Stoerungstheorie und ihre Anwendung

89 Pages·2003·0.492 MB·German

by  Handrock S.

Vorlesungsskript St(cid:127)orungstheorie und ihre Anwendung
Verfasserin:
Dr. Sybille Handrock
TU Chemnitz
Fakult(cid:127)at fu(cid:127)r Mathematik
e-mail:[email protected]
Sommersemester 2003
Literatur
[1] Goering, H.: Asymptotische Methoden zur L(cid:127)osung von Di(cid:11)erentialgleichungen,
WTB, Bd. 144, Akademie{Verlag, Berlin, 1977.
[2] Handrock-Meyer, S., Kalachev, L. V., Schneider, K. R.: A method to determine the
dimension of long-time dynamics in multi-scale systems, J. Math. Chem., Vol. 30,
No. 2 (2001) 133-160, siehe auch Preprint-Reihe der TU Chemnitz Nr. 2000-7.
[3] O’Malley, R.: Singular Perturbation Methods for Ordinary Di(cid:11)erential Equations,
Applied MathematicalSciences v.89,Springer{Verlag,NewYork,Berlin,Heidelberg,
1991.
[4] Strygin, V. V., Sobolev, V. A.: Split of Motions by the Method of Integral Manifolds
(Russian), Nauka, Moscow, 1988.
[5] Verhulst, F.: Nonlinear Di(cid:11)erential Equations and Dynamical Systems, Universitext,
Springer{Verlag Berlin, Heidelberg, 1990.
[6] Wasow,W.:AsymptoticExpansionsforOrdinaryDi(cid:11)erentialEquations,Interscience
Publishers, New York, 1965.
Inhaltsverzeichnis
1 Regul(cid:127)ar und singul(cid:127)ar gest(cid:127)orte Probleme 1
1.1 Ein(cid:13)uss kleiner St(cid:127)orgr(cid:127)o(cid:25)en in der Gleichung auf die L(cid:127)osung . . . . . . . . . 1
1.2 Grundlegende De(cid:12)nitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Eigenschaften asymptotischer Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 APR fu(cid:127)r Funktionen zweier Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Anwendungen auf DGL und algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Regul(cid:127)ar und singul(cid:127)ar gest(cid:127)orte Probleme aus den Anwendungen . . . . . . . 25
1.7 Parameterabh(cid:127)angige Normalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Methode der Grenzschichtverbesserung fu(cid:127)r SGP mit Ordnungsernied-
rigung 36
2.1 RWP fu(cid:127)r lineare DGL 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 AWP fu(cid:127)r lineare DGL 2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 RWP fu(cid:127)r DGL h(cid:127)oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 AWP fu(cid:127)r nichtlineare Systeme 1.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 RWP fu(cid:127)r nichtlineare Systeme 1.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Integralmannigfaltigkeiten 70
3.1 Integralmannigfaltigkeiten autonomer Systeme 1. Ordnung . . . . . . . . . 70
3.2 E.a.i.M. fu(cid:127)r SGP der Form (1.60) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Die Existenz einer e.a.i.M. fu(cid:127)r ein spezielles SGP. . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Lokale Reduktion des Zustandsraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5 Das Beispiel von Duch^ene/Rouchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.1 N(cid:127)aherungsweise Berechnung einer e.a.i.M. . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.2 Anwendung des vereinfachten Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 85
I
1 Regul(cid:127)ar und singul(cid:127)ar gest(cid:127)orte Probleme
1.1 Ein(cid:13)uss kleiner St(cid:127)orgr(cid:127)o(cid:25)en in der Gleichung auf die L(cid:127)osung
Di(cid:11)erentialgleichungen (DGL), die einen Prozess in der Physik, Chemie oder in anderen
Naturwissenschaften beschreiben, enthalten in derRegel eine oder mehrere konstante (po-
sitive) Gr(cid:127)o(cid:25)en als Parameter. Im folgenden sei " ein kleiner, wenn nicht anders vereinbart,
positiver Parameter: 0 " 1. Zun(cid:127)achst betrachten wir einige Beispiele von DGL erster
(cid:20) (cid:28)
Ordnung.
Beispiel 1.1 (St(cid:127)orung in der rechten Seite, monoton fallender Prozess)
Gest(cid:127)ortes Anfangswertproblem (AWP):
x_ +x = "; x(0) = 1:
Ungest(cid:127)ortes AWP (Man setzt " = 0):
y_ +y = 0; y(0) = 1:
L(cid:127)osung des gest(cid:127)orten Problems:
x(t;") = "+(1 ")e(cid:0)t:
(cid:0)
L(cid:127)osung des ungest(cid:127)orten Problems:
y(t) = e(cid:0)t:
Man erh(cid:127)alt:
x(t;") y(t) = "(1 e(cid:0)t) " t 0;
j (cid:0) j (cid:0) (cid:20) (cid:21)
d.h., der Fehler, der entsteht, wenn y(t) als eine N(cid:127)aherungsl(cid:127)osung von x(t;") betrachtet
wird, bleibt f(cid:127)ur alle t kleiner als ".
1
0.8
0.6
0.4 x
0.2 y
0 2 4 6 8 10
t
Figur 1
1
Die Skizze zeigt das Verhalten der L(cid:127)osung der gest(cid:127)orten Gleichung f(cid:127)ur " = 0:1.
Beispiel 1.2 (St(cid:127)orung in der rechten Seite, monoton wachsender Prozess)
Gest(cid:127)ortes AWP:
x_ x = "; x(0) = 1:
(cid:0)
Ungest(cid:127)ortes AWP:
y_ y = 0; y(0) = 1:
(cid:0)
L(cid:127)osung des gest(cid:127)orten Problems:
x(t;") = "+(1+")et:
(cid:0)
L(cid:127)osung des ungest(cid:127)orten Problems:
y(t) = et:
Man erh(cid:127)alt:
x(t;") y(t) = " 1 et t 0:
j (cid:0) j j (cid:0) j (cid:21)
d.h., y(t) ist f(cid:127)ur gro(cid:25)e t keine N(cid:127)aherungsl(cid:127)osung von x(t;"). F(cid:127)ur 0 t 1 liegt ein Fehler
(cid:20) (cid:20)
der Gr(cid:127)o(cid:25)enordnung " vor, f(cid:127)ur gro(cid:25)e t w(cid:127)achst der Fehler (cid:127)uber alle Grenzen.
20
15
10
x
5
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
Figur 2
Die Skizze zeigt das Verhalten der L(cid:127)osung der gest(cid:127)orten Gleichung f(cid:127)ur " = 0:1.
Beispiel 1.3 (St(cid:127)orung bei der (h(cid:127)ochsten) Ableitung, monoton fallender Pro-
zess)
Gest(cid:127)ortes AWP:
"x_ +x = 1 x(0) = x :
0
2
Das ungest(cid:127)ortes Problem ist hier eine algebraische Gleichung, d.h., die Ordnung der Glei-
chung erniedrigt sich f(cid:127)ur " = 0:
L(cid:127)osung des ungest(cid:127)orten Problems:
y = 1:
L(cid:127)osung des gest(cid:127)orten Problems:
t
x(t;") = 1+(x 1)exp :
0
(cid:0) (cid:0)"
(cid:18) (cid:19)
Es gilt:
x t = 0
lim x(t;") = 0
"!+0 ( 1 t > 0:
F(cid:127)ur x = 1 besitzt die stetige Funktion x(t;") f(cid:127)ur " 0 eine unstetige Grenzfunkti-
0
6 !
on, was darauf hinweist, dass die Konvergenz auf einem beliebigen Zeitintervall [0;T]
nicht gleichm(cid:127)a(cid:25)ig ist. Dies folgt aus dem Satz, dass eine Folge stetiger Funktionen, die
gleichm(cid:127)a(cid:25)ig konvergiert, auch einen stetigen Grenzwert besitzt. Das Intervall der nicht-
gleichm(cid:127)a(cid:25)igen Konvergenz ist von der Gr(cid:127)o(cid:25)enordnung O("). In der Tat, f(cid:127)ur t > B" kann
die Di(cid:11)erenz
x(t;") 1 x(0) 1 e(cid:0)B
j (cid:0) j(cid:20)j (cid:0) j
beliebig klein gemacht werden, wenn man nur B gro(cid:25) genug w(cid:127)ahlt. Das Intervall der
nichtgleichm(cid:127)a(cid:25)igen Konvergenz hei(cid:25)t Grenzschicht (GS).
3
2.5
2 x1
1.5 x2
y
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t
Figur 3
Die Skizze zeigt das Verhalten der L(cid:127)osung der gest(cid:127)orten Gleichung f(cid:127)ur " = 0:1 (Funktion
x1) und " = 0:01 (Funktion x2) jeweils mit dem Anfangswert (AW) x = 3.
0
Ebenso lassen sich Beispiele von DGL zweiter Ordnung angeben.
3
Beispiel 1.4 (St(cid:127)orung in den Gliedern niederer Ordnung, oszillierender Pro-
zess)
Gest(cid:127)ortes AWP:
x(cid:127)+(1+")2x = 0; x(0) = 0; x_(0) = 1:
Ungest(cid:127)ortes AWP :
y(cid:127)+y = 0; y(0) = 0; y_(0) = 1:
Die L(cid:127)osung des gest(cid:127)orten Problems ist eine beschr(cid:127)ankte Funktion:
x(t;") = (1+")(cid:0)1sin((1+")t):
Die L(cid:127)osung des ungest(cid:127)orten Problems ist eine beschr(cid:127)ankte Funktion:
y(t) = sint:
Man erh(cid:127)alt:
x(t;") y(t) = (1+")(cid:0)1sin((1+")t) sint:
(cid:0) (cid:0)
F(cid:127)ur kleine z ist sin z z z3=3!, also
(cid:25) (cid:0)
x(t;") y(t) (2"+"2)t3=3!;
(cid:0) (cid:25) (cid:0)
d.h. f(cid:127)ur kleine " und kleine t liegen die L(cid:127)osungskurven nahe beieinander. F(cid:127)ur hinreichend
gro(cid:25)e t, z.B. f(cid:127)ur t = (cid:25)=(2") ist y(t) keine N(cid:127)aherungsl(cid:127)osung f(cid:127)ur x(t;"), denn
0
x(t ;") y(t ) = (1+")(cid:0)1[cost sint ] "(1+")(cid:0)1 sint
0 0 0 0 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
= (1+")(cid:0)1p2 cos((cid:25)=4+t ) "(1+")(cid:0)1 sint
0 0
(cid:0)
wobei der erste Summand f(cid:127)ur kleine " nicht klein wird.
1
0.5 y
x
0 2 4 6 8 10
t
–0.5
–1
Figur 4
4
Die Skizze zeigt das Verhalten der L(cid:127)osung der gest(cid:127)orten Gleichung f(cid:127)ur " = 0:1.
Beispiel 1.5 (St(cid:127)orung in den Gliedern niederer Ordnung, oszillierender Pro-
zess)
Gest(cid:127)ortes AWP:
x(cid:127)+"x_ +x = 0 x(0) = 0; x_(0) = 1:
Ungest(cid:127)ortes AWP:
y(cid:127)+y = 0 y(0) = 0; y_(0) = 1:
Das ungest(cid:127)orte Problem kann man als harmonischen Oszillator au(cid:11)assen, wobei der Rei-
bungsterm vernachl(cid:127)asigt worden ist. In der Praxis sind Reibungs{oder D(cid:127)ampfungse(cid:11)ekte
stets vorhanden. Betrachtet man einen harmonischen Oszillator mit kleinen Reibungs-
kr(cid:127)aften, so kann das Modell verbessert werden, indem man die gest(cid:127)orte DGL untersucht.
L(cid:127)osung des gest(cid:127)orten Problems:
1 1
" "2 (cid:0)2 "2 (cid:0)2
x(t;") = exp t 1 sin0 1 t1:
(cid:18)(cid:18)(cid:0)2(cid:19) (cid:19) (cid:0) 4 ! B (cid:0) 4 ! C
B C
B C
@ A
Die L(cid:127)osung des ungest(cid:127)orten Problems ist wieder:
y(t) = sin t:
Die Amplituden der L(cid:127)osungskurve x(t;") werden von folgendenden Kurven begrenzt:
1 1
" "2 (cid:0)2 " "2 (cid:0)2
z (t;") = +exp t 1 ; z (t;") = exp t 1 :
1 2
(cid:18)(cid:18)(cid:0)2(cid:19) (cid:19) (cid:0) 4 ! (cid:0) (cid:18)(cid:18)(cid:0)2(cid:19) (cid:19) (cid:0) 4 !
1
x2
x1
0.5 y
0 2 4 6 8 10
t
–0.5
–1
Figur 5
5
Die Skizze zeigt das Verhalten der L(cid:127)osung der gest(cid:127)orten Gleichung f(cid:127)ur " = 0:1 (Funktion
x1) und " = 0:01 (Funktion x2).
Beispiel 1.6 (St(cid:127)orungen in den Gliedern niederer Ordnung, oszillierender Pro-
zess)
Gest(cid:127)ortes AWP:
x(cid:127)+"x = 0 x(0) = 0; x_(0) = 1:
Ungest(cid:127)ortes AWP:
y(cid:127)= 0 y(0) = 0; y_(0) = 1:
L(cid:127)osung des gest(cid:127)orten Problems:
1
x(t;") = sin(p"t):
p"
L(cid:127)osung des ungest(cid:127)orten Problems:
y(t) = t:
Das gest(cid:127)orte Problem ensteht, wenn sich ein Massenpunkt der Masse 1 reibunsfrei l(cid:127)angs
der t{Achse unter Einwirkung einer kleinen Federkraft "t bewegt. Analog wie in Beispiel
(cid:0)
1.4 (cid:12)ndet man f(cid:127)ur kleine " und kleine t
x(t;") y(t) "t3=3!;
(cid:0) (cid:25) (cid:0)
d.h. f(cid:127)ur kleine " und kleine t wird die L(cid:127)osung des obigen Problems durch das ungest(cid:127)orte
AWP gut approximiert.
20
15
y x2
10
5
x1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
Figur 6
Die Skizzezeigt wiederdas Verhalten der L(cid:127)osung des gest(cid:127)orten AWP f(cid:127)ur " = 0:1 (Funktion
x1) und " = 0:01 (Funktion x2).
6
1.2 Grundlegende De(cid:12)nitionen
Sei I ein Intervall (beschr(cid:127)ankt oder unbeschr(cid:127)ankt auf der t{Achse. Wir bezeichnen mit
P (x ) = P (x(t;")) = 0 t I
" " "
2
das durch einen kleinen positiven Parameter " gest(cid:127)orte Problem und mit
P (y) = P (y(t)) = 0 t I
0 0
2
das ungest(cid:127)orte Problem, welches man erh(cid:127)alt, wenn im gest(cid:127)orten Problem der Parameter
" gleich Null gesetzt wird.
Wirbeschr(cid:127)anken unsaufdenFall,dassP durchDi(cid:11)erentialoperatorenundAnfangsbedin-
gungen (AB) bzw. Randbedingungen (RB) de(cid:12)niert ist. Allgemein k(cid:127)onnen natu(cid:127)rlich auch
von kleinen Parametern abh(cid:127)angige Integraloperatoren oder andere Operatorgleichungen
mit globaleren Zusatzbedingungen betrachtet werden. Der Parameter " repr(cid:127)asentiert den
Ein(cid:13)uss von fast vernachl(cid:127)assigbaren physikalischen Gr(cid:127)o(cid:25)en.
De(cid:12)nition 1.1 Man sagt, die Funktionenfolge (x(t;")) konvergiert gleichm(cid:127)assig be-
zu(cid:127)glich t I gegen die Funktion y(t) f(cid:127)ur " 0, wenn folgende zwei Bedingungen erf(cid:127)ullt
2 !
sind:
1. F(cid:127)ur jedes (cid:12)xierte t I gilt:
0
2
lim x(t ;") = y(t ):
0 0
"!0
2. F(cid:127)ur jedes (cid:14) > 0 existiert eine nicht von t abh(cid:127)angige Zahl " , so dass f(cid:127)ur alle
0
0 < " < " die Beziehung
0
x(t;") y(t) < (cid:14)
j (cid:0) j
gleichzeitig fu(cid:127)r alle t I erf(cid:127)ullt ist.
2
De(cid:12)nition 1.2 Ein Problem P (x ) hei(cid:25)t regul(cid:127)ar gest(cid:127)ort (RGP), wenn seine L(cid:127)osung
" "
x f(cid:127)ur " 0 gleichm(cid:127)assig bez(cid:127)uglich der unabh(cid:127)angigen Variablen t in I konvergiert.
"
!
De(cid:12)nition 1.3 Ein Problem P hei(cid:25)t singul(cid:127)ar gest(cid:127)ort (SGP), wenn die Bedingung der
"
gleichm(cid:127)assigen Konvergenz x(t;") y(t) f(cid:127)ur " 0 verletzt ist.
! !
Die gleichm(cid:127)a(cid:25)ige Konvergenz ist meist in kleinen Teilgebieten am Rand von I verletzt.
Die Pr(cid:127)asenz eines kleinen Parameters bei der/den h(cid:127)ochsten Ableitungen ist nicht notwen-
dig dafu(cid:127)r, dass ein Problem singul(cid:127)ar gest(cid:127)ort ist, weist aber in vielen F(cid:127)allen auf diese
M(cid:127)oglichkeit hin.
Die exakten L(cid:127)osungen der gest(cid:127)orten Probleme sind i.a. nicht in expliziter Form verfu(cid:127)gbar.
Deshalb suchen wir nach anderen L(cid:127)osungsdarstellungen.
Unter der Annahme einer hinreichenden Glattheit der in P eingehenden Gr(cid:127)o(cid:25)en (Ko-
"
e(cid:14)zienten, rechte Seiten der Gleichung usw. nach der/den unabh(cid:127)angigen Variablen und
nach " kann die L(cid:127)osung eines regul(cid:127)ar gest(cid:127)orten Problems approximiert werden durch
formale asymptotische Potenzreihen in ", die als Hauptterm die L(cid:127)osung des ungest(cid:127)orten
Problems y besitzen.
7
1
De(cid:12)nition 1.4 Eine Darstellung der Funktion g(") in der Form g "j hei(cid:25)t formale
j
j=0
Potenzreihenentwicklung. P
Eine Potenzreihenentwicklung der Funktion g(") hei(cid:25)t asymptotisch im Sinne von Poin-
care, wenn f(cid:127)ur jedes (cid:12)xierte N IN gilt
2
1 N
g(") g "j 0 f(cid:127)ur " 0: (1.1)
"N 0 (cid:0) j 1 ! !
j=0
X
@ A
1
Die Reihe g "j hei(cid:25)t dann asymptotische Potenzreihe (APR) der Funktion g("). Sym-
j
j=0
bolisch schrPeibt man
1
g(") g "j f(cid:127)ur " 0: (1.2)
j
(cid:24) !
j=0
X
Falls Zahlen g , g existieren, so dass
1 2
1 N
g g(") g "j g (1.3)
1 (cid:20) "N+1 0 (cid:0) j 1 (cid:20) 2
j=0
X
@ A
f(cid:127)ur alle hinreichend kleinen " 0 erf(cid:127)ullt ist, so schreiben wir
(cid:21)
N
g(") = g "j +O("N+1) f(cid:127)ur " 0;
j
!
j=0
X
wobei O ein Landausches Ordnungssymbol bezeichnet.
O(cid:11)ensichtlich ist die Bedingung (1.3) sch(cid:127)arfer als die Bedingung (1.1).
Theorem 1.1 Die Funktion g(") besitzt eine asymptotische Potenzreihenentwicklung der
Form (1.2) gdw f(cid:127)ur jedes (cid:12)xierte N IN gilt
2
1 N(cid:0)1
lim g(") g "j = g : (1.4)
"!0 "N 0 (cid:0) j 1 N
j=0
X
@ A
Beweis:
1. Notwendigkeit: Wir schreiben (1.1) in der Form
1 N(cid:0)1
lim g(") g "j g "N = 0:
"!0 "N 0 (cid:0) j (cid:0) N 1
j=0
X
@ A
"N 1 N(cid:0)1
Wegen limg = g existiert auch lim g(") g "j und es gilt
"!0 N "N N "!0 "N 0 (cid:0) j 1
j=0
X
@ A
1 N(cid:0)1
g = lim g(") g "j fu(cid:127)r jedes (cid:12)xierte N IN:
N "!0 "N 0 (cid:0) j 1 2
j=0
X
@ A
8