Stabilisation de la formule des traces tordue II: int\'egrales orbitales et endoscopie sur un corps local non-archim\'edien; d\'efinitions et \'enonc\'es des r\'esultats

0.89 MB·

by  Jean-Loup Waldspurger

Stabilisation de la formule des traces tordue II :
int´egrales orbitales et endoscopie sur un corps local
non-archim´edien ; d´efinitions et ´enonc´es des r´esultats
J.-L. Waldspurger
23 janvier 2014
4
1
0
2
Introduction

n
Ceci est le deuxi`eme d’une s´erie d’articles, en collaboration avec C. Moeglin, visant
a
J `a ´etablir la stabilisation de la formule des traces tordue. On y donne les d´efinitions des

8 termes locaux intervenant dans la partie g´eom´etrique de cette formule, sous la restriction
2
que le corps local de base F est suppos´e non-archim´edien. On ´enonce les principaux

] r´esultats concernant ces objets. Les deux plus importants, `a savoir les th´eor`emes 1.10
T
et 1.16, ainsi que quelques autres, ne seront pas d´emontr´es ici mais seulement ´enonc´es
R
. comme assertions `a prouver. Le th´eor`eme 1.10 sera d´eduit dans l’article suivant des
h
r´esultats d’Arthur. La preuve du th´eor`eme 1.16 n´ecessite un argument global, elle ne
t
a
sera donn´ee que beaucoup plus tard.
m
On utilise les notations introduites dans le premier article [I]. Consid´erons un triplet
[
(G,G˜,a) comme dans celui-ci. Le terme G est un groupe r´eductif connexe sur F, G˜
1
v est un espace tordu sous G et a est un ´el´ement de H1(ΓF;Z(Gˆ)), qui d´etermine un
7 caract`ere ω de G(F). Dans la premi`ere section, on commence par d´efinir les objets
2
de base, `a savoir, pour un espace de Levi M˜ de G˜, les int´egrales orbitales pond´er´ees
1
7 JG˜(γ,ω,f) et leurs avatars ω-´equivariants IG˜(γ,ω,f). Pour cela, nous suivons bien suˆr
. M˜ M˜
1 Arthur mais nous modifions un peu ses d´efinitions. Expliquons cela en consid´erons le
0 ˜ ˜
cas G = G = SO(7), a = 1, M = M = GL(2) × SO(3). Nous ne changeons rien aux
4
1 d´efinitions d’Arthur pour un ´el´ement γ ∈ M(F) qui est G-´equisingulier, c’est-a`-dire tel
:
v que G = M (on note par exemple G la composante neutre du centralisateur de γ
γ γ γ
Xi dans G). Le changement concerne les ´el´ements non-´equisinguliers, par exemple l’´el´ement
r γ = 1. Soit (B,T) une paire de Borel de G d´efinie sur F, telle que M soit standard pour
a
cette paire. Notons g et t les alg`ebres de Lie de G et T et notons Σ(T) l’ensemble des
racines de T dans g. On identifie t(F) `a F3 de sorte que Σ(T) s’identifie a` l’ensemble
{±α ;1 ≤ i < j ≤ 3}∪{±α ;1 ≤ i ≤ 3} de formes lin´eaires sur t(F), ou`
i,±j i
• α (x ,x ,x ) = x −x ;
i,j 1 2 3 i j
• α (x ,x ,x ) = x +x ;
i,−j 1 2 3 i j
• α (x ,x ,x ) = x .
i 1 2 3 i
Les racines dans M sont ±α et ±α . Introduisons l’alg`ebre de Lie a du centre
1,2 3 M
de M. Alors a (F) = {H(x);x ∈ F}, ou` H(x) = (x,x,0). Les racines ci-dessus se
M
restreignent `a ce sous-espace en 0, ±β ou ±2β, ou` β(H(x)) = x. On pose
l (x) = |eβ(H(x)) −e−β(H(x))| , l (x) = |e2β(H(x)) −e−2β(H(x))| .
β F 2β F
Pour x 6= 0 mais assez voisin de 0, l’´el´ement exp(H(x)) ∈ M(F) est G-´equisingulier.
Pour f ∈ C∞(G(F)), l’int´egrale orbitale pond´er´ee JG(exp(H(x)),f) est bien d´efinie,
c M
1
ainsi que JG(exp(H(x)),f) = IG(exp(H(x)),f). Arthur montre qu’il existe un r´eel kG,
G M
n´ecessairement unique, de sorte que, pour tout f, l’expression
JG(exp(H(x)),f)+kGl (x)IG(exp(H(x)),f)
M M β
ait une limite quand x tend vers 0. Il d´efinit JG(1,f) comme ´etant cette limite. Pour
M
des raisons de compatibilit´e `a l’induction, il nous semble pr´ef´erable de ne pas privil´egier
la racine indivisible β mais de r´epartir plutˆot le coefficient kG sur les deux racines β
M
et 2β. Pour cela, consid´erons l’ensemble des ´el´ements de Σ(T) qui se restreignent en un
multiple entier de 2β. Ce sont ±α , ±α et ±α . C’est le syst`eme de racines d’un
1,2 1,−2 3
sous-groupe G = SO(4)×SO(3) de G qui contient M. On a de mˆeme un nombre r´eel
2β
kG2β. Consid´erons l’expression
M
JG(exp(H(x)),f)+ (kG −kG2β)l (x)+kG2βl (x) IG(exp(H(x)),f).
M M M β M 2β
(cid:16) (cid:17)
Elleaencoreunelimitequandxtendvers0,quiest´egale`alapr´ec´edente, pluskG2βlog(|2| )IG(1,f).
M F
C’est cette limite que nous notons JG(1,f).
M
On s’aperc¸oit que le proc´ed´e admet diverses variantes. Par exemple, fixons un ra-
tionnel b > 0. On peut remplacer dans la formule ci-dessus l (x) et l (x) par l (bx)
β 2β β
et l (bx). Il y a encore une limite, ´egale `a la pr´ec´edente plus kGlog(|b| )IG(1,f). On
2β M F
la note JG(1,B,f), B d´esignant la fonction constante sur Σ(T) de valeur b. Plus sub-
M
tilement, consid´erons la fonction B sur Σ(T) d´efinie par B(±α ) = 1, B(±α ) = 1,
i,j i,−j
B(±α ) = 1/2. Cette fonction est proportionnelle au carr´e de la longueur usuelle. Pour
i
α ∈ Σ(T), α est encore une forme lin´eaire sur t(F). Les restrictions de ces formes a`
B(α)
a (F) sont encore 0, ±β, ±2β. Consid´erons l’ensemble des α telles que la restriction
M
de α soit un multiple entier de 2β. Il est form´e de ±α , ±α , α , α , α . C’est le
B(α) 1,2 1,−2 1 2 3
syst`eme de racines d’un groupe G = SO(5)×SO(3). Ce n’est plus un sous-groupe
2β,B
de G, mais il contient encore M. L’expression
JG(exp(H(x)),f)+ (kG −kG2β,B)l (x)+kG2β,Bl (x) IG(exp(H(x)),f)
M M M β M 2β
(cid:16) (cid:17)
a encore une limite quand x tend vers 0. On la note JG(1,B,f).
M
Ainsi, pour certaines fonctions B sur Σ(T), on peut d´efinir JG(1,B,f), ainsi que son
M
avatar invariant IG(1,B,f). La consid´eration de ces diverses d´efinitions est utile pour
M
notre propos. Expliquons pourquoi en revenant au cas g´en´eral. Consid´erons une donn´ee
endoscopique G′ = (G′,G′,s˜) de (G,G˜,a). Soient η un ´el´ement semi-simple de G˜(F), ǫ
un´el´ement semi-simple de G˜′(F), supposons que ces deux ´el´ements se correspondent par
la correspondance endoscopique usuelle. Fixons des formes quasi-d´eploy´ees G∗ et G′∗ de
η ǫ
G et G′ et des paires de Borel d´efinies sur F dans ces deux groupes, dont on note les
η ǫ
tores T et T′. On note Σ(T ) et Σ(T′) les ensembles de racines de T dans G∗ et de
η ǫ η ǫ η η
T′ dans G′∗. Il y a un isomorphisme naturel t ≃ t′. Mais il n’identifie pas Σ(T′) a` un
ǫ ǫ η ǫ ǫ
sous-ensemble de Σ(T ). Par contre, il existe une fonction BG˜ : Σ(T′) → Q telle que
η ǫ ǫ >0
l’ensemble { α ;α ∈ Σ(T′)} s’identifie `a un sous-ensemble de Σ(T ). Soient M˜ et M˜′
BG˜(α) ǫ η
ǫ
des espaces de Levi de G˜ et G˜′ qui se correspondent, supposons η ∈ M˜(F) et ǫ ∈ M˜′(F).
Soit enfin γ ∈ M˜(F) de partie semi-simple η. ”Stabiliser” la distribution f 7→ IG˜(γ,ω,f)
M˜
revient `a´etablir une relation entre celle-ci et d’autres distributions vivant sur des espaces
endoscopiques. Parmi ces derni`eres, il y a en premi`ere approximation les distributions
2
f′ 7→ IG˜′(δ,f′), ou` δ est un ´el´ement de M˜′(F) de partie semi-simple ǫ. Il s’av`ere qu’il est
M˜′
plus pertinent d’utiliser la distribution f′ 7→ IG˜′(δ,BG˜,f′).
M˜′ ǫ
Dans la suite de la premi`ere section, on d´efinit les avatars stables et endoscopiques
des int´egrales orbitales pond´er´ees ω-´equivariantes. Le th´eor`eme 1.10, qui ne concerne
˜
que le cas ou` (G,G,a) est quasi-d´eploy´e et `a torsion int´erieure, affirme que les avatars
stables sont bel et bien stables. Le th´eor`eme 1.16 affirme l’´egalit´e des int´egrales orbi-
tales pond´er´ees ω-´equivariantes avec leurs avatars endoscopiques, c’est-a`-dire une ´egalit´e
IG˜(γ,f) = IG˜,E(γ,f) avec des notations proches de celles d’Arthur. Encore une fois, ces
M˜ M˜
th´eor`emes ne sont ici qu’´enonc´es comme des assertions `a prouver.
Dans la deuxi`eme section, on d´eveloppe pour nos int´egrales la th´eorie des germes
de Shalika. On pourrait esp´erer que ceux-ci permettent de ramener les th´eor`emes 1.10
et 1.16 aux mˆemes th´eor`emes restreints aux distributions `a support fortement r´egulier
˜
dans G(F) (c’est-`a-dire de prouver que, si ces th´eor`emes sont v´erifi´es pour de telles
distributions, ils sont vrais pour toute distribution). Cet espoir est vain, pour autant que
je le sache, car on n’a pas assez de renseignements sur les germes. Ceux-ci permettent
toutefois de prouver que les th´eor`emes, restreints aux distributions a` support fortement
r´egulier dans G˜(F), entraˆınent les mˆemes th´eor`emes pour les distributions a` support
seulement G˜-´equisingulier.
Dans la troisi`eme section, on´etudie plus finement la d´efinition des int´egrales orbitales
pond´er´ees ω-´equivariante. Par d´efinition, une int´egrale IG˜(γ,f) est limite de combinai-
M˜
sons lin´eaires d’int´egrales IG˜(aγ,f), ou` a ∈ A (F) est en position g´en´erale et tend vers
L˜ M˜
1 et L˜ est un espace de Levi contenant M˜. On change l´eg`erement de point de vue et on
´etudie plutˆot le germe en 1 de la fonction a 7→ IG˜(aγ,f). On obtient un d´eveloppement
M˜
de cette fonction en termes de fonctions assez ´el´ementaires de a. C’est ce d´eveloppement
qui, dans l’article suivant, nous permettra de ramener les th´eor`emes 1.10 et 1.16 aux
mˆemes th´eor`emes restreints aux distributions `a support fortement r´egulier dans G˜(F).
Dans la derni`ere section, on traite le cas non ramifi´e, ou` on ´etudie seulement les
int´egrales orbitales pond´er´ees non ω-´equivariantes de la fonction caract´eristique d’un
espace hypersp´ecial. Le principal r´esultat est que le lemme fondamental pond´er´e, qui est
connu graˆce `a Ngo Bao Chau pour les distributions `a support fortement r´egulier dans
G˜(F), est v´erifi´e pour toute distribution. Cela utilise les r´esultats des sections 2 et 3.
Pour conclure cette introduction, il faut dire que cet article doit tout aux travaux
ant´erieurs d’Arthur sur ce sujet et que, si on ne le cite pas `a chaque ligne, c’est seulement
pour ne pas lasser le lecteur.
1 Int´egrales orbitales pond´er´ees
1.1 Les hypoth`eses
Dans tout l’article, le corps de base F est local, de caract´eristique nulle et non-
archim´edien. On note p la caract´eristique r´esiduelle de F. On consid`ere des triplets
(G,G˜,a) comme dans [I]. Le terme G est un groupe r´eductif connexe d´efini sur F, G˜ est
un espace tordu sur G, a est un ´el´ement de H1(W ,Z(Gˆ)) qui d´etermine un caract`ere
F
ω de G(F). On suppose
˜
• G(F) 6= ∅;
• l’automorphisme θ de Z(G) est d’ordre fini;
3
• le caract`ere ω est unitaire.
Onaura`aprouver desassertionsconcernant unteltriplet. Onraisonneparr´ecurrence
sur l’entier dim(G ).
SC
Pour d´emontrer une assertion concernant un triplet (G,G˜,a) quasi-d´eploy´e et a` tor-
sionint´erieure,onsupposeconnuestouteslesassertionsconcernantdestriplets(G′,G˜′,a′)
quasi-d´eploy´es et `a torsion int´erieure tels que dim(G′ ) < dim(G ).
SC SC
Pour d´emontrer une assertion concernant un triplet (G,G˜,a) qui n’est pas quasi-
d´eploy´e et `a torsion int´erieure, on suppose connues toutes les assertions concernant des
triplets (G′,G˜′,a′) quasi-d´eploy´es et `a torsion int´erieure tels que dim(G′ ) ≤ dim(G ).
SC SC
On suppose connues toutes les assertions concernant des triplets (G′,G˜′,a′) quelconques
tels que dim(G′ ) < dim(G ).
SC SC
Beaucoup d’assertions concernant un triplet (G,G˜,a) sont relatives a` un espace de
Levi M˜ de G˜. On supposera connues toutes les assertions concernant ce mˆeme triplet
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
(G,G,a), relatives `a un espace de Levi L ∈ L(M) tel que L 6= M.
1.2 D´efinition des int´egrales pond´er´ees d’apr`es Arthur
Soit (G,G˜,a) un triplet comme en 1.1. Soit M˜ un espace de Levi de G˜. On doit
fixer une mesure sur AG˜ . Pour ce faire, introduisons la paire de Borel ´epingl´ee E∗ =
M˜
(B∗,T∗,(E∗) ) de G, cf. [I] 1.2. Elle est munie d’une action σ 7→ σ du groupe de
α α∈∆ G∗
Galois Γ et d’un automorphisme θ∗. Le groupe de Weyl W agit sur T∗. On fixe une
F
forme quadratique d´efinie positive sur X (T∗) ⊗ R, invariante par les actions de W et
∗
de Γ et par θ∗. En fixant P˜ ∈ P(M˜) et en identifiant E∗ `a une paire de Borel ´epingl´ee
F
contenue dans P˜ et dont le tore est contenu dans M˜, AG˜ s’identifie a` un sous-espace de
M˜
X (T∗)⊗R. Par restriction, on obtient une forme quadratique d´efinie positive sur AG˜ .
∗ M˜
Elle ne d´epend pas des choix. De cette forme se d´eduit la mesure cherch´ee. On fixe un
sous-groupe compact maximal sp´ecial K de G(F) en bonne position relativement a` M.
On fixe aussi une mesure de Haar sur G(F).
Introduisons la notion d’´el´ement G˜-´equisingulier de M˜. Soit γ ∈ M˜, notons η sa
partie semi-simple. On a
(1) les ´egalit´es M = G et M = G sont ´equivalentes.
γ γ η η
Preuve. Ces ´egalit´es sont ´equivalentes aux inclusions G ⊂ M, resp. G ⊂ M. Ecri-
γ η
vons γ = uη, ou` u est un ´el´ement unipotent de M . On a les ´egalit´es G = (G ) et
η γ η u
M = (M ) . Si G ⊂ M, on a G ⊂ G ⊂ M, donc G = M . Inversement, supposons
γ η u η γ η γ γ
M = G . Posons H = G et L = M . Alors L est un Levi de H et u est un ´el´ement
γ γ η η
unipotent de L tel que H ⊂ L. On veut en d´eduire que L = H. Mais soit Q ∈ P(L).
u
Si L 6= H, le radical unipotent U est non trivial. L’automorphisme ad agit de fa¸con
Q u
unipotente sur ce radical, ce qui implique que son ensemble de points fixes dans U est
Q
non trivial. Cet ensemble est inclus dans H , ce qui contredit l’inclusion H ⊂ L. (cid:3)
u u
On appelle ´el´ement G˜-´equisingulier de M˜ un ´el´ement γ v´erifiant les ´egalit´es (1).
Soit γ ∈ M˜(F). Fixons une mesure de Haar sur le groupe M (F). Arthur d´efinit dans
γ
[A1] une distribution f 7→ JG˜(γ,ω,f) sur C∞(G˜(F)). On va rappeler sa d´efinition. Nous
M˜ c
la modifierons dans le paragraphe suivant, c’est pourquoi nous affecterons des exposants
Art `a certains objets d´efinis par Arthur.
Si ω n’est pas trivial sur M (F), on pose JG˜(γ,ω,f) = 0 pour tout f. On suppose
γ M˜
d´esormais ω trivial sur M (F).
γ
4
˜
Premier cas: onsuppose queγ est G-´equisingulier. Arthur d´efinit pourtoutg ∈ G(F)
une (G˜,M˜)-famille (v (g;λ)) (λ est une variable dans iA∗ ). Comme de toute
P˜ P˜∈P(M˜) M˜
(G˜,M˜)-famille, il s’en d´eduit une fonction vG˜(g;λ). On pose vG˜(g) = vG˜(g;0). La
M˜ M˜ M˜
fonction g 7→ vG˜(g) est la fonction ”poids”. Pour f ∈ C∞(G˜(F)), on pose
M˜ c
JG˜(γ,ω,f) = DG˜(γ)1/2 ω(g)f(g−1γg)vG˜(g)dg.
M˜ M˜
ZMγ(F)\G(F)
Cas g´en´eral. On´ecrit γ = uη, ou` η est la partie semi-simple de γ et u est un unipotent
dans M (F). Notons Σ(A ) l’ensemble des racines de A dans G (toutes les racines,
η M˜ M˜
pas seulement les indivisibles). Notons Σ (A ) l’ensemble des racines indivisibles de
ind Mη
A dans G . La restriction d´efinit une application naturelle β 7→ β de Σ (A )
Mη η M˜ ind Mη
dans Σ(A ) ∪ {0}. Pour tout β ∈ Σ (A ), Arthur d´efinit un r´eel ρArt(β,u) et une
M˜ ind Mη
ˇ
”coracine” β ∈ A . Pour α ∈ Σ(A ), pour a ∈ A (F) en position g´en´erale et pour
Mη M˜ M˜
λ ∈ iA , posons
M˜,C
rArt(γ,a;λ) = |α(a)−α(a)−1|<λ,ρArt(β,u)βˇM˜>.
α F
β∈Σind(AYMη);βM˜=α
On d´efinit ensuite une (G˜,M˜)-famille (rArt(γ,a;λ)) par
P˜ P˜∈P(M˜)
rArt(γ,a;λ) = rArt(γ,a;λ/2)
P˜ α
αY>P0
pourλ ∈ iA∗ ,ou`αparcourtles´el´ementsdeΣ(A )quisont”positifs”pourP.Ond´eduit
M˜ M˜
decette(G˜,M˜)-familleunefonctionrG˜,Art(γ,a;λ)etonposerG˜,Art(γ,a) = rG˜,Art(γ,a;0).
M˜ M˜ M˜
Pour f ∈ C∞(G˜(F)), consid´erons la fonction
c
(2) a 7→ rL˜,Art(γ,a)JG˜(aγ,ω,f).
M˜ L˜
L˜∈XL(M˜)
Pour a en position g´en´erale, elle est bien d´efinie : on a G = M = M et les int´egrales
aγ aγ γ
orbitales pond´er´ees JG˜(aγ,ω,f) sont d´efinies d’apr`es le premier cas ci-dessus. Arthur
L˜
montre que la fonction (2) a une limite quand a tend vers 1 (Arthur traite le cas ω = 1
mais sa preuve s’´etend sans changement au cas g´en´eral). Notons JG˜,Art(γ,ω,f) la limite
M˜
de la fonction (2). C’est l’int´egrale orbitale pond´er´ee telle que d´efinie par Arthur. Notons
que, dans le cas ou` M = G , on retrouve celle donn´ee plus haut.
γ γ
Remarque. On v´erifie que JG˜,Art(γ,ω,f) = 0 si ω n’est pas trivial sur Z (γ;F)
M˜ M
tout entier.
Onaurabesoind’unr´esultatunpeupluspr´ecis. Ond´efinitunedistancedauvoisinage
de 1 dans A (F) de la fa¸con suivante. On fixe une norme |.| sur l’alg`ebre de Lie a (F).
M˜ M˜
On fixe des voisinages U de 1 dans A (F) et u de 0 dans a (F) tels que l’exponentielle
M˜ M˜
soit bijective de u dans U. Pour a ∈ U, on ´ecrit a = exp(H), avec h ∈ u, et on pose
d(a) = |H|. On a alors
(3) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ M˜(F), tout f ∈ C∞(G˜(F)), il existe C > 0
c
de sorte que
|JG˜,Art(γ,ω,f)− rL˜,Art(γ,a)JG˜(aγ,ω,f)| ≤ Cd(a)r
M˜ M˜ L˜
L˜∈XL(M˜)
5
pour tout a ∈ A (F) en position g´en´erale et assez proche de 1.
M˜
Preuve. Un examen attentif de la preuve d’Arthur montre qu’il suffit d’am´eliorer son
lemme 6.1 de [A1]. Reprenons les notations de ce lemme dans la situation simplifi´ee
qui nous concerne : l’ensemble de places S est r´eduit `a un ´el´ement, on a F = F et
S
les v disparaissent. On consid`ere une famille d’´el´ements de l’espace P+(Ω) d´ependant
d’un param`etre a parcourant un voisinage de 1 dans A (F). On note p[a] = ⊕ p[a]
M˜ ω∈Ω ω
l’´el´ement de cette famille param´etr´e par a. Le terme p[a] est un polynoˆme sur Fd a` va-
ω
leurs dans un espace V de dimension finie sur F, muni d’une norme ||.||. On suppose que
ω
l’application (a,x) → p[a] (x) est la restriction (au voisinage de a = 1) d’un polynoˆme
ω
d´efini sur A (F)×Fd. Pour x ∈ Fd, on pose
M˜
λ (x) = |log(||p[a] (x)||)|.
p[a] ω
ω∈Ω
Y
Arthur montre que, pour tout φ ∈ C∞(Fd), l’application
c
a 7→ λ (φ) = φ(x)λ (x)dx
p[a] p[a]
ZO
est continue. Pour obtenir (3), on doit montrer qu’il existe r > 0 et C > 0 de sorte que
|λ (φ)−λ (φ)| ≤ Cd(a)r.
p[a] p[1]
On veut de plus que r ne d´epende pas de φ et, si on fixe un entier D et que l’on impose
que tous les p[a] sont de degr´e au plus D, que r ne d´epende pas non plus de la famille
ω
de polynoˆmes. Il suffit pour cela de reprendre la fin de la preuve du lemme 6.1. On pose
p0 = p[1]. En choisissant un param`etre auxiliaire ǫ, Arthur montre que |λ (φ)−λ (φ)|
p[a] p0
est major´e par la somme de trois expressions (7.2), (7.3) et (7.4). La relation (7.1)
nous dit que le terme (7.3) est major´e par C ǫr1, ou` C et r v´erifient les conditions
1 1 1
requises. Le terme (7.2) v´erifie une majoration analogue pourvu que l’on ait l’inclusion
Γ(p0,ǫ) ⊂ Γ(p[a],2ǫ). Rappelons que Ω est un ensemble fini, que Γ est un sous-ensemble
compact de Fd et que Γ(p[a],ǫ) est la r´eunion sur les ω ∈ Ω des ensembles des x ∈ Γ tels
que ||p[a] (x)|| < ǫ. Puisque les p[a] sont polynomiaux en a, il existe C tel que
ω ω 2
|||p[a] (x)||−||p0(x)||| < C d(a)
ω ω 2
pour tout a voisin de 1, tout x ∈ Γ et tout ω ∈ Ω. L’inclusion Γ(p0,ǫ) ⊂ Γ(p[a],2ǫ) est
v´erifi´ee pourvu que C d(a) < ǫ. Imposons plutˆot 2C d(a) < ǫ. Le mˆeme calcul montre
2 2
que l’on a l’inclusion en sens inverse Γ(p[a],ǫ/2) ⊂ Γ(p0,ǫ). Le terme (7.4) est de la forme
C |λ (x)−λ (x)|dx.
3 p[a] p0
ZΓ−Γ(p0,ǫ)
Sur le domaine d’int´egration, on a ||p0(x)|| > ǫ pour tout ω et, d’apr`es l’inclusion ci-
ω
dessus, on a aussi ||p[a] (x)|| > ǫ/2. Ecrivons Ω = {ω ,...,ω }. On peut ´ecrire
ω 1 ℓ
λ (x)−λ (x) = |log(||p[a] (x)||)|
p[a] p0 ωi
!
k=1,...,ℓ i=1,...,k−1
X Y
(|log(||p[a] (x)||)|−|log(||p[a] (x)||)|) |log(||p0 (x)||)| .
ωi ωi ωi
!
j=k+1,...,ℓ
Y
6
On d´eduit des in´egalit´es pr´ec´edentes que |λ (x)−λ (x)| est essentiellement born´e par
p[a] p0
la somme sur les ω de
|log(ǫ/2)||Ω|−1|log(||p[a] (x)||)−log(||p0(x)||)|.
ω ω
Le dernier terme est ´egal `a la valeur absolue de
||p[a] (x)||
ω
log( ).
||p0(x)||
ω
On peut ´ecrire p[a] (x) = p0(x) + q(a,x), ou` q(a,x) est un polynoˆme en a et x qui
ω ω
est nul en a = 1. On a une majoration ||q(a,x)|| ≤ C d(a) pour tout x ∈ Γ. Puisque
4
||p0(x)|| > ǫ, on obtient
ω
||p[a] (x)||
| ω −1| ≤ C d(a)ǫ−1.
||p0(x)|| 4
ω
Renforc¸ons la minoration impos´ee `a ǫ en supposant d(a)1/2 ≤ ǫ (c’est plus fort que
2C d(a) < ǫ pour a proche de 1). Alors
2
||p[a] (x)||
| ω −1| ≤ C d(a)1/2
||p0(x)|| 4
ω
d’ou`
||p[a] (x)||
|log( ω )| ≤ C d(a)1/2
||p0(x)|| 5
ω
pour une constante C convenable. Alors le terme (7.4) est essentiellement major´e par
5
C C |Ω||log(ǫ/2)||Ω|−1d(a)1/2.
3 5
On fixe maintenant ǫ = d(a)1/2. Le terme ci-dessus est major´e par
C d(a)r2
6
pour tout r´eel r < 1/2 et pour une constante C convenable. Les majorations des termes
2 6
(7.2) et (7.3) deviennent de la forme C d(a)r1/2. En prenant pour r l’inf de r et r /2,
1 2 1
(cid:3)
on a obtenu la majoration cherch´ee.
1.3 Propri´et´es des termes ρArt(β,u)βˇ
On suppose dans ce paragraphe et le suivant qu’il n’y a pas de torsion, c’est-a`-dire
G˜ = G. On consid`ere un Levi M de G et un ´el´ement unipotent u ∈ M(F). Comme
on l’a rappel´e, Arthur d´efinit pour toute racine β ∈ Σ (A ) un r´eel ρArt(β,u) et
ind M
ˇ
une coracine β. Fixons une paire de Borel (B,T) de G telle que M soit standard pour
cette paire. Fixons une extension finie F′ de F telle que (B,T) soit d´efinie sur F′ et
que G soit d´eploy´e sur F′. Plac¸ons-nous sur le corps de base F′. Le tore Z(M)0 est
alors l’analogue de A . Pour tout β′ ∈ Σ (Z(M)0), on d´efinit le r´eel ρArt(β′,u) et une
M ind
coracine βˇ′ ∈ X (Z(M)0)⊗ R. Del’inclusion A ⊂ Z(M)0 sed´eduisent des applications
∗ Z M
de restriction
Σ (Z(M)0) → Σ(A ) X (Z(M)0)⊗ R → A
ind M , ∗ Z M .
β′ 7→ β′ H 7→ H
AM AM
7
Remarquons qu’une racine indivisible de Z(M)0 ne se restreint pas forc´ement en une
racine indivisible.
Pour β ∈ Σ (A ), on a l’´egalit´e
ind M
(1) ρArt(β,u)βˇ= ρArt(β′,u)βˇ′ .
n≥1 β′;βA′M=nβ AM
Preuve. Soit P ∈ P(M) et soit ω un poids de A qui est dominant pour P (c’est la
P P M
notationd’Arthur;ilnes’agitpasdenotrecaract`ereω quenousoublionspouruntemps).
Notons U l’orbite g´eom´etrique de u dans M. Arthur d´efinit une fonction W (a,π) sur
ω
A ×UU , `a valeurs dans un espace de dimension finie sur F¯(cf. [A1] 3.8; on consid`ere
M P
ici lecas P = P¯ avec les notations decette r´ef´erence). LegroupeM agit sur cet espace et
1
la fonction est ´equivariante pour l’action de M par conjugaison sur UU et cette action
P
sur l’espace d’arriv´ee. Arthur montre que cette fonction est polynomiale et n’est pas
identiquement nulle en a = 1 ([A1] corollaire 4.3). Elle est donc non nulle sur {1}×O,
ou` O est un ouvert de Zariski de UU , qui est dense et invariant par conjugaison par M.
P
En se plac¸ant sur F′, on a de mˆeme une fonction W′(a′,π) sur Z(M)0 ×UU , qui est
ω P
polynomiale et est non nulle sur {1}×O′, ou` O′ est un ouvert de Zariski de UU , qui
P
est dense et invariant par conjugaison par M. Sa restriction `a A ×UU v´erifie donc la
M P
mˆeme propri´et´e. Or il r´esulte de la d´efinition (3.8) de [A1] que, pour (a,π) ∈ A ×UU ,
M P
on a l’´egalit´e
Q(a)
W (a,π) = W′(a,π) ,
ω ω Q′(a)
ou`
Q(a) = (β(a)−β(a)−1)ρArt(β,u)<ω,βˇ>,
β∈Σind(YAM),β>P0
Q′(a) = (β′(a)−β′(a)−1)ρArt(β′,u)<ω,βˇ′>.
β′∈Σind(ZY(M)0),β′>P0
Les propri´et´es des deux fonctions W et W′ entraˆınent que la fraction rationnelle Q(a)
ω ω Q′(a)
n’a ni z´ero, ni pˆole en a = 1. Remarquons que l’on peut r´ecrire
Q′(a) = (β′(a)−β′(a)−1)ρArt(β′,u)<ω,βˇ′>.
β∈Σind(YAM),β>P0nY≥1β′;βAY′M=nβ
Si β′ = nβ, la fonction
AM
β′(a)−β′(a)−1
β(a)−β(a)−1
n’a ni z´ero, ni pˆole en a = 1. Posons
Q′′(a) = (β(a)−β(a)−1)<ω,X(β)>,
β∈Σind(YAM),β>P0
ou` X(β) est le membre de droite de (1). Alors Q′(a) n’a ni z´ero, ni pˆole en a = 1. Donc
Q′′(a)
Q(a) a la mˆeme propri´et´e. Cela ´equivaut `a ρArt(β,u) < ω,βˇ >=< ω,X(β) > pour tout
Q′′(a)
β. Cela ´etant vrai pour tout poids dominant ω, cela entraˆıne l’´egalit´e (1) cherch´ee. (cid:3)
Soit L ∈ L(M). On sait d´efinir la classe de conjugaison (g´eom´etrique) induite de M
`a L de la classe de conjugaison de u. Soit R = MU ∈ PL(M). Alors l’intersection de
R
cette classe de conjugaison et de uU est Zariski-dense dans cet ensemble. Soit u′ dans
R
8
cette classe. On peut d´efinir des termes ρArt(β′,u′) et βˇ′ ∈ A pour β′ ∈ Σ (A ). On a
L ind L
des applications de restriction
Σ (A ) → Σ(A )∪{0} A → A
ind M L , M L .
β 7→ β H 7→ H
L L
Remarquons que la restriction d’une racine indivisible de A peutˆetre nulle ou divisible.
M
Pour β′ ∈ Σ (A ), on a l’´egalit´e
ind L
(2) ρArt(β′,u′)βˇ′ = ρArt(β,u)βˇ .
n≥1 β∈Σind(AM);βL=nβ′ L
Preuve. On fixe un sous-groupe parabolique P′ ∈ P(L) et un poids ω de A qui est
L
P P
dominant pour P′. On fixe un sous-groupe parabolique P ∈ P(M) contenu dans P′. On
d´efinit comme ci-dessus des fonctions W sur A ×UU et W′ sur A ×U′U , ou` U′
ω M P ω L P′
est l’orbite g´eom´etrique de u′. Comme plus haut, elles sont polynomiales et non nulles
sur {1}×O, respectivement sur {1}×O′, ou` O est un ouvert de Zariski de UU qui est
P
dense et invariant par conjugaison par M et O′ est un ouvert de Zariski de U′U , qui est
P′
dense et invariant par conjugaison par L. Il r´esulte de la d´efinition de u′ que O∩O′ 6= ∅.
Donc les deux fonctions sont toutes deux non nulles sur {1}×(O ∩O′). Pour a ∈ A ,
M
d´efinissons Q(a) comme ci-dessus et, pour a′ ∈ A , posons
L
Q′(a′) = (β′(a′)−β′(a′)−1)ρArt(β′,u′)<ω,βˇ′>.
β′∈Σind(YAL),β′>P′0
Le mˆeme argument que plus haut montre que la fraction rationnelle Q(a′) sur A n’a ni
Q′(a′) L
z´ero, ni pˆole en a′ = 1. Remarquons que l’on peut supprimer de la d´efinition de Q les β
ˇ
dont la restriction `a A est nulle : pour ceux-la`, on a < ω,β >= 0. Comme plus haut, si
L
β se restreint en nβ′, la fonction
β(a′)−β(a′)−1
β′(a′)−β′(a′)−1
n’a ni z´ero, ni pˆole en a′ = 1. En notant Y(β′) la diff´erence entre le membre de gauche
de (2) et celui de droite, on obtient alors que la fonction Q(a′) a la mˆeme singularit´e en
Q′(a′)
a = 1 que la fonction
(β′(a′)−β′(a′)−1)<ω,Y(β′)>.
β′∈ΣindY(AL),β′>P0
Donc ce produit n’a lui-mˆeme ni z´ero, ni pˆole en a′ = 1. Cela entraˆıne Y(β′) = 0 pour
tout β′. (cid:3)
1.4 D´efinition d’un nouveau terme ρ(β,u)
On conserve la situation du d´ebut du paragraphe pr´ec´edent et on fixe une paire
de Borel (B,T) et une extension F′ comme alors. On va d´efinir un ´el´ement ρ(β,u) ∈
X (Z(M)0) ⊗ R, ou plus pr´ecis´ement ρG(β,u), pour toute racine β ∈ Σ(Z(M)0) et
∗ Z
non plus seulement pour les racines indivisibles. La d´efinition se fait par r´ecurrence
sur la dimension de G . Soit β ∈ Σ(Z(M)0). On introduit le sous-groupe G de G
SC β
engendr´e par M et les sous-groupes radiciels associ´es aux racines nβ pour n ∈ Z. Si
dim(G ) < dim(G ), le terme ρGβ(β,u) relatif `a G est d´ej`a d´efini et on pose
β,SC SC β
9
ρG(β,u) = ρGβ(β,u). Supposons dim(G ) = dim(G ). Dans ce cas, M est un Levi
β,SC SC
maximal de G et β est une racine indivisible (une telle racine est unique au signe pr`es).
On pose
ρG(β,u) = ρArt(β,u)βˇ− ρG(nβ,u),
n>1
X
avec la convention ρG(nβ,u) = 0 si nβ n’est pas une racine.
On redescend `a la situation d´efinie sur F de la fa¸con suivante. On a encore des
applications de restriction
Σ(Z(M)0) → Σ(A ) X (Z(M)0)⊗ R → A
M , ∗ Z M .
β′ 7→ β′ H 7→ H
AM AM
Pour β ∈ Σ(A ), on pose
M
(1) ρG(β,u) = ρG(β′,u) .
AM
β′;β′ =β
XAM
On a, avec la mˆeme convention que ci-dessus,
(2) pour tout β ∈ Σ (A ),
ind M
ρArt(β,u)βˇ= ρG(nβ,u).
n≥1
X
Preuve. D’apr`es 1.3(1), le membre de gauche est
ρArt(β′,u)βˇ′ .
AM
Xn≥1β′∈Σind(Z(XM)0),βA′M=nβ
D’apr`es (1) ci-dessus, le membre de droite est
ρG(β′,u) .
AM
n≥1β′∈Σ(Z(M)0),β′ =nβ
X X AM
Les racines β′ qui interviennent dans la deuxi`eme expression sont exactement les mul-
tiples positifs de racines indivisibles intervenant dans la premi`ere. Cela nous ram`ene a`
prouver l’analogue suivant de l’assertion (2) : pour β′ ∈ Σ (Z(M)0), on a l’´egalit´e
ind
ρArt(β′,u)βˇ′ = ρG(nβ′,u).
n≥1
X
Introduisons le groupe G comme plus haut. D’apr`es les d´efinitions, le membre de droite
β′
est l’analogue de ρArt(β′,u)βˇ′ quand on remplace le groupe ambiant G par G . Mais,
β′
β′ ´etant indivisible, le groupe G est un Levi (c’est un Levi minimal parmi ceux qui
β′
contiennent M). Il r´esulte de la d´efinition d’Arthur ([A1] paragraphe 3) que le terme
ρArt(β′,u)βˇ′ est le mˆeme, que le groupe ambiant soit G ou G . Cela prouve (2). (cid:3)
β′
Pour β ∈ Σ(A ), notons G le sous-groupe de G engendr´e par M et les sous-groupes
M β
radiciels associ´es aux racines nβ pour n ∈ Z. On a
(3) ρG(β,u) = ρGβ(β,u).
Cela r´esulte comme (2) d’un d´evissage facile.
10