Stochastische Strukturoptimierung von Stab- und Balkentragwerken

308 Pages·2006·3.753 MB·German

by  Kurt Marti, Detlef Gröger

KurtMarti·DetlefGröger
StochastischeStrukturoptimierungvonStab-undBalkentragwerken
Kurt Marti · Detlef Gröger
Stochastische
Strukturoptimierung
von Stab- und
Balkentragwerken
Mit82Abbildungenund18Tabellen
123
ProfessorDr.KurtMarti
Dr.DetlefGröger
UniversitätderBundeswehr
Luft-undRaumfahrttechnik
InstitutfürMathematikundRechneranwendung
Werner-Heisenberg-Weg39
85577Neubiberg
Deutschland
[email protected]
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ISBN-10 3-540-26038-2 1.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort
DieStochastische StrukturoptimierungvonStab-undBalkentragwerkenistein
multidisziplin¨arer Wissenschaftszweig. Sie liefert die Grundlagen fu¨r die Op-
timierung vonTragwerkenmittels Verfahrender StochastischenOptimierung
zur Beru¨cksichtigung stochastischer Schwankungen der Modellparameter.
Ein zentrales Problem der Technischen Mechanik ist bekanntlich die Er-
mittlungderVerformungen,DehnungenundSpannungeneinesK¨orpers(Trag-
werks) unter Belastung. Eine geschlossene L¨osung der das Problem beschrei-
benden Differentialgleichungenist bei der Komplexit¨at der Strukturen in der
Regel nicht m¨oglich. Jedoch kann man Diskretisierungsverfahren wie die Fi-
nite Element Methode (FEM) verwenden.
Bei der FEM wird der betrachtete K¨orper gedanklich in hinreichend vie-
le endliche Teile von einfacher geometrischer Form, etwa St¨abe oder Balken,
die sogenannten finiten Elemente, zerlegt. An Stelle der Verformung des ur-
spru¨nglichenK¨orperswerdendanndieVerschiebungenundVerdrehungender
Endpunkte(Knoten)dieserSt¨abeoderBalkenbetrachtet.DieeinzelnenKno-
tenverschiebungen und -verdrehungen lassen sich mit Hilfe der Elementstei-
figkeitsmatrizen in eine lineare Beziehung zu den auf die Knoten wirkenden
Kr¨afte und Momente setzen. Durch “Aufsummierung” u¨ber alle Elemente
erh¨alt man so eine Gleichung
Ku=F, (0.1)
diedenVektoruallerKnotenverschiebungenund-verdrehungenu¨berdieGe-
samtsteifigkeitsmatrixK mitder¨außerenLastFverknu¨pft.NachEinfu¨hrung
von Randbedingungen kann u hieraus bestimmt werden. A¨hnliches gilt auch
fu¨r die Dehnungen und Spannungen.
IndieGesamtsteifigkeitsmatrixK gehendieParameterdesK¨orpers(Geo-
metrie, Materialeigenschaften) ein. Befindet sich ein Tragwerk vorerst in der
Planung, so k¨onnen einige dieser Parameter als Variable (Entwurfsvariable)
angesehenwerden.ZielderStrukturoptimierung istes,die Entwurfsvariablen
so zu bestimmen, dass das Tragwerk den vorgegebenen Anforderungen “am
besten” genu¨gt. Dies bedeutet, dass die Gesamtsteifigkeitsmatrix nicht mehr
als konstant, sondern als Funktion des Vektors x der Entwurfsvariablen auf-
gefaßt wird:
K =K(x). (0.2)
VI Vorwort
Wesentlich und neu bei der vorliegenden Untersuchung ist nun, dass ge-
wisse Tragwerksparameterund die ¨außeren Lasten nicht als deterministische
Gr¨oßen,vielmehr–wieesderRealit¨atentspricht–alsstochastischenSchwan-
kungen unterliegend angesehen werden. Bezeichnet a = a(ω) den Vektor der
stochastischen Modellparameter, so ist
(cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:2)
K =K a(ω) ,F =F a(ω) . (0.3)
Bei einem Optimierungsproblem ist infolgedessen
(cid:1) (cid:2)
K =K a(ω),x , (0.4)
wobeidieEntwurfsvariablen(Nominalwerte)xnatu¨rlichdeterministischsind.
DieReaktiondesTragwerksunterLastmussdaherdurcheineWahrscheinlich-
keitsverteilungbzw.durchgewisseMomentederReaktionsvariablen(Knoten-
verschiebungen und -verdrehungen, Spannungen, Reaktionslasten) beschrie-
ben werden.Man sprichtdarumoft auchvonStochastischenFinite Elemente
Methoden (SFEM). Ferner mu¨ssen die Anforderungen an das Tragwerk mit
Hilfe von Erwartungswertenoder Wahrscheinlichkeiten formuliert werden.
Demnachl¨aßtsichder Inhaltdieses Buches ander Schnittstelle der Diszi-
plinen
- Festigkeitslehre
- Stochastische Finite Elemente
- Stochastische Optimierung
ansiedeln. Die Gliederung ist dementsprechend:
In Teil I wird die lineare Theorie der Stabtragwerke als Grundlage fu¨r
die FEM entwickelt. Vorausgesetzt werden dabei nur wenige Kenntnisse aus
der Technischen Mechanik und der Ingenieurmathematik, insbesondere eine
gewisse Vertrautheit mit der Matrizenrechnung.
In Teil II setzen wir voraus, dass die ¨außere Last und gewisse Stabpara-
meter (Querschnittsgr¨oßen, Elastizit¨atsmodule, ...), die u¨blicherweise als de-
terministisch angesehen werden, tats¨achlich stochastisch variierende Gr¨oßen
sind, vondenen mandie Verteilung oder einige Momente kennt.Verm¨oge der
Gleichungen (0.1) und (0.3) ist dann auch u ein Zufallsvektor. Es wird dar-
gestellt,wie sichdie Wahrscheinlichkeitsverteilungender Verschiebungenund
Spannungen in den Knoten aus denen der stochastischen Stabparameter und
¨außeren Lasten – zumindest approximativ – berechnen lassen. An Vorkennt-
nissen aus der Stochastik werden nur die grundlegenden Definitionen und
EigenschaftenvonZufallsgr¨oßenund-vektoren,ihrenWahrscheinlichkeitsver-
teilungen und Momenten ben¨otigt.
In Teil III schließlich wird die Optimierung von Tragwerken mit stocha-
stischen Parametern behandelt. Dazu wird ein geeignetes deterministisches
Ersatzproblem des Ausgangsproblems mit stochastischen Modellparametern
formuliert. Solche ergeben sich durch den U¨bergang zu den erwarteten Er-
stellungskosten (z.B. Konstruktionskosten) sowie durch den Einbezug von
Vorwort VII
Versagenswahrscheinlichkeiten oder allgemeiner der erwarteten Kosten aus
Verletzungen der Betriebsbedingungen der Struktur (z.B. Bedingungen fu¨r
die Verschiebungen, Verdrehungen, Spannungen, etc.). Auf diese Weise wird
das Strukturoptimierungsproblem mit stochastischen Modellparametern wie-
der auf ein endlich-dimensionales deterministisches Parameteroptimierungs-
problem fu¨r die Entwurfsvariablen x zuru¨ckgefu¨hrt. Dieses kann dann durch
Methoden der mathematischen Optimierung sowie deterministische und sto-
chastische Suchverfahren iterativ gel¨ost werden. Eine kurze Beschreibung ei-
niger Optimierungsverfahrenfindet man im letzten Abschn. 11.
So gibt das Buch eine Einfu¨hrung in das neue Gebiet der Analyse und
Optimierung von Tragwerken unter stochastischer Unsicherheit. Es werden
die Grundlagen ausfu¨hrlich dargestellt und zum Teil von unterschiedlichen
Standpunkten aus beleuchtet, manche Resultate mit unterschiedlichen Me-
thoden hergeleitet. Das Buch, geschrieben fu¨r Studierende, praktisch t¨atige
Ingenieure und Mathematiker, ist auch gedacht als eine Ausgangsbasis fu¨r
die weitere Entwicklung. An einigen Stellen befinden sich Hinweise darauf,
wo zuku¨nftige Forschungen einsetzen k¨onnten. Besondere Mu¨he haben wir
aufdie zahlreichenundeingehendbehandelten Beispieleverwandt.Einerseits
dienen sie der Veranschaulichung des theoretischen Stoffes und andererseits
werden sie dem Leser eine Hilfe sein, eigene Probleme der Praxis erfolgreich
zu bearbeiten.
Fu¨rdiefinanzielleF¨orderungderArbeitandiesemBuchseidemFreundes-
kreisderUniversit¨atderBundeswehrM¨unchenandieserStelleganzbesonders
gedankt.
Ganz herzlichdankenwir FrauElisabethL¨oßlvomInstitut fu¨r Mathema-
tik und Rechneranwendungen der UniBw Mu¨nchen fu¨r ihren grossenEinsatz
bei der Erstellung des endgu¨ltigen LATEX-Satzes des Manuskripts inkl. Gra-
phiken. Unser Dank gilt auch den Studenten der UniBw Mu¨nchen, die beim
LATEX-Satz des Manuskriptes mitwirkten.
Dankenm¨ochtenwirschließlichdemSpringer-Verlagfu¨rdieAufnahmedes
Buches in die Springer-Lehrbuchreihe “Technik”.
Mu¨nchen, im Juni 2005 Kurt Marti, Detlef Gr¨oger
Inhaltsverzeichnis
Teil I Stabtragwerke
1 Einfu¨hrung und Allgemeine Voraussetzungen .............. 3
2 Ebene Stabtragwerke mit drehbaren Verbindungen ........ 11
2.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix ............................. 11
2.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix.............................. 19
2.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨afte...... 24
2.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen ............. 26
2.5 Entfernung von St¨aben aus einem Tragwerk................. 29
2.6 Beispiele ............................................... 30
2.6.1 Der Torbogen (portal frame)........................ 30
2.6.2 Der Dreistab...................................... 36
3 Ebene Stabtragwerke mit starren Verbindungen ........... 43
3.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix ............................. 43
3.1.1 Beziehungen zwischen Momenten, Querkr¨aften,
Verdrehungen und Querverschiebungen............... 45
3.1.2 Herleitung und Struktur der Elementsteifigkeitsmatrix . 52
3.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix.............................. 57
3.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨afte...... 60
3.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen ............. 63
3.4.1 Axialspannung und Biegespannung .................. 63
3.4.2 Der Gesamtspannungsvektor........................ 70
3.5 Beispiele ............................................... 76
3.5.1 Aus zwei Teilbalken zusammengesetzter Balken ....... 76
3.5.2 Der Torbogen (portal frame)........................ 85
4 R¨aumliche Stabtragwerke.................................. 95
4.1 Die Elementsteifigkeitsmatrix ............................. 95
4.1.1 Globale und lokale Koordinaten ..................... 95
4.1.2 Beziehungen zwischen Momenten, Querkr¨aften,
Verdrehungen und Querverschiebungen............... 98
4.1.3 Herleitung und Struktur der Elementsteifigkeitsmatrix .110
4.2 Die Gesamtsteifigkeitsmatrix..............................118
X Inhaltsverzeichnis
4.3 Bestimmung der Knotenverschiebungen und Lagerkr¨afte......120
4.4 Bestimmung der Spannungen in den Elementen .............122
4.5 Beispiel: In einer Ebene arbeitender Roboter................131
Teil II Stabtragwerke mit stochastischen Parametern
5 Zusammenfassung von Teil I...............................145
6 Zuf¨allige Schwankungen in der Beschaffenheit der St¨abe ...149
6.1 Formulierung der Problematik ............................149
6.2 Allgemeines Vorgehen....................................151
6.2.1 Tensorielle Produkte von Vektoren und Matrizen ......151
6.2.2 Momente von Zufallsvektoren und -matrizen ..........153
6.2.3 Bestimmung der Verteilung eines Zufallsvektors aus
seinen Momenten..................................155
6.2.4 Momente von gleich- oder dreiecksverteilten
Zufallsvariablen ...................................160
6.3 Zur Verteilung der Steifigkeitsfaktoren .....................162
7 Momente der inversen reduzierten
Gesamtsteifigkeitsmatrix...................................169
7.1 Matrixnormen und Matrizenreihen.........................169
7.1.1 Vektor- und Matrixnormen .........................169
7.1.2 Konvergenz von Matrizenreihen .....................172
7.2 Potenzreihenentwicklung der inversen Steifigkeitsmatrix ......174
7.2.1 Erste Methode: Geometrische Reihe .................176
7.2.2 Zweite Methode: Taylorentwicklung..................177
7.3 Erwartungswertder inversen Steifigkeitsmatrix ..............182
7.3.1 Grundlagen.......................................182
7.3.2 Beispiele .........................................188
7.3.3 Approximation der erwarteten inversen
Steifigkeitsmatrix..................................198
7.4 H¨ohere Momente der inversen Steifigkeitsmatrix.............203
7.4.1 Momente zweiter Ordnung, Kovarianzen..............203
7.4.2 Momente n-ter Ordnung ...........................206
8 Momente von Knotenverschiebungs-, Lagerkraft- und
Spannungsvektor ..........................................209
8.1 Momente der Last-Lagerkraft-Matrix ......................209
8.1.1 Potenzreihenentwicklung der Last-Lagerkraft-Matrix...209
8.1.2 Momente n-ter Ordnung der Last-Lagerkraft-Matrix ...211
8.2 Momente der Last-Spannungs-Matrix ......................212
8.2.1 Potenzreihenentwicklung der Last-Spannungs-Matrix...212
8.2.2 Momente n-ter Ordnung der Last-Spannungs-Matrix...214
Inhaltsverzeichnis XI
8.3 Momente der Responsevariablen des Tragwerks..............215
8.4 Beispiele ...............................................218
8.4.1 Tragwerke, in denen nur die Elastizit¨atsmodule der
St¨abe stochastischen Schwankungen unterliegen .......218
8.4.2 Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen.........219
8.4.3 Torbogen mit starren Verbindungen .................220
Teil III Stochastische Strukturoptimierung von Stabtragwerken
9 Optimaler Entwurf (Design) von Tragwerken ..............227
9.1 Entwurfsziele und Entwurfsvariablen.......................227
9.2 Programme zur Entwurfsoptimierung ......................230
9.2.1 Robuste Optimalentu¨rfe (robust optimal design) ......232
9.3 Zielfunktionen und Restriktionen ..........................233
9.3.1 Kostenfunktionen .................................233
9.3.2 Vektorfunktionen zur Tragsicherheit .................234
9.3.3 Skalare Funktionen zur Tragsicherheit................240
9.4 Absch¨atzung der Sicherheitswahrscheinlichkeiten ............244
9.5 Spezielle Programme.....................................249
9.6 Beispiel: Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen.......253
10 Sensitivit¨atsanalyse........................................257
10.1 Gradienten von Ziel- und Restriktionsfunktionen in den
speziellen Programmen...................................257
10.1.1 Gradient der Gewichtsfunktion......................257
10.1.2 Gradient der erwarteten Kostenfunktion..............259
10.2 Approximationen des Gradienten der erwarteten
Kostenfunktion..........................................267
10.2.1 Quadratische Approximation........................267
10.2.2 Approximation fu¨r eine Beispielklasse ................272
10.2.3 Stochastische Approximation .......................279
11 Optimierungsverfahren ....................................281
11.1 Deterministische Methoden ...............................281
11.2 Stochastisches Gradientenverfahren ........................286
11.3 Beispiele ...............................................287
11.3.1 Ebener Dreistab mit drehbaren Verbindungen.........287
11.3.2 Torbogen mit starren Verbindungen .................294
Literaturverzeichnis ...........................................299
Sachverzeichnis ................................................301
Teil I
Stabtragwerke