Stochastik I

67 Pages·2001·0.567 MB·German

by  Scheffler H.-P.


S I

H.-P.S
1998
Sommersemester
gesetztvonArturA.Marczok
Diese Mitschrift wurde mit freier Software (AMS-LATEX2ε, METAPOST) gesetzt. In der
hiervorliegendenkorrigiertenVersionkommterstmalsdasvonYRimCTANzur
Verfügung gestellte px-Zeichensatzpaket zum Einsatz. Es existiert auch eine PDF-Version
dieses Skriptes (natürlich mit Hyperlinks). Korrekturvorschläge und Anfragen bzgl. der
[email protected].
Mein besonderer Dank gilt P R und M D für die zahlreichen
Korrekturen.
Recklinghausen,4.August2001
INHALTSVERZEICHNIS 3
INHALTSVERZEICHNIS
0 Einführung 5
1 Dieσ-AlgebraundW-Maße 7
Stichprobenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
σ-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Erzeugteσ-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Bscheσ-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Wahrscheinlichkeitsmaß,Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Zähldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 DerLscheW-RaumundkombinatorischeW-Rechnung 19
Permutationen,Kombinationenmit/ohneWiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Siebformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ein-/Auschschließungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 WahrscheinlichkeitsmaßemitDichtenaufRd 25
Bscheσ-AlgebraaufRd,B-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
L(-B)schesMaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
MeßbareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IntegralvonElementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
IntegralmeßbarerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
SatzvonB-L,monotoneKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 ZufallsvariablenundUnabhängigkeit 37
5 ErwartungswertundVarianzvonZufallsvariablen 47
6 BedingteWahrscheinlichkeiten 59
7 M-Ketten 63
Sommersemester98

KAPITEL 0
Einführung
Aufgabe der Stochastik ist es, Modelle für zufällige Phänomene zu entwickeln, und damit
Vorhersagen über deren Ausgang zu machen. Diese Phänomene sind außermathematisch,
undebensoistdieFrage,obunsereModellediesePhänomeneadäquatbeschreiben,nichtmit
mathematischenMethodenzuentscheiden,sondernnurdurchExperimente.
Das in dieser Vorlesung behandelte mathematische Modell verwendet dabei im wesentli-
chendieMengenlehreund(daraufaufbauend)dieMaßtheorie.ImGegensatzzurAnalysisund
linearen Algebra sind also die mathematischen Objekte der Stochastik Mengen sowie Ma-
ße, d.h. Abbildungen von Mengensystemen nach [0,1]. Dies macht eine Schwierigkeit der
StochastikgegenüberderAnalysisdeutlich.DieandereSchwierigkeitistdasModellbildungs-
problem:Zueinemgegebenen„Phänomen“mußeinmathematischesModell(Mengensystem,
W(ahrscheinlichkeits)-Maß)konstruiertwerden,dasdieses„Phänomen“beschreibt.
0.1Beispiel.
beobachteteGröße
Phänomen mathem.Modell
(Meßgröße)
(a) Werfeneiner/s
–Münze Kopf/Wappen Ω={K,W}(cid:27){0,1}
–Würfels Augenzahl Ω={1,...,6}
(b)
–Wetter Meßgrößen(Temp.,Druck) Ω=Rd (d≥1)
–Börsenschwankungen Kurs Ω=R
(c) Ausfallraten Anzahlder
vonProdukten fehlerhaftenProdukte Ω=Z+
Man nennt den Raum Ω den Stichproben-Raum. Er ist die Grundlage des mathematischen
Modells.
0.2Beispiel. WerfenmitzweiWürfeln(rot|weiß).Meßgrößen:(a,b)mit1≤a,b≤6.
Ω={1,...,6}×{1,...,6}
Interessiert man sich nur für die Augensumme s = a+b, so ist Ω = {2,...,12} ein möglicher
Stichprobenraum.
Im allgemeinen interessiert man sich nicht nur für die „Wahrscheinlichkeit“ von Elementen
i ∈ Ω, sondern für die Wahrscheinlichkeit von Teilmengen E ⊂ Ω, den Ereignissen. Da mit
ω∈Ω, {ω}⊂Ωgilt,reichtesdie„Wahrscheinlichkeit“fürEreignisseE⊂Ωzudefinieren.
Ereignis Ω⊃E7→P(E)∈[0,1]
Wahrscheinlichkeit=ˆ BewertungderUnsicherheit.
6 SI
0.3Beispiel. WerfenmiteinemidealenWürfel:Ω = {1,...,6}.Esistplausibel,daßP({i}) = 1
6
füri∈Ωgilt.IstnunE=„geradeZahl“={2,4,6},soistplausibel,daßP(E)= 1 geltensollte.
2
   0
E K
KAPITEL 1
σ
Die -Algebra der Ereignisse und
Wahrscheinlichkeitsmaße
IndiesemKapitelwerdendiezweifürdieStochastikgrundlegendenBegriffe„Ereignis“und
„Wahrscheinlichkeit“mathematischdefiniert.
1.1Definition. AlsStichprobenraum(oderMerkmalmenge)bezeichnenwireinebeliebigenicht-
leereMengeΩ,∅.
Ω sollte möglichst adäquat die Ereignisse des Experiments beschreiben. Die Wahl von Ω ist
nichteindeutig;esistaberzuhoffen,daßdieErgebnissedesModellsnichtvonderWahlvonΩ
abhängen.FallsΩendlichist,stelltdieKombinatorikeinewichtigeMethodedar,dieseitdem
17.JahrhundertinderW-Rechnungzentralwar.IstΩunendlich,sowerdenmaßtheoretische
Methodenwichtig,dieK(etwa1930)indieW-Theorieeingeführthat.
1.2Beispiel.
(1) sieheBeispiel0.1
(2) Skatspiel:DieKartenwerdenvon1bis32durchnumeriert,etwa1=ˆ KreuzBube,...,32
=ˆ Karo7.Dannkannman
Ω={(A,B,C)|A,B,C⊂{1,...,32}; A∩B=A∩C=B∩C=∅;
#A=#B=#C=10}
setzenundsodenStichprobenraumallermöglichenSkatspieledefinieren.Dabeibezeich-
nefüreineendlicheMengeA,#AdieAnzahlderElementevonA.
1.3Beispiel. Zusammengesetztes(wiederholtes)Experiment.
(1) EswirdzuersteineMünzegeworfenunddanngewürfelt:
Ω={(W,1),(W,2),...,(W,6),(Z,1),...,(Z,6)}
={W,Z}×{1,...,6} (kartesischesProdukt)
(2) Dasn-maligeWerfeneinerMünzewirddurch
Ω={W,Z}n ={(ω ,...,ω )|ω ∈{W,Z}}
1 n j
modelliert. Das n-Tupel (ω ,...,ω ) symbolisiert eine Folge von Experimenten, bei der
1 n
der j-teVersuchdenWertω ergebenhat.
j
(3) WirddasExperimentunendlichoftwiederholt,soist
Ω={W,Z}N ={(ω ,ω ,...)|ω ∈{W,Z}}
0 1 j
eingeeigneterStichprobenraum.
8 SI
1.4 Konstruktion. Wir haben den Stichprobenraum Ω als Modell zur Beschreibung der möglichen
Ausgänge eines Experiments eingeführt. Wir wollen aber auch komplizierte Ereignisse wie „In 100
Versuchenwurdezwischen40und60malZahlgeworfen“modellieren.Diesgeschiehtdurchgewisse
TeilmengenvonΩundlogischenVerknüpfungen,diedurchMengenoperationenerzeugtwerden:
sicheresEreignis =ˆ Ω
unmöglichesEreignis =ˆ ∅
NegationeinesEreignisses =ˆ Ac =Ω\A
Mindestenseinesderbeiden =ˆ A∪B
allebeide =ˆ A∩B
daserste,abernichtdaszweite =ˆ A\B
mindestenseianlelesaauusseeiinneerrFFoollggee ==ˆˆ ST∞n∞n==11AAnn
1.5Beispiel.
(1) DerWürfelzeigteineungeradeZahl=ˆ
A ={1,3,5}⊂Ω ={1,...,6}
1 1
(2) DieAugensummezweierWürfelist≥10=ˆ
A ={(6,4),(4,6),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6)}⊂Ω ={1,...,6}2
2 2
EingeeignetesSystemvonMengen,daswirzurBeschreibungvonEreignissenverwenden,ist
gegebendurch:
1.6Definition. EinSystemA⊂P(Ω)vonTeilmengenvonΩheißtσ-AlgebraaufΩ,falls
(σA ) Ω∈A
1
(σA ) A∈A ⇒ Ac ∈A
2
(σA3) IstAn ∈A∀n≥1 ⇒ S∞n=1An ∈A
DieA∈AheißenEreignisse,die{ω}, ω∈ΩElementarereignisse(fallssiezuAgehören)
1.7 Bemerkung. Die Tatsache, daß wir als System der „Ereignisse“ i.a. nicht die komplette
Potenzmenge P(Ω) verwenden, ist auf den ersten Blick befremdlich; sie ist aber praktikabel,
unvermeidbarundsogarsinnvoll:
(1) Man kann zeigen, daß auf überabzählbaren Ω es prinzipiell unmöglich ist, sinnvoll
W-MaßeaufganzP(Ω)zudefinieren,sondernnuraufeinerkleinerenσ-Algebra.
1.8Satz. EsseiAeineσ-AlgebraaufΩ,∅undA,B,A ∈Afürallen∈N.Danngilt
n
(a) ∅∈A, A∩B∈A, A\B∈A, A∪B∈A
(b) Tn∈NAn ∈A
(c) (i) linm→i∞nfAn =Sn≥1Tk≥nAk ∈A
(ii) limsupAn =Tn≥1Sk≥nAk ∈A
n→∞
1.9Bemerkung.
ω∈liminfA ⇔ ω∈A fürfastallen(d.h. bisaufendlichvielen)
n n
ω∈limsupA ⇔ ω∈A für∞-vielen
n n
B. (a) ∅=Ωc ∈Awegen(σA )und(σA )
1 2
1.Dieσ-AlgebraundW-Maße 9
(b)
!c
\ [ [
A = Ac ∈A, da Ac ∈Anach(σA )und(σA ).
n n n 2 3
n∈N n∈N n∈N
\
A∩B= A ∈A, falls A =A, A =B, A =Ω(n≥2)
n 0 1 n
n∈N
A\B=A∩Bc ∈A
A∪B=(Ac∩Bc)c ∈A
(c) Setzt man für n ∈ N, Bn = Sk≥nAk, so ist das als abzählbare Vereinigung von Mengen
ausAinAfürjedesn∈N:
\[ \
⇒ limsupA = A = B ∈A
n k n
n∈Nk≥n n∈N
EbensofürliminfA !
n
(cid:3)
FallsΩendlichoderabzählbarunendlichist,istallesvieleinfacher:
1.10Satz. SeiΩabzählbar.Dieeinzigeσ-Algebra,diealleElementarereignisse{ω}fürω∈Ωenthält,
istA=P(Ω)
B. EsreichtP(Ω)⊂Azuzeigen.
SeiA∈P(Ω)beliebig.FallsAabzählbarunendlich,etwaA={ω ,ω ,...},soist
0 1
[
A= {ω }∈Anach(σA )
n 3
n∈N
FallsA={ω ,...,ω }endlich,ist
1 n
[n
A= {ω }∈A
j
j=1
(cid:3)
σ-Algebrenwerdenhäufignichtexplizit(durchAngabeallerzugehörigenEreignisse),sondern
implizitdurchAngabevonGrundereignissenundVerwendungderAxiome(1.6)angegeben.
Zum Beispiel wandelt Satz 1.10 die implizite Forderung „alle Elementarereignisse gehören
dazu“indieexpliziteAngabeA=P(Ω)um.
1.11Lemma. EsseiI ,∅eineIndexmenge,undfüri∈IseiA eineσ-AlgebraaufΩ.Dannistauch
Ti∈IAieineσ-Algebra. i
B. (σA1): Ω ∈ Ai (nach (σA1)) für alle i ∈ I. (Übung) ⇒ Ω ∈ Ti∈IAi. (σA2) und (σA3)
ebenso! (cid:3)
1.12SatzundDefinition. SeiE⊂P(Ω)einMengensystem.Dannist
\
A(E):= A
Aσ-Algebra
E⊂A
eineσ-Algebra,undzwardiekleinste,dieEenthält.MannenntA(E)dievonEerzeugteσ-Algebra.
B. Es ist P(Ω) eine σ-Algebra mit E ⊂ P(Ω). Also enthält der Durchschnitt mindestens
P(Ω) und (1.11) zeigt, daß A(E) eine σ-Algebra ist. Offenbar gilt E ⊂ A(E). Ist A0 irgendeine
σ-Algebra,dieEenthält,sokommtA0 imSchnittvor,alsoA0 ⊃ TA = A(E).A(E)istalsodie
kleinste. (cid:3)
Sommersemester98
10 SI
1.13 Bemerkung. Der Satz 1.10 stellt also einen Zusammenhang zwischen impliziter und
expliziterDefinitioneinerσ-Algebradar,dennerbesagt:Ωabzählbar⇒
A(Elementarereignisse) = P(Ω)
x x
 
implizit explizit
DasKonstruktionsprinzipdererzeugtenσ-Algebrawirdnunerstmalswichtigfürdieauszwei
TeilexperimentenzusammengesetztenExperimente,diejaalsStichprobenraumnachBsp.1.3
Produktmengenhaben.
1.14Beispiel(zweiExperimente). EswerdedasersteExperimentdurch(Ω ,A )beschrieben,
1 1
sowiedaszweitedurch(Ω ,A ).SeiΩ=Ω ×Ω .WirwollenmindestensdieTeilmengen
2 2 1 2
A ×Ω (=ˆ beimerstenExperimentgeschiehtA ) und
1 2 1
Ω ×A (=ˆ beimzweitenExperimentgeschiehtA )
1 2 2
inderσ-Algebrahaben.WirverwendendeshalbaufΩ=Ω ×Ω dieProduktσ-Algebra
1 2
A ⊗A :=A({A ×Ω , Ω ×A }|A ∈A , A ∈A })
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
InsbesonderegehörendazudieMengen
A ×A =(A ×Ω )∩(Ω ×A ) fallsA ∈A
1 2 1 2 1 2 j j
(1) Spezialfall:
Sind Ω ,Ω abzählbar, so auch Ω × Ω . Falls A = P(Ω ), A = P(Ω ), so ist jedes
1 2 1 2 1 1 2 2
Elementarereignis{(ω ,ω )}∈Ω ×Ω als
1 2 1 2
{(ω ,ω )}={ω }×{ω }∈A ⊗A
1 2 1 2 1 2
undsomitnachSatz1.10
A ⊗A =P(Ω ×Ω )
1 2 1 2
(2) DerzweimaligeWurfeinesWürfelswerdedurchΩ = Ω ×Ω mitΩ = Ω = {1,...,6}
1 2 1 2
modelliert.IstA = P(Ω ),soistdieProduktσ-AlgebraA ⊗A diePotenzmengeP(Ω)
j j 1 2
undfolglichz.B.:
ersterWurfungerade =ˆ {1,3,5}×{1,...,6}
Summe≥10 =ˆ {(6,4),(4,6),(5,5),(6,5),(5,6),(6,6)}
beideWürfegleich =ˆ {(1,1),(2,2),...,(6,6)}
1.15Beispiel. EinExperiment,dasdurch(Ω,A)beschriebenwird,sollmehrmalswiederholt
werden.DieZahlderWiederholungenwerdedurcheineMengeIindiziert,alsoetwa:
I={1,...,n} bei nWiederholungen
I=N bei ∞-vielenWiederholungen
I=R+ bei kontinuierlichemProzeß
IentsprichtderMengederZeitpunkte.Stichprobenraum:
ΩI ={(ω : i∈I)|ω ∈Ω}
i i
ω beschreibtdasEreignisdesi-tenExperimentesbzw.deri-tenBeobachtung.AufΩI sollnun
i
eine geeignete σ-Algebra definiert werden. Dazu sollten zumindest Ereignisse gehören, die
übereinbestimmtesExperiment j∈IeineAussagemachen,alsodieMengen
Z (A)={(ω)∈ΩI|ω ∈A, ω beliebigfüri, j}
j i j i
DievondemSystem
E={Z (A)| j∈I, A∈A}
j