Statische Berechnung von Rotationsschalen unter beliebiger nichtrotationssymmetrischer

16 Pages·2010·3.82 MB·German

'rech. MlIt. Knll)p' rorsch.-U~r.
B,LIl(i S6 (ltJ78) H.:) 111
-----
Statische Berechnung von Rotationsschalen unter beliebiger
nichtrotationssymmetrischer Belastung mit dem Programmsystem ANTRAS
H.-U. Janz, H. J. TOns und W. Wurmnest
(FRIED. KRU pp (iM HH, Krupp Gemeinschaftsbetriebe, Datenverarbeitung)
Es wird das EDV-Programm ROSCHA vorgestellt, das beliehige I~otationsscha.lcn unter allgemeiner (nicht
rotationssYIl'll11etrischer) Belastung statisch berechnet. Es arbeitet nach der Methode der finiten Elemente unter
Verwendung vOn Fourierreihen. Die Besonderheiten der BerechnungsIl'lethode werden erläutert und die I(echen
schrittc des Programms beschrieben. In LJemonstrationsbe.isp.iclen werden die Rechenergebnisse den exakten
Lösungen gegenübergestellt. Zwei echte Anwendungen verdeutlichen die Einsatzmöglichkeiten im Maschinen-
und Stahlbau. ....
Einleitung Netz alls Flächp.llclp.menten entwickeln. Dies ist in
Schalentragwerke, d. h. l'läcllentriiger, deren Dicke Bild 1 au einer BandtrOl'l'lmcl dargestellt. Dt~r hierbei
entstchende Persunnl- und Rechenau(wand ist unan
klein ist gegenliber dcn anderen Abmessungcn,
gemessen hoch, Er läßt sich wesentlich reduzieren,
spielen in der Technik eine bedeutende I~olle. Ihre
wenn mit ringförmigcn ftniten Elementcn gear
~tatisdle Herechnung führt auf partielle Differential
beitet wird, bei denen alle mech1lllischen Größen in
gleichungen in zwei Dimensionen, dem Schalcnr(\.uIl'l.
Fourierreiheil zCrlegt werden. Nun ist lediglich die
Unter den Annahmen der techniscllen Schalen theorie
i\'leridianlinie nnit zu unlC'l'teilcu und das zweidimen
ist es möglich, durch ElinlinaLion auf eine einzige
sionale Schalcnproblem wird auf die Summe cindimen
Differentialgleichung achter Ordnung Zu kommen.
Nut' in sellenen Füllen gelingt es jcdoch, einc exakte sicmaler Problcmc 7,urUckgcfÜhrt. Aus diesem Grund
Lösung zu entwickeln [1,2,3]. steht illI1erllalb des Programm:.;ystems AN'rl~AS­
FANAS') [8] das Subsystem I~OSCI-IA bereit, das
Ein häufig vorkol1lmendcr Schalentyp ist die Hota über Fourierreihcnentwicklung beliebige ROtations
tionsschale, deren Mittelfläche durch Drehung einer SCHAlen nach eier Methode der finiten Elemente bc
bcliebigcn Kurve - der Meridiallkurve - um cinc reclll1et.
Achse entsteht. Solche Schalen sind eher einer analy
Es leistet wertvolle Dienste Zur Ermittlung eIer
tischen Lösung zugänglich, VOI' allem dann, wcnn auch
die Lasten und f(andbedingungcn rotationssymme Spannungen und Verformungen, z. B, von
trisch sind.
lVIisch-und Mahltrol1llllcln
Eine systernatische lind allgcmeine Lösung vOn belie Drehöfcll
bigen RotaLionsschalen wurde vor etwa ,...ehn Jahrcn Bandtl'ommeln
erreicht durch die Anwendung des Übertragungsver
Seilrollen
fahrens unter Verwendung von Fourier-Ansätzen
Behältern
in der Umfangsrichtnng [4].
Hehi.il tCl't)tu tzen
Dieses Verfahren, das wegeIl seiller lVlatrixdar
R ingldigel'lI.
stellungsweise übersichtlich lind leicht programmier
bar ist, stellte die erstell EDV-Progral1lI1lC flit' beliebige Tm folgenden wollen wir die Rechcllll1ethode erläutern
Rotationsschalen. Gerade aber bei Schalenproblemen lind die Funktion des Programms beschreiben. Der
kann das übertragungsverfahren zu erheblichen Schwerpunkt soll auf den Beispielen liegen. Exakte
numerischen Schwierigkeiten fOhren. Sie sind um so und numerischc Lösungen werden hier einander
ernsthafter, je dünner b7.w. längcr die Schale ist und gegen (I bergeste.11t .
je höher die Ordnung des l~eihengliecles ist. AlIc ent
wickelten Abhilfcn [4! öl fUhren jedoch vom Grund Darüber Ilinau~ werden einige Anwendungen aus der
Praxis vorgestellt. Berechnungen solcher Art sind für
gedanken des Verfahrens ab und sind nicht leicht mit
Krupp lnelustric- und Stahlbau! Duisburg
ED V zu rcaHsieren.
I~heinhallsen, in größerer Zahl durchgeführt worden.
Heute habcn sich wegen der größeren Allgemein
gültigkeit Programme nach der Methodc der 2 Überblick über die Berechnungsmethode
finiten Elemente durchgesetzt [OJ. Zn ihnen gehört
Die Verschiebungsgl'ößenmethode ist in der Statik
auch das von Krupp Datenverarbeitung ent
auch heute noch elie gängigste Formulicrungsal't der
wickelte Programmsystelll ANTRAS-STANDAHD zur
Methode der finiten Elemente. Behandelt man eine
statischen Berechnung beliebiger I<örper, Es hat sich
im~wischen in Jllchr als öOO Anwendungsfällen bewährt Schale wie in Bild 1 dargestellt, so hat jeder Knoten
punkt drei Vel'schiebungs- und drci Verdrchungs
und i!'it gegenüber der in [7] beschriebenen Version
freiheitsgrade. fnnerhalb eines jeden 'Elements werden
nocll wesentlich ausgebaut worden.
die Verschiebungen über entsprechende Polynom
'Will Inan mit der üblichen Finite-Element-Methode ansiitze durch die Verschiebungen der Knoten aus-
Rotationsschalen unter allgemeinen nichtrotations
symmetrischen Lasten berechnen, so muß man über
den gesamten Schalcnulllfang ein aufwendiges flI1ites
I) ANlllysc TRAgClldcl' Systcmc - Fouricr ANAlysc und Syntllcsc.
H.·U. }0117" H. J. 1'(lns, W. W\lrmncsl
SI(ltischc nereehnuilg "on HOI;aliQnssch;a!en unter beliehiser Tech. Mitt. "rupl" F()r~th.·D~r.
112 nichlrolll.tiOllsSYll\111clrischcr Be!;asIIlIlS Il\it dem Pr()sr;HII111sy~tCTn ANTRAS B~IIt13G (1{l78) H.:3
----------------~~
Hild 1 Finites Nct~ einet' Randtl'ommcl.
Bild 2 Finites Nct:i:. eineI' Handtrommel mit HingelClllQntCIl.
gedrückt. DurcJl die VerzelTung~-VerscllieLungsglei­ rasch ab, wenn die Kräfte im Gleichgewicht stehen.
cllungcll sind die Verzerrungen festgelegt. Das Dies bedcutet! daß jn einigcr Entfernung von örtlichen
Hookcschc Gesetz liefert die Spannungen, Verzer Krafteinleitungen die Genauigkeit der H:echenresul
rungen und Spannungen lassen sich also durch die tate auch bei nur wenigen !{eihengliedern in der Regel
Knotcnversclliebungen ausdrücken. Die Gleichge ausreichend ist.
wichtsfol'clcl'ung Hit' jedes einzelne herausgelöst ge
Bevor wir auf die Bcschreibung von ROSCH A und
dachte Element liefert die Elcmentsteifigkciten. Die
seinen Einsatz eingehen, wollen wir die theoretischen
Forderung nach Gleichgewicht aller Kl\9.~~llpl!l1kte
Grundlagen der soebell grob umrissenen lVIcthode
führt auf ein lineares Gleichungssystem mit den
formclrnüßig beschreiben, Der Lcser! dcr vorwiegend
KlJOtenverschiebungel1 als Unbekannte, das es zu
an der Anwendbarkeit des Programms interessiert ist,
lösen gilt.
kann unmittelbar zu Kap. 5 übergehen.
Die Verwendung von ringförmigen ElclllCliLen IH1Ch
Bi 1d 2 nutzt die RotationssymlHetric eier Schale aus,
3 Die dünne Kegelschale
wobei die Abhiingigkeit der Verschiebungen vom
Grundgleichungen in Fourierdarstellung
\>\Iinkel über einen H.eihenansatz mit trigonome
trisch!.;ll Funktiüllell (.fourielTeihell) beschriebeIl wird. \;Vic in Bild 2 angedeutet, wird die Schale durch an
Ihrc I<ocffhienten sind die Verschiebungsamplituden, einandergefllgte Ringclemente beschrieben. Das ein
Die Ansatzfunktionen in eier Schalenmerielianlinic fnchste allgemein verwendete Element ist ein Kegel~
sind Polynome. Man erhält dann für jedes I\eihenglied schalenelement, mit dern ein gekl'limmtcr lVlcridian
eill Gleichungssystem, das nach den Amplituden der polygonartig abgebildet wird (Bild 3). Ein so.lehes
Knotenverschiebungen zu lösen ist. Durch Einsetzen Element wird in ROSel-IA verwendet. Um später die
der Amplituden in die ]i'ouricrentwicklung (Fouric\' Beziehungen dieses Elemcnttyps herleiten zu können,
synthese) gewinnt man alle gewünschten I\esultate an wollen wir zunäclUjt alle erforderlichen Grunc1glci
jeder Stelle lies Umfallgs, c1mngell der 'j'heoric der Kegelscha.lc aufstellen.
Es müssen insgesamt so viele Gleichungssystcme
gelöst werden, wie Heihenglieder der fourierzerlegl.lng 3.1 Grundgleic::hungen in den Schal9nkoordlnaten
ficI' äußeren Lastt'll vorliegen, Einige Bclastungsartcrl Dic Verschiebung eines Punktes der Schale wird be
(t. 13. \\'asserdruck in einem liegenden zylindrischen schriebcn in elen lokalen Komponenten (Bild 4). Es
Behälter) können mit wenigen I~eihengliedern exakt sind '/.(, die Verschiebung in Richtung der lVleridian
wiedergegeben werden. Andere Lasten (z. ß. konzen koordinate S, v die Verschiebung in Umf<.1.ngsrich
trierte EinzclkrHfte) erfordcrn eine hohe Anzahl tung er und w die Vcrschiebung in Richtung der
von Reihengliedern. Nach dCIll Prinzip von Nonnalen. Aus ihnen ergeben sich die Verzerrungen
B. de St. Venant klingen Spannungen infolge be und Verkrümmungen der SchalenJ1äche nach der
nachbarter Kräfte von der Lasteinleitungsstelle aus Lovesehen ersten N~herung zu
H.·U. Jsnt. H. j. TOns. W. WllrmnCSI
Teeh. Mitt. Krupp· Forsch.·lll!r. St"ti6che Bercchnung von ROlalionssehn.lcn untcr bcllGblget
BOlnd 96 (HI18) H. :J nichtrotation6symmetrischer Dels6tung mit dem Pr08fsmm5ystem ANTI~AS 113
~~~~~----------
o
o o
t" OS
o
~111 (I. CO,! )a v
6 ••
r r Oep
o
1 0 - -SlI-l (I. o
y •• -; Oep os r
o o
o COS Cl () 1 a' sina ()
r' - r' 0'1" - - ' - os
0'1'
x,. o 2 . COSa 0 2 8' 2. 0
" COSaSllla- --r --os r -iJ se0p +r, slno ," 'I'
Hicrin sind 8", 6'Jltp, Ysq> die Membranvcrzerrungen und
Y.u, %"'ipl X~!p die Verkrümmungen der Schalcnßäche.
In Matrixform schl'clben wir hierfür
{; = Du. (3.1)
Da es im Gegensatz 7.ur Theoric des dreidimensionalen
Kontinuums oder der Platte in der Schalen theorie
verschiedenc Formulierungsmöglichkciten der Glei
'Bild 3 Schalcnabbil
chungen (3.1) gibt [4, Ü, 10], wollen wir wr Verdeut dUllg mit I{egelschalen
lichung der grundlegenden Annahmen die 7.ugehö clCl11cntcn.
rigen tensoriellen Gleichungen zusätzlich angeben. Sie
sind in [4, ü] ausführlich beschrieben:
x
(3.2)
y
(3.3)
Die Drehungen <0" der Schale sind dabei !lber die Be
dingung verschwindcnder QuerscJmbc1eforrnation an
die Verschiebungen der SchalenJ1i.iche nach
(3.4)
gebunden; sie wcrden eliminiert.
Die Gleichungen (3.1) entstehen aus (3.2) bis (3.'1)
durch Anwendung des Tensorkalkills fUr die Kegel
schale, wobei zum Schluß auf die in (3.1) verwendeten
physikalischen Größen übergegangen wird.
."S,U \
Die zu (3.1) passenden Schnittkraft-Vel'zcl'I'ungs
Gleichungen sind im Fallc dcr linear~elastischen iso
tropen Schale unter Berücksichtigung von Vorvel'
zerrungen
(7.. B. in folge Temperatur) Mild" Schalengeometrie, l<OOI'dinatensysteme.
N" l. v 0 0 0 0 eu-euO
N,pp 0 0 0 0 6<p'P- Sq>q;O
'I- v
N,. 0 0 0 Y'9I'-Y,q:O
2
EI /' I'
}\!}u =-- v 0
1- ;Z 12 l2 ;)lu- ;)lnO
/'
M• • symmetrisch 0
12 x91",- x",tpO
M,. 12 1- v
x,s<p- x,sttO
12 2
(E Elastizitätsmodul, l' Poisson-Zahl, I Seh.lendicke)
'·T.·U. J\l.n~, H. J. TÜllS, W. W\lrmncst
Stn.tischc IkrcchnuliS von RQt"tions~ch"lcn unter beliebiger Tcch. Mit!. Krupp' Forsch.·Der,
-114- -------------nic-htr-(lt;\tion~liYJnmetri~cher Belastung In,it elem ProsranlmSYl;lem ANTRAS nnnd 96 (HI78) H. ß
---------------~~
in Matrixschreibweise
(3.5)
Hierin sind N!;, N'I!'I" N die Schnittkräfte in der
stp
Schalen fläche und M iM j11'$'I' die Biegemomente
S$. '1111"
(Bild 5).
Die \}uerkräfte sind infoJge der Annahme (3.<1) Reak
tionskräfte ohne \!Verkstoffgesetz. Sie können nur aus
den Gleichgcwichtsbedingurigen nac11träglich errechnet
werden. Da bei Schalcnproblcmen diese Größen in der
Regel unbedeutend sind, werden sie Jücht betrachtet.
3.2 Fourl&rentwicklung
Die Verschiebungen der Schale werden in der folgenden
Fourierreihc dargestellt.
s
00
" ~ ~ cos "'I' ii;, (s)
U~O
V = 2~; (- SI.I 1 'i/.'P)-v"s (s ) + 2Ct;? COS'i/.'P-""A (s), (3.6)
n~O 11- 0
-"()
W ~ ~'" cos "'I' '-"5" (S) + L~... .Sl Il mpUJu s.
11=0 "",,0
Die ersten Summen sind dabei die symmetrischen, die
zwcitcn die antimetrischen lEn twicklungen. 'Mit den Bild:) Sdlllittl,räfte (Kl'tUtejUlnge) und Schnitimomcnte
Diagonal matrizen (Momente/Länge) in der Schalellfläche.
l
COS 1Hp
cos "'I'
4>~ = - sin ncp , COS1Up
co!:> 1tcp - Sill 1trp
(3.7) cosnep
sin 1UP J cosnep
cos "''I'. -sin ntp
1tcp
Sln
und (3.9)
schreiben wir kurz sin nep
sin mp
(3.8)
cos ncp
. , sin nep
u~, w~ sind die Amplituden der Verschiebungsan
tcHe. Sie sind nur noch abhängig von der lVreridian sin nep
koordinate. Für die allgemeine Behandlung ist es cos "'I'
wichtig, beide Summen Zu vcrwendcn.
7.usammen, $0 erhalten wir
Die Fouricrdarstellung der Ver7.elTllllgcn erhalten wir,
jndem. wir (3.6) in (3.1) einsetzen. Die in D stehenden
Ableitungen nach cp können dabei sofort ausgeftUut (3.10)
werden, Fassen wir die Abhängigkeit dcr Ver7.errungen
von dcr 'A'inkelkoordinate in den Diagonalm atrizen Die Amplituden ~~, ~~ dcr Verzerrungen hängen
über die Matrix
- 0
o o
os
sin « ",. COSa
y r
o
11 sin « o
os
r r
(3.11)
0'
o o - os'
o " u2 sin (1 a(;) :
r2 cos« r2- - - :;-
an ,
o r22 cosu Sill a-C-OrS-" o0s -2-nr -o-S /-2-1"2 sllla
'. II.·U. Jnn~. H. J. TUns, W. Wurmnest
'fech, 1\1111. l{rup\)' forsch.-ller. Slali~Ghe llerechnung VOll Roll\ti!:1Il5SCtHllcJl \lnler beliebiger
-Bli-nd- ~I-!I -(19-711-) H-, -9 ---------Il-leh-lr-()t;-iti(-)n~-5y-rnr-nclri1c;hcr Ucln~tllng mit deIn. Progr,lmmsyslcm ANTR,\S 115
durch die (;leichungcn H.eihen wir die Amplituden der KnotenverschiebungeIl
in den Vektoren Ler,. . Li~J auf
(3.12)
-s - A
von den Amplituden der Verschiebungen ab. Dabei 'lf.lIl 11-,11
tritt in beiden Gleichungen von (3,12) die gleiche _s -A
iVratrix uuf, da wir im syml11.ctrischen Anteil der -, VISII -A I _VIAII
Fourierentwicklung von v ein MinU57,cichen hincin~ Ll"1 ----" lViii , Ll"I- 1 lV,ll
iJ-s
definiert hatten, Setzen wir schließlich (H,10) und eine Wul aW~l
analoge Entwicklung (Ur 1;0 in das I-Iookcschc Gesetz oXI chi
(3.5) ein, so ergibt sich die Fouricrzcrlegung der (4,1)
_s - A
Schnittkriifte,
U-,,IIJ 'I-I'IIJ
-A
s -- 11~~",, 0 '.t. ',~S 1'1 + 11L~=..,j 0 ',I I1A1 li1"1_ (3,13) -;1s11 -,= 1-v(IuI5IJJ ,-LAIIIJ = -tVe'"IAJIJ
Da die Matrix E nur I<opplungen in elen Zeilen b7.W. ~i.J , IhfllS,I J (jW_Auj
Spalten 1,2 und 4,5 besitzt (was auel! n(lch für Ortho _ ih'I _
-
tropjc zutriff tL rnischen sich nicht symmetrische und
so werden durch den Ansatz
antimetrische Amplituden. Die An1plituden S~, S:~
der Schnittkrüfte ergeben sich somit durch i'vlultipli- _s [11' li J -s 1 - s
kation der VCl'zerrungsamplituden mit der :Matrix E: 11" ~ I, J [il~I ~ H LI"
-A ,(_A -A) I./ I"j 1- ) ('1.2)
S'I~ = ,E ~,~ - fllo .
~~I H Li:~ ,
Setzen wir hierin noch (3. t2) ein, So sind auch die . LI,,]
Schnittkrä!te durch die Verschiebungen ausgedrückt,
die Amplituden der VeI'schiebungen im Element aus
gedrückt durch die Amplituden c1er Knotenverschie
bungen. Die Matrix der Interpolation5>polynmne
besteht aus den Untermatrizen der beiden Knoten
4 Methode der finiten Elemente punkte'; = I, J
Hir Rotationsschalen
~ [ ~~1 ~:l ~ ~ ] .
4.1 Finites Element, Vorschlobungsansatl H (4,3)
i
Die Nlethocle der fIniten Elemente angewendet nuf o 0 C" C"
Schalcnringelcmente ist in der Literatur ausgiebig
behandelt [11 b;s lü]. Der in ROSCI-IA verweneiete Sie enthalteIl die IIermite-Polynome
Elementtyp (Bi ld 6) ist e;n Kegelschalenelcment mit
den Knoten I und j. In der Reihendarstellullg (3,6) Cil = "I2 (t + "I n
sind die Amplituden der Verschiebungen von der
Meridiankoordinate abhängig, die hier mit Xl be 1 +
zeichnet wird. Es ist zweckrnäßjg, die dilllensionslose (;, ~ -I (2 3 Ci, !; - 0, !;"), (44)
Koordinate g = 2xft einzuführen und den Ursprung
1
in die Elementmitte zu legen. = sI i (- + +
Ci' ai - ~ a, ~2 ~'),
+
w()bei aJ = - 1 und (/.J = 1 zu setzen sind.
I
I -, 4.2 Verzerrungsmatrix, Schnittkraftmatrix
(j)/
1_ __ - 1 Setzen wir (4.2) in (ß.J1) ein, so entsteht
2
!
I 1
1 (4,5)
2
J
Die Verzerrungsuntermntrizcn Dill, ß be$chreiben
llj
also dip Abhängigkeit der Amplituden der Ver
zerrungell im Element von den Amplituden der
Knotenpunktverschiebungen, Sie ergeben sich zu
,; = I,J, (4,G)
Da diese Ivlatrix eine zentrale Rolle spielt, schreiben
Dild (j l'initcs l(egelschalcnelemcllt. wir' sie .in (4.7) vollsUindig aus.
II..U. J;ml., H. J. Tiln~, W. Wnrmnest
Stali~(lhe Bi!r/!(lhnunS vön R()tali()n~~(lhal/!II ulIl/!r b/!I!eblg/!c Tech. Mltt. l{[IIPP . Forsch,-Bcr.
116 lilchtrotali()lis~ymllldrlseher IJel3.~IUIiS mIt (h:lll). Progt;:U(II119y916Iil ANTRAS Band SB (1978) H. S
a,
0 0 0
I
si,n a ~il - -", Cil _ cosa Ci2 -~, 'ia
r
-"r CH Ta, - -SInr-a C" 0 0
ß'li= a a (4.7)
1 1
0 0 - 1' a~2 C" - 1' a~' CiS
2
0 1t casa Cit (" _ sina a) C"' ( " 2 _ sina ~) ,.
r' r' rl iJ~ r' rl N "
0 (2 COS"(1 sin a COrSl a aa~) CH (- "2 irl Ja~ + 2 ~, ,SI11)(1 1 :12 (-12/-ril -J0< + 2-r"' '111(1 )C IS
bZw. \ So ergeben sich die zwei Gleichllllgssystemc
Bei allen Gliedern mit ~ als Faktor ist
r r s-.s s + s+s
KII LI/I = Pli P'lq P"eo,
+ I. , (4.14)
r ==; YI/I 2 sina ~ (4.8) K1A1 ,LlnA = pnA -t- pAIIQ -1- pAIIE O,
einzulllgen. Das heißt: auch die Nenner hängen von< wenn man beachtet, daß beliebige virtuelle 1<noten
ab, was die Integration erheblich erschwert. verschiebungen zugelassen sind.
In gleicher Weise erhalten wir durch Einsetzen von K~, K~ sind die Elementsteifigkcitsmatrizen des
(4.5) .in (3.14) die Schnittkraftamplituden ausgedrückt symmetrischen bzw. antimetrischen Anteils für das
durch die Amplituden eIer Knotenverschiebungen H-te Reihenglied. p~, p~ sind die auf das Element
- - 5 -1- -5 -,-5 -5 wjrkenden Knotenkräfte. P~o' P~Q sind die staUsch
1~' ~l E.o = l." 4, - E .o äquivalenten Knotenkräfte infolge der Flächenbe
ß.:J._ lastung, P~EO' l)~EO diejenigen, die durch Vorver~
-l'A -J , ('1.9) zerrungen, z. B. Temperatur, entstehen. Um zu zeigen,
~I~I - E -E,o\ = C1 1-/l"A - Et -EAo wie es Zu (4.14) kommt, werden nacheinander die
Tenne einzeln behandelt.
LI"J
wobei sich die Schnittkraftuntern1atrizcn ergeben aus
;= I, J. (4.10)
4.4 Steifigkeitsmatrix
Sollen die Schnitlkräfte in der Elemelltmitte be
rechnet werden, so ist ; = 0 zu setzen, was die Matrix Die Reihenentwicklung (3.7) wird mit (3.9) und (4.5)
wesentlich vereÜ1Jach.t. verwendet, um in der Gleichung für die innere Energie
(4.12) die Verzerrungen durch die Knotenpunktver
schiebungen auszudrücken. Es entstehen unter dem
Flächenintegral zunächst noppel~ummen, In ihnen
4.3 Prinzip der virtuellen Arbeit kann mit
\.vir denken unS ein Element aus der Gesamtstruktur
herausgelöst. Es trage Flächenlasten (I und wird (4.15)
durch Knotenkräfte im Gleichgewicht gehalten. Wir
die Integration über cp unmittelbar ausgeführt werden,
forrnulieren das Gleich.gewich.t dieses Elementes über
wobei die folgenden Integrale auftauchen
das Prinzip der virtuellen Arbeit
/lW = /lW; + /lW, = O. (4.11) 'f" w":C sn ,. W":C Sm d rp,
o
Die innere Arbeit ÖW; ist die der Schnittkräfte an den
virtuellen Ver7,eITungen. '" ,,,.,, 'I!"
f :I;" H T , m d< po
(4.12) o
Wegen der l-Iauptdiagonalform der Matrizen 1]/ und
Die äußere Arbeit wird von den Flächenlasten 'J und
der Ürth,ogonalitätsbeziellungen trigonometrischer
c1en Knotenkräften P geleistct
Funktionen fallen alle Koppcltel'me zwischen symme
ÖW, = f lIu'r 'r dA + ö;fTP. (4.13) trischen und anti metrischen Anteilen weg. Darüber
hinaus verschwinden alle Teile mit 1t =1= m, Dies be
Nun setzeIl wir in (4.12) die FOllrierentwicklung der deutet, duß Einfachsummen entstehen.
Verzerrungen ein. Auch für ~o, (J und 1) werden
analoge Entwicklungen gemacht. Damit ist es möglich, Wir erhalten somit die Elementsteifigkeitsmutrizen
in (4.1l) alle Terme durch die Amplituden der Knoten K~ und K;~ des symmetrischen und antimetrischen
verschiebungen auszudrücken. Anteils für das 1t-te Reihenglied zu
H.-V. j;UlZ, H. J. T(hl&, W, Wurmncr.t
'. Tech. "liU. !(rIlJlJl' Forsch.·Der. St:l.tischc Dl!recllllung von RQt .... tion$5ch .. lcn unter beliebiger
8:1.111136 (19'8) 11. a Illehlrot"tions'Ylllmdri~cher Belastung mit dem Prosramm~::":.:"..:,..m:.-.:A.:N:_'j-.:"·-.A:-.S:_ ___________1_1 7
2n
K1A1 = f n1'1l ' [ f 'lj.I 'AI1 l' '•I•, ·AIZ d t :p ] E ß. 'I y(1X "
o
Hierin sind die Integrale über die Diagonalmatrizen 1];
2"
,.
2"
f w.1':"s ,. ,.{ '.s d rp -- 0
o IZ 2"
2"
0
"
"
Verlauf nach
"
~Ot.JriGt9nt·
" wiekl~.lng
"
,, > 0
"
.. (4.17)
0 bl
0
f '!l"!\ 7' ''FA I 2"
o " I1 (r:p ~ 0
0
2"- " = 0
"
"
"
-
"
"
n 1t> O. Dild 7 "lächcnbclastllllgcn in lokalcn Koordinatcn
a) BclastungsltompOIlCllten
Das heißt: Die Integrale übel' die Elementliinge sind
b) Belastllllgsvcrlau!
für den symllletrischen und anti1l1ctrischcIl Anteil
eines I<eihengliedes gleich. Und wegen (4.17) sind ab
=
1t 1 die Steifigkeitsmatrizen K~ und K:~ eines In
Reihengliedes gleich, I1-.Usscn also nur einmal be
rechnet werden,
(4.20)
4.5 Statisch äquivalente Knotenkräfte
treten die bekannten IIermite-Polynome erster Ord
infolge FlächonlMt9n
nung auf. Setzen wir in das erste Glied von (4.13) die
"Vii' gehen davon aus, daß das Element durch Flächen
Reihenentwicklungen (3.8) und (4.18) ein und ver
lasten belastet ist, die mit den lokalen Komponenten
wenden (4.2) und (4. tU), so ergeben sich auch hier
q,,, q" q" (13 i I d 7) in dem Vektor « wsammengesetzt
zunächst Doppelsummen. Jedoch treten wegen der
sind.
Orthogonalitütsbcziehungen der trigonometriscllen
Ganz analog zu (3.8) wird auch 'I als Fourierreihe dar Funktionen auch hier dieselben Entkopplungcn auf
gestellt wie in der Elementsteifigkeitsmatrix. \~'ir erhalten so
die statisch äquivalenten Knotenkrüfte zu
(4.18) 'n
J
l'~q ~ UT [] (p~T (J)~ clIP] 11 111 p~ rdx!.
Die Amplituden ij~, q~~ hängen wieder von der Meri· o (4.21)
dAinasnaktozofurdnikntaioten eanu auunsdg edmrüUscsketn wübeerdr eenn tsdpurrecchh enddice P"uq = f H ,. [sJn "',f:/ ,.'T ('j.: )A" CIqJ ] H ',-1A1" r cl X.l.'
o
Amplituden p~, ii~ der Flächenlasten an den Knoten
punkten selbst. \oVir nehmcn an, daß alle Lastkompo Ganz analog wie jn (4.17) nehmen da.bei die Integrale
nenten in lVIeridianrichtung eincn linearen Verlauf über clip die \~'erte O. n, 2n: an, je nach Anteil und
haben. Nummer des Fouriergliedes. Ganz analog zu der
Steifigkeitsmatrix sind auch hier {Ur " > I die Knoten
~~ = [Ht. nj] kräfte l'~q und l)~~q bjs auf die Faktoren ii~ und p~
für das betrachtete Reihenglieu " gleich groß. Man
nn
(4.19) beachte ferner, daß durch die acht Zeilen von HT
=
ij;~ [I1~.
nicht nur Kräfte an den Knoten entstehen, sondern
auch ein lv[oment um die tangentiale Richtung.
TL·V. J",n1., 11. J. Tiim" W. WurrnnCl;t
Statisohe Berechnung vun Hötatiön!l!lthalen unter bcliebiser Te~h. ;\litt. J{f\lPP' FQr~ch,·Bcr. "
118 l1ichtr()lali(m5~Y"lInelri~ther ß(!1a.!ltuilg mit dem Pr(){;rillnm~y~li!m l\NTI~AS Danc\ GI) (1918) H, 9
- s
4.6 ISntfaotligsoc hT oi.imqupiovriailteunrtvee tr<toniolutenngk räfte wobei die Amplituden T PI! ..• ';-j. .IAI! der Temperaturen
über die Hermitepolynome erster Ordnung ausge~
rn (4.1.2) ist noch völlig offen, wodurch die Vorver drückt werden können durch die entsprcchenden
zerrungen EO erzeugt werden. Wir nehmen zunächst Amplituden -tsa' l' .. -tAlll an den beiden Knotenpunkten.
nur an, daß sie wie alle anderen Größen in der Fouricr
entwkklung Mit
I! +
60 = 11=0 'qrUS E -s01 1 "~=0 'qr,A,6 -0A1 1 (4,22) (4,25)
vorliegen. "Vir ersetzen nun gan7. analog 7,U Abschn. 4.5
im zweiten Term der GI, ('L12) alle Größen durch die und
H.eihenentwicklungen und führen mit (4,5) die vir
tuellen Verl!;crrungen auf die Amplituden der Knoten (4,26)
verschiebungen zurück. Auch hier cntkoppeln sich
ergibt sich
aus den bekannten Gründen die Glieder, und wir
erhalten die statisch äC}uivalenten Knotenkl'äfte
infolge beliebiger Vorverzerrungen zu -'1 ,tsl l='1 ,1* ..* -tSIu -''1 ,IgIU =1'1 ** -tSal l
«1,27)
2n
PS111 1"0 = f ßu" ( f w.1;/s1?' 1' /rnSC 1f{ ) ) EI f-.sOI ~rc1x ll
o Die Vorverzerrungen ciner Schale infolge einer Tem
(4-23)
peratur, die über den Querschnitt linear verläuft, sind
Im folgenden sollen die Gleichungen (4,2~) unter der
Annahme betrachtet werden, daß die VorverzclTungen
Längenausdehnungskoeffizient.
aus einer Temperaturbelastung herrühren. Dies tritt Ut
in der IJraxis sehr häufig auf. Die Tcmperaturverteilung
Setzen wir nun (4,27) in die Jieihenentwicklung (4,24)
sei wie folgt angenommen (Bild 8): linear über die
für die Temperaturen ein und vergleichen mit (4.22),
Schalendicke, linear über die Meridiankoordinate und
nach der Fourierentwicklung beliebjg jn Umfangs~ so erhalten wjr die Amplituden der Vorverzerrungen
richtung. zu
H*1tt -ts"l + -l5aI ! H**' -1A11 / + -t(Alll-
2 2
I H** -tsjl! + -tsal l lI*lIt ~tiAll + -tlAll i
2 2
I
0 0
"s "A
Eou= a\ -s -s , EOIl :-- Ot -/\ -A (4,29)
I <D H*!It Ij'l- t t,," lH ** Itll- 1"1I
I~ linearer Verlauf -S -5 -A -/\
, w 1-1** till- t;1U HO' ti~-t'"
I
0
I
Dies Resultat ist ~chließlich 111 (4.23) einzuset7.en.
I Auch hier sind die Integrale für n':::" '1 für den symme
trischen und antimetrischen Anteil gleich groß. Sie
~-------
mUssen nur noch multipliziert werden mit den zuge
hörigen Temperaturamplituden der Knotenpunkte.
I
i
4.7 Glolchungssystomc dor Gcsamtstruktur
Alle Terme der Steifigkeitsbeziehungen (4.14) sind be
Bild R Temperaturverteilung in einem l{egelschalclleicllicnt.
zogen auf das lokale Koordinatensystem des betrach
teten Elementes, Soll Gleichgewicht aller Knoten deI'
finiten Struktur gebildet werden, so müssen zunächst
Die Temperaturen an den beiden Außenflächen irn
alle Vektoren und Matrizen in das globale Zylinder
Elemen t sind
koordinatensystem transformiert werden. Dies ge
schieht durch Multiplikation aller lokalen Vektoren
mit der Transforrnationsmatrjx
(4,24)
(4,80)
H,·U, Jant, H, J, 'füns, W, WurlllILC!i1
'feeh. Mit!. l<rupl' , l'outh.·Uer. SI<lti&<'he lkrccllllllng von ~otatlonssehfllel\ lIIHer beliebiger
Uand S6 !Ins) tJ. 3 llichtrotaliQIl&5)'ml\\ctrischcr De!IiISlullg mit del\\ 1)(Oj:rihillilsysleui ANTI(AS 119
mit ausgabc lies Vorbereitungsteils enthält neben eincr
1 Auflistung der Eingabe die aufbereiteten I<noten- und
51n(l 0 - cos« 0 Elementdatell. Zusätzlich wil'd für jedes Fourierglieel
~ [
0 1 0 0 und jeden Lastfnll der Relastungsvektor ausgedruckt.
T, cOs« 0 sin u 0 (U1) Nach Abschluß des Vorbercitungstcils kann der
0 () () 1 Rechcnlauf unterbrochen werden, U111 die Eingabe zu
kontrollicren, Im allsclliießenelen Verarbeitullgsteil
Die Elcmcll tstci figkei tell transformieren sich nach wird die eigentlichc Bcrcchnung nach den in I(ap. 4
s ::;, ,1· beschriebenen Gleichungen dUl'chgeftlhl't:
K llglllb = TKIl [ ,
(4.32) Für alle Fouricl'glieder
K" = TKA'r"
Iigloh 'I ' Ermittlung der statisch äquivalcilleu Knotcukräfte
Das (;Ieichgcwicht allel' Knoten führt schliel3lich auf infolge der Lasten (4.21, 4.23),
lIie beiden entkoppeltcll Sätze linearcr Gleichungen in
Eillsortieren der I<notenkräfte in die Belastungs
den globalen (;riilJen
vektoren,
Ks" glob,ge5 -!fs;1 g lob, grs = PS,q llob,g('5, rOr Temperatul'bcla!itlillgen: Berechnung eier
(H3) Schnittkraftalllplitudell infolge fo, fouricrsynthese
der Schnittkräfte infolge in den gcwUnschten
(;0
Da die Transformationen (-1-.32) unabhängig sind von \,Vinkelsclllli tten,
dem betrachtetcn Anteil und dem Fonrierglied, übcr BCI'echnen der globalen E.lementsteiligk(1it!imatri
trägt sich die Eigenschaft der Elementsteifigkeits zen allel' Elemcntc lind Ein::;udieren in die GC!iamt
illatrizen auf die globalen Gesamtsteifigkeitsmatrizen, steif igkei tSlllatri x
I
Das heißt: dic Gesamtsteifigkeitsmatrix muß mit Drcieckszerlegung eler Gesallltsteifigkeitsmatrix
=
Ausnahmc von 1t 0 für jedes Fourierglied 11. nur nach Cholesky,
einmal aufgestellt und invertiert werden.
Berech.nung der VCl'schiebungsamplitlldcn,
Nach Einführen eIer Lagerbedingungen kann das Fouriersynthesc der Verschiebungen in den ge
Gleichungssystem nach den Amplituden der Knotcn wünschten \VinkelschnittcII,
verschiebungcn gelöst werden. Anschlienend werden
Bcrcclmung der Sehnittkraftamplitu.den und Fou
die Verschiebungen der Knoten eines jeden Elementes
dcrsynthese Hir die Elementmitten aller Elemente,
in das zugehörige lokale Koordinatensystem zurück
transformiert und über (-1.9) die 5chnittkt'aftampli FUl' alle Lastfillie
tuden an der gcwlillschten Stelle (I'.. B. Elementmilte)
Oruckausgabc dcl' Verfol'lllungcll allel' \Vinkel
berecllnet.
schnitte,
Druckausgabe der Schnittkräfte, Spannungen und
5 Leistungsbeschreibung von ROSCHA I-Iauptspannungcn aller \,Vinkelschnitte.
Die Eingabedaten zu HOSCI-IA werden über Loch Zur PrlHung dcr [(ollvergenz können z.usätzlich
katten oder Bildscliirm in der für /\NTRAS üblichen Schnittkraftamplituden fUl' deroniel'le Elemente .us
Konvention vOl'gegebell, gegeben werden.
Als Lasten können in jcdem Las Hall vorgesehcn III der praktischen Nutzung ist es häufig zeitraubend
werden: ode I' überhaupt unmöglich, die Fourierkoefllzienten
der Lasten von Hand zu crrechnen, In solchcll Fällen
linear über die ElemenllGnge verteilte F.lächen
kann das Programm FANA5-FOURAN [8] vel'wendet
las t e n aller drei Relastu ngsarten (sie werden als
werden, das elie l3elastungsamplitudcn von Flächen
radiale, tangentiale und axiale KOl'l"lpOnenten im
lasten durch nmnerischc harmonische Analyse er
globalen Koordinatensystem bcschl'icben),
mittelt.
Knotenlinienlasten in dt::n globalen Koordi
naten, Außer den drei Kraflkomponenten sind 6 Vergleichende Berechnungen
Momcnte um die tangentialc Achse als Lasten
In dcn folgenden einfachen Demonstrationsbeispielen
zulässig.
sollen dic numcrisch gewonnenen Ergcbnisse den
Ternperaturen. Die Verteilung über den Qucr analytischen gegenübergestellt wcrdcn,
schnitt ist linear veränderlich (lingleichförmige
Temperatur), III ihr ist die konstante Tcmperatur 6,1 Kroisplatte unter linear veränderlicher Flächenlast
über der Elementdicke enthalten (gleichförmige Betrachten wil' die Kl'eisplatte (Bild 9). die durch
Tcmperatur). Die Vel'tcilung über die Element linear verändcrliche Plächclllal)t beansprucht ist. Die
länge ist linear. Lastordinaten im Durchmesser CD sind Null, Die
Laslverleilung ist mit
Alle Lastanteile können in jedem Lastfall beliebig
eingehcll, Ihre Fourierentwicklung ist voneinander pr
völlig unabhängig. qw = a cosrp (lU)
HOSCHA bestcht aus cinern Vorbereitungs- und dargestellt. Es existiert deshalb nur das Heihenglied
einem Verarbeitungstejl. Aufgabe des Vorbereitungs n -, 1 des syIllmetrischen Anteils. Die analytische
teils ist das Aufbereiten der Datcncingabe, Die Druck- Lösung fl\l' die Biegemomente el'gibt sich nach [3.20]
H.-U. J!ln~, H. ].1'(lns, W. WUfmnest
St"tischc nerechnulll> V(ln Rolalion~~eh"lcn unter beliebiger Teeh. Mitt. l(ruN) , forsch.-ller.
120 nichtrotiltion5&ymmetrisQllt~r Belntung mit dem Prosr"mmsyslclll ANTI~AS 1J3.llil3G (1978) H. B
c 6.2 Kreiuyllnderschale unter Randmoment
An der Kreiszylinderschale (Bild 11) greifen Rand
mornente
M'f = Mo CQS ncp
,, =
an. Der Fall 0 ist das konstant umlaufende
Krell1pclmomcnL Es werden je SchalcnhäHte 30 Ele
mente verwendet. Die Rech.enresultate 7,1.1 M·ss sind
in Bild 12 für drei ausgewählte Fourierglieder der
analytischen Lösung [15] gegenübergestellt. Auch
hier ist die übereinstimmung gut.
D
Mo
~.',
,.5
r9" -t
,L I
~A7
_S~m.mQ'ttiQ'. __ . _ _ . __ . __ . - .- 1-
a -+ a -I !
u
l
Bild 9 l{reisplatte tIntel' linear vel'tl.ndel'iichct' FH:l.chcnlast
t, U~~_~__L
qw = --:-cosrp. Z __________
"
\..Y
zu Mo
50
pa'
M" = 4if (5+ v) e (l- e') cos,?, 'Bilcl 11 l(roiszylindcrschalc unter dcm Ralldmomcnt
EI').
pa' e [(5 + ,,) (1 + 3v) (6.2) Mo = -I -v' 2 J.O~2.
M. •• -- 48- (3+ v) - (l + 5v) (3 + v) e'J cos,?
Verwenden wir acht äquidistunte Elemente, so erhal
ten wir Resultate, die erst in der dritten Stelle von
1,0
den exakten abweichen. Die Resultate sind in Bild 10
dargestellt.
'.0 0.8
/'' "
cl
1.8 I! \
0,6
J I,
, M,,~
1.
/
\
1.2
1/
1.0 0.2 1\
f
M~./
0.6
V I'
i o ---
0.6 / ~
0.' Lr9m"3F I
- exakte Losung
0., 0.1 0,2 0,3 0.4 0,5
'/ 0 ••
zfL •
0.' 0.' O.D 0.8 1.0 a) n == 0
Bild 12 }{reiszylinderscha.le - Vertoilung: des clililensiol1s
9- IQscn DicgCJliomcntcs M;! = ll'lss/Mo (s. Bild 11)
Bild 10 l<roisplatte - Die dimcnsionslosen Schnittmomente über z/L CL Höhe dei' Zylindersch::de) hir tp = 0°,
M:s = 48 Mssf(pa3) und M;rp = 48 M'P'Pf(pa2) in bGrechnct mit ROSCI-IA (0) Hir drei ausgewählte
Abhängigkeit vom Verhältnis Q = "Ja tür rp = 0° mit Fouriel'glieder mit V 0, im Vergleich zur analy
~ = 0 (s. B;lo 9). tischen Lösung: (----