W ∈H0(U,T ⊗(Ω1)⊗3). Π U U Des sous-espaces vectoriels E ,...,E d’un C-espace vectoriel complexe E de dimension n sont dits en 1 d position générale si pour toute partie A ⊂ {1,...,d} on a dim( E ) = min(n, dim(E )), ainsi que a∈A i a∈A a codim(∩ E ) = min(n, codim(E )). À chaque sous-espace E de codimension c est associée une a∈A A a∈A a P a P a normale na ∈∧ca(E) qui est unique (modulo multiplication par une constante non-nulle) : il suffit de prendre P na = ℓ1 ∧···∧ℓca, où ℓ1,...,ℓca désigne une base arbitraire de Ann(Ea) ⊂ E∗. La donnée de na (modulo multiplication) est équivalente à celle de E puisque E = {e ∈ E|i (n ) ≡ 0}. Si n = d dim(E ), a a e a a=1 a l’hypothèse de position générale correspond à une décomposition en somme directe E =E ⊕···⊕E , ce qui 1 P d équivaut à n ∧···∧n 6=0. 1 d Soient F ,...,F des feuilletages holomorphesréguliers sur M, de codimensions respectives c ,...,c . Cha- 1 d 1 d cun d’eux est défini par une normale Ω ∈ Ωca qui est unique modulo multiplication par une section partout a M non-nulle d’un fibré en droitesL sur M.Pardéfinition, le d-uplet W =(F ,...,F ) estun d-tissu (ordonné) a d 1 d surM siles espacestangentsT (poura=1,...,d)sontenpositiongénéraledansT ,celaquelquesoit Fa,m M,m le point m ∈ M. Un tissu W est dit mixte si les codimensions de ses feuilletages ne sont pas toutes égales. Si c = c = ··· = c , on parlera simplement de d-tissu de codimension c. Lorsque c = 1 et c = n−1, on parlera 1 d aussi de tissus en hypersurfaces et de tissus en courbes (respectivement). Enfin, lorsque c divise la dimension n de l’espace ambiant (i.e lorsque n=kc pour un entier k), l’hypothèse de position générale se traduit par Ω ∧···∧Ω 6=0 a1 ak quels que soient a ,...,a tels que 16a <a <...<a 6d. 1 k 1 2 k UntissusurU ⊂Cnestlinéairesilesfeuillesdesesfeuilletagessontdes(morceauxde)sous-espacesaffinesde Cn.UntissuW définisurM estlinéarisable s’ilexisteungermedebiholomorphismeϕ:(M,m)→(Cn,ϕ(m)) tel que ϕ (W) soit un germe de tissu linéaire. C’est une notion qui a tendance à se globaliser(2) mais que l’on ∗ ne regardera ici que d’un point de vue local. 3. Connexions projectives La notion de connexion projective est assez ancienne. Plusieurs auteurs voient sa naissance en 1921 dans le papier de Weyl [40] qui a induit quasiment immédiatement un grand nombre d’articles sur le sujet. Deux courantsd’études ontalorsémergé.L’unse trouvesouventdésignécommel’«Écolede Princeton»(constituée de Berwald, Eisenhart, Thomas, Veblen, Weyl, Whitehead parmi les plus connus), l’autre est principalement le fait d’Élie Cartan. Le point de vue de Cartan sur les connexions projectives est plus abstrait et conceptuel que celuide l’École de Princeton.C’estun casparticulierdes notions d’«espacegénéralisé» etde «connexion de Cartan» introduites par Cartan.L’approche de l’École de Princetonà cet avantaged’être plus élémentaire et plus immédiate pour calculer en coordonnées locales. Le lecteur intéressé pourra consulter [6] pour une comparaisondes approches de l’école de Princeton et de celle de Cartan. 3.1. Définition «à la Princeton » via les connexions affines 3.1.1. Rappels sur les connexions affines Danstoutcequisuit,l’ondésignepar∇uneconnexionaffine(holomorphe)surU,c’estàdireunmorphisme defibrésvectoriels∇:T →Ω1 ⊗T vérifiantl’identitédeLeibniz∇(fX)=X⊗df+f∇(X)pourtoutgerme U U U (2)Celasignifiececi:silegermed’untissuW enunpointm∈M estlinéarisable,alorsill’estégalemententoutpointde M. SUR LA LINÉARISATION DES TISSUS 5 defonctionholomorphef ettoutgermede champde vecteursX surU.Unsystème decoordonnéesx1,...,xn étant fixé sur U, ∇ est complètement définie par la donnée de ses symboles de Christoffel Γi définis par les jk relations ∇ ∂ = Γk dxi ⊗ ∂ pour j = 1,...,n. Les symboles de Christoffel Γα de ∇ relativement à un ∂xj ij ∂xk βγ autresystèmedecoordonnéesx1,...,xnsontreliésauxΓi parlesformulesclassiques(pourα,β,γ =1,...,n): (cid:0) (cid:1) jk (3.1) Γγ =Γk ∂xi ∂xj ∂xγ + ∂2xi ∂xγ . αβ ij∂xα∂xβ ∂xk ∂xα∂xβ ∂xi La torsion de ∇ est le tenseur T deux fois contravariant tel que ∇ (X)−∇ (Y)+[X,Y]+T(X,Y) = 0 Y X quels que soient les champs de vecteurs X et Y. On vérifie que ∇ est à torsion nulle si et seulement si elle est symétrique,c’est-à-diresidansun (etdonc danstous) système(s)de coordonnéessescoefficients de Christoffel sont symétriques par rapport aux deux indices inférieurs. Définition3.1. — Uneparamétrisationgéodésique(ouplussimplement,une“géodésique”)pourlaconnexion ∇ est une application holomorphe c:t7→c(t) définie sur un ouvert de C à valeurs dans U, telle que dc (3.2) ∇ ( )≡0. dc dt dt Si c paramétrise une courbe et s’écrit c(t) = (c1(t),...,cn(t)) dans des coordonnées x1,...,xn, la relation (3.2) équivaut au système d’équations différentielles ordinaires du second ordre d2ck dcidcj (3.3) +Γk ≡0 k=1,...,n. dt2 ij dt dt Ondéduitfacilementdelaformedusystèmed’équations(3.3)que,étantdonnéunvecteurtangentτ ∈T en U,u unpoint u∈U,il existe un unique germede paramétrisationgéodésiquec:(C,0)→(U,u)telque dc| =τ. dt t=0 Définition 3.2. — Une courbe géodésique pour ∇ est une courbe qui admet (localement) une paramétri- sation géodésique. Proposition 3.3. — Soit C ⊂U une courbe. Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) C est une courbe géodésique pour la connexion ∇; (2) il existe une paramétrisationt7→(c1(t),...,cn(t)) de C qui satisfait les équations différentielles dcℓ d2ck dcidcj dck d2cℓ dcidcj (3.4) +Γk = +Γℓ ; dt dt2 ij dt dt dt dt2 ij dt dt (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) quels que soient k,ℓ=1,...,n; (3) toute paramétrisationt7→(c1(t),...,cn(t)) de C satisfait les équations différentielles (3.4). De ci-dessus, on déduit que, étant donnée une direction tangente L ∈ PT en u ∈ U, il existe une unique U,u courbe géodésique C passantpar u telle que T =L. Nous dirons que C est la courbe géodésique issue de L. C,u 3.1.2. Connexions affines projectivement équivalentes Définition 3.4. — Deux connexions affines ∇ et ∇ sur U sont projectivement équivalentes si elles ont les mêmes courbes géodésiques. Proposition 3.5 ([17, 40]). — Deux connexions affines ∇ et ∇ sur U sont projectivement équivalentes si et seulement si il existe des quantités ϕ ,...,ϕ telles que les symboles de Christoffel Γk et Γk de ∇ et ∇ 1 n ij ij (par rapport au même système de coordonnées) vérifient (3.5) Γk =Γk +δkϕ +δkϕ ij ij i j j i quels que soient i,j,k=1,...,n. Onvérifieimmédiatementquel’équivalenceprojectivedéfinitbienunerelationd’équivalencesurl’espacedes connexions affines. On peut donc poser la 6 LUCPIRIO Définition 3.6. — Une connexion projective Π sur U est la donnée d’une classe d’équivalence projective de connexions affines sur U. On note Π=[∇] si ∇ est un représentant de Π. On vient de définir la notion de connexion projective sur une variété complexe isomorphe à un domaine de Cn. La notion générale de connexion projective s’en déduit par recollement. Définition 3.7. — Une connexion projective Π sur M est la donnée d’une classe d’équivalence(3) d’atlas (U ,[∇ ]) sur M tels que i i i∈I (1) (U ) est un recouvrement de M par des ouverts isomorphes à des domaines de Cn; i i∈I (2) pour tout i∈I, [∇ ] est une connexion projective sur U (au sens de la DÉFINITION 3.6); i i (3) on a [∇ ]=[∇ ] sur toute intersection U ∩U non-vide. i j i j Remarque 3.8.— La définition ci-dessus s’étend bien sûr au réel mais est alors maladroite puisque la DÉFINITION 3.6 suffit dans ce cadre. En effet, si ΠR désigne une connexion projective réelle sur une variété réelleMRarbitraire(seulementsupposéeparacompactepourassurerl’existencedepartitionsdel’unité),ilexiste toujours une connexionaffine réelle∇R sur MR telle qu’onpuisse écrireglobalementΠR =[∇R].Dans le cadre holomorphe, cela est vrai si et seulement si le 1-cocycle (3.2) de [29] est nul dans le groupe de cohomologie H1(M,Ω1 ), ce qui est vérifié si et seulement si le fibré canonique K = Ωn de M peut être muni d’une M M M connexion affine holomorphe (comme il ressort de la lecture des pages 96-97 de [23]).(4) Proposition 3.9. — Une connexion affine ∇ étant donnée, il existe une unique connexion symétrique admettantlesmêmesparamétrisationsgéodésiques.C’estlaconnexion∇définieparlessymbolesdeChristofell Γk = 1 Γk +Γk . ij 2 ij ji Corollaire 3.10. — Une connexion affine ∇ éta(cid:0)nt donnée(cid:1), il existe une connexion symétrique qui lui est projectivement équivalente Définition 3.11. — Une connexion affine ∇ est de trace nulle relativement à un système de coordonnées x1,...,xn si dans celui-ci, les coefficients de Christoffel Γk de ∇ vérifient (pour j =1,...,n) ij n n (3.6) Γi = Γi =0. ij ji i=1 i=1 X X On prendra garde à ce que la notion introduite dans la définition ci-dessus n’est pas invariante mais dépend du système de coordonnées. Étant donné une connexion projective Π sur U, soit ∇ une connexion affine symétrique qui la représente. Soient Γk ses coefficients de Christoffel relativement à des coordonnées x1,...,xn fixées. Posons alors ij 1 1 (3.7) Πk =Γk −δk Γℓ −δk Γℓ ij ij i n+1 ℓj j n+1 iℓ (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) pourtouti,j,k=1,...,n.LescoefficientsΠk définissentune connexionaffinesanstorsionde tracenulledans ij les coordonnées x1,...,xn qui est (vu (3.7) et d’après la PROPOSITION 3.5) projectivement équivalente à ∇. Par ailleurs, on montre facilement que, le système de coordonnées x1,...,xn étant toujours fixé, il existe une unique connexion affine symétrique de trace nulle dans la classe d’équivalence projective de ∇. Définition 3.12. — Les quantités Πk (pour i,j,k = 1,...,n) sont les coefficients de Thomas de la ij connexion projective Π relativement au système de coordonnées x1,...,xn. γ Soient alors Π (α,β,γ = 1,...,n) les coefficients de Thomas de Π relativement à un autre système de αβ coordonnéesx1,...,xn surU.Ondéduitsansdifficultédesformules(3.1)quepourtoutα,β,γ =1,...,n,ona (3.8) Πγ =Πk ∂xi ∂xj ∂xγ + ∂2xi ∂xγ − 1 δγ∂log∆ +δγ∂log∆ αβ ij∂xα∂xβ ∂xk ∂xα∂xβ ∂xi n+1 α ∂xβ β ∂xα (cid:16) (cid:17) (3)Lanotiond’équivalencedontilestquestioniciestclairevulecontexte. Nouslaissonslesoinsaulecteurdel’expliciter. (4)L’auteurremercieSorinDumitrescupouravoirattirésonattention surcepoint. SUR LA LINÉARISATION DES TISSUS 7 où ∆ désigne le déterminant jacobien du changement de paramétrisation (x1,...,xn)7→(x1,...,xn). Puisqu’une connexion projective est localement définie pas ses coefficients de Thomas, on en déduit la Proposition3.13. — Ladonnéed’uneconnexionprojectivesurM estéquivalenteàladonnée,pourchaque système de coordonnées x1,...,xn sur M, de coefficients Πk vérifiant Πk = Πk et n Πℓ = 0 pour tout ij ij ji ℓ=1 ℓj indice i,j,k compris entre 1 et n et satisfaisant aux lois de transformations (3.8). P Remarque 3.14.— La propositionci-dessus permet de donner une définition plus formelle de ce qu’est une connexion projective. Si (U ,x = (xi,...,xn)) est un atlas sur M et si l’on note Πk les coefficients de ν ν ν ν ν,ij Thomas de Π dans les cartes (U ,x ), alors les Π = Πk dxi ⊗dxi ⊗ ∂ définissent une 0-cochaine sur M ν ν ν ν,ij ν ν ∂xk ν à valeurs dans Sym2(Ω1 )⊗T . Avec ce formalisme, les formules de transformations (3.8) signifient que le M M cobord de {Π } est égal au 1-cocycle {S(x )} où S(x ) désigne la «dérivée de Schwarz» du changement ν µν µν de coordonnées x ◦x−1 (voir [23] et [33]). La donnée d’une connexion projective sur M est équivalente à la ν µ donnée d’une 0-cochaine à valeurs dans Sym2(Ω1 )⊗T satisfaisant cette propriété. M M 3.2. Interprétation en termes de connexion de Cartan Il nous semble intéressant d’interpréter en des termes plus conceptuels la notion de connexion projective. Cela pourra se révéler important par exemple lors de l’étude des tissus globaux sur les variétés compactes. Pour cela, nous nous appuirons sur le concept d’«espace généralisé» introduit par Cartan, qui peut être considéré comme un équivalent infinitésimal courbe de la notion de géométrie de Klein. Le récent livre de Sharpe [36] a contribué à populariser ces notions et est une référence assez complète. Pour certains points cependant, nous ferons plutôt référence au livre [26] de Kobayashi. 3.2.1. Espaces généralisés et connexions de Cartan Soit H un sous-groupe de Lie fermé d’un groupe de Lie complexe G tel que l’espace homogène G/H soit de dimension n. Une géométrie de Klein modelée sur la paire (G,H) sur une variété M de dimension n est la donnée d’un atlas {(U ,F )} sur M, les F étant à valeurs dans G/H et vérifiant ν ν ν (3.9) F =g ·F µ µν ν sur les intersections non-vides U ∩U , pour certains g ∈G constants. µ ν µν Pour tout ν, notons P le H-fibré principal P = F∗P sur U obtenu en tirant en arrière par F le fibré ν ν ν ν ν principaltautologiqueP =G→G/H.Lesrelations(3.9)impliquentquelesP serecollentpourformerunH- ν fibréprincipalàdroiteP surM.Soitω ∈Ω1(G)⊗g laformedeMaurer-CartandeG.Les“tirés-en-arrière” M G F∗(ω ) se recollent eux aussi pour former une 1-forme différentielle ω ∈Ω1(P )⊗g qui vérifie ν G M 1. ω :T P →g est un isomorphisme linéaire quel que soit p∈P ; p p M 2. ω(X†)=X pourtoutX ∈h,oùX† désignelechamp de vecteurs fondamental associéàX (c’est-à-dire le générateur infinitésimal du (germe de) flot complexe z 7→exp(zX)); 3. R∗(ω)=Ad(h−1)·ω pourtouth∈H,oùR désignelamultiplicationàdroitesurP parhetAd(h−1) h h M dénote l’action adjointe de h−1 sur g; 4. l’équation de Maurer-Cartandω+ 1[ω,ω]≡0. 2 Une géométrie de Cartan (ou plus précisément une connexion de Cartan) sur M modelée sur (G,H) (ou plus justementsur (g,h)) estla donnéed’un H-fibréprincipalà droiteP →M et d’une 1-formedifférentielle M ω ∈ Ω1(P ) ⊗ g qui vérifient les conditions 1., 2. et 3. ci-dessus, mais pas forcément la condition 4. Les M géométriesdeKleinsontdoncdescasparticuliersdegéométriesde Cartan,quel’ondiraplates.Une géométrie de Cartan localement isomorphe (en un sens naturel) à une géométrie de Klein est dite intégrable. En toute généralité, on définit la courbure de Cartan de la géométrie de Cartan considérée comme étant la 2-forme 8 LUCPIRIO différentielle C(ω) = dω + 1[ω,ω] ∈ Ω2(P )⊗g. Celle-ci mesure le défaut de platitude de la géométrie de 2 M Cartan donnée, comme on le verra Section 3.3.1. La torsion t(ω) d’une connexion de Cartan est définie comme t(ω) = ρ(C(ω)) où l’on a noté ρ : g → g/h le passage au quotient canonique. La connexion de Cartan ω est sans torsion si t(ω) est identiquement nulle, c’est-à-dire si sa courbure C(ω) est à valeurs dans h. L’action adjointe de G sur lui-même induit une action de H sur g et donc sur g/h. On en déduit une action adjointedeH surHom(∧2(g/h),g)quifaitdecetespacevectorielcomplexeunH-module.Lafonction courbure de ω est l’application K :P →Hom(∧2(g/h),g) définie de la façon suivante : si p∈P , alors M K (ζ,ζ′):=C(ω) ω−1(ζ),ω−1(ζ′) p p p p pourtout ζ,ζ′ ∈g/h(onmontre que K estbien définie(cid:16)etestun tenseur(cid:17)associéà ω (cf. [36,Lemma 5.3.23])). Il est classique de s’intéresser aux géométries de Cartan « spéciales », i.e. celles dont la fonction courbure est à valeurs dans un sous-H-module spécifique que l’on décrète être le «sous-module normal» N de Hom(∧2(g/h),g). On peut donner une idée de l’intérêt de cette notion de la façon suivante : un bon nombre de structures géométriques(5) peuvent être interprétées en termes de géométrie de Cartan (en général après plusieurs prolongations différentielles à des ordres plus grands). Se pose alors le problème d’associer de façon canoniqueune connexionde Cartanω à la structure géométriqueinitiale.Dans bon nombrede cas,cela se fait defaçonsatisfaisanteendemandantqueω soitnormale(enayantaupréalablechoisisetconvenablementdéfini la “bonne” notion de normalité). Dans les cas où cette stratégie s’applique, cela force l’unicité de la connexion deCartancompatibleavecuneG-structuredonnéeetpermet(parexemple)d’aborderavecuncadreconceptuel bien dégagé les problèmes d’équivalence. Nous ne discuterons pas davantage la notion de «connexion de Cartan normale» en toute généralité. Nous donneronsplus basune définitionprécisedansle casdesconnexionsprojectives,quiestle seulcasquinousin- téresse ici. 3.2.2. Jets, fibrés de repères et formes canoniques Soit m un point de M. Pour k > 0, on note [ϕ]k le jet à l’ordre k en l’origine de ϕ : (Cn,0) → (M,m). Si 0 ϕ est inversible, on dit que [ϕ]k est un repère d’ordre k sur M en m. On note R (M) l’ensemble des repères 0 k d’ordrek sur M. On vérifie que de M, il hérite d’une structure de variété complexe faisantdes applications de projections πℓ :[ϕ]k ∈R (M)7→[ϕ]ℓ ∈R (M) des submersions holomorphes (pour tout k,ℓ tels que k >ℓ). k 0 k 0 ℓ On note G (Cn) l’espace des repères d’ordre k en l’origine de Cn : G (Cn) = {[f]k f ∈ D(Cn,0)}. La k k 0 composition des (germes de) biholomorphismes induit une structure de groupe de Lie complexe sur G (Cn). (cid:12) k On vérifie alors que l’action (cid:12) R (M)×G (Cn)−→R (M) k k k [ϕ]k,[f]k 7−→[ϕ◦f]k 0 0 0 fait de πk :Rk(M)→M un Gk(Cn)-fibré princ(cid:0)ipal (à dr(cid:1)oite). Supposonsque k>0.Chacundes fibrés R (M) estmuni d’une 1-forme différentielle canonique θ à valeurs k k dans l’espace tangent de Rk−1(Cn) en le jet à l’ordre k−1 de IdCn, que l’on note Id quel que soit k. Soit v ∈ T R (M) avec ξ = [ϕ]k. On définit θ (v) de la façon suivante : soit ξ = πk−1(ξ) = [ϕ]k−1. Alors le ξ k 0 k k 0 biholomorphisme local ϕ:(Cn,0)→M induit un germe de biholomorphisme ϕ[k−1] : R (Cn),Id −→ R (M),ξ k−1 k−1 (cid:0) [g]k−1 (cid:1)7−→(cid:0)[ϕ◦g]k−1. (cid:1) 0 0 On vérifie que la différentielle de ϕ[k−1] en Id ne dépend que de ξ et pas du choix de ϕ. On la note ξ =dϕ[k−1] :T R (Cn)−→T R (M). ∗ Id Id k−1 ξ k−1 (5)Par exemple : les connexions projectives, les structures conformes, les structures quasi-grassmanniennes, etc. Nous renvoyons lelecteur auxarticles[34,10]pourunpointdevuerigoureuxsurcette question. SUR LA LINÉARISATION DES TISSUS 9 On pose alors θ (v)= ξ −1 dπk−1(v) . k ∗ k Les formes différentielles canoniques des fibrés(cid:0)de(cid:1)rep(cid:0)ères satisf(cid:1)ont plusieurs propriétés d’invariance et de compatibilité (cf. [27, §3]). Les deux propriétés des θ qui sont le plus importantes ici nécessitent de faire k quelques explications préliminaires. Pour k > 1, on note g (Cn) l’algèbre de Lie (complexe) de G (Cn). k k L’action à droite de ce groupe de Lie sur R (M) induit une application injective X 7→ X† de g (Cn) à k k valeurs dans l’algèbre des champs de vecteurs sur R (M). D’autre part, la différentielle en l’identité de la k projection G (Cn) → G (Cn) induit un épimorhisme g (Cn) ∋ X 7→ X′ ∈ g (Cn). Enfin, la projection k k−1 k k−1 π0 : R (Cn) → R (Cn) = Cn induit une trivialisation TR (Cn) = TCn ×g (Cn), d’où on déduit une k k 0 k−1 k−1 injection naturelle de g (Cn) dans T R (Cn) . Ces remarques faites, on vérifie alors que pour tout X ∈ k−1 Id k−1 g (Cn), on a k (3.10) θ (X†)≡X′. k Fixons maintenant Γ∈D(Cn,0). On peut lui associer le germe de biholomorphisme R (Cn),Id −→R (Cn) k−1 k−1 (cid:0) [ϕ]k−1(cid:1)7−→ Γ◦ϕ◦Γ−1 k−1 0 0 dont on vérifie que la différentielle en Id ne dépend qu(cid:2)e de γ = [(cid:3)Γ]k ∈ G (Cn). Notons la Ad(γ). Alors 0 k Ad :γ 7→ Ad(γ) définit l’action adjointe (à droite) de G (Cn) sur T R (Cn). Cette définition étant posée, k Id k−1 on vérifie que pour tout γ ∈G (Cn), on a k (3.11) R∗(θ )=Ad(γ−1)·θ . γ k k Le cas k =2 est particulièrement important et particulier. En effet, on a des identifications naturelles (3.12) T R (Cn)≃Aff(Cn)≃Cn⊕gl (C). Id 1 n Il apparaît donc que la seconde forme canonique θ est à valeurs dans une algèbre de Lie. Soient (e ,...,e ) 2 1 n et (Ej)n les bases canoniques de Cn et gl (C) ≃ M (C) respectivement. On peut alors décomposer θ i i,j=1 n n 2 composante par composante dans ces bases en tenant en compte de la somme directe (3.12). On note n n θ = θie + θiEj. 2 i j i i=1 i,j=1 X X Si ϕ:(Cn,0)→U ⊂Cn est un biholomorphisme, on a au second ordre n n n 1 ϕ(x1,...,xn)= ϕi+ ϕixj + ϕi xjxk e j 2 jk i Xi=1(cid:16) Xj=1 jX,k=1 (cid:17) avec (ϕi)n inversible et où les ϕi sont symétriques en les indices j et k. On en déduit que les (ϕi,ϕi,ϕi ) j i,j=1 jk j jk formentunsystèmedecoordonnéeslocalessurR (U)danslesquelleslafibrationR (U)→U n’estriend’autre 2 2 que la projection(ϕi,ϕi,ϕi )7−→(ϕi). Onpeut alors exprimer (les composantesθi et θi de) la seconde forme j jk j canonique θ dans ces coordonnées. En notant (ψi)n l’inverse de (ϕi)n , on a (cf. [26, p. 141]) : 2 j i,j=1 j i,j=1 n n n θi = ψidϕj et θi = ψidϕk+ ψiϕk ψℓ dϕm. j j k j k ℓj m j=1 k=1 k,ℓ,m=1 X X X Un calcul direct permet alors de montrer que, pour tout i=1,...,n, la composante θi de θ vérifie 2 n (3.13) dθi =− θi ∧θj. j j=1 X 10 LUCPIRIO 3.2.3. Connexion projective à la Cartan On note (avec un décalage d’indice) e0,...,en la base canonique de Cn+1 (ainsi e0 = (1,0...,0), e1 = (0,1,0...,0), etc). On a une décomposition en somme directe g=g ⊕g ⊕g de l’algèbre de Lie complexe −1 0 1 g=sl (C) avec n+1 0 0 g = ξ ∈M (C) ≃ Cn −1 ξ 0 n×1 (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:12) (cid:27) a 0 (cid:12) A∈M (C) g = (cid:12) n×n ≃ gl (C) 0 0 A a=−Tr(A) n (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:12) (cid:27) 0 v (cid:12) et g = (cid:12)v ∈M (C) ≃ Cn. 1 0 0 1×n (cid:26)(cid:18) (cid:19) (cid:12) (cid:27) On pose également (cid:12) (cid:12) A∈M (C) n×n a v h=g ⊕g = v ∈M (C) ≃ Cn⊕gl (C). 0 1  0 A (cid:12) 1×n  n (cid:18) (cid:19) (cid:12) a=−Tr(A)  (cid:12) C’estl’algèbredeLiedusous-groupedeLieH deG(cid:12) =SL (C)formédesélémentsg ∈Glaissantinvariante  (cid:12) n+1  la droite engendrée par e0. Il en découle que le quotient G/H est l’espace projectif Pn(C). Celui-ci est donc un espace homogène que l’on munit de la géométrie de Klein associée à la paire (g,h). Par définition, une connexion de Cartan projectivesurunevariétéM estuneconnexiondeCartansurM associéeàunegéométrie de Cartan modelée sur (g,h). Soitω uneconnexiondeCartanprojective.Entenantcomptedelagraduationsl (C)=g=g ⊕g ⊕g , n+1 −1 0 1 on peut écrire matriciellement ω ω ω = 0 i ωk ωk (cid:18) i(cid:19) où les 1-formes ω , ωk, ω et ωk (pour i,k=1,...,n) vérifient ω =− n ωi =0. Alors on a 0 i i 0 i=1 i Ω Ω dω +ω ∧ωj P dω +ω ∧ω +ω ∧ωj (3.14) Ω=dω+ω∧ω = 0 i = 0 j i 0 i j i . (cid:18)Ωk Ωki(cid:19) dωk+ωk∧ω0+ωjk∧ωj dωik+ωj ∧ωj +ωij ∧ωjk! Par définition, ω est sans torsion si la 2-forme ρ(Ω) à valeurs dans g/h ≃ g est identiquement nulle. Cela −1 équivaut à ce que Ωk =0 quel que soit k =1,...,n. Il découle des propriétés d’invariance d’une connexion projecive ω définie sur l’espace total P d’un H-fibré principal au dessus de U que celle-ci est complètement déterminée par sa restriction à n’importe quelle sous- variétéV ⊂P dedimensionntransverseàlafibrationP →U.Cetteremarquejustifiel’astuceclassique(dueà Cartan)consistantàutiliserunejauge,àsavoirunesection(locale)σdufibréprincipalP,pourramenerl’étude deω surP àcelle dela forme de soudureω (associéeàσ) surU,quiestdéfinie comme étantle tiré-en-arrière σ ω =σ∗(ω)∈Ω1 ⊗sl (C). Onimpose aussiàσ d’être telle que la1-formeω =ρ(ω )∈Ω1 ⊗(g/h) induise σ U n+1 σ σ U un isomorphisme de T sur g/h quel que soit u∈U. U,u Si σ est une autre jauge, il existe une application h : U → H telle que σ = σ ·h. Par hypothèse, on a R∗(ω)=Ad(k−1)·ω pour tout k ∈H (puisque ω est une connexion de Cartan). On en déduit la relation k (3.15)b ω =Ad(h−1)·ω +h∗(ω ) b σˆ σ H où l’on a noté ω la forme de Maurer-Cartande H. H Proposition 3.15. — Les coordonnées x1,...,xn étant fixées, il existe essentiellement un unique choix de jauge σ (que l’on dira être «la» jauge standard relativement aux xi) telle que la forme de soudure associée soit de la forme 0 ω (3.16) ω = i . σ dxk ωk (cid:18) i(cid:19) Le terme «essentiellement» signifie ici que deux jauges standards σ et σ sont liées par une relation de la 1 2 forme σ =σ ·(ζId ) où ζ désigne un nombre complexe tel que ζn+1 =1. 2 1 n+1