Stochastische Folgen: Ein Proseminar mit Anwendungen in der Versicherungsmathematik

164 Pages·2015·1.43 MB·German

by  Klaus D. Schmidt (auth.)

Springer-Lehrbuch
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Klaus D. Schmidt
Stochastische Folgen
Ein Proseminar mit Anwendungen
in der Versicherungsmathematik
Klaus D. Schmidt
Lehrstuhl für Versicherungsmathematik
Technische Universität Dresden
Dresden, Deutschland
ISSN 0937-7433
Springer-Lehrbuch
ISBN 978-3-662-46175-4 ISBN 978-3-662-46176-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-46176-1
Mathematics Subject Classi(cid:191) cation (2010): 40A99, 20M99, 06F99, 60E10, 60E15
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Vorwort
Mathematik ist eine Kunst, und jede Kunst entsteht durch Handwerk und
Begabung. Im Bachelor–Studium liegt der Schwerpunkt naturgem¨aß auf dem
Handwerk, und dieses Buch bietet die Gelegenheit, die in den grundlegenden
Teilgebieten der Mathematik erworbenen Kenntnisse und F¨ahigkeiten auf ein
einfaches und dennoch vielseitiges mathematisches Objekt anzuwenden und
dabei die Grenzen zwischen den Teilgebieten zu u¨berschreiten.
Ein solches mathematisches Objekt ist die Klasse der stochastischen Folgen.
MankannMathematikersein,ohneetwasu¨berstochastischeFolgenzuwissen,
aber um Mathematiker zu werden, sind stochastische Folgen recht nu¨tzlich,
denn ihre systematische Untersuchung erfordert Kenntnisse und F¨ahigkeiten
in vielen Teilgebieten der Mathematik: Vektoren und Matrizen, Halbgruppen
und Ordnungsrelationen, Differenzengleichungen und Differentialgleichungen,
PotenzreihenvonreellenZahlenoderquadratischenMatrizen,undschließlich
auch normierte R¨aume und Aspekte der numerischen Mathematik.
DieindiesemBuchentwickelteTheoriederstochastischenFolgenistdahervor
allemeinMittelzudemZweck,mathematischeKenntnisseundF¨ahigkeitenzu
erproben. Die Darstellung ist bewusst abstrakt gehalten, um zu verhindern,
dass mathematische Argumente durch Interpretationen von Begriffen oder
Ergebnissenu¨berlagertodervielleichtsogardurchPlausibilit¨atsbetrachtungen
ersetzt werden.
DerBegriffeinerstochastischenFolgedeutetnatu¨rlichaufdieWahrscheinlich-
keitstheorie,undinderTatl¨asstsichdieTheoriederstochastischenFolgenim
Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie interpretieren. Wir illustrieren dies,
indem wir in vielen Kapiteln die allgemeine Theorie durch Anwendungen auf
stochastische Modelle der Versicherungsmathematik erg¨anzen.
DiesesBuchistvorallemalsGrundlagefu¨reineLehr–bzw.Lernveranstaltung
im fortgeschrittenen Bachelor–Studium geeignet, in der die Studenten ihren
vi Vorwort
ersten mathematischen Vortrag halten und dabei ihre F¨ahigkeit zur genauen
und vollst¨andigen mathematischen Argumentation erproben.
DieindiesemBuchgegebenenBeweisem¨ogenaufdenerstenBlickvollst¨andig
zuseinscheinen.BeigenauererBetrachtungstelltsichjedochheraus,dassein-
zelne Beweisschritte zu pr¨azisieren sind; insbesondere werden Beweisschritte,
die mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion zu fu¨hren sind, nicht ausgefu¨hrt. Es
istdemLeseru¨berlassen,nebenderL¨osungderexplizitformuliertenAufgaben
die fehlenden Beweisschritte oder Beweise auszufu¨hren und insbesondere die
in den Beispielen angegebenen Eigenschaften spezieller stochastischer Folgen
zu u¨berpru¨fen.
Mein Dank gilt Johannes W¨olfel, Raik Neumann und Tom Spiegler, die sich
inihrenAbschlussarbeitenmitstochastischenFolgenbefassthaben,undallen
Studenten,dieinProseminarenoderSeminarenzudiesemThemavorgetragen
undzuVerbesserungendesManuskriptesbeigetragenhaben.Meinbesonderer
DankgiltSebastianFuchsundKlausTh.Hess,diemitfreundlicherKritikund
guten Ideen die Entstehung dieses Buches begleitet und unterstu¨tzt haben,
und nicht zuletzt Christiane Weber, die das Manuskript mit großer Sorgfalt
durchgesehen hat.
Schließlich danke ich dem Springer–Verlag und insbesondere Clemens Heine
fu¨r die angenehme Zusammenarbeit.
Dresden, im Dezember 2014 Klaus D. Schmidt
Inhaltsverzeichnis
Einleitung ..................................................... 1
1 Folgenr¨aume............................................... 3
1.1 Der Vektorraum (cid:2)0 ..................................... 3
1.2 Der Banach–Raum (cid:2)∞ .................................. 6
1.3 Der Banach–Raum (cid:2)1 ................................... 8
1.4 Einbettung in die Maß– und Integrationstheorie ............ 12
2 Stochastische Folgen....................................... 15
2.1 Definition und Beispiele ................................. 15
2.2 Konvexit¨at und Abgeschlossenheit ........................ 17
2.3 Extrempunkte ......................................... 19
2.4 Anwendung in der Versicherungsmathematik............... 19
3 Erzeugende Funktion ...................................... 23
3.1 Definition und Beispiele ................................. 23
3.2 Eigenschaften .......................................... 25
3.3 Ableitungen an den Grenzen des Definitionsbereichs ........ 27
3.4 Einbettung in die Wahrscheinlichkeitstheorie............... 31
4 Faltung, Mischung und Compounding ..................... 33
4.1 Faltung ............................................... 33
4.2 Mischung.............................................. 37
4.3 Compounding.......................................... 39
4.4 Anwendung in der Versicherungsmathematik............... 44
5 Momente .................................................. 49
5.1 Binomialmomente ...................................... 49
5.2 Erwartungswert und Potenzmomente ..................... 52
5.3 Varianz ............................................... 58
5.4 Anwendung in der Versicherungsmathematik............... 61
viii Inhaltsverzeichnis
6 Stochastische Ordnung .................................... 67
6.1 Definition und Beispiele ................................. 67
6.2 Faltung ............................................... 72
6.3 Compounding.......................................... 74
6.4 Anwendung in der Versicherungsmathematik............... 76
7 Stop–Loss Ordnung........................................ 79
7.1 Definition und Beispiele ................................. 79
7.2 Faltung ............................................... 86
7.3 Compounding.......................................... 88
7.4 Anwendung in der Versicherungsmathematik............... 90
8 Panjer–Folgen ............................................. 95
8.1 Definition und Beispiele ................................. 95
8.2 Charakterisierung und Eigenschaften...................... 96
8.3 Klassifikation .......................................... 99
8.4 Rekursionen fu¨r das Compounding .......................101
9 Verallgemeinerte Panjer–Folgen ...........................105
9.1 Neumann–Reihe........................................105
9.2 Definition und Beispiele .................................107
9.3 Erzeugende Funktion ...................................112
9.4 Rekursionen fu¨r das Compounding .......................117
10 Phasentypfolgen ...........................................121
10.1 Substochastische Vektoren und Matrizen ..................122
10.2 Definition und Beispiele .................................125
10.3 Konvexit¨at ............................................130
10.4 Erzeugende Funktion ...................................132
10.5 Faltung ...............................................134
10.6 Mischung..............................................136
10.7 Compounding..........................................136
10.8 Binomialmomente ......................................140
10.9 Rekursionen fu¨r das Compounding .......................143
10.10 Anwendung in der Versicherungsmathematik...............149
Literaturverzeichnis ...........................................153
Symbolverzeichnis .............................................155
Stichwortverzeichnis ...........................................159
Einleitung
EinestochastischeFolge isteineFolgepositiverreellerZahlen,diesichzuEins
summieren (wobei der Begriff positiv als ≥0 zu interpretieren ist).
DiesystematischeUntersuchungstochastischerFolgenerfordertKenntnissein
vielenTeilgebietenderMathematik,dieGegenstanddererstenSemestereines
mathematischen Studienganges sind: Vektoren und Matrizen, Halbgruppen
und Ordnungsrelationen, Differenzengleichungen und Differentialgleichungen,
Potenzreihen von reellen Zahlen oder quadratischen Matrizen, und schließ-
lich auch normierte R¨aume und Aspekte der numerischen Mathematik. Die
Untersuchung stochastischer Folgen bietet daher die Gelegenheit, vielf¨altige
Kenntnisse und F¨ahigkeiten anzuwenden und zu konsolidieren und dabei die
Grenzen zwischen einzelnen Teilgebieten der Mathematik zu u¨berschreiten.
Zur Einordnung der Theorie der stochastischen Folgen beginnen wir mit der
BetrachtungeinigerFolgenr¨aume,dieausderAnalysisbekanntsindundinder
Funktionalanalysis als Beispiele fu¨r Banach–R¨aume oder Banach–Verb¨ande
von Interesse sind (Kapitel 1).
Wirfu¨hrendannstochastischeFolgen(Kapitel2)unddiezugeh¨origenPotenz-
reihen (Kapitel 3) ein. Diese Potenzreihen erweisen sich als ¨außerst nu¨tzlich
bei der Untersuchung bin¨arer Operationen (Faltung und Compounding) auf
der Menge der stochastischen Folgen (Kapitel 4) und bei der Untersuchung
der Momente (Binomialmomente und Potenzmomente) stochastischer Folgen
(Kapitel 5).
Des Weiteren untersuchen wir Ordnungsrelationen (stochastische Ordnung
und stop–loss Ordnung) auf der Menge der stochastischen Folgen und ihre
Vertr¨aglichkeit mit den vorher eingefu¨hrten bin¨aren Operationen (Kapitel 6
und 7).
AbschließenduntersuchenwirspezielleKlassenstochastischerFolgen,diesich
dadurch auszeichnen, dass sie eine rekursive Berechnung des Compounding
2 Einleitung
gestatten. Wir beginnen mit Panjer–Folgen (Kapitel 8) und betrachten dann
verallgemeinerte Panjer–Folgen (Kapitel 9) und schließlich die große Klasse
der Phasentypfolgen (Kapitel 10), bei der, mit Ausnahme der Ordnungsre-
lationen, nochmals s¨amtliche Aspekte der Theorie der stochastischen Folgen
angesprochen werden.
DieTheoriederstochastischenFolgenist,wiederBegriffesnahelegt,einTeil-
gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Tat l¨asst sich jede stochastische
Folge als Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen mit Werten in
N0 auffassen,unddaru¨berhinausstelltsichheraus,dasssichwichtigeGrund-
begriffederWahrscheinlichkeitstheorieundGrundprinzipienderKonstruktion
stochastischer Modelle am Beispiel stochastischer Folgen erkl¨aren lassen. Wir
erg¨anzen daher die allgemeine Theorie der stochastischen Folgen durch eine
Reihe von Anwendungen auf stochastische Modelle der Versicherungsmathe-
matik.
Die Literaturhinweise sind knapp gehalten: Sie enthalten nur einige Hinweise
auf weiterfu¨hrende Literatur zu verwandten Gebieten und zur historischen
Einordnung der fu¨r die Versicherungsmathematik wichtigen Ergebnisse zur
rekursiven Berechnung des Compounding.