Storia della teoria dell'integrazione - idee e metodi da Riemann ai giorni nostri PDF
Preview Storia della teoria dell'integrazione - idee e metodi da Riemann ai giorni nostri
Teoriedell’in- tegrazione M.Campiti Storia della teoria dell’integrazione Ilperiodo precedentea Riemann idee e metodi da Riemann ai giorni nostri Ilperiodo medievale IlXXVII secolo Michele Campiti Cavalieri Leibnitze Newton DipartimentodiMatematica L’integraledi Universit`adelSalentoE-Mail: [email protected] Riemann Formuledi quadratura Storia e Fondamenti della Matematica 1 L’integraledi a.a. 2006–07 Lebesgue Teorie moderne dell’integrale Indice Teoriedell’in- tegrazione 1 Il periodo precedente a Riemann M.Campiti 2 Il periodo medievale Ilperiodo precedentea Riemann 3 Il XXVII secolo Ilperiodo medievale Cavalieri IlXXVII Leibnitz e Newton secolo Cavalieri LNeeiwbntoitnze 4 L’integrale di Riemann L’integraledi Riemann 5 Formule di quadratura Formuledi quadratura L’integraledi 6 L’integrale di Lebesgue Lebesgue Teorie 7 Teorie moderne dell’integrale moderne dell’integrale Il periodo greco Teoriedell’in- tegrazione Sebbene la teoria dell’integrazione si sia sviluppata soprattutto M.Campiti a partire dall’epoca di Riemann, alcune idee e metodi traggono spunto da molto prima e risalgono a matematici come Euclide, Ilperiodo precedentea Eudosso di Cnide ed Archimede. Altri matematici che hanno Riemann avuto un ruolo importante nello sviluppo della teoria Ilperiodo medievale dell’integrazione di Riemann sono Leibnitz e Newton. IlXXVII secolo Conviene pertanto cominciare a dare una sguardo al periodo Cavalieri Leibnitze Newton greco. L’integraledi Riemann Formuledi quadratura L’integraledi Lebesgue Teorie moderne dell’integrale Il periodo greco Teoriedell’in- tegrazione Nel periodo greco, il problema principale connesso al calcolo M.Campiti integrale era essenzialmente il calcolo di aree e volumi. Ilperiodo precedentea Il primo matematico da citare a tale proposito `e sicuramente Riemann Euclide (300 a.C.) che nel libro “Gli Elementi” ha fornito un Ilperiodo medievale metodo per calcolare alcuni volumi ed aree, tra cui IlXXVII principalmente prismi e piramidi (oltre a fare anche qualche secolo considerazione sulla quadratura del cerchio). Cavalieri Leibnitze Newton L’integraledi Il primo vero precursore del calcolo integrale pu`o essere Riemann considerato Archimede (287–212 a.C.). Archimede si `e Formuledi quadratura occupato del volume della sfera e del cilindro ed anche della L’integraledi quadratura della parabola. Ha anche considerato il problema Lebesgue della determinazione del baricentro di tali figure. Teorie moderne dell’integrale Il metodo di esaustione Teoriedell’in- tegrazione Ad Archimede si deve l’uso sistematico del metodo di M.Campiti esaustione, tuttavia gi`a introdotto da Eudosso di Cnide (408–355 a.C.). Ilperiodo precedentea Riemann Il metodo si basava sull’idea di inscrivere e circoscrivere figure Ilperiodo medievale rettilinee attorno ad una figura curva e di continuare a IlXXVII moltiplicare indefinitamente il numero dei lati del poligono fino secolo ad approssimare il piu` possibile la linea curva. Alla base del Cavalieri Leibnitze Newton metodo vi era la seguente affermazione L’integraledi Riemann Date due grandezze aventi un certo rapporto (cio`e, nessuna Formuledi delle quali sia zero) `e possibile trovare un multiplo dell’una che quadratura superi l’altra grandezza. L’integraledi Lebesgue Teorie moderne dell’integrale Il metodo di esaustione Teoriedell’in- tegrazione Partendo da questo Eudosso ricav`o la proposizione che M.Campiti costituiva la base del metodo di esaustione: Ilperiodo Se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore precedentea Riemann alla sua met`a, e se dal resto si sottrae ancora non meno della Ilperiodo sua met`a, e se questo processo di sottrazione viene continuato, medievale alla fine rimarr`a una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza IlXXVII secolo dello stesso genere precedentemente assegnata. Cavalieri Leibnitze Newton Con questo teorema riguardante le grandezze di figure L’integraledi curvilinee si riusc`ı a stabilire la misura dell’area di figure Riemann curvilinee con sempre maggiore approssimazione. Qualsiasi Formuledi quadratura figura non rettilinea poteva essere analizzata attraverso il L’integraledi metodo di esaustione, suddividendo le figure in intervalli sempre Lebesgue Teorie piu` piccoli raggiungendo cos`ı una migliore approssimazione. moderne dell’integrale Il metodo di esaustione Teoriedell’in- tegrazione M.Campiti Ilperiodo precedentea Riemann Ilperiodo medievale IlXXVII secolo Cavalieri Leibnitze Newton L’integraledi Riemann Formuledi quadratura Il metodo di esaustione per il calcolo di aree L’integraledi Lebesgue Teorie moderne dell’integrale Il metodo di esaustione Teoriedell’in- tegrazione In termini attuali il metodo si esprime con la seguente propriet`a M.Campiti dei gruppi ordinati: Ilperiodo Considerato un gruppo ordinato G, se a,b ∈ G e se precedentea Riemann ak < b Ilperiodo medievale IlXXVII per ogni k ∈ Z, allora a `e l’elemento neutro di G. secolo Cavalieri Leibnitze I gruppi ordinati che verificano la propriet`a precedente vengono Newton oggi denominati archimedei. La nozione viene estesa anche agli L’integraledi Riemann insiemi ordinati e la propriet`a di N: Formuledi quadratura n ∈ N =⇒ ∃ m ∈ N t.c. m > n , L’integraledi Lebesgue Teorie viene spesso riferita dicendo che N `e un insieme archimedeo moderne dell’integrale (oppure che N non `e limitato superiormente). Il metodo di esaustione Teoriedell’in- tegrazione Il metodo di esaustione si applica spesso procedendo per M.Campiti assurdo; per dimostrare che un’area o un volume A `e uguale a B, si suppone A < B e si considera ε > 0 tale che B −A = ε. Ilperiodo precedentea A questo punto si considerano figure geometriche contenute in Riemann A (quindi di area o volume A < A) tali che B−A < ε; da ci`o n n Ilperiodo medievale segue A > A > B −ε = A e quindi una contraddizione. n IlXXVII In modo analogo si procede supponendo che A > B. secolo Cavalieri Leibnitze Newton Tale metodo `e stato utilizzato da Archimede per dimostrare che L’integraledi il volume del tetraedro `e un terzo del volume del prisma avente Riemann stessa base e stessa altezza. La contraddizione `e stata ottenuta Formuledi quadratura considerando prismi contenuti e contenenti il tetraedro. L’integraledi Lebesgue Teorie moderne dell’integrale Il segmento parabolico Teoriedell’in- tegrazione Un’applicazione importante considerata da Archimede `e stata M.Campiti la determinazione dell’area del segmento parabolico, cio`e della parte di piano limitata da un arco di parabola e dalla corda Ilperiodo precedentea corrispondente. Riemann Ilperiodo medievale IlXXVII secolo Cavalieri Leibnitze Newton L’integraledi Riemann Formuledi quadratura L’integraledi Lebesgue Teorie moderne dell’integrale
Description:The list of books you might like
