Springer-Taschenbuch der Mathematik: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

1331 Pages·2012·8.75 MB·German

by  Wolfgang Hackbusch

Springer-Taschenbuch der Mathematik
Herausgeber:
Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen-
schaften,Leipzig,Deutschland
Beitragsautoren:
Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen-
schaften,Leipzig(Kap.0bis6)
Prof.Dr.HansSchwarz,ETHZürich(Kap.7.1–7.6)
Prof.Dr.WolfgangHackbusch,Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwis-
senschaften,Leipzig(Kap.7.7)
Prof.Dr.BerndLuderer,TUChemnitz(Kap.8.1,8.13)
Prof.Dr.JochenBlath,TUBerlin(Kap.8.2,8.3)
Prof.Dr.AlexanderSchied,UniversitätMannheim(Kap.8.4,8.5)
Prof.Dr.StephanDempe,TUBergakademieFreiberg(Kap.8.6–8.10)
Prof.Dr.GertWanka,TUChemnitz(Kap.8.11,8.12)
Prof.Dr.JurajHromkovic,ETHZürich(Kap.9.1–9.9)
Prof.Dr.SiegfriedGottwald,UniversitätLeipzig(Kap.9.10)
Springer-Taschenbuch
der Mathematik
Begründet vonI.N.Bronstein undK.A.Semendjaew
WeitergeführtvonG.Grosche,V.ZieglerundD.Ziegler
Herausgegeben vonE.Zeidler
3.,neubearbeitete underweiterte Auflage
Herausgeber
Prof.Dr.EberhardZeidler
Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften
Leipzig
Deutschland
ISBN978-3-8351-0123-4 ISBN978-3-8348-2359-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-2359-5
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbi-
bliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
DieersteundzweiteAuflagediesesWerkessindunterdemNamen,,Teubner-Taschenbuch
derMathematik“erschienen.
DerVerlagunddieAutorenhabenalleSorgfaltwaltenlassen,umvollständigeundakkurate
InformationenindiesemBuchzupublizieren.DerVerlagübernimmtwederGarantienoch
diejuristischeVerantwortungoderirgendeineHaftungfürdieNutzungdieserInformatio-
nen,fürderenWirtschaftlichkeitoderfehlerfreieFunktionfüreinenbestimmtenZweck.
SpringerSpektrum
©Vieweg+TeubnerVerlag|SpringerFachmedienWiesbaden1995,2003,2013
DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,
dienichtausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarf dervorherigenZu-
stimmungdesVerlags.DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Über-
setzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischen
Systemen.
DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesem
WerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolche
NamenimSinnederWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachten
wärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften.
PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier
SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.
SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia.
www.springer-spektrum.de
Vorwort
Theoriacumpraxi
GottfriedWilhelmLeibniz(1646–1716)
DieMathematikspielteinewichtigeRolleinvielenBereichenunserermodernenGesellschaft.
SieisteineQuerschnittswissenschaftundzugleicheineSchlüsseltechnologiemitvielfältigen
engen Verbindungen zu anderen Wissenschaften. Das betrifft die Naturwissenschaften, die
Ingenieurwissenschaften,dieInformatikundInformationstechnologie,dieWirtschafts-und
FinanzwissenschaftsowiedieMedizin.Mathematikistabstraktundzugleichsehrpraktisch.Das
vorliegende
SPRINGER-TASCHENBUCHDERMATHEMATIK
wendetsichaneinensehrgroßenLeserkreis:
– StudierendederMathematikallerStudienrichtungen,
– LehrendederMathematikanHochschulenundGymnasien,
– StudierendederNaturwissenschaften,insbesonderederPhysik,StudierendederInge-
nieurwissenschaften,derInformatikundInformationstechnologie,derWirtschafts-und
FinanzwissenschaftsowieStudierendealleranderenStudienrichtungen,diemathematische
Nebenfachkenntnisseerfordern,
– Praktiker,dieindiesenFachrichtungentätigsind.
DieBedürfnisseeinesderartbreitenLeserkreiseswerdenberücksichtigt,indemderBogenvon
elementaren Kenntnissen bis hin zu anspruchsvollen mathematischen Resultaten sehr weit
gespanntwirdunddasWerkeinbreitesSpektrummathematischerGebieteüberdeckt.Großer
WertwirddabeiauffolgendeAspektegelegt:
– ausführlicheMotivationundErläuterungderGrundideen,
– leichteFasslichkeit,Anschaulichkeit,undÜbersichtlichkeit,
– dieVerbindungzwischenreinerundangewandterMathematik,
– vielseitigeAnwendungenderMathematikundPraxisnähe,sowie
– dieDiskussiondeshistorischenHintergrunds.
Eswirdgezeigt,dassdieMathematikmehristalseinetrockeneAnsammlungvonFormeln,
Definitionen,TheoremenundRechenrezepten.SieisteinunverzichtbarerPartnerdermodernen
Technik,undsiehilftwesentlichbeideroptimalenGestaltungvonIndustrie-undWirtschaftspro-
zessen.GleichzeitigistdieMathematikeinwichtigerBestandteilunserermenschlichenKultur
undeinwundervollesErkenntnisorgandesMenschen,dasihnetwainderHochtechnologie,der
ElementarteilchenphysikundderKosmologieinBereichevorstoßenlässt,dieohneMathematik
nichtzuverstehensind,weilsievonunserertäglichenErfahrungsweltextremweitentferntsind.
IneinemeinführendenKapitelwerdenmathematischeGrundkenntnissezusammengestellt,
dieSchülerundStudierende,Physiker,IngenieureundanderePraktikerhäufignachschlagen.
vi Vorwort
ZumBeispielfindetmaneinenAbschnittüberStandardverfahrendermathematischenStatistik
fürPraktiker.DortistauchanMedizinstudentenundausgebildeteMedizinergedacht,welche
raschdievonihnengemessenenDatenstatistischauswertenwollen,ohnesichzeitraubend
zunächstmitdentheoretischenGrundlagendermathematischenStatistikvertrautmachenzu
müssen.DieGrundlagendermathematischenStatistikfindetderinteressierteLeserinKapitel6.
AmEndedeseinführendenKapitelsbefindetsicheinAbschnittmitderÜberschrift„Plane-
tenbewegung–TriumphdesRechenstiftesimWeltall“.DieserAbschnittistsoverfasstworden,
dasserbereitsvonSchülernverstandenwerdenkannundihnenaufzeigt,welchefaszinierende
KraftdieMathematiküberdieJahrhundertehinwegentfaltethat,umdieGeheimnissedes
Weltallsaufzudecken.
DienächstenKapitelsinddendreigrundlegendenmathematischenDisziplinen
– Analysis,
– Algebraund
– Geometrie
gewidmet.EsfolgteinKapitelüber
– GrundlagenderMathematik,
dasdieBeziehungenderMathematikzuLogikundMengenlehreaufzeigt.Diemathematische
LogikspieltheuteeinezentraleRolleinderInformatikundInformationstechnologie.Diefünf
letztenKapiteldiesesTaschenbuchesbeschäftigensichmitwichtigenAnwendungsfeldernder
Mathematik:
– VariationsrechnungundPhysik,
– Stochastik–MathematikdesZufalls,
– NumerikundWissenschaftlichesRechnen,
– Wirtschafts-undFinanzmathematik,
– AlgorithmikundInformatik.
BeispielsweiseberuhenallefundamentalenTheorienderPhysikundvieletechnischeProzesse
aufdemPrinzipderkleinstenWirkung,dasimRahmenderVariationsrechnungformuliertund
analysiertwird.DeshalbtrittdieVariationsrechnungsehrfrühimStudiumderPhysikerauf.Die
MöglichkeitenvonmodernenSupercomputernhabendieNumerikgrundlegendverändert.Der
IngenieurundNaturwissenschaftleristheuteinderLage,umfangreicheSimulationenamCom-
putervorzunehmen,mitdenenerdieDurchführungaufwendigerExperimentevermeidenkann.
DasKapitelüberNumerikvermittelteinembreitenLeserkreiseinBildvondermodernenNume-
rik,diewegenihrerneuenAusrichtung„WissenschaftlichesRechnen“(ScientificComputing)
genanntwirdunddieIngenieurmathematikrevolutionierthatundweiterhinrevolutionieren
wird.
DasKapitelüberWirtschafts-undFinanzmathematikzeigt,wiemathematischeMethodenin
vielfältigerWeiseimZusammenhangmitdereffektivenGestaltungvonökonomischenProzessen
eingesetztwerdenkönnen.DabeiwirddieOptimierungstheorieinderWirtschaftsmathematik,
inderFinanzmathematikundinderVersicherungsmathematikgebührendberücksichtigt.
DurchdenSiegeszugdesComputersisteineneueWissenschaftentstanden,diemanmitden
Stichworten„AlgorithmikundInformatik“bezeichnenkann.DabeigehteszumBeispielum
dieKomplexitätvonAlgorithmen,diediegrundlegendeFragebeantwortet,obeinProblemin
vernünftigerZeitaufeinemComputergelöstwerdenkann.IndiesemSpringer-Taschenbuch
betonenwirdieEinheitzwischenMathematikundInformatik.DasVerständnisvonmathemati-
schen Resultaten wird für den Lernenden wesentlich erleichtert, wenn er die historischen
Zusammenhängeversteht.DeshalbfindetmanimTexthäufighistorischeBemerkungen,und
Vorwort vii
amEndedesSpringer-TaschenbuchesbefindetsicheineTafelzurGeschichtederMathematik.
DiesorgfältigzusammengestelltenLiteraturangabenamEndejedesKapitelssollendemLeser
helfen,beiauftretendenFragengeeignetemoderneBücherzukonsultieren,wobeizwischen
einführenderLiteraturundanspruchsvollenStandardwerkengewähltwerdenkann.
Dieses Springer-Taschenbuch der Mathematik ist gezielt auf die Bedürfnisse der neuen
Bachelor-Studiengängezugeschnitten.ZurStudienvorbereitungundzurPlanungfürdieZeit
nachdemStudiumempfehlenwirdiebeidenfolgendenBücher:
A. Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen,
mathematisch-naturwissenschaftlichenundwirtschaftswissenschaftlichenStudiengänge,10.,
aktualisierteAuflage.Vieweg+Teubner,Wiesbaden(2011).
Berufs-undKarriere-PlanerMathematik:SchlüsselqualifikationfürTechnik,WirtschaftundIT;
fürAbiturienten,StudierendeundHochschulabsolventen.Vieweg+Teubner,Wiesbaden(2008).
ParallelzumvorliegendenSPRINGER-TASCHENBUCHDERMATHEMATIKerscheintdas
umfassendere
SPRINGER-HANDBUCHDERMATHEMATIK.
Esenthältnebenzusätzlichen,wesentlichvertiefendenAbschnittenzurAnalysis,Algebraund
GeometriediefolgendenKapitel:
– HöhereAnalysis:TensoranalysisundspezielleRelativitätstheorie,Integralgleichungen,
DistributionenundlinearepartielleDifferentialgleichungendermathematischenPhysik,
moderneMaß-undIntegrationstheorie.
– LineareFunktionalanalysis,numerischeFunktionalanalysisundihreAnwendungen.
– NichtlineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen.
– DynamischeSystemeundChaos–MathematikderZeit.
– NichtlinearepartielleDifferentialgleichungenindenNaturwissenschaften.
– Mannigfaltigkeiten.
– RiemannscheGeometrieundallgemeineRelativitätstheorie.
– Liegruppen,LiealgebrenundElementarteilchen-MathematikderSymmetrie.
– Topologie-MathematikdesqualitativenVerhaltens.
– Krümmung,TopologieundAnalysis(EichheorieinMathematikundPhysik).
HierwerdenimRahmendermathematischenPhysikdieBedürfnissedermodernenPhysik
berücksichtigt.WährenddasSpringer-TaschenbuchderMathematikdenAnforderungendes
Bachelor-Studiumsangepasstist,beziehtsichdasSpringer-HandbuchderMathematiksowohl
aufdasBachelor-StudiumalsauchaufdasweiterführendeMaster-Studium.
BeidenAnwendungenderMathematikspielenPhänomeneeinegroßeRolle,dieinNaturund
Technikauftreten.DasmathematischeVerständnisdieserPhänomeneerleichtertdemAnwender
indenNaturwissenschaftenundindenIngenieurwissenschaftendenÜberblicküberdieZusam-
menhängezwischenunterschiedlichenmathematischenDisziplinen.Deshalbwirdindiesem
Springer-TaschenbuchderMathematikundindemweiterführendenSpringer-Handbuchder
MathematikdieSichtaufwichtigePhänomenebesondersbetont.Dasbetrifft:
– MathematikderGrenzübergänge(AnalysisundFunktionalanalysis),
– MathematikdesOptimalen(Variationsrechnung,optimaleSteuerung,lineareundnichtli-
neareOptimierung),
– MathematikdesZufalls(Wahrscheinlichkeitsrechnung,mathematischeStatistikundsto-
chastischeProzesse),
– MathematikderZeitunddesChaos(dynamischeSysteme),
viii Vorwort
– MathematikderStabilitätvonGleichgewichtszuständeninNaturundTechnik,vonzeitab-
hängigenProzessenundvonAlgorithmenaufComputern,
– MathematikderSymmetrie(Gruppentheorie),
– MathematikderSystememitunendlichvielenFreiheitsgraden(Funktionalanalysis),
– MathematikdesqualitativenVerhaltensvonGleichgewichtszuständenundzeitabhängigen
ProzesseninNaturundTechnik(Topologie),
– MathematikderWechselwirkungskräfteinderNatur(nichtlinearepartielleDifferential-
gleichungenundnichtlineareFunktionalanalysis,DifferentialgeometriederFaserbündel
undEichtheorie),
– MathematikderStrukturen(Kategorientheorie).
InteressantistdieTatsache,dassklassischeErgebnissederMathematikheutzutageimRahmen
neuerTechnologienvölligneueAnwendungenerlauben.DasbetrifftetwadieZahlentheorie,
dielangeZeitalseinreinesVergnügendesmenschlichenGeistesgalt.Beispielsweisewirddie
berühmteRiemannscheZetafunctionderanalytischenZahlentheorie,dieinKapitel2betrachtet
wird,indermodernenQuantenfeldtheoriezurBerechnungvonStreuprozessenvonElementar-
teilchenimRahmenderRenormierungstheorieeingesetzt.DerklassischeSatzvonFermat–Euler
überTeilbarkeitseigenschaftenvonZahlenwirdheutewesentlichbenutzt,umdieÜbermittlung
vonNachrichteninraffinierterWeisezuverschlüsseln.DaswirdimerweitertenKapitel2des
Handbucheserläutert.TaschenbuchundHandbuchbildeneineEinheit.UmdenÜberblickzu
erleichtern,befindensichimTaschenbucheineReihevonVerweisenaufzusätzlichesMaterial,
dasderinteressierteLeserimHandbuchnachschlagenkann.
Sowohldas„Springer-TaschenbuchderMathematik“alsauchdas„Springer-Handbuchder
Mathematik“knüpfenaneinelangeTraditionan.Das„TaschenbuchderMathematik“von
I.N.BronsteinundK.A.SemendjajewwurdevonDr.ViktorZieglerausdemRussischenins
Deutscheübersetzt.Eserschien1958imVerlagB.G.TeubnerinLeipzig,undbiszumJahre1978
lagenbereits18Auflagenvor.UnterderHerausgabevonDr.GünterGroscheundDr.Viktor
ZieglerundunterwesentlicherredaktionellerMitarbeitvonFrauDorotheaZieglererschien
1979dievölligüberarbeitete19.Auflage,anderWissenschaftlerderLeipzigerUniversitätund
andererHochschulendesmitteldeutschenRaumesmitwirkten.1DieseNeubearbeitungwurde
insRussischeübersetztunderschien1981imVerlagfürTechnisch-TheoretischeLiteraturin
Moskau.FernerwurdeneineenglischeundeinejapanischeÜbersetzungpubliziert.
MotiviertdurchdiestürmischeEntwicklungderMathematikundihrerAnwendungenerschien
indenJahren1995und1996einvölligneuverfasstes,zweibändiges„Teubner-Taschenbuchder
Mathematik“imVerlagB.G.Teubner,StuttgartundLeipzig.2
Dasdarausentstandene,vorliegende„Springer-TaschenbuchderMathematik“enthältzwei
völligneugeschriebeneKapitelüberWirtschafts-undFinanzmathematiksowieüberAlgorithmik
undInformatik.
DiemoderneKonzeptionundKoordinationdesKapitels8überWirtschafts-undFinanzma-
thematiklagindenerfahrenenHändenvonHerrnProf.Dr.BerndLuderer(TUChemnitz).In
dasvonHerrnProf.Dr.JurajHromkovicˇ(ETHZürich)verfassteKapitel9überAlgorithmik
undInformatikflossenseinereichenLehrerfahrungenein.ImMittelpunktstehtdaszentrale
ProblemderKomplexitätvonAlgorithmen.Erinnertseidaran,dasseinesderberühmtensieben
MilleniumsproblemderMathematikausdemJahre2000einetiefeFragederKomplexitätstheorie
betrifft.DasKapitel7überNumerikundWissenschaftlichesRechnenwurdevonHerrnProf.
Dr.WolfgangHackbusch(Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften,
1Bis1995erschienensiebenweitereAuflagen.
2DieenglischeÜbersetzungdeserstenBandeserschien2003imVerlagOxfordUniversityPress,NewYork,alsOxford
Users’GuidetoMathematics.
Vorwort ix
Leipzig)wesentlichüberarbeitet,unddieübrigenKapitelwurdenaktualisiert.DerHerausgeber
möchtedenKollegenLuderer,HackbuschundHromkovicˇsowieallenseinenKoautorenfürihre
engagierteArbeitsehrherzlichdanken.Dasbetrifft:
– Prof.Dr.HansSchwarz(7.1–7.6)und
Prof.Dr.WolfgangHackbusch(7.7),
– Prof.Dr.BerndLuderer(8.1,8.13),
Prof.Dr.JochenBlath(8.2,8.3),
Prof.Dr.AlexanderSchied(8.4,8.5),
Prof.Dr.StephanDempe(8.6–8.10)und
Prof.Dr.GertWanka(8.11,8.12),
– Prof.Dr.JurajHromkovicˇ(9.1–9.9)und
Prof.Dr.SiegfriedGottwald(9.10).
EinherzlichesDankeschöngehtauchanFrauMicaelaKrieger-HauwedefürdassorgfältigeAnfer-
tigenvielerAbbildungenimSpringer-TaschenbuchderMathematik,dasLesenderKorrekturen
unddieeinfühlsame,ästhetischgelungeneTextgestaltung.Schließlichdankeichsehrherzlich
FrauUlrikeSchmickler-HirzebruchvomVerlagSpringerSpektrumfürdieKoordinationdes
gesamtenProjektsundfürdiekompetenteAktualisierungdesLiteraturverzeichnisses.Gedankt
seifernerallenLesern,dieinderVergangenheitdurchihreHinweisezurVerbesserungder
Darstellungbeigetragenhaben.
AlleBeteiligtenhoffen,dassdiesesNachschlagewerkdemLeserinallenPhasendesStudiums
unddanachimBerufslebeneinnützlicherBegleiterseinwird.
Leipzig,imSommer2012 DerHerausgeber