Statistical Models and Credibility - Casualty Actuarial Society

92 Pages·1999·2.65 MB·English

by  Leigh J. Halliwell

lacitsitatS Models and ytilibiderC
yb Leigh .J ,llewillaH ,SACF AAAM
lacitsitatS sledoM dna ytilibiderC
hgieL .J .llewillaH .SACF AAAM
tcartsbA
ehT yroeht of ytilibiderc si a enotsrenroc of lairautca .ecneics seirautcA ylnommoc esu .ti
dna htiw emos edirp drager ti sa rieht nwo .noitnevni gnihtemos hcihw sessaprus lacitsitats
yroeht dna stes seirautca trapa from .snaicitsitats .sselehtreveN eht tnempoleved of
lacitsitats sledom yb snaicitsitats dna snaicirtemonoce ni eht rettal flah of siht yrutnec si
yrev tnaveler to ytilibiderc :yroeht ti nac dnuorg sa llew sa ezilareneg hcum of eht .yroeht
ylralucitrap eht hcnarb foereht nwonk sa serauqs-tsael .ytilibiderc It si eht esoprup of siht
repap to wohs woh eht yroeht dna ecitcarp of ytilibiderc nac tifeneb from lacitsitats
.gniledom
ehT first flah of eht repap stsisnoc of nevele .snoitces ,seton .secnerefer dna ytnewt .stibihxe
ehT lacinhcet tnetnoc si .deudbus dna sredaer yam tnetnoc sevlesmeht htiw siht .flah tuB
eht yllacinhcet denilcni era detivni to yduts eht xis secidneppa A( hguorht F) of eht dnoces
.flah euD to ecaps snoitatimil of eht llaC repaP .margorP emos of eht secidneppa yam eb
.deteled If siht dluohs ,neppah eht deteled secidneppa nac eb deniatbo yb gnillac eht rohtua
ta (201) 278-8860.
ehT rohtua si lufetarg to htenneK ,rensaK .SACF .AAAM for sih lufthguoht dna dnik
weiver of eht draft of siht .repap
Mr. llewillaH si a wolleF of eht ytlausaC lairautcA yteicoS dna a rebmem of eht naciremA
ymedacA of .seirautcA In tsuguA 1997 eh emaceb a tnatlusnoc ta eht weN kroY office of
namilliM dna .nostreboR For owt sraey roirp to taht eh devil ni ocixeM ytiC sa eht
lanoigeR yrautcA of nitaL aciremA for eht Zurich ecnarusnI .puorG dnA roirp to taht eh
saw eht feihC yrautcA of eht anaisiuoL Workers’ noitasnepmoC ,noitaroproC notaB .eguoR
.AL siH lairautca reerac nageb ta eht lanoitaN licnuoC on noitasnepmoC ecnarusnI ni acoB
.notaR FL.
62
I. noitcudortnI
tuohguorhT eht hteitnewt yrutnec seirautca evah neeb gnicitcarp gnihtemos taht yeht llac
.ytilibiderc hguohtlA gnigdelwonkca emos snoitcennoc htiw ,scitsitats yllaicepse htiw
drager to naiseyaB ,ytilibiderc seirautca evah dednet to drager ytilibiderc sa gnidnecsnart
.scitsitats sihT si detartsulli ni eht lacirotsih hcteks of eht gniwollof .noitces tuB siht repap
lliw deecorp to wohs taht secnavda ni lacitsitats gniledom gnirud eht rettal flah of siht
yrutnec etamitigel dna nepeed lacipyt sesu of .ytilibiderc In redro not to emuserp on eht
’sredaer egdelwonk of medom ,scitsitats snoitceS 3, 4, dna 5 lliw eniltuo dna etartsulli eht
raenil lacitsitats .ledom ehT tnemtaert of ytilibiderc rep ES lliw nigeb ni noitceS 6, erehw
ew lliw wohs woh to ecudortni roirp (or )elpmas-non noitamrofni otni eht lacitsitats .ledom
It si depoh taht eht redaer lliw eb dedausrep taht to sserpxe ytilibiderc ni lacitsitats smret si
not ylno ,elbissop tub osla .suoegatnavda xiS secidneppa ta eht dne of eht repap edivorp
lacitamehtam snoitadnuof for hcum of tahw si dessolg revo ni eht .snoitces
2. nA lacirotsiH evitcepsreP on ytilibiderC
oT wehttaM dnumredoR saw detsurtne eht elbadimrof ksat of gnitirw eht noitcudortni to
eht koobtxet snoitadnuoF ytlausaCfo lairautcA .ecneicS ehT ksat saw elbadimrof esuaceb
ti dednamed a gnigagne yrotsih of eht ytlausac lairautca noisseforp dna a noitallitsid of sti
.ecnesse dnumtedoR ,setats “It si eht tpecnoc of ytilibiderc taht sah neeb eht ytlausac
’seirautca tsom tnatropmi dna tsom gnirudne noitubirtnoc to ytlausac lairautca ”.ecneics
63
’.]3:11[ retfA gnitnuocer eht stnemhsilpmocca of seirautca ni ecneirepxe ,gnitar
evitcepsorter ,gnitar tirem ,gnitar ,gnikametar dna gnivreser - lla htiw na eye on ,ytilibiderc
eh ,sksa sredaeR“ ohw evah emoc siht far yam edulcnoc from tahw ev’yeht daer taht
ytlausac lairautca ecneics si eht yduts dna noitacilppa of eht yroeht of ,ytilibiderc dna s’taht
.lla sI ti ’?lla [I 1: 191 nA evitamriffa rewsna si .deilpmi dnA tsomla ytriht sraey reilrae L.
.H ,kooC-yelgnoL hguohtla erom devreser naht ,dnunnedoR decaferp sih suomaf
hpargonom on ytilibiderc htiw eht sdrow ytilibiderC“ yroehT si eno of eht senotsrenroc of
lairautca ecneics . .” [9:3]
ehT tnemetatS“ of selpicnirP gnidrageR ytreporP dna ytlausaC ”,gnikametaR detpoda yb
eht ytlausaC lairautcA yteicoS ni 1988, senifed ytilibiderc to eb a&‘ erusaem of eht evitciderp
eulav taht na yrautca sehcatta to a ralucitrap ydob of ’“.atad seirautcA often kaeps
yltnelaviuqe of eht ”thgiew“ nevig to a ydob of .atad ehT egaugnal of gnihcarra or gnivig
ytilibiderc to atad si evitseggus of na tnatropmi tniop edam yb :kooC-yelgnoL
eht tnuoma fo ytilibiderc ot eb dehcatta ot a nevig ydob fo atad si ton yleritne na cisnirtni
ytreporp fo eht .atad roF ,elpmaxe ereht si syawla detats ro deilpmi ni yna erusaem fo
ytilibiderc eht esoprup ot hcihw atad era ot eb .desu
,ecneH ew ees that ytilibiderc si ton a elpmis ytreporp fo atad hcihw nac eb detaluclac by
emos lacitamehtam alumrof :9[ 14
If ytilibiderc si not yleritne cisnirtni to eht ,atad neht ti si ta tsael yllaitrap .cisnirtxe In
,ecitcarp ytilibiderc si ,ylegral if not ,yleritne cisnirtxe to eht .atad dnA tahw si cisnirtxe to
eht atad sniatrep to informed ;tnemgduj os ti si gnittif taht kooC-yelgnoL dedulcnoc sih
hpargonom sa follows:
ti si spahrep yrassecen to sserts tahr ytilibiderc serudecorp era ton a substitute rof demrofni
judgment, but na dia .otereht Of ytissecen os ynam lacitcarp snoitaredisnoc tsum retne otni
’ nI eht ’]p:n[‘ tamrof ’n‘ si eht ecnerefer rebmun and ’p‘ sevig eht egap .)s(rebmun
46
yna lairautca krow that eht student tonnac substitute eht blind noitacilppa fo a ytilibiderc
alumrof rof eht luferac noitaredisnoc fo all stcepsa fo na lairautca .melborp ]52:9[ osla(
detouq ni I[ I: 1Of.])
ecniS eht ytilibiderc of atad si eht evitciderp eulav or thgiew nevig to eht ,atad eht noitseuq
sesira tahw to do nehw eht yrautca segduj eht atad not to evah hguone evitciderp eulav or
.thgiew ehT rewsna si to thgiew eht rewsna hcihw si desab on eht atad htiw na rewsna
desab on informed ;tnemgduj os ti si larutan for seirautca to kaeps of gnithgiew-ytilibiderc
eht laciripme rewsna htiw rehtona ecruos of .noitamrofni
enO taerg rehcaet dna tsigolopa of ytilibiderc saw ruhtrA L. .yeliaB Writing neewteb 1945
dna 1950, eh demialc taht niatrec ytilibiderc serudecorp detcilfnoc htiw tnerruc lacitsitats
;yroeht ni ,tcaf lacitsitats gniniart dluoc rednih enoemos from gnitpecca eseht :serudecorp
ehT sisab rof eseht ytilibiderc salumrof sah neeb a profound yretsym ot tsom elpoep ohw evah
emoc ni tcatnoc htiw .meht ehT yrautca finds meht difiicult ot nialpxe and, ni emos ,sesac
neve difficult ot understand. lacixodaraP sa ti yam ,eb eht erom tcatnoc a nosrep sah had htiw
lacitsitats secitcarp ni rehto sdleif ro eht erom gniniart a nosrep sah had ni eht yroeht fo
lacitamehtam ,scitsitats eht erom difftcult ti sah neeb ot understand eseht ytilibiderc
serudecorp ro eht ytidilav fo rieht .noitacilppa ]7:3[
yeliaB detsil sa eerht gnidneffo ytilibiderc serudecorp (1) eht esu of roirp sesehtopyh ni
.noitamitse (2) na noitamitse of spuorg rehtegot hcihw si erom etarucca naht gnitamitse
hcae puorg ,yletarapes dna (3) gnitamitse for na laudividni taht sgnoleb to a suoenegoreteh
noitalupop [4:59f.]. gnikaepS from sih nwo ecneirepxe dna htiw eht rodra of a .trevnoc eh
:etorw
I yllanosrep deretne eht ytlausac ecnarusni field morf eht yletelpmoc detaicossanu tield fo
lacitsitats hcraeser ni eht ananab .ssenisub ehT tsrif raey ro os I tneps gnivorp ot flesym that
all fo eht ycnaf lairautca serudecorp fo eht ytlausac ssenisub erew yllacitamehtam unsound.
yehT era unsound, fi eno si bound ot tpecca eht snoitcirtser deilpmi ro yllacificeps decalp no
eht tnempoleved fo eht lacissalc lacitsitats .sdohtem retaL no I dezilaer that eht hard-shelled
sretirwrednu erew gnizingocer niatrec stcaf fo efil detcelgen by eht lacitsitats stsiroeht woN I
ma decnivnoc that ytlausac ecnarusni snaicitsitats era a pets daeha fo esoht ni tsom .sdleif
56
sihT si esuaceb ereht sah neeb a truly lacigolometsipe weiver fo eht cisab snoitidnoc fo hcihw
rieht scitsitats era .stnemerusaem I nac only egru a ralimis weiver eb edam by snaicitsitats ni
rehto .sdleif 6:4[ I]
yeliaB [3] thguos to dnuorg eseht serudecorp ni tahw retal emaceb nwonk sa naiseyaB
.sisylana oN ,tbuod ni sih yad lacitsitats yroeht dluoc not etadommocca niatrec lairautca
.saedi .eroferehT eh was eht lairautca noisseforp sa ni ”,tlover“ sa for elpmaxe nehw eh
:etorw
srehposolihP evah yltnecer dessucsid eht seitilibiderc ot eb nevig ot suoirav stnemele fo
.egdelwonk thus undermining eht detpecca yhposolihp fo eht .snaicitsitats ,revewoH ti
sraeppa ot eb only ni eht laiwhca field that ereht sah neeb na dezinagro tlover tsniaga
gnidracsid all roirp egdelwonk nehw na etamitse si ot eb edam using ylwen deriuqca .atad
).f9:3[
tuB a tlover gnivlovni naiseyaB sisylana saw noos to neppah gnoma eht .snaicitsitats sa
nellA nosrcyaM dekramer ni 1964:
lacitsitatS yroeht sah won caught up htiw eht s’yrautca .smelborp gnmatS htiw eht 4591
koob by ,egavaS and desserttub by eht 9591 emulov by refialhcS and eht 1691 koob by
affiaR and .refialhcS ereht sah .neeb gnoma stsilibaborp and ,snaicitsitats na dezinagro
110ver tsniaga eht lacissalc hcaorppa and a trend drawot eht esu fo roirp egdelwonk rof
lacitsitats .ecnerefni
ehT pihsnoitaler neewteb ’seyaB meroeht and ythibiderc saw tsrif deciton by ruhtrA
,yeliaB ohw dewohs that eht alumrof 8)2-l/+4% nac eb dewed morf ’seyaB meroeht
tI smees ,etairporppa ni weiv fo eht gniworg tseretni gnoma snaicitsitats ni eht na&yaB
tniop fo .weiv ot tpmena ot eumtnoc eht krow detrats 51 sraey oga by ,yeliaB and, using
medom ytilibaborp ,stpecnoc yrt ot poleved a yorht fo ytilibiderc hcihw lliw egdirb eht
gap that won setarapes eht lairautca morf eht lacitsitats .dlrow [lO:BSf.l
naiseyaB sisylana sah deunitnoc to eb a ralupop sisab of ytilibiderc yroeht It syalp a
tnenimorp elor ni yraG s’retneV suotnemom retpahc on ytilibiderc ni eht I;o~rndurion.s
koobtxet [ 131. tuB s’yeliaB lanimes aedi saw a tsetaerg“ ycarucca ”ytilibiderc (2:20]. of
hcihw retneV :setirw
66
ehT tsom llew depoleved hcaorppa ot tsetaerg ycarucca ytilibiderc si fsarl serauqs
,yrrlihidrrc hcihw skees ot ezimimm eht detcepxe eulav fo eht erauqs fo eht noitamitse
rorre ._.
eroM tnecer lacitsitats .yroeht na&yaB sisylana rof ,elpmaxe osla sesserdda eht esu fo
atad ot etadpu suoiverp ,setamitse and siht lliw eb decudortni retal .woleb ytilibiderC
yroeht serahs htiw naiseyaB sisylana eht kooltuo drawot atad sa yltcirts a ecruos ot etadpu
roirp .egdelwonk ,ytilibiderC ylralucitrap tsael serauqs ytilibiderc si semitemos delebal
naiseyaB ro laciripme naiseyaB rof siht .nosaer tI osla sevig thr emas result sa naiseyaB
sisylana ni emos ,secnatsmucric although ytilibiderc yroeht nac eb depolrved nihtiw eht
tsitneuqerf weiv fo ytilibaborp ._.
tsitneuqerF srefer ot na noitaterpretni fo ytilibaborp sa ylelos na noisserpxe fo eht evitaler
ycneuqerf fo ,stneve ni tsartnoc ot a tsivitcejbus weiv hcihw sdrager ytilibaborp sa a
noitacifitnauq .noinipofo sihT rettal weiv si a kramllah fo naiseyaB .sisylana ]483:31[
sihT noitatouq ylraelc setacidni taht naiseyaB sisylana si not eht lla-eb dna lla-dne of
ytilibiderc .yroeht ,rehtaR etipsed emos .seitiralimis tsetaerg ycarucca ytilibiderc si
tnednepedni from naiseyaB ,sisylana dna yllaicepse from eht gniog-no lacihposolihp etabed
neewteb eht stsitneuqerf dna eht .stsivitcej.bus With lla eht thgilemil on naiseyaB ,sisylana
seirautca evah not dezilaer taht lacitsitats yroeht won sah emos naiseyaB-non sgniht to yas
tuoba .ytilibiderc In ,ralucitrap medom lacitsitats gniledom nac etadommocca eht eerht
“offending” ytilibiderc serudecorp denoitnem ;evoba ,revoerom ti sedivorp a rehcir dlrow of
saedi naht eht lanoisnemid-eno formula .B)Z-I~TU,
3. nA weivrevO of eht raeniL lacitsitatS ledoM
In na reilrae repap [7] eht rohtua detaert eht tseb raenil desaibnu noitamitse )EULB( of eht
raenil lacitsitats .ledom tahT tnemtaert saw deliated dna ;deniatnoc-fles os eht rohtua lliw
emussa ,ti rehtar naht evired .ti In xidneppA C of taht repap eht rohtua derapmoc EULB
htiw yraG s’retneV noitalumrof of serauqs-tsael ytilibiderc [ 13:418], dna :dedulcnoc
suhT retneV si yllaitnesse gniod tseb raenil desaibnu noitamitse no a raenil .ledom ehT
rohtua sepoh that seirautca lliw nigeb ot ees eht subject fo ytilibiderc morf eht evitcepsrep
fo lacitsitats .gniledom ]533:7[
76
It si for eht esoprup of gnizilaer taht epoh taht eht tneserp repap si .nettirw
ehT form of a ’raenil lacitsitats ledom si y = pX + ,e erehw ]e[raV = Z = .0’0 In siht
ledom y dna e era )IP( .srotcev X si a )kxt( ,xirtam 3j si a )lxk( ,rotcev dna C dna 4, era
)rxf( .secirtam ehT ngised xirtam X si .nwonk or ;detisop y si .devresbo hguohtlA eht
retemarap rotcev p si not ,nwonk ti si not ;modnar na rotamitse of p si ,modnar tub p flesti
si not. What stcejni ssenmodnar otni eht rotcev y si eht rorre mret .e e si not :elbavresbo
,revewoh ]e[E = ,,r,,cO dna ]e[raV si ,nwonk or ,detisop ta tsael to nihtiw a ytilanoitroporp
,tnatsnoc ,.e.i ]e[raV co @ oN noitpmussa si edam sa to eht ytilibaborp noitubirtsid of .e
tsoM snoitatneserp of eht raenil lacitsitats ledom llewd on woh to etamitse ,p tub ereht si a
rediw .hcaorppa esoppuS taht eht I swor of eht y era of owt ,sepyt esoht hcihw evah neeb
devresbo dna esoht hcihw evah not. ehT devresbo noitrop of y ew lliw llac ry dna yas taht
ti si x11( I); eht devresbonu lliw eb 2y dna xrr( I .j Of ,esruoc I, + 12 = I. We nac osla egnarra
eht swor of eht ledom os taht eht devresbo noitrop semoc first. ylralimiS noititrap X dna .e
os taht eht ledom skool :ekil
,Y ,e+D,X=
, :~~[;Z=]j:[raVerehw :~[20=*20-1::~ ]l:
2y = ,e+P,X
ecniS ecnairav secirtam era cirtemmys (cf. [7:304] dna [8:43]). 121 = ’ZIC dna = .‘:I@
120
gnieB ,devresbonu ry sniatnoc gnissim .seulav ehT melborp si to etalumrof na rotamitse of
2y desab on ,ty ,X dna Z. In ,ralucitrap ew tnaw eht rotamitse to eb raenil ni ,ty to eb
68
,desaibnu dna to eb ni emos yaw ;tseb ,.e.i ew tnaw eht tseb raenil desaibnu rotamitse
)EULB( of .zy In xidneppA C of eht reilrae repap [7] ti si nwohs taht eht EJILB zyfo :si
3, = P,x ,Y(G,&+ - bi,x
,y[raV -9: ] = ZZ2 - ,,C‘,;C,,C 1X(+ - 2X(]if[raV),Xr,;C,,Z - ,‘),X‘&.,,Z erehw
i = ),X:;C:X( ,y‘,;X;X‘ dna
]b[raV = ’-,,x;,x;x(
sihT si tnelaviuqe to:
$2 = 3/,x + ,y(‘;Iq,a - !P,X
2y[raV -$,I= 02(Q2 ,X(+),,PC‘~,O,%U- LX(]~[raV),X‘;,0,20- .‘),X‘;,@,Q- erehw
b = ,y‘,;O;X‘-),X‘,,O;X( dna
]b[raV = ’-),x~q;x(20
If zo si not ,nwonk ti nac eb yldesaibnu detamitse sa ’6 = U erehw 6, = ,y - b,X
k-,t '
[7:333f.]
What seod ti naem for 2ij to eb ?tseb sA denialpxe ni xidneppA .A of owt gnitepmoc raenil
desaibnu srotamitse eht tseb rotamitse si eht eno eht ecnairav of esohw noitciderp rorre si
:rellams
sihT snaem taht eht dnah-thgir edis of eht dnoces ytilauqeni si a evitagen-non etinifed
.xirtam ehT rotamitse htiw eht terac si ta tsael sa doog sa eht eno htiw eht ;edlit dna if eht
noisserpxe si ,orez-non ti si retteb
69
erofeB gniylppa siht weivrevo to .ytilibiderc eht txen owt snoitces lliw mraw eht redaer pu
htiw owt elpmis raenil .sledom roirP to gnidir a esroh ti si esiw to ecitcarp on .seinop
4. ehT tselpmiS lacitsitatS ledoM elpmaxE( I)
esoppuS taht ew evah neves gniyravoc-non dna yllacitnedi detubirtsid snoitavresbo of a
modnar :elbairav 6.164. 11.103. 9.663, 12.998. 10.329. 9.564. dna 9.602. A elpmis ledom
of eht *i noitavresbo (i = I. . 7) si ,y = fi + .,e erehw ],e[raV = .?c ehT xirtam
noitalumrof :si
6.164 I-
I I.103 I
9.663 I
11.998 =e+px=y= 1 e+B
923.OI 1
9.564 I
9.602 J‘
ecniS eht snoitavresbo era gniqavoc-non dna yllacitnedi .detubirtsid ]e[raV = .,1’0 In siht
,v.*’C _ ~_
elpmis elpmaxe rj = ’.)X’X( )y’X( = - - y - 9.917. oS eht retemarap si eht naem of
’+lC
eht .snoitavresbo dna eht rotamitse of ’0 si eht elpmas ecnairav ( = 4.240). enO thgim tcaer
taht siht si ekil gnisu a remmahegdels to kcarc a :tunlaw “Why og OI lla siht elbuort nehw
eht naem dna eht ecnairav era eht suoivbo snoitulos from eht ”?trats ehT ,rewsna ,revewoh
sevresed to eb :derednop sihT .ledom eht tselpmis of .lla sdrigrednu eht naem dna ecnairav
functions; eseht functions era ni ytilaer degakcap-erp snoitulos of eht tselpmis raenil
.ledom
70