Stochastic Taylor Expansions and Saddlepoint Approximations for Risk Management

155 Pages·2008·5.48 MB·English

ETH Library
Stochastic Taylor expansions and
saddlepoint approximations for risk
management
Doctoral Thesis
Author(s):
Studer, Michael
Publication date:
2001
Permanent link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-004232555
Rights / license:
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Diss. ETHNo. 14242
Stochastic Taylor Expansions and
Saddlepoint Approximations for Risk
Management
MICHAEL STUDER

Diss. ETHNo. 14242
Stochastic Taylor Expansions and
Saddlepoint Approximations for Risk
Management
A dissertation submitted to the
SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY
ZURICH
for the degree of
Doctor ofMathematics
presented by
MICHAEL STUDER
Dipl. Math. ETH
born April 19, 1972
citizen ofBrig-Glis and Mund (VS)
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. P. Embrechts, examiner
Prof. Dr. F. Delbaen, co-examiner
Prof. Dr. P. Glasserman, co-examiner
2001

Meinen Eltern,
die mich immer meine Brötchen
backen Hessen.

Acknowledgement
Many people have helpedwith the accomplishment ofthe present thesis First
ofall, I wantto thankmy supervisorProfessor Paul Embrechts, who has given
me the opportunity to deepenmy knowledge infinancial mathematics andrisk
management His steady interest andhis valuable hints have greatly improved
the present work Furthermore I want to thank my co-examiners, Professor
Freddie Delbaen and Professor Paul Glasserman, for many useful hints and
comments I further want to thank Professor Jens Jensen and Professor Ole
Barndorff-Nielsen as well as Wim Schoutens for the hospitality, while visit¬
ing Aarhus and Leuvenrespectively
Many colleagues helped me succeed in the daily struggle at the ETH
Special thanks go to Marco, for his support in applied probability, Dito, Lian,
for the personal IT-support and all other members of the assistance-group 3
and the former assistance-group 2
I further want to express my gratitude to my whole family, who always
supported me Last but not least, the biggest thank deserves Carla, for all her
patience and love
v

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit enthalt zwei Teile Nach einer kurzen Übersicht über
AnsätzeundMethodenim Risiko-Management, betrachtenwir Sattelpunktap-
proximationen und stochastische Taylor-Entwicklungen Sattelpunktapprox-
îmationen umfassen eine relativ alte statistische Methode, die wichtige Al¬
ternativen zur Fourier-Inversion liefern kann Vor allem Fragestellungen im
Zusammenhang mit der Berechnung von Quantilen können oft zuverlässig
und schnell beantwortet werden Stochastische Taylor-Entwicklungen sind
das stochastische Analogon zu Taylor-Entwicklungen aus dem Bereich der
deterministischenAnalysisundwerdenvorallem zu Simulationszweckenver¬
wendet Zuerst zitieren wir die wichtigsten Resultate über stochastische Tay¬
lor-EntwicklungenfurDiffusionsprozesse in derArtundWeise, wie sie spater
verwendet werden und anschliessend entwickeln wir stochastische Taylor-
Entwicklungen fur multivariate Poisson-Prozesse Diese zwei Entwicklungen
werden schliesslich verknüpft
Im zweiten Teil dieser Arbeit untersuchen wir die Anwendbarkeit dieser
Approximationen auf Probleme im Zusammenhang mit Risiko-Management
und vergleichen die Qualität der Approximationen, die stochastische Taylor-
Entwicklungen und Sattelpunktapproximationenverwenden, mit der Qualität
bekannterApproximationen Die Anwendbarkeitwirdfur drei spezielle Mod¬
elltypen untersucht, die eine breite Palette untersuchter Modelle in stetiger
Zeit abdecken Wir beginnen mit dem bekannten Black-Scholes Modell, ob¬
wohl dies eigentlich ein Untermodell des zweiten untersuchten Typs darstellt
Die Wichtigkeit dieses Modells in der Praxis stutzt diese Spezialbehandlung
Danach untersuchen wir allgemeine Diffusionsmodelle Diese Klasse enthalt
insbesondere Modelle mit stochastischer Volatilität und viele Zinsmodelle
Am Schluss wenden wir uns Modellen mit Sprüngen zu Solche Modelle
erfreuen sich wachsender Popularitätund stellen besondere Probleme
vu