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BestMasters Johannes Schaeffer SU(n), Darstellungstheorie und deren Anwendung im Quarkmodell Eine Analyse aus mathematischer und physikalischer Perspektive BestMasters Mit „BestMasters“ zeichnet Springer die besten Masterarbeiten aus, die an renommierten Hochschulen in Deutschland, Österreich und der Schweiz entstan- den sind. Die mit Höchstnote ausgezeichneten Arbeiten wurden durch Gutachter zur Veröffentlichung empfohlen und behandeln aktuelle Themen aus unter- schiedlichen Fachgebieten der Naturwissenschaften, Psychologie, Technik und Wirtschaftswissenschaften. Die Reihe wendet sich an Praktiker und Wissen- schaftler gleichermaßen und soll insbesondere auch Nachwuchswissenschaftlern Orientierung geben. Springer awards “BestMasters” to the best master’s theses which have been completed at renowned Universities in Germany, Austria, and Switzerland. The studies received highest marks and were recommended for publication by super- visors. They address current issues from various fields of research in natural sciences, psychology, technology, and economics. The series addresses practi- tioners as well as scientists and, in particular, offers guidance for early stage researchers. Weitere Bände in der Reihe https://link.springer.com/bookseries/13198 Johannes Schaeffer SU(n), Darstellungstheorie und deren Anwendung im Quarkmodell Eine Analyse aus mathematischer und physikalischer Perspektive JohannesSchaeffer Mainz,Deutschland ISSN2625-3577 ISSN2625-3615 (electronic) BestMasters ISBN978-3-658-36072-6 ISBN978-3-658-36073-3 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-36073-3 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbiblio- grafie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. ©Der/dieHerausgeberbzw.der/dieAutor(en),exklusivlizenziertdurchSpringerFachmedien WiesbadenGmbH,einTeilvonSpringerNature2022 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustim- mungdesVerlags.DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen, MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc.indiesemWerkbedeutetnicht,dassdiesefreidurchjedermannbenutztwerdendürfen.Die BerechtigungzurBenutzungunterliegt,auchohnegesondertenHinweishierzu,denRegelndes Markenrechts.DieRechtedesjeweiligenZeicheninhaberssindzubeachten. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationen indiesemWerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlag nochdieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,Gewährfürden InhaltdesWerkes,etwaigeFehleroderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografi- scheZuordnungenundGebietsbezeichnungeninveröffentlichtenKartenundInstitutionsadressen neutral. Planung/Lektorat:MarijaKojic SpringerSpektrumisteinImprintdereingetragenenGesellschaftSpringerFachmedienWiesbaden GmbHundisteinTeilvonSpringerNature. DieAnschriftderGesellschaftist:Abraham-Lincoln-Str.46,65189Wiesbaden,Germany Danksagung IchmöchtemichandieserStellezunächstbeiProf.Dr.StefanSchererbedanken, deresmirermöglichthat,imRahmendieserMasterarbeiteinenmathematischen Teil mit einem physikalischen Teil zu kombinieren. Hierbei war die Themen- stellung sehr interessant, sodass die Entwicklung dieser Arbeit mit viel Freude verbunden war. Meinen besonderen Dank spreche ich aber für die großzügige Zeit aus, die sich Herr Scherer für mich genommen hat. Die vielen Treffen und Gespräche haben mir sehr geholfen, die für mich neue Thematik immer besser zu verstehen. AuchbeiDr.MargaritaKrausmöchteichmichbedanken,diesichdazubereit erklärt hat, den mathematischen Teil dieser Arbeit zu betreuen. Sie hat mich hierinmaßgeblichunterstütztundhatteaufmeineFragenimmereinenpassenden Tipp oder eine gute Literaturquelle parat. Zu guter Letzt danke ich meinen Mitbewohnerinnen und Mitbewohnern, die mich während der kompletten Zeit immer unterstützt und motiviert haben. Dank ihnen habe ich auch die schwierigen Phasen der vergangenen sechs Monate erfolgreich bewältigen können. V Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ................................................... 1 TeilI Lie-GruppenundDarstellungstheorie 2 Lie-GruppenundLie-Algebren ................................ 7 2.1 Vorbereitungen .......................................... 7 2.2 Matrixgruppen ........................................... 8 2.3 Lie-Gruppen ............................................ 11 2.4 Lie-Algebren ............................................ 19 2.5 Von der Lie-Algebra zur Lie-Gruppe ....................... 25 3 Darstellungstheorie .......................................... 31 3.1 Grundlegende Definitionen ................................ 31 3.2 Äquivalente Darstellungen ................................ 33 3.3 Irreduzible Darstellungen ................................. 34 3.4 Unitäre Darstellungen .................................... 36 3.5 Konstruktion weiterer Darstellungen ........................ 38 3.5.1 Darstellung der direkten Summe .................... 39 3.5.2 Duale und komplex konjugierte Darstellung .......... 39 3.5.3 Tensorproduktdarstellungen ......................... 41 4 DieSymmetrischeGruppe .................................... 45 4.1 Grundlagen ............................................. 45 4.2 Idempotente ............................................. 49 4.3 Young-Diagramme ....................................... 54 4.4 Young-Symmetrisierer .................................... 59 4.5 Darstellungen auf dem Tensorprodukt ...................... 66 VII VIII Inhaltsverzeichnis TeilII SU(n)undQuarks 5 Quarks ...................................................... 75 5.1 Die Entstehung des Quarkmodells ......................... 75 5.1.1 Entwicklung der Teilchenphysik im 20. Jahrhundert ... 75 5.1.2 The Eightfold Way ................................ 77 5.2 Das Quarkmodell ........................................ 79 5.2.1 Grundlagen ....................................... 79 5.2.2 Die Farbladung im Quarkmodell .................... 81 5.2.3 Symmetrien ...................................... 83 6 SU(2) ....................................................... 85 6.1 Quarks mit Spin ......................................... 85 6.2 Generatoren der SU(2) ................................... 87 6.3 Die endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen ......... 89 6.3.1 Konstruktion ...................................... 89 6.3.2 Graphische Veranschaulichung ...................... 91 6.4 Kopplung von Spins ...................................... 92 6.4.1 Kopplung von Drehimpulsen ........................ 92 6.4.2 Ungekoppelte und Gekoppelte Basis ................. 94 6.4.3 Basiswechsel ..................................... 95 6.5 Spinzustände von Baryonen ............................... 98 6.6 Isospin ................................................. 102 7 SU(3) ....................................................... 105 7.1 Flavour-SU(3) der leichten Quarks ......................... 105 7.2 Generatoren der SU(3) ................................... 107 7.3 Die endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen ......... 110 7.3.1 Unteralgebren und Leiteroperatoren der SU(3)-Lie-Algebra ................................ 111 7.3.2 SU(3)-Multipletts .................................. 113 7.4 Graphische Konstruktion der Produktzustände ............... 114 7.4.1 Mesonen ......................................... 115 7.4.2 Baryonen ......................................... 116 7.5 Symmetrieeigenschaften der Baryonenmultipletts ............ 118 7.6 Farbe ................................................... 120 8 SU(6) ....................................................... 123 8.1 Flavour-Spin-Zustände .................................... 123 8.2 Mesonen ................................................ 124 8.3 Baryonen ............................................... 125 Inhaltsverzeichnis IX 9 Quarkmodell ................................................ 129 9.1 Berechnung von Observablen .............................. 129 9.1.1 Ladung .......................................... 130 9.1.2 Magnetisches Moment ............................. 131 9.2 Nichtrelativistisches Quarkmodell .......................... 133 9.2.1 Einfachster Ansatz ................................. 133 9.2.2 Berücksichtigung der Spin-Spin-Wechselwirkung ...... 137 9.3 Ausblick ................................................ 141 10 Fazit ........................................................ 143 Literaturverzeichnis .............................................. 145 Abbildungsverzeichnis + Abbildung 5.1 Baryonendekuplett mit JP = 3 in einem 2 (I ,Y)-Diagramm. Die Massen sind am rechten 3 Rand in MeV angegeben [Sch16] .................. 78 Abbildung 6.1 Gewichtsdiagramme der 2j +1-dimensionalen irreduziblen Darstellungen der Gruppe SU(2) für j =0,1,1,3 ................................... 92 2 2 Abbildung 7.1 Wirkung der Leiteroperatoren Tˆ±,Uˆ± und Vˆ± in einem (T ,Y)-Diagramm. Die Einheiten von Y 3√ entsprechen 3 mal den Einheiten der T -Achse 2 3 [GM94] ........................................ 112 Abbildung 7.2 Gewichtsdiagramme der kleinsten irreduziblen Darstellungen der Gruppe SU(3) in einem (T ,Y)-Diagramm. Durch den Kreis und den Ring 3 in Abbildungsteil (f) wird angedeutet, dass im Oktett D(1,1) zwei Zustände mit (T ,Y)=(0,0) 3 existieren [GM94] ................................ 113 Abbildung 7.3 Gewichtsdiagramme des Quarktripletts und des Antiquarktripletts ................................ 114 Abbildung 7.4 Kopplung des Quarktripletts 3 mit dem ¯ Antiquarktriplett3.DiezweiRingedeutenan,dass es insgesamt drei Zustände mit (I ,Y) = (0,0) 3 gibt ........................................... 115 XI