Stochastische Simulation: Grundlagen, Algorithmen und Anwendungen

249 Pages·2008·3.3 MB·German

by  Michael Kolonko

Michael Kolonko
Stochastische Simulation
Michael Kolonko
Stochastische
Simulation
Grundlagen, Algorithmen und Anwendungen
STUDIUM
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Prof. Dr. Michael Kolonko
TU Clausthal
Institut für Mathematik
Erzstr. 1
38678 Clausthal-Zellerfeld
1.Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
©Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch | Susanne Jahnel
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Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8351-0217-0
IchwidmediesesBuchmeinerMutter,meinerSchwester,
undganzbesondersAnnette,Marie,LiliaundHannah.
Vorwort
Der Zufall in Gestalt von unvorhersehbaren Risiken und Chancen spielt seit jeher eine große
RollebeivielenEntscheidungeninWirtschaftsleben,TechnikundWissenschaft.ZufälligeEin-
flussfaktoren müssen deshalb auch in die formalen Modelle aufgenommen werden, mit denen
heutzutage komplexe Systeme geplant, gesteuert und optimiert werden. Früher reichte es da-
beioft,zufallsbehafteteGrößendurchihreMittelwertezumodellieren.FürdieGenauigkeit,die
heutzutage von Modellen etwa für Prozesse in Produktion und Logistik verlangt wird, müssen
aberauchdiezufälligenEinflüssegenauermodelliertwerden,esmüssenihrezeitlicheEntwick-
lung und ihre wechselseitigen Abhängigkeiten beschrieben werden. Dies führt typischerweise
aufModelle,diezwarrealitätsnahsind,dieabermitdenverfügbarenmathematisch-analytischen
Methodenoftnichtmehrgelöstwerdenkönnen.
In dieser Situation kann die stochastische Simulation einen Ausweg bieten, indem sie der
mathematischen Modellierung sozusagen eine experimentelle Variante zur Seite stellt. Einzige
Voraussetzungdafürist,dassdernicht-zufälligeTeildesModells,alsoetwadasProzessgesche-
henbeifeststehendenzufälligenEinflüssen,berechnetoderaufdemRechnerdargestelltwerden
kann.WirddiesesTeilmodelldannfürwechselndenzufälligenInputbeobachtet,sokönnenaus
denBeobachtungenSchätzungenfürverschiedeneLeistungskenngrößengewonnenwerden.
EineähnlicheSituationentstehtauchbeiderAnwendungvielerheuristischerSuchmethoden
auf komplexe Optimierungprobleme. Das Grundproblem, z.B. das Auffinden einer optimalen
Reihenfolge,istofteinfachundenthältkeinerleiZufallseinflüsse.DieKomplexität,z.B.dieAn-
zahl der möglichen Reihenfolgen, ist aber zu groß, um mit herkömmlichen Mitteln beherrscht
werden zu können. Hier erweisen sich stochastische Suchmethoden wie z.B. Simulated Anne-
aling oft als erfolgreich bei der Verbesserung vorhandener Lösungen. Ähnlich wie man einem
SackvollerHolzklötzeeinigeStößeversetzt,umdieKlötzeineinedichtereAnordnungzubrin-
gen,ohnejedenKlotzeinzelnanzufassen,kannmanLösungenkomplexerOptimierungsproble-
meimmerwiederdurchkleinezufälligeStörungenverändernundgelangtsooftzuwesentlich
besserenLösungen.Voraussetzungistauchhier,dasdieLösungundihreQualitätaufdemRech-
nerbestimmtwerdenkönnen.
Zur Aufstellung solcher Modelle benötigt man zum einen anwendungsspezifisches Know-
How,umdieProblemstellungadäquatzuerfassen.DanebengibtesabereinewachsendeMenge
von allgemeinen Techniken und Konzepten, die mit der Bereitstellung des „zufälligen Inputs“
undderAuswertungderBeobachtungenzutunhaben.DieseanwendungsübergreifendenAspek-
tederstochastischenSimulationstehenimMittelpunktdesvorliegendenBuches.Esbehandelt
dieErzeugungvonZufallszahlenfürverschiedene,auchmehrdimensionaleVerteilungen,unter-
suchtdieQualitätdieserZufallszahlen,stellteinigeStandardanwendungenwiedieMonte-Carlo-
IntegrationvorundgehtschließlichaufdieOrganisationundAuswertungderSimulationsexpe-
rimente ein. Dabei wird versucht, den Bogen zu spannen von den mathematisch-theoretischen
GrundlagenüberdieAlgorithmenbishinzupraktischenBeispielen,diez.T.ausrealen,vonuns
VIII
bearbeitetenAnwendungenstammen.EinigeBeispielebeziehensichinsbesondereaufheuristi-
scheSuch-undOptimierungsstrategien,beiderenDarstellunginderLiteraturdieBedeutungder
Simulationoftnichtgenügendgewürdigtwird.
DasBuchwendetsichanLeserundLeserinnen,dieschonüberGrundkenntnisseinStochas-
tik verfügen. Die vorausgesetzten Begriffe und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie (und
in geringerem Umfang der Statistik) sind im Anhang stichwortartig zusammengefasst. Bei der
FormulierungdesTexteswurdemanchmalaufgrößtemathematischeAllgemeinheitverzichtet,
wenn dadurch eine bessere Verständlichkeit erzielt werden konnte. Verzichtet wurde insbeson-
dere auf die genaue maßtheoretische Ausformulierungen der Sätze und ihrer Voraussetzungen,
stattdessen wollen wir hier vereinbaren, dass alle auftretenden Mengen und Funktionen in ge-
eigneter Weise messbar sein sollen. Algorithmen werden in einem Pseudocode angegeben, der
eng an die Programmiersprache angelehnt ist, so dass es meist sehr einfach ist, aus den
BeispielenlauffähigeProgrammein zugewinnen.
Dieses Buch ist entstanden aus Skripten zu Vorlesungen über stochastische Simulation, die
ich an der TU Clausthal und der Universität Hildesheim vor allem für Studierende der Wirt-
schaftsmathematik und Informatik gehalten habe. Ich habe mich bei der ursprünglichen Aus-
arbeitung auf verschiedene Quellen gestützt, insbesondere auf die Bücher [BFS87], [Dev86],
[Fis03],[Knu98],[Rip87]und[Ros02].VielePersonenhabenimLaufederJahrezudiesemText
beigetragen,besondersmöchteichmeinenehemaligenMitarbeiternM.T.Tran,O.Engelhardt-
FunkeundD.Wäschdanken.SehrgeholfenhatmirauchdieUnterstützungvonHerrnB.Görder
bei der Endredaktion und von Herr N. Zhang bei der Korrektur des Textes. Schließlich möch-
te ich dem Verlag Vieweg+Teubner und dem Herausgeber, Herrn Kollegen B. Luderer, für die
Möglichkeitdanken,dasBuchinderReihe„Wirtschaftsmathematik“zuveröffentlichen.
Clausthal-Zellerfeld,Juli2008 MichaelKolonko
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 EineBegriffsabgrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 ModellierungsebenenderSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I ZufallsgeneratorenfürGleichverteilungen 7
2 GanzzahligkeitundRekursion 11
2.1 DieGleichverteilungauf{0,1,...,M−1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 RekursiveGeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 LineareKongruenzgeneratoren 17
3.1 MaximalePeriodenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 ImplementierungvonLKGs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 ZufallsgeneratorenmitdemModulus2 27
4.1 Schieberegister-Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Tausworthe-Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 DerMersenne-Twister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 WeitereZufallsgeneratoren 37
5.1 MischenvonGeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 InverseKongruenzgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 ErzeugenvonZufallszahleninGleitkomma-Darstellung . . . . . . . . . . . . . 42
6 AnalytischeGütekriterien 51
6.1 KriterienzurBeurteilungvonZufallsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 d-gleichverteilteFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 GrafischeÜberprüfungderGleichverteiltheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4 DerSpektraltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 StatistischeGütekriterien 67
7.1 StatistischeAnpassungstests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2 SpezielleAnpassungstestsbeiZufallsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
X Inhaltsverzeichnis
II ErzeugungvonZufallszahlenmitvorgegebenerVerteilung 81
8 Inversionsmethode 85
8.1 DieverallgemeinerteInverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 DasInversionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3 InversionbeidiskretenVerteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9 Annahme-Verwerfungsmethode 97
10 Kompositionsmethode 107
10.1 DasallgemeineVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2 SimulationderNormalverteilungmitderKompositionsmethode . . . . . . . . . 110
11 Tabellen-Nachschlagemethoden 121
11.1 EineeinfacheNachschlagemethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2 DieAlias-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 AufbauderAlias-Tafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.4 EinBeispielfürdenAufbaueinerAlias-Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12 SimulationsverfahrenfüreinigeStandardverteilungen 133
12.1 DiskreteVerteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 StetigeVerteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.3 MehrdimensionaleVerteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13 SimulationvonGleichverteilungenaufFlächen 141
13.1 GleichverteilungaufeinemSimplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.2 GleichverteilungenaufKugeloberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14 ZieheneinerzufälligenStichprobe 159
14.1 StichprobenmitvorgegebenenZiehungswahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . . . 159
14.2 ZiehenbeibekannterGrundgesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.3 SequentielleStichprobenentnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
III Simulationsexperimente:AufbauundAuswertung 171
15 BeispieleundAnwendungen 175
15.1 SchätzungeneinesErwartungswertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15.2 EreignisgesteuerteSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16 KonfidenzintervallundStichprobenumfangbeiMittelwertschätzungen 189
17 RegenerativeSimulation 197
Inhaltsverzeichnis XI
18 Varianzreduktion 207
18.1 Monte-Carlo-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
18.2 AntithetischeVariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
18.3 Varianzreduktiondurch„Conditioning“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
18.4 VarianzreduktiondurcheineKontrollvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
IV SimulationundOptimierung 227
19 OptimalesLandebahnmanagement 229
19.1 ProblemstellungLandebahnzuweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
19.2 DasmathematischeModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
19.3 EreignisgesteuerteSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
19.4 RegenerativeSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
19.5 Zuweisungsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
19.6 Varianzreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
19.7 OptimierungmitgenetischenAlgorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Anhang 247
A EinigeGrundbegriffederStochastik 249
B EinigeGrundbegriffedermathematischenStatistik 253
Literaturverzeichnis 255
Sachverzeichnis 257