Structures algébriques et algèbre homologique [Lecture notes]

25 Pages·2006·0.22 MB·French

by  Clemens Berger

Structures alg´ebriques et alg`ebre homologique
Clemens Berger

Table des mati`eres
Chapitre 1. Cat´egories et foncteurs 5
1. D´efinitions fondamentales 5
2. Mono-, ´epi-, isomorphismes 6
3. Egalisateurs et co´egalisateurs 8
4. Produits et coproduits 10
5. Carr´es cart´esiens et cocart´esiens 11
6. Limites et colimites 13
7. Foncteurs adjoints 15
Chapitre 2. Cat´egories ab´eliennes 19
1. Cat´egories lin´eaires, additives et ab´eliennes 19
2. Suites exactes dans une cat´egorie ab´elienne 22
3

CHAPITRE 1
Cat´egories et foncteurs
1. D´efinitions fondamentales
De´finition 1.1. Une cat´egorie C est la donn´ee conjointe d’une classe d’objets
Ob(C) et, pour tout couple (A,B)∈Ob(C)2, d’un ensemble de morphismes C(A,B)
de source A et de but B, tels que
(a) tout objet A de C poss`ede une identit´e 1 ∈C(A,A);
A
(b) tout couple de morphismes (f,g) ∈ C(A,B)×C(B,C) poss`ede une com-
position gf ∈C(A,C); la composition est associative et unitaire, i.e. pour
(f,g,h)∈C(A,B)×C(B,C)×C(C,D):h(gf)=(hg)f et1 f =f =f1 .
B A
Au lieu de f ∈C(A,B), on note souvent f :A−→B.
Exemples 1.2. –
(a) Lacat´egorieEnsdontlesobjetssontlesensembles,etdontlesmorphismes
sont les applications d’ensembles;
(b) la cat´egorie Top dont les objets sont les espaces topologiques, et dont les
morphismes sont les applications continues;
(c) La cat´egorie Gp dont les objets sont les groupes, et dont les morphismes
sont les morphismes de groupes;
(d) La cat´egorie Ab dont les objets sont les groupes ab´eliens, et dont les mor-
phismes sont les morphismes de groupes;
(e) la cat´egorie Ann dont les objets sont les anneaux associatifs unitaires et
dont les morphismes sont les morphismes d’anneaux;
(f) pour tout anneau commutatif R, la cat´egorie Mod dont les objets sont
R
lesR-modules,etdontlesmorphismessontlesmorphismesdeR-modules.
Rappelons qu’un R-module M est un groupe ab´elien (M,+) muni d’une R-
action R×M → M : (r,m) 7→ rm; en particulier, pour un corps k, k-module est
synonyme de k-espace vectoriel. Tout groupe ab´elien A est muni d’une Z-action
canonique qui fait de A un Z-module.
De´finition 1.3. Un foncteur F : C → D de la cat´egorie C vers la cat´egorie
D est la donn´ee conjointe d’une fonction F : Ob(C) → Ob(D) et, pour tout couple
(A,B)∈Ob(C)2, d’une application F :C(A,B)→D(F(A),F(B)), telles que
(a) pour tout objet A de C : F(1 )=1 ;
A F(A)
(b) pour tout couple (f,g) de morphismes composables : F(gf)=F(g)F(f).
De´finition 1.4. Un foncteur F : C → D est fid`ele (plein, pleinement fid`ele),
si pour tout couple (A,B) ∈ Ob(C)2, l’application F : C(A,B) → D(F(A),F(B))
est injective (surjective, bijective).
Exemples 1.5. –
(a) Inclusions de cat´egories. La cat´egorie Ab des groupes ab´eliens est incluse
danslacat´egorieGpdesgroupes.Lefoncteurd’inclusionI :Ab→Gpest
injectifsurlesobjetsetpleinementfid`ele surles morphismes;onditaussi
5
6 1. CATE´GORIES ET FONCTEURS
que Ab est une sous-cat´egorie pleine de Gp. De mˆeme, la cat´egorie des
corpsestunesous-cat´egoriepleinedelacat´egoriedesanneauxcommutatifs
qui elle-mˆeme est une sous-cat´egorie pleine de la cat´egorie des anneaux.
Si l’on d´esigne par Ens0 la cat´egorie dont les objets sont les ensembles,
et dont les morphismes sont les bijections d’ensembles, alors Ens0 est une
sous-cat´egorie de Ens; le foncteur d’inclusion I : Ens0 → Ens est bijectif
sur les objets, et fid`ele sur les morphismes, mais il n’est pas plein, donc
Ens0 n’est pas une sous-cat´egorie pleine de Ens.
(b) Foncteurs-oubli. L’oubli d’une partie de la structure d´efinit un foncteur,
souvent not´e U. Ainsi, on a des foncteurs-oubli Mod → Ab → Ens, de
R
mˆeme que Gp→Ens et Top→Ens. Les foncteurs-oubli sont fid`eles.
(c) Ab´elianisation. Le quotient G/[G,G] d’un groupe G par son sous-groupe
des commutateurs [G,G] (le plus petit sous-groupe de G contenant tous
les´el´ementsdelaformexyx−1y−1,(x,y)∈G2),estungroupeab´elien.La
fonctionG7→α(G)=G/[G,G]s’´etendenunfoncteurα:Gp→Ab.Pour
le d´emontrer, on utilise la propri´et´e suivante (*) du passage au quotient
p : G → G/[G,G] : pour tout morphisme de groupes f : G → H, il
G
existe un et un seul morphisme de groupes α(f) : α(G) → α(H) tel que
p f =α(f)p . Une relation entre diff´erents compos´es de morphismes est
H G
souvent illustr´ee par un diagramme commutatif :
f - g -
G H K
p p p
?G ?H ?K
- -
G/[G,G] H/[H,H] K/[K,K].
α(f) α(g)
Lacommutativit´e dudiagrammeexprimequetouteslesfa¸consd’allerd’un
objet du diagramme vers un autre objet du diagramme en composant
les morphismes du trajet donnent le mˆeme morphisme compos´e. La pro-
pri´et´e (*), appliqu´ee au morphisme compos´e gf : G → K, entraine que
α(g)α(f) = α(gf). De mani`ere similaire, on voit que α(1 ) = 1 . Par
G α(G)
cons´equent, l’ab´elianisation α:Gp→Ab est un foncteur.
2. Mono-, ´epi-, isomorphismes
De´finition 2.1. Un morphisme f : X → Y d’une cat´egorie C est un isomor-
phisme s’il existe g :Y →X tel que gf =1 et fg =1 .
X Y
Le morphisme g est uniquement d´etermin´e par f et est not´e f−1.
Lemme 2.2. Tout foncteur F :C →D pr´eserve les isomorphismes, i.e. si f est
un isomorphisme de C alors F(f) est un isomorphisme de D et F(f−1)=F(f)−1.
De´finition 2.3. Un foncteur F :C →D est conservatif si un morphisme f de
C est un isomorphisme d`es que F(f) est un isomrphisme de D.
Remarque 2.4. Les foncteurs-oublis sont souvent conservatifs, mais pas tou-
jours! Par exemple, le foncteur-oubli U : Mod → Ens est conservatif, car un
R
morphismede R-modulesestunisomorphismesietseulementsil’applicationsous-
jacente U(f) est une bijection d’ensembles. Idem pour le foncteur-oubli U : Gp →
Ens.
Par contre, le foncteur-oubli U : Top → Ens n’est pas conservatif; en effet, il
existedesapplicationscontinuesX →Y quinesontpasdeshom´eomorphismesbien
que l’application sous-jacente U(f) soit une bijection, p. ex. [0,1[→S1 :t7→e2πit.
De´finition 2.5. Un morphisme f : X → Y est une section (resp. r´etraction)
s’il existe g :Y →X tel que gf =1 (resp. fg =1 ).
X Y
2. MONO-, E´PI-, ISOMORPHISMES 7
Lemme 2.6. Tout foncteur pr´eserve les sections (resp. les r´etractions).
De´finition 2.7. Un morphisme f : X → Y d’une cat´egorie C est un mo-
nomorphisme si pour tout couple (h ,h ) : Z ⇒ X de morphismes de C tels que
1 2
fh =fh , on a h =h . Un morphisme f :X →Y est un ´epimorphisme si pour
1 2 1 2
tout couple (h ,h ):Y ⇒Z de morphismes de C tels que h f =h f, on a h =h .
1 2 1 2 1 2
Lemme 2.8. Soient f et g deux morphismes composables.
(a) Si f et g sont des monomorphismes, alors de mˆeme gf;
(b) Si gf est un monomorphisme, alors f est un monomorphisme;
(c) Si f et g sont des ´epimorphismes, alors de mˆeme gf;
(d) Si gf est un ´epimorphisme, alors g est un ´epimorphisme.
Lemme2.9. Toutesection(resp.r´etraction)estunmono-(resp.´epi)morphisme.
Lemme 2.10. Un morphisme est un isomorphisme si et seulement si c’est `a la
fois une section et un ´epimorphisme (resp. une r´etraction et un monomorphisme).
Preuve. Tout isomorphisme est `a la fois section et r´etraction, donc le lemme
pr´ecedent permet d’´etablir une direction des ´equivalences affirm´ees. Inversement,
soit f :X →Y `a la fois une section et un ´epimorphisme. Alors il existe g :Y →X
telquegf =1 ;commefgf =f1 =f =1 f,ils’ensuitquefg =1 ,doncf est
X X Y Y
unisomorphismed’inverseg.Demani`ere“duale”(cf.ci-dessous)onmontrequesif
est`alafoisuner´etractionunetmonomorphisme,alorsf estunisomorphisme. (cid:3)
De´finition 2.11. Une cat´egorie est ´equilibr´ee si les isomorphismes sont les
morphismes qui sont `a la fois mono- et ´epimorphismes.
Exemples 2.12. –
(a) La cat´egorie des ensembles est ´equilibr´ee; en effet, les monomorphismes
(resp. ´epimorphismes) sont pr´ecis´ement les applications injectives (resp.
surjectives), et les isomorphismes sont pr´ecis´ement les applications bijec-
tives, i.e. `a la fois injectives et surjectives. La preuve qu’une application
surjective est un ´epimorphisme se fait par la contrapos´ee et utilise donc
le principe du tiers exclus. Le fait que Ens est´equilibr´ee est´egalement un
corollairedel’axiome du choix :cedernierexprimepr´ecis´ementquetoute
application surjective poss`ede des sections, donc que tout ´epimorphisme
d’ensembles est une r´etraction; on peut alors appliquer le lemme 2.10;
(b) Lacat´egoriedesR-modulesest´equilibr´ee.Cecid´ecoulede(a)enutilisant
qu’unmorphismef deR-modulesestunmono-(resp.´epi-)morphismesiet
seulementsil’applicationsous-jacenteU(f)estinjective(resp.surjective).
Nous verrons plus loin pour quoi ceci est vrai;
(c) La cat´egorie des anneaux n’est pas ´equilibr´ee : l’inclusion Z,→Q est `a la
fois mono- et ´epimorphisme dans Ann sans ˆetre un isomorphisme;
(d) Lacat´egorieTopn’estpas´equilibr´ee:lesmonomorphismesdeTopsontles
injections continues, les ´epimorphismes de Top sont les surjections conti-
nues,maisilexistedesbijectionscontinuesquinesontpasdeshom´eomor-
phismes,cf.remarque2.4;lasous-cat´egorieTop desespacess´epar´esest
sep
encore “moins ´equilibr´ee” : l’inclusion d’une partie dense est un exemple
d’une application continue non bijective qui est `a la fois mono- et´epimor-
phisme dans Top ;
sep
(e) Lesfoncteurs-oublipr´eserventlesmonomorphismes,maisilsnepr´eservent
pas en g´en´eral les ´epimorphismes.
De´finition 2.13. Pour toute cat´egorie C, la cat´egorie oppos´ee Cop est d´efinie
en posant Ob(Cop)=Ob(C) et Cop(A,B)=C(B,A) pour tout (B,A)∈Ob(C)2.
8 1. CATE´GORIES ET FONCTEURS
La composition dans Cop est d´efinie en “renversant” le sens de la composition
dansC.Toutobjetresp.morphismedeCdonnedonclieu`aunobjetresp.morphisme
dansCopetvice-versa.Lespropri´et´esdesobjetsetmorphismesdeC changent quand
on les consid`ere dans Cop. Il s’agit de renverser le sens des “fl`eches” et l’ordre de
composition. La transformation que subissent les notions cat´egorielles ce faisant
s’appelle dualisation.
Ainsi, les notions de monomorphisme et´epimorphisme sont duales; les notions
desectionetr´etractionsontduales;lanotiond’isomorphismeestautoduale.Chaque
´enonc´e de la th´eorie des cat´egories admet un´enonc´e dual. D´emontrer un´enonc´e ou
l’´enonc´e dual revient au mˆeme. Les lemmes de cette section contiennent tous un
´enonc´e et son dual, et il suffit donc de ne d´emontrer que l’un d’entre eux.
3. Egalisateurs et co´egalisateurs
De´finition 3.1. Pour tout couple de morphismes f,g :X ⇒Y, un´egalisateur
def etdeg estunmorphismeα:Eg(f,g)→X telquelesdeuxpropri´et´essuivantes
soient satisfaites :
(a) fα=gα;
(b) pour tout β : Z → X tel que fβ = gβ il existe un et un seul morphisme
φ:Z →Eg(f,g) avec αφ=β.
Eg(f,g) α- X f-- Y
g
6 (cid:0)(cid:18)
∃!φ (cid:0)
(cid:0)β
Z
Pour tout couple de morphismes f,g : X ⇒ Y, un co´egalisateur de f et de g
est un morphisme α : Y → Coeg(f,g) tel que les deux propri´et´es suivantes soient
satisfaites :
(a) αf =αg;
(b) pour tout β : Y → Z tel que βf = βg il existe un et un seul morphisme
φ:Z →Coeg(f,g) avec φα=β.
X f-- Y -α Coeg(f,g)
g
@
@ ∃!φ
βR@ ?
Z
L’objet Eg(f,g) (resp. Coeg(f,g)) (s’il existe) est `a isomorphisme pr`es unique-
mentd´etermin´eparlespropri´et´es(a)et(b)ci-dessus.Commelapropri´et´e(b)porte
sur toute la cat´egorie et qu’elle exige l’existence d’un morphisme unique, on parle
aussidelapropri´et´e universelle del’´egalisateur(resp.duco´egalisateur).Supposons
en effet un autre morphisme α0 : Eg0(f,g) → X satisfaisant (a) et (b) ci-dessus;
alors il existe φ : Eg0(f,g) → Eg(f,g) et ψ : Eg(f,g) → Eg0(f,g) tels que α0 = αφ
et α = α0ψ. Il s’en suit que α0ψφ = α0 et αφψ = α. Comme α et α0 sont des mo-
nomorphismes (voir ci-dessous), on conclut que ψφ=1 et φψ =1 . On
Eg0(f,g) Eg(f,g)
observe que l’isomorphisme entre Eg(f,g) et Eg0(f,g) est ´egalement uniquement
d´etermin´e; en pratique, on se permet d’identifier tous les ´egalisateurs de f et de
g `a travers ces isomorphismes. En cons´equence, on parle de l’ ´egalisateur (resp. du
co´egalisateur) de f et de g.
Lemme 3.2. Le morphisme α:Eg(f,g)→X (resp. α:Y →Coeg(f,g)) est un
monomorphisme (resp. ´epimorphisme).
3. EGALISATEURS ET COE´GALISATEURS 9
Preuve. Soient h ,h :Z →X deux morphismes tels que αh =αh =β. En
1 2 1 2
particulier,fβ =gβ.D’apr`eslapropri´et´euniverselledel’´egalisateur,ilexisteunet
un seul morphisme φ:Z →Eg(f,g) tel que αφ=β; d’ou` h =φ=h . Il s’en suit
1 2
que α est un monomorphisme. L’´enonc´e dual s’obtient de mani`ere duale. (cid:3)
De´finition 3.3. Un monomorphisme (resp.´epimorphisme) est r´egulier s’il est
l’´egalisateur Eg(f,g) → X (resp. le co´egalisateur Y → Coeg(f,g)) d’un couple de
morphismes f,g :X ⇒Y.
En litt´erature on parle ´egalement de monomorphisme (resp. ´epimorphisme)
effectif au lieu de monomorphisme (resp. ´epimorphisme) r´egulier.
Lemme3.4. Toutesection(resp.r´etraction)estunmono-(resp.´epi)morphisme
r´egulier.
Preuve. Soient f : X → Y et g : Y → X tels que gf = 1 . Alors f est
X
l‘´egalisateur de gf,1 :X ⇒X et g est le co´egalisateur de fg,1 :Y ⇒Y. (cid:3)
X Y
Proposition 3.5. Soit un carr´e commutatif
α-
W X
f g
? ?
-
Y Z
β
avec f ´epimorphisme et g monomorphisme. Si l’un parmi f et g est r´egulier, alors
il existe un et un seul morphisme δ :Y →X tel que δf =α et gδ =β.
Preuve. Supposonsquef estr´egulier,i.e.leco´egalisateurdeh ,h :V ⇒W.
1 2
(Le cas g r´egulier se traite de mani`ere duale). Alors βfh =βfh implique gαh =
1 2 1
gαh . Par cons´equent, αh = αh , car g est un monomorphisme. La propri´et´e
2 1 2
universelle du co´egalisateur f implique alors l’existence d’un unique morphisme
δ : Y → X tel que δf = α. Comme f est un ´epimorphisme, gδf = gα = βf
implique gδ =β. (cid:3)
Corollaire 3.6. Tout morphisme qui est `a la fois monomorphisme r´egulier
et ´epimorphisme est un isomorphisme. En particulier, une cat´egorie dont tous les
monomorphismes sont r´eguliers est ´equilibr´ee.
De mani`ere duale, tout morphisme qui est `a la fois ´epimorphisme r´egulier et
monomorphisme est un isomorphisme. En particulier, une cat´egorie dont tous les
´epimorphismes sont r´eguliers est ´equilibr´ee.
Preuve. La proposition pr´ec´edente avec f = g : X → Y et α = 1 et
X
β = 1 donne l’existence d’un inverse pour tout morphisme f qui est `a la fois
Y
monomorphisme r´egulier et ´epimorphisme (resp. ´epimorphisme r´egulier et mono-
morphisme). (cid:3)
Exemples 3.7. –
(a) Danslacat´egorieEnstouslesmonomorphismesettousles´epimorphismes
sont r´eguliers. Ceci d´ecoule du lemme 3.4, ´etant donn´e que toute appli-
cation injective (resp. surjective) est une section (resp. r´etraction), cf.
exemple 2.12(a). Toutefois, la r´egularit´e des applications surjectives ne
n´ecessitepaslerecours`al’axiomeduchoix;eneffet,uneapplicationd’en-
semblesf :X →Y estsurjectivesietseulementsielleestleco´egalisateur
du couple p ,p :X × X ⇒X, ou` p ,p d´esignent les deux projections,
1 2 Y 1 2
et X × X ={(x ,x )∈X2|f(x )=f(x )}.
Y 1 2 1 2
(b) Nous verrons plus tard que dans Mod , tous les monomorphismes et tous
R
les ´epimorphismes sont r´eguliers.
10 1. CATE´GORIES ET FONCTEURS
(c) Dans la cat´egorie Gp, tous les ´epimorphismes sont r´eguliers; en effet,
un ´epimorphisme de groupes f : G → H est le co´egalisateur du couple
Ker(f) ⇒ G, ou` l’un des deux morphismes est l’inclusion du noyau, et
l’autre est le morphisme trivial. Les monomorphismes de groupes ne sont
pas en g´en´eral r´eguliers. L’inclusion d’un sous-groupe normal i : N → G
est toutefois un monomorphisme r´egulier, ´etant l’´egalisateur du couple
G ⇒ G/i(N), ou` l’un des deux morphismes est le passage au quotient et
l’autre est le morphisme trivial.
(d) Dans Top, les ´epimorphismes r´eguliers sont les surjections p : X → Y
ayant la propri´et´e que Y porte la topologie-quotient (la topologie la plus
fine pour laquelle p est continue). Les monomorphismes r´eguliers sont les
injections i : X → Y ayant la propri´et´e que X porte la topologie induite
(la topologie la moins fine pour laquelle i est continue).
Remarque 3.8. Les foncteurs-oubli pr´eservent les ´egalisateurs dans le sense
suivant : Si α : Eg(f,g) → X est l’´egalisateur du couple f,g : X → Y, alors U(α)
est un ´egalisateur du couple U(f),U(g) : U(X) ⇒ U(Y), en particulier UEg(f,g)
est canoniquement isomorphe `a Eg(U(f),U(g)). Il s’en suit que les foncteurs-oubli
pr´eservent ´egalement les monomorphismes r´eguliers
Consid´erons par exemple le foncteur-oubli U : Gp → Ens. Soit f,g : G ⇒ H
un couple de morphismes de groupes. Le couple U(f),U(g):U(G)⇒U(H) admet
alors l’inclusion d’ensembles α : {x ∈ G|f(x) = g(x)} ,→ G comme ´egalisateur,
mais on v´erifie ais´ement que {x∈G|f(x)=g(x)} est en fait un sous-groupe de G
de sorte que α est l’egalisateur de f et de g dans Gp.
Les foncteurs-oubli ne pr´eservent pas en g´en´eral les co´egalisateurs; par contre,
il est assez fr´equent que les foncteurs-oubli pr´eservent les ´epimorphismes r´eguliers.
4. Produits et coproduits
De´finition 4.1. Soient X et Y deux objets d’une cat´egorie.
Un produit de X et de Y est un couple (p : X ×Y → X, p : X ×Y → Y)
X Y
ayant la propri´et´e universelle que pour tout couple (q :W →X, q :W →Y), il
X Y
existe un et un seul morphisme φ:W →X ×Y tel que q =p φ et q =p φ.
X X Y Y
X
6
q (cid:0)(cid:18)
X(cid:0) p
(cid:0) X
∃-!φ
W X ×Y
@
@ p
q @R ?Y
Y
Y
Un coproduit de X et de Y est un couple (i : X → X tY,i : Y → X tY)
X Y
ayant la propri´et´e universelle que pour tout couple (j : X → W, j : Y → W), il
X Y
existe un et un seul morphisme φ:X tY →W tel que j =φi et j =φi .
X X Y Y
X
@j
i @X
X ? @R
∃!-φ
X tY W
6
(cid:0)(cid:18)
i (cid:0)
Y (cid:0)j
Y
Y
Remarque 4.2. –