Structures de données et méthodes formelles

440 Pages·2011·5.83 MB·French

by  Marc Guyomard (auth.)

Structures de données
et méthodes formelles
Springer

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Marc Guyomard
Structures de données
et méthodes formelles
Marc Guyomard
Enssat Irisa
Université de Rennes 1
Technopole Anticipa
6, rue de Kerampont
BP 80518
22305 Lannion Cedex
ISBN : 978-2-8178-0199-5 Springer Paris Berlin Heidelberg New York
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Joe Wiart (Orange Labs)
À Éveline,
David, Astrid et Christophe
Orlane, Sirina, Émilie, Vic
... I have no objection
with people feeling more comfortable
with the word “English”
replacing the word “mathematics”.
I just wonder whether such people
are not assigning
themselves a more difficult task...
... Je n’ai rien à objecter
aux personnes qui se sentent plus à l’aise
quand le mot «français»
remplace le mot «mathématiques».
Je me demande simplement
dans quelle mesure ces personnes
ne se compliquent pas la tâche...
J.-R. Abrial, The B-Book, 1996.
Préface
Le cours de mathématiques pour l’informatique, de même que le cours de
logique des propositions et des prédicats du premier ordre font encore partie de
la formation de base des informaticiens. Ainsi les départements d’informatique,
dèslacréationdesiut,ont-ilsbénéficiéd’enseignementsdemathématiquespour
l’informatique et d’enseignements de logique alors même que la formation dure
deux ans et que la plupart des étudiants, il y a 40 ans, ne poursuivaient pas
leurs études. Mais, trop souvent, l’utilisation des mathématiques demeure fort
limitée pour ne pas dire absente dans le processus qui mène de la spécification
du problème à la construction du logiciel. Marc Guyomard présente, dans cet
ouvrage,uneapprochedelaconstructiondesalgorithmesrelatifsauxstructures
de données, une approche par la preuve. C’est le livre d’un sage! Sapiens ni-
hil affirmat quod non probet. L’auteur délivre à la fois un cours original sur les
structures de données et une méthode formelle de construction de programmes.
Ce livre est au cœur de l’informatique. Il suffit d’y lire les applications des diffé-
rentes structures de données, pour constater que l’informatique du XXIe siècle
fait un grand usage des structures manipulées dans ce livre. Structures de don-
nées et méthodes formelles traite des fondements sans lesquels, malgré la puis-
sance actuelle des machines, nous ne disposerions pas des logiciels performants
qui sont à la disposition de tous aujourd’hui. Et ceux qui ont utilisé différents
systèmes d’exploitation bien connus fournis avec les micro-ordinateurs, peuvent
les donner en exemples de la «loi de Reiser» – appelée sur la Toile «Loi de
Wirth» alors que N. Wirth ne fait que citer M. Reiser : «Le logiciel ralentit
plus vite que le matériel n’accélère.» L’Église catholique en était-elle peut-être
consciente en choisissant comme saint patron des informaticiens Isidore de Sé-
ville qui, d’après ce que l’on peut lire, répété de nombreuses fois sur la Toile –
ce qui n’est pas un gage de vérité1 même si c’est un critère pour améliorer son
«page rank» –, aurait inventé les «tries» (l’une des structures étudiées dans
ce livre), qui sont appliqués dans son ouvrage célèbre, les Etymologies. Leibniz
disait : Sedemus et calculemus, asseyons-nous et calculons. C’est ce que propose
Marc Guyomard. Son point de départ est une spécification écrite en utilisant la
mathématique élémentaire sur les ensembles et les relations ainsi que la logique
des prédicats (le quoi), spécification à partir de laquelle il dérive – il calcule – la
représentationdesalgorithmes(lecomment).Ilutiliselanotationdelaméthode
B mise au point par Jean-Raymond Abrial, méthode qui a maintenant fait la
preuve de son intérêt pédagogique et opérationnel. La notation est en grande
1. En fait, comme le note Donald Knuth dans le tome 3 de son monumental The Art of
ComputerProgrammingcitéparmilesdouzemeilleuresmonographiesdusiècleparl’American
Scientist–les«Étymologies»sontordonnéesselonunordrelexicographiqueimparfait,portant
uniquementsurlapremièrelettre.Delàauxtries,ilyaunlongchemin!...
x Structures de données et méthodes formelles
partie celle qu’utilisent couramment les mathématiciens et les logiciens, com-
plétée par des symboles fort pratiques. Nous pensons à ce propos qu’il est sans
doute plus profitable d’enseigner une partie des programmes de mathématiques
dans le cadre de l’enseignement de spécification/programmation que d’en faire
desenseignementscloisonnés. L’avantage qui enrésulte est de rapprocher l’outil
(les mathématiques) de sa principale application (la spécification), compétence
aucœurdumétierd’informaticien.Ainsionpeutmettrel’accentsuruneactivité
essentielle, celle d’abstraction. La méthode B opère par raffinage, afin de passer
de l’abstrait (la spécification) au concret (l’algorithme rédigé dans un langage
exécutable sur un ordinateur) et à satisfaire en cours de processus, des obliga-
tions de preuves, preuves qui peuvent être assistées par des logiciels. Comme il
a réutilisé les spécifications ensemblistes et la logique, Marc Guyomard réutilise
le modèle fonctionnel en programmation, modèle très souvent enseigné à juste
raison, et il l’applique lors de la dérivation de programmes au lieu d’appliquer
le cadre algorithmique. Voilà sur quoi repose l’originalité de la démarche pré-
sentée et appliquée par Marc Guyomard dans ce livre. Il a renouvelé le fameux
«structure de données + algorithmes = programmes» de N. Wirth en énon-
çant «spécifications + fonction d’abstraction + calcul = programme». Il lui
restait à choisir quelles structures de données présenter et dans quel ordre. Il
a choisi une perspective historique, perspective trop peu souvent utilisée dans
les enseignements d’informatique où l’on a parfois tendance à considérer qu’une
bibliographiedeplusde5ansd’âgen’apassaplacedansunepublication. Nous
avions été séduit par les remarquables polycopiés de Marc Guyomard, en parti-
culier un cours sur la compilation et un autre sur la construction de la boucle.
C’est avec plaisir que nous avons appris que Marc Guyomard allait diffuser son
cours sur les structures de données qu’il dispense aux étudiants de l’Enssat de
Lannion.Jesuissûrquelesenseignants,lesétudiants,lespraticiensapprécieront
ce livre qui leur fournit à la fois, une présentation raisonnée de très nombreuses
structures de données, bien plus que ce que l’on trouve habituellement dans les
livres comparables, et une méthode originale de développement de programmes
fondé sur la preuve. Toutes les notions et les notations nécessaires pour suivre
l’exposé sont présentées, lorsque le besoin s’en fait sentir, Structures de données
et méthodes formelles est un livre que les programmeurs doivent avoir à portée
de la main.
Henri Habrias
Professeur émérite à l’Université de Nantes
Table des matières
Préface ix
Avant-propos 1
I Les bases 13
1 Mathématiques pour la spécification et les structures
de données 15
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Calcul propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Quantification universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Deux nouveaux types d’expressions . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Opérations ensemblistes traditionnelles. . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Choix dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.3 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.4 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Ensembles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 Exemple de modélisation ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.9 Construction de structures inductives. . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.10 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.11.2 Expression préconditionnée . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.11.3 Définition des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.11.4 Évaluation des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.11.5 Propagation des préconditions . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.12 Conclusion et remarques bibliographiques . . . . . . . . . . . . . 56
xii Structures de données et méthodes formelles
2 Spécifications + Fonction d’abstraction + Calcul = Programme 59
2.1 Cadre général de la démarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 Formalisme pour les types – Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Calcul des opérations – Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.1 Calcul d’une représentation de l’opération plus_n . . . . 66
2.3.2 Calcul d’une représentation de l’opération inf_n . . . . . 68
2.4 Induction, support et renforcement . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Étude de quelques structures outils 77
3.1 Listes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1 Présentation informelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.2 Ébauche de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.3 Opérations sur les listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.4 Notation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2 Arbres finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Arbres non ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.1 Introduction : les arbres non ordonnés non étiquetés . . . 85
3.3.2 Arbres non ordonnés étiquetés . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Arbres planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.1 Introduction : les arbres planaires non étiquetés . . . . . . 87
3.4.2 Arbres planaires étiquetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 Arbres n-aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5.1 Introduction : les arbres n-aires non étiquetés . . . . . . . 88
3.5.2 Les arbres binaires étiquetés. . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6 Arbres binaires partiellement étiquetés : les arbres externes . . . 96
3.6.1 Présentation informelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6.2 Ébauche de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6.3 Opérations sur les arbres externes . . . . . . . . . . . . . 98
3.6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.7 Sacs finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7.1 Présentation informelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7.2 Ébauche de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.7.3 Opérations sur les sacs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7.4 Propriétés des sacs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 Conclusion et remarques bibliographiques . . . . . . . . . . . . . 104
4 Analyse d’algorithmes 107
4.1 Notations asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Analyse classique de la complexité
de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.1 Passage du texte d’une fonction à une équation
récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2.2 Complexité la meilleure, la pire, moyenne . . . . . . . . . 116
4.2.3 Résolution d’équations récurrentes . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.4 Contourner ou simplifier certaines étapes
intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120