storia e fondamenti della matematica

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STORIA E FONDAMENTI DELLA MATEMATICA

Luigi Borzacchini (Dip. di Matematica, Università di Bari)

Parte I. Dalle origini alla matematica moderna

Perché un corso di storia e fondamenti della matematica nella formazione dei futuri docenti di
matematica? Non basta che conoscano la matematica stessa? Cambia qualcosa nell’insegnamento
della matematica se ne conosciamo la storia?
Ma partiamo dalle inchieste sull’insegnamento che in passato hanno delineato una situazione
abbastanza paradossale: gli studenti in genere ritengono i loro docenti di matematica abbastanza
preparati, ma incapaci di insegnarla, tanto da fare della matematica la materia meno amata dagli
adolescenti. Incidentalmente: la materia più detestata è la matematica, seconda, la storia. Quindi la
‘storia della matematica’ è per uno studente quanto di peggio si possa immaginare!
Perché accade questo disastro didattico nella matematica?
Certo lo studio di tecniche didattiche e pedagogiche può migliorare la tecnica del docente di
matematica, ma c’è una questione più radicale: diversamente dalle altre discipline in cui si impara
progressivamente, l’apprendimento della matematica è qualcosa che procede per improvvise
‘illuminazioni’, per passaggi dalle tenebre alla luce. E’ normale l’esperienza di ritenere qualche
idea matematica astrusa e incomprensibile per molto tempo, e poi, improvvisamente, capirla
chiaramente una volta per tutte. In questo modo di apprendere normalmente le difficoltà
precedenti vengono rimosse, considerate quasi un momento di cecità di fronte a qualcosa di
evidente. Così lo studente di matematica e futuro docente della stessa materia ritiene ovvio quello
che prima gli era astruso e ‘rimuove’ le passata difficoltà, considerandole quasi un peccato di
giovinezza, e quando deve insegnare si stupisce che i suoi studenti non trovino ovvio quello che
per lui è da tanti anni diventato ovvio, pur essendo stato precedentemente incomprensibile.
Il maestro irlandese fra le due guerre descritto da Frank Mc Court nel Le ceneri di Angela
faceva ripetere ai suoi studenti ogni mattina <chi non capisce Euclide è scemo>. In realtà la
matematica non è ovvia, non è naturale, non è logica, è una conquista complessa, un faticoso
processo di maturazione concettuale e mentale, non capirla è ovvio, è naturale, è logico.
Per questo può aiutare la storia della matematica: può rendere chiaro questo faticoso processo,
esplicitare le difficoltà, relativizzare le certezze acquisite. Occorre che un professore guardi la
matematica con un doppio sguardo, uno che ne veda la certezza e la perfetta struttura
architettonica, e un altro che ne veda la faticosa e incerta costruzione.

Esiste la necessità di ‘fondare’ la matematica? Si potrebbe tranquillamente rispondere di no.
Se consideriamo infatti gli ultimi quattro secoli davanti ai nostri occhi si presenta uno scenario
segnato da una sequenza continua di stupefacenti trionfi della applicazione della matematica al
mondo reale nella meccanica, ottica, elettromagnetismo, termodinamica, fisica atomica,
astrofisica, biologia, etc. Ma forse proprio questo stupefacente trionfo rende ancora più
affascinante il problema del trovarne le ragioni: che cosa rende il mondo ‘matematico’?
Un’altra caratteristica che distingue la matematica anche dalle altre scienze è il suo rapporto
con la verità e la certezza. E’ indubbio che un ‘fatto’ matematico (ad esempio che 261 non è un
numero primo) anche se verificato una sola volta appare molto più certo di qualsiasi regolarità
naturale, anche se verificata miliardi di volte (ad esempio che domani sorgerà il sole). Anche
questa ‘certezza’ che contraddistingue il ‘fatto’ matematico non può non renderci almeno curiosi
sulla sua origine.
1
E la matematica è la più antica delle discipline: uno scriba mesopotamico di quattromila anni
fa potrebbe fare il suo corso di matematica elementare anche oggi: sembrerebbe solo un po’
‘sperimentale’. Di nessuna altra disciplina si può dire lo stesso.
Cioè, diversamente da tutte le altre discipline il problema filosofico in matematica non nasce
tanto dalle sue incertezze o mutabilità, ma proprio invece dai suoi successi e dalla sua
immutabilità. E forse per questo motivo i fondamenti della matematica non sono oggi una
disciplina di natura filosofica come i fondamenti della fisica, ma si presentano come una specifica
branca della matematica. In questo distingueremo il problema dei fondamenti della matematica
dalla filosofia della matematica, che invece conserva un impianto filosofico. Storicamente il
problema dei fondamenti sembra apparire verso la fine dell’ottocento, emergendo dalla filosofia
della matematica ma diventando parte integrante del pensiero matematico.
Tipicamente due problemi sono centrali nel dibattito sui fondamenti della matematica. In
primo luogo il problema ontologico: quale è la natura degli enti matematici. Sono realmente
esistenti? sono creazioni della mente umana? O che altro? In secondo luogo il problema
epistemologico: come conosciamo la matematica? La scopriamo empiricamente? La creiamo? La
intuiamo?
Corollario a questi due interrogativi appare un terzo problema filosofico: perché le tecniche
matematiche funzionano così bene nel mondo reale? Questo problema appare chiaro quando
riflettiamo sulla profonda diversità tra ciò che vediamo intorno a noi, la realtà e quello che
manipoliamo quando facciamo matematica, essenzialmente segni. Da qui possiamo far partire la
nostra indagine: che cosa significa conoscere tramite segni?

I SEGNI E LA RAPPRESENTAZIONE SINTATTICA

La rappresentazione sintattica connette due mondi: l'essere, il mondo reale (brevemente: la
semantica) e il linguaggio, il mondo dei segni (la sintassi), ogni segno ‘sta per’ qualcosa, aliquid
stat pro aliquo. Ma che cosa intendiamo qui per segno? Una 'traccia' (scritta sulla carta, scolpita
nella roccia, incisa sulla argilla) scelta da un insieme finito, un alfabeto, di tracce.
Importante sottolineare che i nostri 'segni' sono anfibi: hanno qualcosa di astratto e ideale, in
quanto li riteniamo infinitamente riproducibili in modo identico e perfettamente distinguibili tra di
loro: anzi sono gli unici enti dei quali si possa realmente predicare la assoluta uguaglianza e
diversità, i segni sono gli 'apriori' del concetto moderno di "uguaglianza" a partire almeno da
Platone: si possono creare infiniti 5 e tutti identici fra di loro per quanto diversi possano essere
dimensioni, materiali, stili di scrittura, e un 5 e un 4 sono totalmente diversi per quanto somiglianti
possano apparire. Essi hanno tuttavia anche qualcosa di materiale e concreto, in quanto li
riteniamo costruibili e manipolabili tecnicamente. Dal punto di vista della funzione di
'rappresentazione', vengono ritenuti convenzionali nella forma e intersoggettivi nel significato e
nell'uso (secondo "regole"). Sono insomma i nostri segni logici, numerici, algebrici, ma anche
quelli alfabetici nella misura in cui il linguaggio naturale viene usato come 'protocollo di
comunicazione' di fatti.
La linguistica contrappone spesso questo tipo di rappresentazione 'sintattica' ad una
rappresentazione 'iconica', in cui gli elementi del mondo reale sono rappresentati da loro
'immagini' più o meno stilizzate (ad esempio le silhouettes di uomini e donne sulle porte delle
toilettes).

I segni e la loro funzione di rappresentazione sintattica sono la base di ciò che qui intendiamo
per pensiero formale. Qualcosa che fa parte integrante della nostra vita, al punto da apparire del
tutto ovvia. Ma è davvero tale?
Ma che cosa è il ‘pensiero formale’? Può avere diversi significati, ma noi lo intendiamo come
ragionare senza comprendere. E’ qualcosa di comune in logica e matematica. Confrontiamo
queste due deduzioni: <ogni barese è pugliese, Giovanni è barese, quindi Giovanni è pugliese> e
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<ogni sarchiapone è sesquipedale, Joe è un sarchiapone, quindi Joe è sesquipedale>: quale è la
differenza? Le deduzioni sono identichea, ma la prima deduzione ha un ‘senso’, possiamo
addirittura conoscere un tale Giovanni barese, la seconda è puramente formale, non ha alcun
‘senso’. Oppure consideriamo questi due problemi: <ogni cartone contiene 6 uova, la mamma
compra 4 cartoni, quante uova compra? 24> e <ogni brik contiene 6 stuk, abbiamo 4 brik, quanti
stuk abbiamo? 24>. Le operazioni sono le stesse, ma la prima è qualcosa di assolutamente
comune, la seconda non significa niente, è puramente ‘formale’.
Consideriamo ad esempio un astronomo (caldeo, rinascimentale o contemporaneo) che
guarda la luna e ne rappresenta la posizione attraverso coordinate astronomiche (figura 1): è
questo l'aspetto 'statico' della rappresentazione (descrive il regno della realtà, ed è erede della
'characteristica universalis' di Leibniz).
| 27°N
| rappresentazione 12°E
|
| moto calcolo
| divenire deduzione
| mutamento regola
|
|
|
|
| 31°N
| 28°E
| interpretazione
figura 1

Ma l'astronomo può anche prevedere, 'calcolare', attraverso tavole, operazioni, calcoli,
equazioni, ecc., la posizione che la luna assumerà più tardi e verificare il risultato. Se la posizione
così prevista e quella reale coincidono, la rappresentazione si dice corretta (matematicamente
diremmo che il diagramma 'commuta'). Questo è l'aspetto 'dinamico' della rappresentazione
(descrive il divenire, il mutamento, ed è erede del 'calculus ratiocinator' di Leibniz).
I due 'mondi', sintassi e semantica, appaiono del tutto eterogenei e quindi si pone
immediatamente il problema del come faccia questa "tecnica rappresentativa" a 'funzionare' (e che
'funzioni' è provato dalla sequenza praticamente ininterrotta di trionfi della nostra conoscenza
'sintattica', la matematica applicata soprattutto alla fisica, negli ultimi quattro secoli), non solo
come 'ricetta' empirica di registrazione di fatti, ma addirittura come fondamento della stessa idea
di "verità".

Proviamo a delineare più precisamente le difficoltà connesse con l'idea di rappresentare la
realtà tramite "segni".
In primo luogo consideriamo la doppia caratterizzazione della rappresentazione sintattica, allo
stesso tempo convenzionale e intersoggettiva. A pensarci bene la intersoggettività sarebbe meglio
garantita da una rappresentazione iconica (e del resto la prima idea di 'rappresentazione' che
troviamo nella cultura greca è mimēsis, "imitazione"), che da una sintattica, la quale invece, in
quanto convenzionale, si presenta essenzialmente soggettiva. In parole povere: sulla porta della
toilette, scrivere 'uomini' e 'donne' invece di usare le 'silhouettes' rende la rappresentazione più
'soggettiva' (ad esempio la rende incomprensibile a chi non capisce l'italiano). Le due
caratterizzazioni del 'segno' appaiono così curiosamente contraddittorie: le ragioni della
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"convenzionalità", legate soprattutto alla diffusione della scrittura, paradossalmente ne minano la
"intersoggettività" .
In secondo luogo confrontiamo, nell'esempio astronomico fatto più sopra, il moto reale della
luna durante la notte, continuo, quasi uniforme e rettilineo, con le operazioni sintattiche fatte dagli
astronomi, col moto delle palline sull'abaco o con gli scarabocchi delle operazioni aritmetiche o
con le transizioni di stato in un calcolatore. Non solo questi sono processi discreti, ma presentano
un carattere apparentemente caotico del tutto inconfrontabile col moto regolare della luna. Questa
differenza continuo/discreto (regolare/caotico) si traduce in diverse difficoltà della
rappresentazione: la 'rappresentazione sintattica' richiede simboli 'elementari' mentre quella
'iconica' no, le parti della rappresentazione di un oggetto non sono rappresentazioni delle parti
dell'oggetto stesso (a quale parte di Socrate corrisponde la 'o' del suo nome?), mentre invece
questo accade nella rappresentazione iconica (la mano nella immagine di Socrate è l'immagine
della mano di Socrate), ed infine la relazione non è biunivoca: un predicato corrisponde a molti
oggetti e un oggetto possiede molti predicati.
In terzo luogo l’immagine reale è istantanea, distribuita su una superficie bidimensionale,
mentre invece la rappresentazione simbolica si sviluppa nel tempo (nel caso della oralità) o lungo
una linea da seguire con la mano o con lo sguardo (nella scrittura).
In quarto luogo la corrispondenza è abbastanza semplice per termini osservativi (come "casa"
o "giallo"), più complessa per termini astratti (come "bellezza" o "giustizia") o costrutti teorici
(come "carica elettrica"), ma esistono parole per le quali la corrispondenza è del tutto impossibile,
quali "essere", "verità", "negazione", ecc. Addirittura nella realtà rappresentata dalla proposizione
"non c'è niente di rosso" non solo non troviamo qualcosa corrispondente a "non", a "niente" o a
"c'è", ma neanche qualcosa corrispondente a "rosso". Un'ape forse può trasmettere informazioni
sulla presenza di polline semplicemente 'mimando' direzione e distanza, ma può in tal caso
'mentire' o 'riconoscere un errore', in generale tematizzare il falso?
Esistono poi i termini matematici, quali numeri o relazioni ("uguale" o "più/meno"), i quali
non ammettono corrispondenze 'analitiche', ma solo 'olistiche', relative cioè alla 'totalità' della
immagine, non sono ‘attributi’ ma ‘relazioni’ tra cose: in "ci sono due stelle" o "i pianeti hanno
uguale luminostità" il 'due' o l''uguale' non possono essere predicati di nessun oggetto singolo, ma
solo del fatto complessivo.

Alla periferia della scienza europea troviamo zone dove, del pensiero formale, si perdono le
tracce. Il bambino di Piaget arriva al pensiero formale lentamente tra i 6 e gli 11 anni, ed in modo
in fondo abbastanza misterioso anche se la scuola sembra giocarvi un ruolo decisivo.
Qualcosa di analogo si trova nelle indagini antropologiche, quali quelle di Levi-Strauss. Negli
|
idee
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| mente
|
|
|
| oggetti parole
|
|
| realtà rappresentazione linguaggio
figura 2
anni ’30 Luria e Vigotskij approfittarono della politica stalinista di imposizione della scuola di
massa per studiare la transizione in tempi rapidi da ‘culture orali’ a ‘culture della scrittura’. In
Uzbekistan trovarono una popolazione di antica cultura, ma del tutto analfabeta, che fu costretta
nel giro di pochi anni a passare ad una scolarizzazione integrale. Fratelli più grandi analfabeti e
fratelli più piccoli secolarizzati. Impressionante il cambiamento per quanto riguardava il ‘pensiero
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formale’, che sembrava quasi assente nei primi e ‘normale’ nei secondi. Ad esempio di fronte a
questioni del tipo “Nei boschi qui intorno tutti gli orsi sono marroni. Se incontri un orso, di che
colore è?” Entrambi rispondevano “ovviamente, marrone”. Ma di fronte alla stessa questione
riferita però agli orsi bianchi (mai visti dagli uzbechi) dell’estremo nord, mentre il secondo
rispondeva “ovviamente bianchi”, il primo mostrava difficoltà a fare una inferenza riguardo fatti
di cui non aveva esperienza.
Il Bororo di Levi-Strauss o l'uzbeco di Luria appaiono fuori del pensiero formale, ma Levi-
Strauss insiste che non si tratta di 'illogicità' ma di una logica "concreta" al posto di una logica
"formale", e Luria sottolinea l'apparire del pensiero formale al seguito della scolarizzazione di
massa.

Il pensiero formale è nato 'una volta sola', intorno al V sec. A.C. in Grecia. Quali forze
segnano questo emergere? Sono i secoli che segnano l'affermazione definitiva di una economia
basata sulla moneta, della città e della sua scuola, l'emergere degli intellettuali come ceto laico, il
crollo della famiglia allargata, la diffusione di massa della scrittura alfabetica. Di questa specie di
'melting pot' forse l'aspetto che ci interessa sottolineare, visto che dobbiamo studiare i 'segni', è il
ruolo pervasivo della tecnologia alfabetica. Del resto diversi autori hanno sottolineato il ruolo
decisivo delle forme linguistiche e del medium comunicativo nella stessa 'forma' di una civiltà: da
von Humboldt all’inizio del XIX secolo sino, in tempi più recenti, a Whorf, Sapir, Havelock,
MacLuhan.
La idea di rappresentazione ha un ruolo cruciale nella 'novità' del pensiero greco, non solo
nella astronomia geometrica e nel pensiero formale: si pensi alle carte geografiche che la
tradizione ascrive ad Anassimandro, Ecateo, fino ad Aristagora, tiranno di Mileto, che porterà in
Grecia "una tavola di bronzo su cui erano incisi i contorni di tutta la terra, con tutti i mari e tutti i
fiumi".

Ed anche l'alfabeto è nato 'una volta sola': tutti gli alfabeti sembrano essere derivati
direttamente o indirettamente da un proto-alfabeto nato tra il Sinai e la Fenicia nella seconda metà
del II millennio a.C. e poi perfezionato dai Greci.
Nella cultura greca classica l'intera struttura del ceto e della funzione intellettuale viene
stravolta dal ruolo sempre più rilevante assunto dalla scrittura. Di questo cambiamento epocale si
sente l'eco nelle parole di Platone, nel Phaedrus 274b-275c, ove narra il mito sulla nascita della
scrittura (oltre che della matematica e dei giochi combinatori) da parte del dio greco Theuth. Il dio
mostra a re Thamus di Tebe le sue invenzioni e ne vanta l'utilità.

Ma quando giunse alla scrittura, Theuth disse "Questa
dottrina, o re, renderà gli egiziani più sapienti e più
capaci di ricordare, perché con essa si è ritrovato il
farmaco della memoria e della sapienza." E il re rispose: "O
ingegnosissimo Theuth, c'è chi è capace di creare le arti e
chi invece è capace di giudicare quale danno o quale
vantaggio ne ricaveranno coloro che le adopereranno. Ora tu,
padre delle lettere, per affetto hai detto proprio il
contrario di quello che essa vale. Infatti la scoperta della
scrittura avrà per effetto di produrre la dimenticanza delle
anime di coloro che la impareranno, perché, fidandosi della
scrittura, si abitueranno a ricordare dal di fuori mediante
segni estranei, e non dal di dentro e da se medesimi: dunque
tu hai trovato non il farmaco della memoria, ma del
richiamare alla memoria. Della sapienza poi tu procuri ai
tuoi discepoli l'apparenza, non la verità: infatti essi
divenendo per mezzo tuo uditori di molte cose senza
5
insegnamento, crederanno di essere conoscitori di molte
cose, mentre, come accade per lo più, in realtà non le
sapranno; e sarà ben difficile discorrere con essi, perché
sono diventati portatori di opinioni invece che sapienti."

Paradossale la 'paura' espressa da Platone, quando si pensi che grande scrittore egli sia stato,
quanto dovette alla sua opera il pensiero formale e quanto debba il suo ruolo nella storia della
filosofia al fatto di essere stato il primo filosofo i cui testi sono arrivati, grazie alla scrittura, sino a
noi quasi integralmente.
In mille e mille passi Platone ed Aristotele ci mostrano che è l'alfabeto la metafora di quella
forma europea del sapere, centrata sulla rappresentazione sintattica. Un sapere fatto di enti discreti
complessi costituiti di elementi irriducibili ad altro da sé e la cui conoscenza è fuori della
dialettica. La dialettica compare al di là degli elementi, laddove essi si compongono e pongono le
basi dell'idea gerarchica, composizionale e funzionale della conoscenza (sia la realtà che il
linguaggio scientifico sono costituiti di oggetti complessi composti a partire da oggetti più
semplici, ed il funzionamento e significato di questi si ricavano univocamente a partire dal
funzionamento e significato di quelli), che resta l'impronta digitale della nostra civiltà.

La matematica viene dall’Oriente e fino a quasi tutto il medioevo è sempre stata un ‘prodotto’
orientale: la Grecia antica in fondo era la ‘periferia’ dell’Oriente. Archimede di Siracusa è il più
‘occidentale’ matematico antico, ma i suoi riferimenti culturali erano tutti orientali. Si può
considerare Leonardo da Pisa, detto ‘il fibonacci’, vissuto nella prima metà del XIII secolo, il
primo matematico ‘occidentale’.
E prima dei Greci la matematica era patrimonio degli ‘scribi’, quei sacerdoti del tempio e del
palazzo che avevano il monopolio della cultura, della scrittura e della matematica, così che, pur
apparendo negli antichi miti e rituali, aveva un aspetto essenzialmente pratico: calcoli relativi ad
aree, a quantità di beni, a problemi amministrativi. Harpenodaptai (tenditori di corde) erano detti
gli scribi egizi che dopo ogni inondazione del Nilo rimisuravano con corde e paletti i campi a fini
fiscali.
Probabilmente la matematica si svolgeva soprattutto sull’abaco che all’origine era solo una
superficie piana coperta di sabbia sulla quale si potevano tracciare linee e poggiare sassolini. Era
l’antenato del nostro pallottoliere ma serviva probabilmente anche a fare costruzioni geometriche,
ad esempio per scoprire come calcolare le aree delle figure geometriche (la fig.2 bis mostra come
si poteva scoprire sull’abaco la regola per il calcolo dell’area del rettangolo). Del resto lo stesso
Archimede fu ucciso sulla spiaggia mentre faceva geometria sulla sabbia. I ‘sassolini’ finivano con
l’essere nel contempo punti, quadratini unitari e unità, antenati di quelle che i Greci chiameranno
monadi, così che tanto un intervallo di lunghezza n quanto il numero intero n saranno da essi
considerati una sequenza lineare di n ‘monadi’ (fig.1, destra).

FIG.2 BIS

Non si trova traccia di ‘dimostrazioni’, ma non si deve credere che si trattasse di una
matematica rozza. Ad esempio, gli egiziani avevano un algoritmo per la moltiplicazione tra interi,
rapido e facile, che usava non le tabelline ma di fatto la scrittura binaria dei numeri. Supponiamo
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ad esempio di voler moltiplicare 27 per 13. Iteriamo il raddoppio di 27 fino ad ottenere il suo
multiplo 2n-esimo con 2n minima potenza di 2 maggiore di 13, e scriviamo 13 come somma di
multipli di 2: otteniamo 13 = 8 + 4 + 1, contrassegniamo con una × i termini di tale somma:
× × ×
1 2 4 8 16
27 54 108 216 432
Ora sommiamo i multipli contrassegnati dalla ×: 27 + 108 + 216 = 351, che è il risultato
cercato, senza tabelline.

I NUMERI E L’INFINITO. I PITAGORICI E GLI ELEATI

In realtà la storia della matematica fino al Rinascimento mostra lo sviluppo di due tradizioni,
tra di loro talora comunicanti, ma nettamente distinte. Vi è una tradizione pratica, fondata sull’uso
dell’abaco, senza dimostrazioni ma sviluppata solo con esempi, appresa oralmente per
apprendistato, diffusa nella pratica di agrimensori, commercianti, architetti in maniera uniforme in
tutto il Mediterraneo fino in Oriente. Non vi è una distinzione tra continuo e discreto, sull’abaco
con l’uso di linee e pietroline tanto si svolgono calcoli aritmetici quanto si misurano superfici
geometriche. Non vale il ‘principio di omogeneità’ (per il quale si possono sommare e confrontare
solo grandezze della stessa dimensionalità). Questa matematica sopravviverà nei secoli più bui del
Medioevo e crescerà con lo sviluppo economico della nuova civiltà europea.
L’aritmetica pratica era legata al calcolo e alla misura. Inoltre apparirà organicamente legata
alla filosofia e alla teologia, dominata da un clima pitagorico e platonico fino alla fine
dell’antichità: il testo più importante dell’aritmetica greca fu quello di Nicomaco, vissuto ad
Alessandria tra I e II sec. d.C., il più noto di una serie di testi in cui l’aritmetica veniva descritta
all’interno della tradizione neoplatonica dominante, senza nessuna parentela con la grande
tradizione dei geometri teorici e nella quale ogni numero era figurato, caratterizzato
filosoficamente ed entrava direttamente nella costituzione stessa della realtà. Gli Elementi di
Euclide includeranno anche tre libri aritmetici, il VII, VIII, IX, in cui l’aritmetica verrà trattata
teoreticamente rappresentando i numeri come segmenti: una aritmetica basata su postulati e
dimostrazioni, e sui concetti di rapporto e di proporzione, ma potremmo dire in un certo qual
modo ‘adottata’ dalla geometria.
I numeri erano interi, cardinali e finiti. Non esistevano i numeri reali ma anche i razionali non
c’erano (eccetto le ‘parti’, le frazioni unitarie 1/n, molto usate già in Egitto). Ovviamente al
mercato esistevano dei modi pratici per trattare le frazioni, ma questo non aveva nessuna eco nella
aritmetica greca.

L’altra tradizione è molto più effimera, è quella teorica dei grandi geometri greci, Archita,
Eudosso, Euclide, Apollonio, Archimede, fiorita tra il IV e l’inizio del II secolo a.C., con alcuni
epigoni successivi, come Pappo. E’ solo geometria non metrica, era puramente teorica e centrata
sulla teoria delle proporzioni, e sui concetti di uguaglianza e similitudine, con dimostrazioni
rigorose e principio di omogeneità, senza calcoli, esposta in libri e praticamente quasi del tutto
inutile, scomparsa nella tarda antichità e riapparsa solo con le traduzioni dei classici greci alla fine
del Medioevo.
Appariva netta in essa, contrariamente alla tradizione pratica, la opposizione tra numeri e
grandezze, tra aritmetica e geometria che durerà fino al Rinascimento. E proprio tale opposizione
spiega la assoluta centralità della teoria dei rapporti e delle proporzioni nella matematica
premoderna, come unico linguaggio per estendere alla geometria teorica concetti di natura
aritmogeometrica.
La tradizione teorica si tramandava attraverso la scrittura e nelle scuole, che nelle città greche
andava assumendo i caratteri moderni: relativamente di massa, spesso pubblica e fondata ai livelli
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elementari sul leggere, scrivere e far di conto, le fondamentali capacità della manipolazione dei
segni, l’insegnare.
Certo, ci furono matematici in cui si leggono entrambe le tradizioni: il ‘teorico’ Archimede fu
anche grande ingegnere ed il ‘pratico’ Erone fu anche ottimo geometra: non causalmente ad essi si
attribuisce la ‘formula’ per il calcolo dell’area del triangolo a partire dalla lunghezza dei lati, una
regola che per il suo carattere metrico sarebbe stata impensabile in Euclide. Tuttavia la distinzione
tra queste due tradizioni era molto più netta di quella attuale tra matematica pura ed applicata, le
quali per noi in fondo condividono metodi, concetti, linguaggi, istituzioni formative e tecniche
didattiche.
Sono due tradizioni che si fonderanno all’epoca di Descartes per creare la matematica
europea.

Nelle tradizione pratica i numeri erano da un lato parole del linguaggio orale dall'altro segni
scritti. Questi ultimi sembrano essere stati costruiti secondo lo schema generale di costruzione
della scrittura più antica, come icone degli oggetti di calcolo, dita, pietroline, cerchi, bastoncini,
mani etc., con tracce probabili di prestiti fonetici, cioè dell'uso di segni rappresentanti parole di
uguale pronuncia. Come parole i numeri erano credibilmente sempre "numeri di…", potremmo
dire aggettivi o determinativi, ed anche in greco 1, 2, 3, 4, 100, 1000 erano declinati per genere e
caso. Il numero aveva cioè da un lato un carattere semantico-computazionale, dall'altro la natura di
attributo cardinale di un insieme di oggetti concreti.
Le operazioni venivano spesso effettuate su 'tavole' la cui natura può variare: semplici ripiani,
ripiani in qualche modo quadrettati, abaci, sui quali vengono mossi 'pezzi' quali gettoni, pietroline,
bastoncini, etc.
Più complesso appare il ruolo della geometria. Sicuramente sembra svolgere un ruolo minore:
appare uno dei tanti settori pratici in cui si applicano le tecniche su accennate. Occorre così
ricordare quanto descritto da Erodoto ne Le Storie: quando il Nilo asportava pezzi di terra il
Faraone mandava degli specialisti a computare l'area di quanto rimasto ai fini fiscali: era una
funzione cruciale, ma era sempre una geometria puramente metrica.
Tra le relazioni particolari messe in gioco nei problemi geometrici appaiono diverse proprietà
concernenti l'area ed il perimetro di figure geometriche, volumi, similitudini e rapporti, e altre
proprietà di natura metrica. Appare l'idea di calcolare l'area tramite dissezione della figura in
questione (in Cina si trovano esempi di un simile calcolo anche per volumi), ed è largamente usato
il "teorema di Pitagora".
Ma credo sia possibile una valutazione più articolata. La geometria appare, sicuramente in
Cina e presumibilmente in Mesopotamia, sotto un altro aspetto: come tecnica di dimostrazione e
anche di memorizzazione di proprietà che noi diremmo algebriche: nel seguito ne daremo alcuni
esempi (per il calcolo delle radici, per il teorema di Pitagora, etc.). Si comprenderebbe così perché
la terminologia 'algebrica' sia di natura 'geometrica'. Questo ruolo 'metodologico' e 'algebrico' della
geometria deriva verosimilmente da tecniche quali l'uso dell'abaco o strumenti analoghi in cui la
disposizione geometrica di oggetti era alla base sia di calcoli geometrici che di tecniche
aritmetiche ed algebriche. Forse di qui derivava la prassi pitagorica della rappresentazione figurata
dei numeri (triangolari, quadrati, rettangolari, gnomone, etc.: vedi fig.3). Le pietroline sono quindi
nel contempo unità, punti, quadrati unitari, monadi: una vera aritmogeometria. La risoluzione di
problemi matematici basata in gran parte sull'uso di 'tabelle'. Così le frazioni vengono trattate nella
matematica egiziana usando tabelle della decomposizione di una frazione generica in frazioni
unitarie, e nella matematica babilonese la divisione si basa su tabelle degli "inversi".

Questo aspetto porterà alla cosiddetta algebra geometrica che costituisce II libro degli
Elementi di Euclide (vedi fig. 3bis, nella quale vi sono le dimostrazioni geometriche delle nostre
formule algebriche ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 e ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2, ed anche
8
Neugebauer osserva che "i contenuti dell'algebra geometrica utilizzano risultati che erano noti in
Mesopotamia".

fig.3

a b
a-b
a
b
b

fig.3bis

In fig 3ter una costruzione che appare come teorema nel II libro degli Elementi (le due figure
nella parte superiore) e potrebbe essere la base della tecnica babilonesi di risoluzione delle
equazioni di II grado. Siano date la somma s di due grandezze e il rettangolo P, BCEH in figura,
che ha tali grandezze come lati. Prolunghiamo il lato CB di P per farlo diventare AB uguale ad s e
tracciamo la diagonale AO (figura in basso a destra). Sia D il punto medio di AB e costruiamo il
quadrato BDLN: se calcoliamo d, lunghezza di FG e quindi differenza tra s/2 e uno dei lati,
possiamo calcolare i due lati. Sia MN = CE, allora i due rettangoli quadrettati sono uguali e il
quadratino di lato d si può calcolare come differenza tra il quadrato di lato s/2 e lo gnomone
DFGMNB, la cui area è proprio P. Ma s e P sono noti e quindi è noto il quadratino e di
conseguenza anche d.

La figura a sinistra era anche la base della procedura pratica per calcolare la √A (il lato del
quadrato A). Se infatti a è una buona prima approssimazione di √A, allora √A= a+b, con b molto
minore di a, e di conseguenza nel quadrato A il quadratino di lato b si può trascurare, ottenendo A
~ a2+ 2ab (corrispondente ad una figura ad L, differenza tra un quadrato e un quadratino in esso
contenuto come in figura, detta uno gnomone). Così la seconda approssimazione si ottiene
aggiungendo ad a il valore approssimato b ~ (A-a2)/2a. A tale nuova approssimazione si può
riapplicare la stessa procedura per trovare una terza approssimazione, e così via.

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a b
a
b

s/2
b
s/2

s / 2 - b d / 2 O

P

L M N

S E F G H
d

fig.3 ter A C D B

L’idea di infinito e l’opposizione continuo/discreto sono parte cruciale sin dall’origine della
prima caratterizzazione e del punto di distacco della tradizione teorica greca dai modelli orientali.
Di quelli egiziani e mesopotamici è rimasto molto poco, così che la mancanza di riferimenti
all’infinito o al continuo/discreto potrebbe sembrare accidentale, dovuta alla mancanza di fonti.
Considerando però la cultura cinese, possiamo analizzare una grande tradizione matematica che
nel finito è stata fino a pochi secoli fa almeno confrontabile con quella occidentale, ed alla quale
probabilmente dobbiamo la nostra notazione numerica, gli algoritmi numerici, e diverse tecniche
combinatorie, oltre che le scoperte che hanno segnato l'inizio del 'moderno' in Europa: la bussola,
la stampa, la polvere da sparo. Eppure in tale cultura l’infinito (ed il continuo) gioca un ruolo
minore (potremmo dire nullo): rimane l’indefinitezza del tao ma niente di più.
La nostra attuale idea di continuo e discreto è quella delineata oltre duemila anni fa da
Aristotele, ma espressa in forma numerica solo con la nascita della scienza moderna, nel
'programma' di Descartes, ove il discreto è visto come un ‘campionamento’ del continuo (i numeri
interi sono particolari numeri reali), e il continuo è ‘esprimibile’ tramite il discreto (i numeri reali
sono rappresentati da una sequenza infinita di cifre). In maniera più formale i numeri reali si
considerano una estensione (come i relativi e i razionali e poi i complessi) a partire dai naturali
allo scopo di trovare soluzioni ad equazioni a coefficienti interi.
Noi siamo così abituati a scrivere un numero reale come due sequenze di cifre separate da un
‘punto’:
... a a a . a a a ....
3 2 1 -1 -2 -3

che non ci accorgiamo del fatto che quel piccolo ‘punto’ separa due universi radicalmente
differenti in tutta la storia della matematica e del pensiero, che solo saltuariamente e
provvisoriamente (come appunto nella rappresentazione del numero reale, nei secoli segnati dal
trionfo della fisica matematica) hanno trovato un punto di raccordo.
La prima sequenza sempre finita, a sinistra del punto, appartiene al dominio dei numeri interi,
contabili, alla numerazione, per contare uomini e pecore, ed origine dei segni numerici. Al di là
del punto, come al di là di uno specchio, la seconda sequenza appartiene all’universo delle
grandezze, alla misurazione, legata alla realtà esterna, in primo luogo sociale ed economica, ma
segnata anche dai fenomeni astronomici. Ed inoltre, mentre la prima sequenza è sempre finita, e
solo ‘potenzialmente’ infinita (“esiste sempre qualcosa oltre” nella definizione aristotelica), la
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