Sucesiones y Series Vol 2

237 Pages·23.085 MB·Spanish

by  Yu Takeuchi

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Depa~tamento de Matemática~ y Estadísti~·a . ' :· • ',.4
U ni'versidad N acicin:al .de Col~mbi a .
BOGOTA-COLOMBIA
Hasta hace pocos años para las universidades no era
problemáti(;o el volumen ni el crecimiento del alumnado ; adqui
rir un libro , escoger' algunos temas con la ayuda de un profesor
y dedicar buena cantidad de tiempo a su . estudio sin apremio de
ninguna clase , era lo corriente y lo correcto . Pero hoy en día ,
cuando el tiempo parece acortarse y los campos de investigación
son cada vez mayores , se hacen necesarios libros prácticos,
económicamente al alcance de todos , de buen nivel acadiínico
y ·con temas seleccionados pensando en el futuro , que ayuden
verdaderamente. al estudiante • Textos que llenen estas ~ondicio­
nes y necesidades son los que hoy presento a ustedes •
De venta en:
Departamento de Matemáticas y Estadística,
Universidad Nacional de Colqmbia, Bogotá- Coloiabia
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PROLOGO
Este libro no es un texto de estudio, Está dirigido a
personas interesadas en aprender a manejar y dominar sucesiones
y senes.
Un buen conoctmtenro y manejo de las sucesiones y
las senes es indispensable para quien aspire a estudiar y profu.!!
dizar en la rama del análisis matemático en general ,
Sobre este tema hay poca teoría lo cual dificulta su
práctica ya que en cada problema hay que utilizar métodos par
ticulares . Teniendo en e u en ta lo anterior, en este trabajo se trata
de presentar los conceptos básicos de sucesiones y series utili~
zando abundantes dibujos, ejemplos y ejercicios en et desarrollo
de cada paso,
Los únicos conoetmtentos que se requieren para adentra.!
se en este estudio son los de e álculo 1 y 11. Con estas bases
se inicia y se pretende llegar a un nivel un poco superior al del
primer grado en matemáticas de la Universidad Nacional,
Al final del segundo tomo se incluye un apéndice en
donde el lector encontrar á algunas aplicaciones de sucesiones de
funciones . Se señala entre estas aplicaciones : El teorema de
-aproximación de Weierstrass y un teorema de existencia de solu ~
ciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Dada la importancia y utilidad del tema, y el vacÍo de
obras didácticas que sobre él hay, se espera que este libro llegue
a satisfacer la necesidad de muchos lectores.
Por último, quiero reconocer y agradecer al mismo tiempo
la invaluable ayuda que me brindó el profesor Eduardo Mantilla
leyendo y corregiendo la totalidad de los manuscritos, realizando
el fastidioso trabajo de la revisión de las pruebas de esta publica
ción.
YU T AKEUCHI
Agosto de 1971
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CONTENIDO
Tomo
Capítulo 1 SUCESIONES
§ 1 Sucesión 1
§ 2 Propiedades de la sucesión convergente .4
§ 3 Teorema de Weierstrass 9 ·
§ 4 Límites fundamentales 12
§ 5 Extremo superior , extremo inferior 21-
§ 6 Límite superior y límite inferior de una sucesión 26
§ 7 Propiedades del límite superior y del 1í mite inferior 29
§ 8 Ejercicios adicionales 44
Capítulo II SERIES
§ 9 Series 68
§ 10 Serie telescópica 77
§ 11 Condición de Cauchy. Serie de términos positivos 84
§ 12 Algunos criterios de convergencia 97
§ 13 Serie alternada 106
§ 14 Convergencia absoluta 108
§ 15 Comparación con laintegral impropia 112
§ 16 Criterio de Dirichlét 120
§ 17 Inserción en parmtesis 123
§ 18 Reordenación de una serie 128
e
§ 19 Suma de ésaro . 136
Ejercicios adicionales 142
Capítulo Ill DOBLE SERIE
§ 20 Doble suceswn 180
§ 21 Doble sene 189
§ 22 ReordenaciÓn de una serie sencilla en una .doble sen e 193
§ 23 Reordenación de una doble serie en una serie simple 197
§ 24 Producto de dos senes 20 1
Ejercicios adicionales 211
•
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CONTENIDO
Tomo 11
Capítulo lV PRODUCTO INANITO
§ 25 Producto infinito 221
§ 26 Condición de Cauchy 225
Ejercicios adicionales 242
Capítulo V SUCESION DE FUNCIONES
§ 27 Límite de una sucesión de funciones. 256
§ 28 Convergencia uniforme 258
§ 'E Algunas propiedades de la convergencia uniforme 278
§ 30 Condición de Cauchy para la convergencia uniforme 294
§ 31 Criterio de Oirichlet y de Abel 305
§ 32 Convergencia uniforme e integración 311
§ 33 Convergencia uniforme y derivación 321
§ 34 Convergencia en media J29
§ 35 Convergencia unÍforme del producto infinito 336
§ 36 Serie de potencias 342
§ 37 Fórmula de T aylor 368
§ 38 Continuidad de la serie de potencias en los puntos
extremos del círculo de convergencia 379
Ejercicios adicionales 391
Capítulo V 1 ALGUNAS APLICACIONES DE SUCESIONES DE
FUNOONES
§ 39 Teorema de aproximación de Weierstrass 419
.§ 40 Teorema de existencia 432
INDI,CE 44h
448
Bibliografía
/
221
CAPITULO IV
PRODUCTO INFINITO
§ 2 5 Producto infinito
Dada una sucesión
1 ,
.
con el objeto de multiplicar todos los elementos de la sucesión cons-i
deremos una nueva sucesión de la siguiente manera :
{P n 1 = { a 1 , a 1 x a 2 , a 1 x a 2 x a 3 , • • , a 1 x a 2 x •• .x an , ••
donde p es el producto parcial de los primeros n factores, esta
n
nueva suceston se llama EL PRODUCTO INFINITO y se nota:
.n r0r=0 1 an {P n 1 ' p n=a1 x a2+••• X an (1)
Si algún factor , digamos. as , es igual a cero , entonces todos los
productos parciales P n a partir de P s son nulos , así se tiene la
sucesión trivial :
{ a 1 ' • • • ' a 1 a 2 • • • as· 1 ' O ' O ' O ' • • • 1 •
Para evitar es te caso , siempre supondremos que
para todo n = 1,2,3,
Si la sucesión {P n 1 converge a un límite P diferente de cero,eE
tonces se dice que el producto TIOO an converge a p y se nota :
1
00
TT a = P ( 2)
n= 1 n •
rroo
Si di verge , ó tiende a cero se dice que el producto an
1
es divergente. Nótese que el número O es el único número real
que no tiene IN VER SO multiplicativo, razón por la cual es conveni
ente .exceptuar el número cero del conjunto de los límites .
222
r
EJEMPLO 56
n~1{1 +n!ll •
t> •• • (
p n ( 1 + ~ )( 1 + 1 + ~ )( 1 + n ~ 1 )
'.t .• ·
.Como IPn 1= 1 ni2 1 ...,. +oo (n .... oo), entonces el producto diverge a
noo (1 +-1-) =
n=1 n+1 ·
EJEMPLO 57
n00 11--11 1
n=1 n +
p ( 1 • -1 )( 1 • ....L) (1 __1 - )
n . 2 3 n + 1
.L=-1
- -> O ( n ->oo ),
n + 1 n + 1
entonces el producto diverge a cero (no se puede decir /el produc
to converge a ·e ero ~ ) :
n00 ( 1 .__:1_) o.
n=1 n + 1 •
NOTA
En el caso del producto :
n00 1
(1·->. ·
n= 1 n
el primer factor es O, luego P n = O pará todo n. Para evitar el re-
sultado trivial IP n 1 = 1O ,. O, O, ~ •• , O, • • • 1 consideramos el prQ
dueto a partir del segundo. fact_or eliminando el factor nulo , así se
obtiene el producto nfinito del ejemplo S7 .
EJEMPLO 58
Sea noo {1· 1 1
2 •
n=1 (n +1)
= ( 1 - ~ )( 1 ----!-!> ( 1 • 1 2)
2 3 (n + 1)
~ ·.
223
= 1 ,z'
7~
,, l
r.tonces el producto infinito converge a 21 1 o se a
1
n00 11- 1 21=1-
n=1 (n+1) , 2 • •
Observación
1 1
El producto 0T0I ( 1 +--) diverge a +oo y el producto T00I ( 1 ·' --)
1 n +1 1 n +1
tli erge a O y el producto de los dos productos divergentes:
1
n00 ( 1 +n-::;1:1 + J x 0n01 ( 1 • _n_+_¡ 1_ J = n001 ( 1 • (n+1 1) 2 J
1
converge en el ejemplo 58 caso similar a la serie infinita la suma
1
Je dos series divergentes puede converger por ejemplo:
1
+-1 +-1 + = + 00 ,
3 5
. . ..
~ 00_·_1_ = • .1_ • ..2. • _1_ = • 00
1 2n 2 4 6
y ~ 00 [-1 - • _1 ] = 1 • -1 + -1 • -1 + lag 2 •
1 2n '.. 1 2n 2 3 4
E]EMPL00:
Sea
p ( ·-1H -4J (. _3( )(_6 )(. -5> (. !!...±..!. ) - ó (-n~+)l
n 2 3 4 5 6 n+1
i )~
·1 21 si n es impar
(.1)n/2 n + 2 si n es par.
2(n + 1)