Structures de Poisson sur les Algèbres de Polynômes, Cohomologie et Déformations

249 Pages·2017·2.44 MB·French

by  F. Butin

Structures de Poisson sur les Algèbres de Polynômes,
Cohomologie et Déformations
F. Butin
To cite this version:
F. Butin. Structures de Poisson sur les Algèbres de Polynômes, Cohomologie et Déformations. Math-
ématiques [math]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2009. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00444232￿
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
No d’ordre 192 - 2009 Année 2009
THESE DE L’UNIVERSITE DE LYON
Délivrée par L’UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1
DIPLOME DE DOCTORAT (Arrêté du 7 août 2006)
Ecole Doctorale InfoMaths
Institut Camille Jordan
Thèse de doctorat
Spécialité Mathématiques
présentée par
Frédéric BUTIN
Stuctures de Poisson sur les Algèbres de Polynômes,
Cohomologie et Déformations
Soutenue publiquement le 13 novembre 2009 devant le jury :
Claude ROGER Professeur des Universités Lyon Directeur de thèse
Gadi PERETS Maître de Conférences Lyon Codirecteur de thèse
Jacques ALEV Professeur des Universités Reims Rapporteur
Volodymyr BAVULA Professeur des Universités Sheffield Rapporteur
Gilles HALBOUT Professeur des Universités Montpellier Rapporteur
Roland BERGER Professeur des Universités Saint-Etienne Examinateur
Serge PARMENTIER Maître de Conférences Lyon Examinateur

No d’ordre 192 - 2009 Année 2009
THESE DE L’UNIVERSITE DE LYON
Délivrée par L’UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1
DIPLOME DE DOCTORAT (Arrêté du 7 août 2006)
Ecole Doctorale InfoMaths
Institut Camille Jordan
Thèse de doctorat
Spécialité Mathématiques
présentée par
Frédéric BUTIN
Stuctures de Poisson sur les Algèbres de Polynômes,
Cohomologie et Déformations
Soutenue publiquement le 13 novembre 2009 devant le jury :
Claude ROGER Professeur des Universités Lyon Directeur de thèse
Gadi PERETS Maître de Conférences Lyon Codirecteur de thèse
Jacques ALEV Professeur des Universités Reims Rapporteur
Volodymyr BAVULA Professeur des Universités Sheffield Rapporteur
Gilles HALBOUT Professeur des Universités Montpellier Rapporteur
Roland BERGER Professeur des Universités Saint-Etienne Examinateur
Serge PARMENTIER Maître de Conférences Lyon Examinateur

Remerciements
C’est avec plaisir que je remercie ici tous ceux qui, par leur appui, leur aide, leur présence,
m’ont soutenu dans la réalisation de ce travail.
Mes premiers remerciements vont à mes directeurs de thèse. Je veux leur exprimer ma gra-
titude pour le temps qu’ils m’ont consacré, pour leur grande disponibilité et leur efficacité.
Le bureau de Claude Roger m’a toujours été ouvert et ses anecdotes savoureuses sur les mathé-
matiques ont pimenté nos nombreuses rencontres! Je le remercie très chaleureusement.
J’adresselesmêmesremerciements àGadiPerets, luiaussitoujours trèsproche demoi.Jen’ima-
ginais pas, lorsqu’il était mon professeur d’algèbre en Maîtrise, qu’il encadrerait ma thèse!
Mes remerciements vont aussi à Jacques Alev : son article sur l’Homologie de Poisson m’a
interpellé et m’a donné l’envie d’orienter mes premières recherches vers ce sujet. Il s’en est suivi
une rencontre très fructueuse qui m’a conforté dans la voie que je désirais prendre.
Grâce à Christian Fronsdal, j’ai eu l’opportunité de travailler sur un thème qui lui est cher.
Quant à Daniel Sternheimer, ila prêté une attention toute particulière àces travaux surla quan-
tification des orbites minimales; qu’ils en soient spécialement remerciés.
Jacques Alev, Volodymyr Bavula et Gilles Halbout ont donné leur accord pour être rappor-
teurs de ma thèse : je leur adresse tous mes remerciements pour le travail efficace qu’ils ont
accompli.
Je remercie vivement les membres du jury qui ont bien voulu me faire l’honneur de participer à
ma soutenance.
Je suis reconnaissant à Serge Parmentier de m’avoir apporté une aide précieuse en acceptant
de façon très sympathique de relire les articles que j’ai publiés en anglais.
Merci aussi à mes professeurs qui, tout au long de mon cursus, ont su me faire goûter la
rigueur et la beauté des raisonnements mathématiques et m’ont ainsi donné le désir de travailler
dans ce domaine.
Merci enfin à ma famille, particulièrement à mes parents pour leur soutien constant, et merci
à mes amis : les bons moments partagés m’ont procuré une détente tout à fait propice à mon
travail de recherche.
vi
Table des matières
Introduction 1
0.1 Correspondance de McKay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.1 Cas où r =2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.2 Cas où r =3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1.3 Cas où r 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
≥
0.2 Quantification par déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.1 Quantification et star-produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.2 Quantification des variétés de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Préliminaires 7
1.1 Quantification par déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Homologie, cohomologie de Hochschild et déformations . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Homologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Homologie de Hochschild réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Cohomologie de Hochschild et déformations d’algèbres associatives . . . . . . 16
1.2.5 Le Théorème de Hochschild-Kostant-Rosenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.6 La décomposition BGS de la (co)homologie de Hochschild . . . . . . . . . . 18
1.2.7 Application de la décomposition BGS aux star-produits . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Homologie et cohomologie de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Homologie de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 Cohomologie de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Polynômes multivariés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 Bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 Invariants sous l’action d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
viii
2 Homologie et cohomologie de Hochschild des surfaces de Klein 37
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Cohomologies et quotients d’algèbres de polynômes . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Présentation du complexe de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Théorème de Kontsevich et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2 Cas particulier où n = 1 et m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Cas n = 2, m = 1. — Courbes singulières du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Courbes singulières du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Description des espaces de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 Calculs explicites dans le cas particulier où f a des variables séparées . . . . . 45
2.3.4 Calculs explicites pour D et E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
k 7
2.3.5 Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Cas n = 3, m = 1. — Surfaces de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1 Surfaces de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Description des espaces de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Calculs explicites dans le cas particulier où f a des variables séparées . . . . . 55
2.4.4 Calculs explicites pour D et E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
k 7
2.4.5 Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Le cas de la dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5.1 Description des espaces de cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Homologie de Poisson en degré 0 69
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1 Exemples où dimHP (SG)= dimHH (AG) . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
0 0
6
3.2 Résultats sur B C et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
n n n
−
3.2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.2 Vecteurs de plus haut poids 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.3 Equation de Berest-Etingof-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.4 Construction de graphes associés aux polynômes invariants . . . . . . . . . . 88
3.3 Etude de B C , D = A A , B C , et D = A . . . . . . . . . . . . . . . 94
2 2 2 1 1 3 3 3 3
− × −
3.3.1 Etude de B et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2 2
3.3.2 Etude de B — Vecteurs de plus haut poids 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3
3.3.3 Etude de B — Equation de Berest-Etingof-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . 96
3
3.3.4 Etude de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3
3.4 Produits en couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.2 Etude de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
n
3.5 Calculs formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.2 Vérification du calcul des Propositions 3.3.1 et 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.3 Vérification des identités de la Proposition 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.4 Vérification des calculs de la Proposition 3.3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ix
4 Déformation par quantification sur les orbites nilpotentes minimales 111
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.1 Cadre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.2 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.4 Travaux récents apparentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.5 Plan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2 Homologie et cohomologie de Hochschild de certaines variétés singulières . . . . . . . 115
4.2.1 Cas des relations quadratiques : les variétés coniques . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.2 Cas d’une unique relation quadratique : le cône simple. . . . . . . . . . . . . 117
4.2.3 Cas d’une unique relation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3 Introduction aux star-produits g invariants sur les orbites coadjointes . . . . . . . . 120
−
4.3.1 Origine du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.2 Définition des star-produits g invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
−
4.3.3 Exemples liés à so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
n
4.4 Orbites minimales, représentations, et idéaux de Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.1 Orbites adjointes et coadjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.2 Orbites nilpotentes et idéaux de Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.3 Orbites coadjointes de so(2,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4.4 Orbite minimale de sl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
n
4.4.5 Orbites minimales de sp , so et g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2n n 2
4.4.6 Représentations associées et idéaux de Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.5 Star-produits g invariants sur l’orbite minimale d’une algèbre de Lie simple . . . . . 133
−
4.5.1 Calcul de l’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.2 Principe de correspondance pour les star-produits g invariants . . . . . . . . 134
−
4.5.3 Calculs pour sl — Idéal de Joseph et modules de plus haut poids . . . . . . 138
n
4.5.4 Calculs pour so — Idéal de Joseph et modules de plus haut poids . . . . . . 140
n
4.5.5 Calculs uniformes pour les algèbres de Lie simples exceptionnelles . . . . . . . 143
5 Correspondance de McKay pour les sous-groupes finis de SL C 147
3
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1.1 Cadre d’étude et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1.2 Organisation du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2 Loi de branchement pour les sous-groupes finis de SL C . . . . . . . . . . . . . . . 149
2
5.2.1 La série de Poincaré est une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2.2 Résultats pour les sous-groupes finis de SL C . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2
5.2.3 Cas exceptionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3 Loi de branchement pour les sous-groupes finis de SL C . . . . . . . . . . . . . . . 155
3
5.3.1 Notations et objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3.2 Analogie avec les séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.3.3 La série de Poincaré est une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4 Résultats explicites pour les séries infinies — Types A, B, C, D . . . . . . . . . . . 162
5.4.1 Série A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4.2 Série B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4.3 Série C — Groupes triédraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4.4 Série D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185