Statistische Physik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV

413 Pages·2010·5.11 MB·German

by  Prof. Dr. Torsten Fließbach (auth.)

Statistische Physik
Torsten Fließbach
Statistische Physik
Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV
5. Auf lage
Autor:
Prof. Dr. Torsten Fließbach
Universität Siegen
57068 Siegen
fl [email protected]
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5. Auf lage 2010
© Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2010
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Herstellung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Satz: Autorensatz
Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu–Ulm
ISBN 978-3-8274-2527-0
Vorwort
Das vorliegende Buch ist Teil einer Vorlesungsausarbeitung [1,2,3,4] des Zyklus
TheoretischePhysikIbisIV.EsgibtdenStoffmeinerVorlesungTheoretischePhy-
sik IV über die Statistische Physik wieder. Diese Vorlesung für Physikstudenten
wird häufig im 6. Semester (Bachelor- oder Diplomstudiengang)angeboten, gele-
gentlichaberaucherstimMasterstudium.
DieDarstellungbewegtsichaufdemdurchschnittlichenNiveaueinerKursvor-
lesunginTheoretischerPhysik.DerZugangisteherintuitivanstellevondeduktiv;
formaleAbleitungenundBeweisewerdenohnebesonderemathematischeAkribie
durchgeführt.
In enger Anlehnung an den Text, teilweise aber auch zu dessen Fortführung
und Ergänzung werden über 100 Übungsaufgaben gestellt. Diese Aufgaben erfül-
len ihren Zweck nur dann, wenn sie vom Studenten möglichst eigenständig bear-
beitet werden. Diese Arbeit sollte unbedingt vor der Lektüre der Musterlösungen
liegen,dieimArbeitsbuchzurTheoretischenPhysik[5]angebotenwerden.Neben
den Lösungen enthält das Arbeitsbuch ein kompaktes Repetitorium des Stoffs der
Lehrbücher[1,2,3,4].
DerUmfangdesvorliegendenBuchsgehtetwasüberdenStoffhinaus,derwäh-
rend eines Semestersin einemPhysikstudiumüblicherweisean deutschenUniver-
sitätenbehandeltwird.DerStoffistinKapitelgegliedert,dieimDurchschnittetwa
einer Vorlesungsdoppelstunde entsprechen. Natürlich bauen verschiedene Kapitel
aufeinanderauf.Eswurdeaberversucht,dieeinzelnenKapitelsozugestalten,dass
siejeweilsmöglichstabgeschlossensind.DamitwirdeinerseitseineAuswahlvon
KapitelnfüreinenbestimmtenKurs(etwaineinemBachelor-Studiengang)erleich-
tert, indemderStoffstärkerbegrenztwerden soll.Zumanderen kann derStudent
leichterdieKapitelnachlesen,diefürihnvonInteressesind.
EsgibtvieleguteDarstellungenderstatistischenPhysik,diesichfüreinvertie-
fendes Studium eignen. Ich gebe hier nur einige wenige Bücher an, die ich selbst
bevorzugt zu Rate gezogen habe und die gelegentlich im Text zitiert werden. Als
Standardwerk sei auf die StatistischePhysik und Theorie der Wärme von Reif [6]
hingewiesen,diemeineEinführungderGrundlagenwesentlichbeeinflussthat.Da-
neben sind mir die Bücher von Brenig [7], Becker [8] und Landau-Lifschitz [9]
besondersgutvertraut.
GegenüberderviertenAuflagediesesBuchswurdenindervorliegendenfünften
AuflagezahlreichekleinereKorrekturenvorgenommen.BeiJoãodaProvidênciaJr.
(ÜbersetzerderportugiesischenAusgabe)undeinigenLesernfrühererAuflagenbe-
VI
dankeichmichfürwertvolleHinweise.Fehlermeldungen,Bemerkungenundsons-
tige Hinweise sind jederzeit willkommen, etwa über den Kontaktlink auf meiner
Homepage www2.uni-siegen.de/∼flieba/.Auf dieser Homepage finden
sichaucheventuelleKorrekturlisten.
Juli2010 TorstenFließbach
Literaturangaben
[1] T.Fließbach,Mechanik,6.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,Heidel-
berg2009
[2] T. Fließbach, Elektrodynamik, 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag,
Heidelberg2008
[3] T.Fließbach,Quantenmechanik,5.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,
Heidelberg2008
[4] T.Fließbach,StatistischePhysik,5.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,
Heidelberg2010(diesesBuch)
[5] T.FließbachundH.Walliser,ArbeitsbuchzurTheoretischenPhysik–Repeti-
toriumundÜbungsbuch,2.Auflage,SpektrumAkademischerVerlag,Heidel-
berg2008
[6] F. Reif, StatistischePhysikundTheoriederWärme, 2.Auflage, deGruyter-
Verlag,Berlin1985
[7] W.Brenig,StatistischeTheoriederWärme,4.Auflage,SpringerVerlag,Ber-
lin2002
[8] R.Becker,TheoriederWärme,SpringerVerlag,Berlin1966
[9] L. D. Landau, E. M. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Band V,
StatistischePhysik,8.Auflage,Akademie-Verlag,Berlin1987
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
I MathematischeStatistik 3
1 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 GesetzdergroßenZahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 ZentralerGrenzwertsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II GrundzügederstatistischenPhysik 31
5 GrundlegendesPostulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 ZustandssummedesidealenGases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7 1.Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 QuasistatischerProzess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9 EntropieundTemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10 VerallgemeinerteKräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11 2.und3.Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12 Reversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13 StatistischePhysikundThermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . 103
14 MessungmakroskopischerGrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
III Thermodynamik 119
15 Zustandsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
16 IdealesGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
17 ThermodynamischePotenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
18 Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19 Wärmekraftmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
20 ChemischesPotenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
21 AustauschvonTeilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
IV StatistischeEnsembles 185
22 Zustandssummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
23 ZugeordnetePotenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
VIII Inhaltsverzeichnis
24 KlassischeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
25 EinatomigesidealesGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
V SpezielleSysteme 219
26 IdealesSpinsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
27 ZweiatomigesidealesGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
28 VerdünntesklassischesGas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
29 IdealesQuantengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
30 VerdünntesQuantengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
31 IdealesBosegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
32 IdealesFermigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
33 Phononengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
34 Photonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
VI Phasenübergänge 309
35 Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
36 Ferromagnetismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
37 VanderWaals-Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
38 FlüssigesHelium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
39 Landau-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
40 KritischeExponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
VII Nichtgleichgewichts-Prozesse 373
41 EinstellungdesGleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
42 Boltzmanngleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
43 KinetischesGasmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Register 401
Einleitung
InderStatistischenPhysikbefassenwirunsmitSystemenaussehrvielenTeilchen.
BeispielehierfürsinddieAtomeeinesGasesodereinerFlüssigkeit,diePhononen
eines Festkörpers oder die Photonen in einem Plasma. Die Gesetze für die Bewe-
gung einzelner Teilchen sind durch die Mechanik oder die Quantenmechanik ge-
geben. Aufgrund der großen Zahl der Teilchen (zum Beispiel N = 6 · 1023 für
einMoleinesGases)sinddieBewegungsgleichungenjedochnichtauswertbar.Das
ErgebniseinersolchenAuswertung,alsoetwadieBahnenvon6·1023Teilchen,wä-
reauchuninteressantundirrelevant.DieBehandlungdieserSystemeerfolgtdaher
statistisch,dasheißtaufderGrundlagevonAnnahmenüberdieWahrscheinlichkeit
verschiedenerBahnenoderZustände.
ImGegensatzzuderBewegungeinzelnerTeilchenistdieBestimmungmakro-
skopischer Größen, wieEnergiemenge,Druck oderTemperaturvonInteresse. Mit
HilfeeinigerAnnahmen,denHauptsätzen,untersuchtdieThermodynamik(TD)Be-
ziehungenzwischendiesenGrößen;dieseDisziplinwirdauchmakroskopischeTD
oderphänomenologischeTDgenannt.DieThermodynamikwurdeim19.Jahrhun-
dertohneBezugaufdiemikroskopischenGrundlagenentwickelt.
Seit Anfang des 20. Jahrhunderts ist der Satz „Wärme ist ungeordnete Bewe-
gung der Atome“ eine gesicherte Erkenntnis. Wichtige Beiträge hierzu waren die
GastheorievonBoltzmann(1898)unddieBehandlungderBrownschenBewegung
durchEinstein(1905).AlsHypotheseistdieseAussagewesentlichälter(Bernoul-
li, 1738). Auf der Grundlage dieser Erkenntnis bestimmt die Statistische Physik
die makroskopischen Größen und ihre Beziehungen untereinander aus der mikro-
skopischenStruktur.DiesesGebietwirdauchalsStatistischeMechanikbezeichnet,
wobeiderBegriffMechanikdieQuantenmechanikumfassensoll.
DiestatistischePhysikgehtvonmikroskopischenGrößenunddenzugehörigen
GrundgesetzenderMechanikundQuantenmechanikaus.Sieführtzusätzlichplau-
sible, aber unbewiesene Hypothesen ein. Dazu gehört insbesondere die Annahme
„allezugänglichenZuständesindgleichwahrscheinlich“.UnterVerwendungstatis-
tischer Methoden werden dann makroskopische Größen definiert und Relationen
zwischenihnenabgeleitet.
Zu den makroskopischen Größen, die in der statistischen Physik mikrosko-
pisch definiert werden, gehören etwa der Druck oder die Temperatur. Die Bezie-
hungen zwischen diesen Größen sind zum einen allgemeine Relationen, die für
eine große Klasse von Systemen und Prozessen gelten, insbesondere die Haupt-
sätze der Thermodynamik. Zum anderen werden Relationen für bestimmteSyste-
meabgeleitet,wiedieZustandsgleichung(PV = Nk T)unddieWärmekapazität
B
(C =3Nk /2)füreinidealesGas.
V B
1
2 Einleitung
DasHauptgewichtdiesesBuchsliegteinerseitsaufdemmikroskopischenAuf-
bau der statistischen Physik und andererseits auf ihrer Anwendung auf speziel-
le Systeme. Diese Systeme sind im allgemeinen Modellsysteme, die exakt oder
näherungsweiselösbarsind. MitHilfe dieserModellekönnen vieleEigenschaften
realer Systeme verstanden und quantitativ behandelt werden. Beispiele für sol-
che Eigenschaften sind die spezifische Wärme von Festkörpern, das Strahlungs-
spektrumheißerKörper(wiederSonne)unddas VerhaltenbeiPhasenübergängen
(wiedasSiedeneinerFlüssigkeit).
Die meisten Ergebnisse der statistischen Physik, die wir erörtern werden, be-
ziehen sich auf Gleichgewichtszustände. Für die Behandlung von Nichtgleich-
gewichtszuständen stellen wir die Mastergleichung und die Boltzmanngleichung
vorundgebeneineelementareAbleitungderwichtigstenTransportgleichungen(et-
wafürdieWärmeleitungoderDiffusion).
DienotwendigenelementarenKenntnissedermathematischenStatistiksindin
Teil I zusammengestellt. Danach werden die Grundlagen der statistischen Physik
untersucht(TeilII).TeilIIIpräsentiertdiephänomenologischeThermodynamikim
engerenSinn.TeilIVvervollständigtdasHandwerkszeugderstatistischenPhysik,
mit dem dann in Teil V eine Reihe von konkreten Systemen statistisch behandelt
wird. Die Teile VI und VII geben jeweils eine Einführung in die Gebiete Phasen-
übergängeundNichtgleichgewichtsprozesse.
I Mathematische Statistik
1 Wahrscheinlichkeit
DieBegriffeWahrscheinlichkeit,MittelwertundSchwankungwerdeneingeführt
unddiskutiert.DieseBegriffewerdenamStandardbeispiel„Würfeln“erläutert.
Wir präzisieren zunächst den Begriff der Wahrscheinlichkeit.Dazu betrachten wir
die Aussage: „Die Wahrscheinlichkeit p, mit einem Würfel eine 1 zu würfeln, ist
p = 1/6“. Dies heißt, dass im Durchschnitt 1/6 der Würfe zu einer 1 führt. In
einem realen Versuchtretebei N Versuchen(Würfen) N -mal dasEreignisi (also
i
1,2,3,4,5oder6)auf.DannistN /N dierelativeHäufigkeitdesEreignissesi und
i
N
p = lim i Wahrscheinlichkeit (1.1)
i
N→∞ N
seine Wahrscheinlichkeit. Dabei ist unter N → ∞ soviel wie „hinreichend oft“
zu verstehen; diese Bedingung wird später quantifiziert. Da notwendig eines der
Ereignissei auftritt(soistWürfelndefiniert),gilt
(cid:2)6
N =N (1.2)
i
i=1
Darausfolgt
(cid:2)6
p =1 (1.3)
i
i=1
DieBestimmungderWahrscheinlichkeitenp durchN WürfekannaufzweiArten
i
realisiertwerden,diewiralsZeitmittelundalsEnsemble-Mittelbezeichnen.Dabei
bedeutetZeitmittel,dassdergleicheWürfeluntergleichenBedingungenN-malge-
worfenwird.BeimEnsemble-MittelnehmenwirN gleichartigeWürfelundführen
fürjedeneinenWurfaus.
DieAussagep =1/6fürdenWürfelwirdinzweiverschiedenenBedeutungen
i
benutzt.Manverstehtdarunterentwedereinephysikalischeodereinehypothetische
EigenschaftdesSystems.Wirerläutern diesebeidenMöglichkeiteninden folgen-
denAbsätzen.
3