Starthilfe Mathematik: Für Studienanfänger der Ingenieur-, Natur- und Wirtschaftswissenschaften

140 Pages·2001·5.424 MB·German

by  Prof.Dr. Winfried Schirotzek, Prof.Dr. Siegfried Scholz (auth.)

Mathematik fOr Ingenieure und Naturwissenschaftler
Winfried Schirotzek, Siegfried Scholz
Starthilfe Mathematik
Winfried Schirotzek, Siegfried Scholz
Starthilfe
Mathematik
Fur Studienanfanger der Ingenieur-,
Natur- und Wirtschaftswissenschaften
4., durchgesehene Auflage
Teubner
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
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Das Lehrwerk wurde 1972 begrundet und wird herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth,
Prof. Dr. Christian GroBmann, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider,
Prof. Dr. Gunter Zeidler
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Prof. Dr. Karl Manteuffel
Autoren:
Prof. Dr. Winfried Schirotzek
Prof. Dr. Siegfried Scholz
1. Auflage 1995
2. Auflage 1997
3. Auflage 1999
4., durchgesehene Auflage Dezember 2001
Aile Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden, 2001
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2001
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ISBN 978-3-519-10271-7 ISBN 978-3-663-11491-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-11491-8
Vorwort
Fur viele Wissenschaftsdisziplinen ist die Mathematik ein wesentliches Hilfsmittel. So
sind mathematische Begriffe, Sachverhalte unci Methoclen in den Natur-, Ingenieur
und Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar. Daher ist Mathematik ein Gruncllagen
fach fUr zahlreiche Studiengange sowohl an Universitaten als auch an Fachhochschulen.
Manchem Studienanfanger bereitet jedoch die Mathematik erhebliche Schwierigkei
ten. Diese ergeben sich vielfach aus "Luckeneffekten". Die vielfaltigen Gestaltungsmog
lichkeiten der Mathematikausbildung, die an Gymnasien und anderen Ausbilclungs
sta.tten durch Wahl von Grund- oder Leistungskursen sowie verschiedener wahlob
ligatorischer Themen gegeben sincl, bewirken Unterschiede in der mathematischen
Vorbildung der Studienanfanger. Hinzu kommt, daIS Kenntnisse aus fruher Schulzeit
verlorengegangen sind oder nicht mit notiger Sicherheit beherrscht werden. Darauf
kann aber in den Lehrveranstaltungen an den Hochschulen nur bedingt Rucksicht
genom men werden. Die vorhandenen Lucken aufzuspuren und zu schlielSen, bleibt
letztlich jedem selbst uberlassen.
Dazu bietet die vorliegende "Starthilfe Mathematik" ihre Unterstutzung an, indem
sie eine Brucke zwischen dem Gymnasium (bzw. einer anderen stuclienvorbereitenden
Schule) und der Hochschule schlagt. Das Buch enthalt wichtige Themen der Elemen
tarmathematik (wie z. B. Bruchrechnung, Umformung von Termen, Rechnen mit den
Grllndfunktionen), cler linearen Algebra (u. a. lineare Gleichungssysteme) unci clef
Analysis (Grenzwerte, Ableitungen, Integrale). AulSerdem nehmen auch elementare
und analytische Geometrie; die fUr einige Studieneinrichtungen von grolSer Wichtigkeit
sind, breiten Raum ein. Dagegen fanden stochastische Fragestellungen keine Beruck
sichtigung, da dieses Stoffgebiet im allgemeinen in der Anfangsphase des Studillms
noch nieht benotigt wird.
Dem Leser wird empfohlen, mit dem Bueh nach Mogliehkeit schon v 0 r Studienbe
ginn zu arbeiten. Es eignet sieh aber auch als studienbegleitende Literatur fUr weite
Strecken des ersten Mathematiksemesters.
An einigen wenigen Stellen werden tieferliegende Zusammenhange in kleingedruckten
Bemerkungen angedeutet, denen ein Stern (*) vorangestellt ist; diese k6nnen ohne
Nachteil fijr die weitere LektUre ubergangen werden. AulSerdem wurde fUr Beispiele
eine kleinere SchriftgrolSe gewahlt, um den Text deutlieher zu strukturieren, jedoch
keineswegs, um den Beispielen eine geringere Bedeutung beizumessen. 1m Gegenteil:
Die Beispiele haben eine besonclere Wertigkeit; sie sind fUr das Verstandnis cles Textes
unentbehrlich.
Gern nutzen wir die Gelegenheit, mehreren Kolleginnen und Kollegen zu danken. Beim
Anfertigen der Bilder war uns die Mitwirkung von Herrn Dr. H.-P. Scheffler unci Frau
Dr. C. Va.nselow eine allgerordentliche Hilfr, fiir die wir uns herzlieh bedanken. Zu be
sonderem Dank verpflichtrt sind wir Frau M. Gaede fiir die sorgfii.ltige Anfertigung del"
Druckvorla.ge und ihr geduldiges Eingehen auf aile unsere Gestaltungswlinsche. Zahl
reiche Kollcgen haben das Entstehen des Buches durch ihre Hinweise und Ratschlage
6 Vorwort
unterstiitztj die Herren Prof. Dr. K. Manteuffel, Prof. Dr. M. Richter, Dr. K. Vetters
und Prof. Dr. G. Zeidler haben das vollstandige Manuskript sorgfaltig und kritisch
gelesen. Ihnen allen mochten wir an dieser Stelle herzlich danken. Schlielf,lich bedan
ken wir uns beim Teubner-Verlag, insbesondere bei Herrn J. Weilf" fUr die Anregung
zu diesem Projekt und fUr die entgegenkommende, konstruktive Zusammenarbeit.
Dresden, im August 1995 W. Schirotzek S. Scholz
In der vorliegenden 4., durchgesehenen Auftage wurden Druckfehler korrigiert und
einige Formulierungen iiberarbeitet.
Dresden, im Juli 2001 W. Schirotzek S. Scholz
Inhalt
1 Logik und Mengenlehre 9
1.1 Grundbegriffe der mathematischen Logik 9
1.2 Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . 12
2 Die reellen Zahlen 14
2.1 Einfiihrung der reellen Zahlen ............ . 14
2.2 Zifferndarstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Beweis durch Induktion, Definition durch Rekursion 21
2.4 Erganzungen ..................... . 22
3 Funktionen einer reellen Variablen 26
3.1 Definition und Darstellung . 26
3.2 Beschrankte Funktionen . . . . . 27
3.3 Monotone Funktionen . . . . . . 28
3.4 Gerade und ungerade Funktionen 29
3.5 Periodische Funktionen 30
3.6 Mittelbare Funktionen 30
3.7 Umkehrfunktionen .. 31
4 Elementare Funktionen 33
4.1 Potenz- und Wurzelfunktionen 33
4.2 Exponential- und Logarithmusfunktionen ..... 36
4.3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 39
4.3.1 Winkel und ihre Malle ........... . 39
4.3.2 Definition der trigonometrischen Funktionen 41
4.3.3 Berechnungen an Dreiecken . . . . . 42
4.3.4 Beschreibung periodischer Vorgange 44
4.3.5 Arkusfunktionen . . . . . . 45
4.4 Erganzungen und weitere Beispiele 48
5 Vektoren 51
5.1 Grundbegriffe ................. . 51
5.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 52
5.3 Das Skalarprodukt zweier Vektoren . 56
5.4 Das Vektorprodukt zweier Vektoren 58
6 Geometrie 61
6.1 Elementare ebene Geometrie ............... . 61
6.1.1 Winkelbeziehungen an sich schneidenden Geraden 61
6.1.2 Die Strahlensatze ........ . 63
6.1.3 Satze fUr beliebige Dreiecke .. . 64
6.1.4 Satze fiir rechtwinklige Dreiecke . 65
8 Inhalt
6.1.5 Satze fiir den Kreis ......... . 66
6.2 Analytische Geometrie der Ebene . . . . . . 68
6.2.1 Das kartesische Koordinatensystem . 68
6.2.2 Die Gerade . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.3 Die Kegelschnitte . . . . . . . . . . . 73
6.2.4 Die Kegelschnitte als algebraische Kurven 2. Ordnung 77
7 Lineare Gleichungssysteme 79
7.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen fiir zwei
Un bekannte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen fiir drei
Un bekannte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8 Zahlenfolgen 85
8.1 Der Begriff der Zahlenfolge 85
8.2 Der Begriff des Grenzwertes 89
8.3 Divergente Zahlenfolgen . . 92
8.4 Rechenregeln fiir konvergente und bestimmt divergente Zahlenfolgen 93
9 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen 96
9.1 Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion 96
9.2 Rechenregeln fiir Grenzwerte .... . 101
9.3 Der Begriff der Stetigkeit ........ . 102
9.4 Das Rechnen mit stetigen Funktionen .. 104
9.5 Nullstellensatz und Halbierungsverfahren 106
10 EinIlihrung in die Differentialrechnung 109
10.1 Der Begriff der Ableitung .. . 109
10.2 Ableitungsregeln ....... . 113
10.3 Ableitung der Grundfunktionen 115
10.4 Weitere Beispiele . . 116
10.5 Hohere Ableitungen 118
10.6 Monotonie .. 119
10.7 Extremstellen 120
10.8 Wendestellen 124
11 EinIlihrung in die Integralrechnung 127
11.1 Der Begriff des bestimmten Integrals ...... . 127
11.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . 131
Literatur 136
Sachregister 137
1 Logik und Mengenlehre
1.1 Grundbegriffe der mathematischen Logik
In diesem Abschnitt stellen wir Begriffe, Symbole und Sprechweisen bereit, die das
sprachliche Medium zur Formulierung mathematischer Sachverhalte bilden und da
her im folgenden immer wieder verwendet werden. Um dies an relevant en Beispielen
erlautern zu konnen, werden wir schon hier mit Begriffen wie "reelle Zahl" oder "kar
tesisches Koordinatensystem" arbeiten, die dann in spateren Kapiteln ihrerseits noch
ausfiihrlich erortert werden.
Die mathematische Logik befafit sich mit Aussagen. Unter einer Aussage versteht
man ein sprachliches oder formelmafiiges Gebilde, dem man entweder den Wahrheits
wert wahr oder den Wahrheitswert falsch zuordnen kann. Statt "Die Aussage p hat
den Wahrheitswert wahr" sagt man auch "p ist eine wahre (oder richtige) Aussage"
oder einfach "p gilt" . Analog sagt man "p ist eine falsche Aussage" oder "p gilt nicht".
Beispiel 1.1 Der Sat'z
"1m vorliegenden Buch wird mathematische Logik auf den Seiten 9 - 11 behandelt"
ist eine wahre Aussage. Dagegen ist
"Kapitel 2 dieses Buches befafit sich mit Kugelgeometrie"
eine falsche Aussage.
Ausrufungs- und Fragesiitze sind keine Aussagen.
In der Mathematik kommen Aussagen haufig in der Form von Gleichungen vor. So
v'4 v'4 v'4
ist = 2 eine wahre Aussage. Anders formuliert: Es gilt = 2. Aber ist keine
Aussage, sondern ein Ausdruck oder Term.
Durch Verkniipfung von Aussagen entstehen neue Aussagen, deren Wahrheitswert sich
aus den Wahrheitswerten der verkniipften Aussagen ergibt. Mathematische Satze und
deren Beweise sind solche Aussagenverkniipfungen.
Wir stellen im folgenden die gebrauchlichsten Aussagenverkniipfungen zusammen.
Es seien p, q Aussagenj dann bezeichnet
p (oder auch -,p) die Negation von p (gelesen: "nicht p"),
p /I. q die Konjunktion von p und q (gelesen: "p und q", "sowohl p als auch
q"),
p V q die Disjunktion von p und q (gelesen: "p oder q" j dieses Oder ist aber
nicht alternativ zu verstehen, bedeutet also nicht "entweder p oder q"),
p ==:} q die Implikation (gelesen: "p impliziert q", "aus p folgt q", "wenn p gilt,
so gilt q"),
p ~ q die Aquivalenz von p und q (gelesen: "p ist aquivalent zu q", "p gilt
genau dann, wenn q gilt").
Beim Bilden der Negation ist gro:6e Sorgfalt geboten.
Beispiel 1.2 Betrachten wir die Siitze
p : 1m vorliegenden Buch wird mathematische Logik auf Seite 80 behandelt.
10 1 Logik und Mengenlehre
s : 1m vorliegenden Buch wird mathematische Logik auf den Seiten 9 - 11 behandelt.
Offensichtlich ist peine falsche, seine wahre Aussage. Aber s ist nicht gleich p, sondern p
Iautet:
p: 1m vorliegenden Buch wird mathematische Logik nicht auf Seite 80 behandelt.
Beispiel 1.3 Gegeben seien die Aussagen
p : Eine Woche besteht aus 7 Tagen.
q : Ein Jahr besteht aus 13 Monaten.
r : Ein Jahr besteht aus 12 Monaten.
Da p wahr, q falsch und r wahr ist, gilt:
p A q ist falsch, pAr ist wahr, q A r ist falsch,
p V q ist wahr, p V r ist wahr, q V r ist wahr.
Implikation und Aquivalenz spielen in der Mathematik eine fundament ale Rolle. Dort
treten sie meist im Zusammenhang mit Variablen auf, z. B. in folgender Form:
Fiir alle reellen Zahlen x gilt: Aus x ~ 3 folgt x2 ~ 9. (1.1)
Die von der Variablen x abhangigen Relationen p( x) : x ~ 3 und q( x) : x2 ~ 9 sind
Beispiele fiir Aussageformen.
Eine Aussageform p(x) wird zu einer Aussage,
indem man die Variable x durch ein konkretes Objekt ersetzt (z. B. wird aus der
Aussageform p(x) : x ~ 3 die wahre Aussage p( 4) : 4 ~ 3 bzw. die falsche Aussage
p(l) : 1 ~ 3) oder
indem man die Variable x durch einen Quantor "bindet".
Die wichtigsten Quantoren sind
V : lies "Fiir alle ... gilt ... "
3 : lies "Es existiert (mindestens) ein ... mit der Eigenschaft ... "
Die Symbole sollen an die Buchstaben A ("Alle") bzw. E ("Existenz") erinnern. Ein
weiterer Quantor, fiir den wir jedoch kein Symbol einfiihren, ist
"Es existiert genau ein ... mit der Eigenschaft ... "
Beispiel1.4 Aus der Aussageform p(x) : x ~ 3 kann man durch "Binden" der Variablen x
z. B. die folgenden Aussagen u und v bilden:
u: 'Ix (x: reelle Zahl): x 2': 3 ("Fiir aIle reellen Zahlen x gilt x 2': 3.")
v: 3x (x: reelle Zahl): x 2': 3 ("Es existiert eine reelle Zahl x mit x ~ 3.")
Die Negationen dieser Aussagen sind
u : 3x (x: reelle Zahl): x < 3,
v: Vx (x: reelle Zahl): x < 3.
Hier sind u und v falsch, ii und v wahr.
Beispiel1.5 Die (wahre) Aussage (1.1) konnen wir nun in folgender Form schreiben:
Vx (x: reelle Zahl): x 2': 3 ==:} x2 2': 9. (1.2)