Stochastik: Eine anwendungsorientierte Einführung für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker PDF
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Gerhard Hübner Stochastik Mathematische Grundlagen ______ ______. der Informatik Herausgeber: Rolf Möhring, Walter Oberschelp und Dietmar Pfeifer Algorithmische Lineare Algebra von Herbert Möller Analysis von Gerald Schmieder Numerik von Helmuth Späth Stochastik von Gerhard Hübner Einführung in die Computergraphik von Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel und Christoph Zenger vieweg _________________ __" Gerhard Hübner Stochastik Eine anwendungsorientierte Einführung für Informatiker, Ingenieure und Mathematiker 2., durchgesehene Auflage IJ vleweg Prof. Dr. Gerhard Hübner Institut für Mathematische Stochastik Universität Hamburg Bundesstraße 55 20146 Hamburg E-Mail: [email protected] Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich 1. Auflage 1996 2., durchgesehene Auflage 2000 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 2000 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Überset zungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbei tung in elektronischen Systemen. http://www.vieweg.de Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN 978-3-528-15443-1 ISBN 978-3-322-96909-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96909-5 v Vorwort Die vorliegende Einführung in die Stochastik, die sich vorwiegend an Studierende der Informatik richtet, geht in ihrer Konzeption im wesentlichen von den folgenden drei Gesichtspunkten aus: 1. Die Anwendung soll im Vordergrund stehen. Der Leser soll in die Lage versetzt werden, bei konkreten Vorgängen mit Zufalls einfluss die wesentlichen Aspekte zu erkennen, ein geeignetes Modell zu finden und daraus Prognosen und gegebenenfalls Entscheidungshilfen abzuleiten. 2. Es sollen interessante und aktuelle Anwendungsbereiche einbezogen werden, die sonst in einführenden Lehrbüchern meist nicht behandelt werden, so z.B. Bedie nungsmodelle, wie sie u.a. bei der Bewertung von Kommunikationsnetzen eine we sentliche Rolle spielen, oder Aspekte von Simulationsmethoden, die immer dann zum Zuge kommen, wenn die analytische Lösung eines Problems zu komplex wird oder nicht bekannt ist. 3. Der Umfang soll überschau bar sein, um den Einstieg in die Stochastik zu er leichtern. Es kann daher in vielen Bereichen nur ein begrenzter Einblick gegeben werden, der zur Lösung von einfachen Problemen ausreicht, daneben aber für kom plexere Fragestellungen ein gewisses Verständnis ermöglicht, Interesse weckt und die wesentlichen Grundlagen bereitstellt, um eine Beschäftigung mit schwierigeren Aufgaben anhand weiterführender Literatur oder in entsprechenden Lehrveranstal tungen zu ermöglichen. Formale Elemente und Strukturen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie sollen nur insoweit einbezogen werden, wie sie einerseits als Handwerkszeug zur ModelIierung und Lösung praktischer Probleme gebraucht werden und andererseits die Einord nung von einzelnen Aspekten und Methoden in übergreifende Gesetzmäßigkeiten ermöglichen. Außerdem soll auch bei Vereinfachungen nach Möglichkeit auf Über einstimmung mit den sonst üblichen Bezeichnungen und Sprechweisen geachtet werden. In dieses Konzept sind im wesentlichen Erfahrungen aus den regelmäßigen Einfüh rungsveranstaltungen "Stochastik für Studierende der Informatik" an der Univer sität Hamburg, aber auch aus anderen Lehrveranstaltungen eingeflossen. Es lässt sich damit, wenigstens teilweise, auch auf entsprechende Veranstaltungen für Stu dierende der Mathematik, Wirtschaftsmathematik und der Ingenieurwissenschaf ten anwenden, je nach Bedarf ergänzt durch vertiefende theoretische oder spezielle angewandte Themenbereiche. Der verstärkte Einsatz von graphischen Elementen - das besondere Herausheben von wichtigen Stichwörtern, die Kennzeichnung von Beispielen durch anschauliche Symbole und eine große Zahl von Skizzen, Funktionsdarstellungen und Tabellen - vi Vorwort soll das Verständnis, die visuelle Vorstellung, das Einprägen und das Nachschlagen erleichtern. An dieser Stelle möchte ich allen danken, die an der Entstehung dieses Buches mit gewirkt haben: den Hörerinnen und Hörern meiner Vorlesungen, sowie den an den Übungen be teiligten studentischen Hilfskräften für ihre Mitarbeit und für alle kritischen und ermunternden Äußerungen, meinen Hamburger Kolleginnen und Kollegen, Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern für unzählige Diskussionen, didaktische Überlegungen und praktische Verbesse rungsvorschläge, allen Autoren von Lehrbüchern für manche Anregungen, Beispiele und Übungsauf gaben, deren Herkunft nicht immer im einzelnen nachvollziehbar ist, meinen akademischen Lehrern, die meine Einstellung zum mathematischen Den ken und Forschen geprägt haben, insbesondere Herrn Prof. Hinderer, der seinem damaligen Assistenten neben aller formalen Strenge seine Aufgeschlossenheit für Anwendungen vermittelt hat, dem Vieweg-Verlag und den Herausgebern für das Angebot, dieses Lehrbuch in der Reihe "Mathematische Grundlagen der Informatik" zu veröffentlichen, für die gute Zusammenarbeit und für alle Unterstützung bei redaktionellen Fragen, der Universität Hamburg für die Unterstützung im Rahmen des vom Bundesmi nisterium für Forschung und Technologie geförderten Projekts "Innovation in der Lehre", den Studierenden Stefan Behnke und Stephan Engelke für ihren unermüdlichen und engagierten Einsatz bei der Herstellung und Gestaltung der Druckvorlage, ins besondere auch der Abbildungen, dem Studierenden Roman-Raffaele Chirico für die Programmierung und Produkti on der Simulations-Darstellungen und nicht zuletzt meiner Familie für manche Ermutigung und manchen Verzicht. Hamburg, im September 1995 Gerhard Hübner Die vorliegende zweite Auflage ist im wesentlichen unverändert geblieben, abge sehen von notwendigen Korrekturen und redaktionellen Anpassungen. Lediglich das einleitende erste Kapitel wurde stärker überarbeitet und ergänzt um einen Abschnitt über "Beschreibende Statistik", der erste Erfahrungen im Umgang mit zufälligen Daten vermitteln soll, um den Einstieg in die formalen Modelle zu er leichtern. Allen Kollegen und Studierenden, die durch Hinweise und Vorschläge zur Verbes serung dieser Auflage beigetragen haben, gilt mein besonderer Dank. G.H. vii Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Was ist Stochastik? ......... 1 1.2 Anwendungsbereiche der Stochastik 1 1.3 Modell und Realität ... 3 1.4 Fragestellungen und Ziele 4 1.5 Beschreibende Statistik. 6 1.6 Aufgaben · ....... 9 2 Wahrscheinlichkeits-Modelle 11 2.1 Die Modell-Bausteine. 11 n 2.2 Der Merkmalraum 12 2.3 Zusammengesetzte Merkmale 13 2.4 Ereignisse · ...... 14 2.5 Das Ereignis-System A 17 2.6 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit 19 2.7 Weitere Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen 24 2.8 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 25 2.9 Aufgaben · ................. 27 3 Darstellungen von Wahrscheinlichkeitsmaßen 31 3.1 Diskrete W-Maße und Zähldichten .. 31 3.2 Stetige W-Maße und Riemann-Dichten 33 3.3 Verteilungsfunktionen . 38 3.4 Aufgaben · ...... 42 4 Mehrstufige W-Modelle, Koppelung 45 4.1 Koppelung diskreter W-Modelle 45 4.2 Koppelung stetiger W-Modelle . 47 4.3 Unabhängige Koppelung 47 4.4 Markov-Koppelung ... 50 viii Inhaltsverzeichnis 4.5 Zufälliges Ziehen ohne Zurücklegen 51 4.6 Folgen von Koppelungsmodellen 54 4.7 Aufgaben ........... . 55 5 Zufallsvariable und Bildmodelle 57 5.1 Zufallsvariable ......... . 57 5.2 Bildmodelle, Verteilungen von Zufallsvariablen 59 5.3 Hypergeometrische und Binomial-Modelle .. 62 5.4 Die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung . 63 5.5 Die Normal-Approximation der Binomial-Verteilung. 64 5.6 Wartezeiten - die geometrische Verteilung . . . . . . 65 5.7 Mehrfaches Warten - die negative Binomialverteilung 67 5.8 Bild-Verteilungen für stetige W-Modelle .. 68 5.9 Randverteilung und gemeinsame Verteilung 70 5.10 Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen . 74 5.11 Summen-Verteilungen und Faltung 78 5.12 Aufgaben ............. . 82 6 Kenngrößen 87 6.1 Modalwert, Median, Quantile 87 6.2 Erwartungswert: Einführung. 89 6.3 Erwartungswert: diskrete Modelle 90 6.4 Erwartungswert: stetige und gemischte Modelle 96 6.5 Streuung und Varianz 100 6.6 Kovarianz . . . . . . . 103 6.7 Mehrdimensionale Normalverteilung . 105 6.8 Zufällige Summen und bedingte Erwartungswerte 109 6.9 Aufgaben ..................... . 113 7 Modelle für stochastische Prozesse 117 7.1 Vorbemerkungen ......... . 117 7.2 Markov-Ketten - einige Grundbegriffe. 118 7.3 Markov-Ketten im Gleichgewicht 121 7.4 Aufgaben ............ . 126 IX 8 Bediensysteme 127 8.1 Vorbemerkungen ...... . 127 8.2 Das Bedienmodell MIMlll°o . 129 8.3 Das MIMII-Bediensystem im Gleichgewicht 133 8.4 Leistungsmaße im MIMII-Bediensystem 135 8.5 MIMlslc-Bediensysteme ........ . 139 8.6 Andere Bedienzeitverteilungen ..... . 145 8.7 Gekoppelte Bediensysteme ~ Bediennetze . 147 8.8 Bedienmodelle mit stetiger Zeit 151 8.9 Aufgaben ......... . 153 9 Zufallszahlen und Simulation 157 9.1 Vorbemerkungen ..... . 157 9.2 Erzeugen gleichverteilter Zufallszahlen 157 9.3 Zufallszahlen mit anderen Verteilungen 159 9.4 Anwendung von Simulationsverfahren . 163 9.5 Aufgaben ............... . 165 10 Grundfragen der Statistik 167 10.1 Typische Problemstellungen 167 10.2 Punktschätzung .. 169 10.3 Intervallschätzung . 171 10.4 Statistische Tests 174 10.5 Testen von Hypothesen . 176 10.6 Chi-Quadrat-Anpassungstest . 178 10.7 Test auf Unabhängigkeit 180 10.8 Aufgaben ....... . 181 A Tabellen 185 A.l Die wichtigsten diskreten Verteilungen 185 A.2 Die wichtigsten stetigen Verteilungen 186 A.3 Werte der Standard-Normalverteilung . 187 A.4 Quantile der Standard-Normalverteilung 188 A.5 Quantile der Student-Verteilung . . . 188 A.6 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 189 x Inhaltsverzeichnis Literaturverzeichnis 191 Symbole und Abkürzungen 194 Stichwortverzeichnis 195
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