Springer-Handbuch der Mathematik III: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

541 Pages·2013·3.878 MB·German

by  Eberhard Zeidler (auth.), Eberhard Zeidler (eds.)

Springer-Handbuch der Mathematik III
Herausgeber:
Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen-
schaften,Leipzig,Deutschland
Beitragsautoren:
Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen-
schaften,Leipzig(Kap.5bis6)
Prof. Dr. Hans-Rudolf Schwarz, Universität Zürich (Kap. 7.1–7.6)
Prof.Dr.WolfgangHackbusch,Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwis-
senschaften,Leipzig(Kap.7.7)
Prof.Dr.BerndLuderer,TUChemnitz(Kap.8.1,8.13)
Prof.Dr.JochenBlath,TUBerlin(Kap.8.2,8.3)
Prof.Dr.AlexanderSchied,UniversitätMannheim(Kap.8.4,8.5)
Prof.Dr.StephanDempe,TUBergakademieFreiberg(Kap.8.6–8.10)
Prof.Dr.GertWanka,TUChemnitz(Kap.8.11,8.12)
Prof.Dr.JurajHromkovic,ETHZürich(Kap.9.1–9.9)
Prof.Dr.SiegfriedGottwald,UniversitätLeipzig(Kap.9.10)
Springer-Handbuch der
Mathematik III
Begründet vonI.N.Bronstein undK.A.Semendjaew
WeitergeführtvonG.Grosche,V.ZieglerundD.Ziegler
Herausgegeben vonE.Zeidler
Herausgeber
Prof.Dr.EberhardZeidler
Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften
Leipzig
Deutschland
ISBN978-3-658-00274-9 ISBN978-3-658-00275-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-00275-6
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Vorwort
Theoriacumpraxi
GottfriedWilhelmLeibniz(1646–1716)
DieMathematikspielteinewichtigeRolleinvielenBereichenunserermodernenGesellschaft.
Sie ist eine Querschnittswissenschaft und zugleich eine Schlüsseltechnologie mit vielfältigen
engen Verbindungen zu anderen Wissenschaften. Das betrifft die Naturwissenschaften, die
Ingenieurwissenschaften, die Informatik und Informationstechnologie, die Wirtschafts- und
Finanzwissenschaft,dieSozialwissenschaftensowiedieMedizin.Mathematikistabstraktund
zugleichsehrpraktisch.Dasvorliegende
SPRINGER-HANDBUCHDERMATHEMATIK,
das sich um einen breit angelegten Brückenschlag zwischen der Mathematik und ihren An-
wendungenbemüht,stellteinewesentlicheErweiterungdesSPRINGER-TASCHENBUCHES
DERMATHEMATIKdar,das2012imVerlagSpringerSpektrumerschienenist.DasSpringer-
HandbuchumfasstdiefolgendenvierTeile:
– TEILI:Analysis.
– TEILII:Algebra,Geometrie,GrundlagenderMathematik.
– TEILIII:VariationsrechnungundPhysik,Wahrscheinlichkeitsrechnungundmathematische
Statistik,NumerikundWissenschaftlichesRechnen,Wirtschafts-undFinanzmathematik,
AlgorithmikundInformatik.
– TEILIV:Funktionalanalysis,DynamischeSysteme,Mannigfaltigkeiten,Topologie,Mathe-
matischePhysik.
AlsmehrbändigesNachschlagewerkistdasSpringer-HandbuchinersterLiniefürwissenschaft-
licheBibliothekengedacht,dieihrenLeserinnenundLesernparallelzumSpringer-Taschenbuch
derMathematikdasumfangreichereMaterialdesSpringer-Handbuches(inelektronischerForm
und Papierform) zur Verfügung stellen wollen. Für individuell interessierte Leserinnen und
Leserseiauffolgendeshingewiesen.DieTeileIbisIIIdesSpringer-HandbuchesderMathematik
enthaltendieentsprechendenKapiteldesSpringer-TaschenbuchesderMathematik,diedurch
wichtigeszusätzlichesMaterialergänztwerden.DagegensinddieneunKapitelvonTeilIVnicht
imSpringer-TaschenbuchderMathematikenthalten.
TeilIenthältnebendemeinführendenKapitelunddemKapitel1desSpringer-Taschenbuches
der Mathematik zusätzliches Material zur höheren komplexen Funktionentheorie und zur
allgemeinenTheoriederpartiellenDifferentialgleichungen.
TeilIIenthältnebendenKapiteln2–4desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätz-
lichesMaterialzufolgendenGebieten:multilineareAlgebra,höhereZahlentheorie,projektive
Geometrie,algebraischeGeometrieundGeometriendermodernenPhysik.
TeilIIIenthältnebendenKapiteln5–9desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätzli-
chesMaterialzustochastischenProzessen.
vi Vorwort
TeilIVenthältdiefolgendenZusatzkapitelzumSpringer-TaschenbuchderMathematik:
– Kapitel10:HöhereAnalysis(TensoranalysisundspezielleRelativitätstheorie,Integralglei-
chungen,DistributionenundlinearepartielleDifferentialgleichungendermathematischen
Physik,moderneMaß-undIntegrationstheorie).
– Kapitel11:LineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen.
– Kapitel12:NichtlineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen.
– Kapitel13:DynamischeSysteme–MathematikderZeit.
– Kapitel14:NichtlinearepartielleDifferentialgleichungenindenNaturwissenschaften.
– Kapitel15:Mannigfaltigkeiten.
– Kapitel16:RiemannscheGeometrieundallgemeineRelativitätstheorie.
– Kapitel17:Liegruppen,LiealgebrenundElementarteilchen-MathematikderSymmetrie.
– Kapitel18:Topologie-MathematikdesqualitativenVerhaltens.
– Kapitel19:Krümmung,TopologieundAnalysis(EichheorieinMathematikundPhysik).
Hier werden im Rahmen der mathematischen Physik die Bedürfnisse der modernen Physik
berücksichtigt. Am Ende von Teil IV findet man eine Tafel zur Geschichte der Mathematik.
DiesorgfältigzusammengestelltenLiteraturangabenamEndejedesKapitelssollendemLeser
helfen, bei auftretenden Fragen geeignete moderne Bücher zu konsultieren, wobei zwischen
einführenderLiteraturundanspruchsvollenStandardwerkengewähltwerdenkann.
DasvorliegendeSpringer-HandbuchderMathematikwendetsichan:
– FortgeschritteneStudierendederMathematikundangrenzendernaturwissenschaftlicher,
technischer,wirtschaftswissenschaftlicherFachrichtungen,Graduierte,Doktoranden
– Mathematiker,Physiker,Ingenieure,Informatiker,WirtschaftsmathematikerinForschung,
LehreundPraxis
– wissenschaftlicheBibliotheken,akademischeInstitutionenundFirmen.
DieBedürfnisseeinesderartbreitenLeserkreiseswerdenberücksichtigt,indemderBogenvon
elementaren Kenntnissen bis hin zu anspruchsvollen mathematischen Resultaten sehr weit
gespanntwirdunddasWerkeinbreitesSpektrummathematischerGebieteüberdeckt.Großer
WertwirddabeiauffolgendeAspektegelegt:
– ausführlicheMotivationundErläuterungderGrundideen,
– leichteFasslichkeit,Anschaulichkeit,undÜbersichtlichkeit,
– dieVerbindungzwischenreinerundangewandterMathematik,
– vielseitigeAnwendungenderMathematikundPraxisnähe,sowie
– dieDiskussiondeshistorischenHintergrunds.
Es wird gezeigt, dass die Mathematik mehr ist als eine trockene Ansammlung von Formeln,
Definitionen,TheoremenundRechenrezepten.SieisteinunverzichtbarerPartnerdermodernen
Technik,undsiehilftwesentlichbeideroptimalenGestaltungvonIndustrie-undWirtschaftspro-
zessen.GleichzeitigistdieMathematikeinwichtigerBestandteilunserermenschlichenKultur
undeinwundervollesErkenntnisorgandesMenschen,dasihnetwainderHochtechnologie,der
ElementarteilchenphysikundderKosmologieinBereichevorstoßenlässt,dieohneMathematik
nichtzuverstehensind,weilsievonunserertäglichenErfahrungsweltextremweitentferntsind.
Während das Springer-Taschenbuch der Mathematik den Anforderungen des Bachelor-
Studiumsangepasstist,beziehtsichdasSpringer-HandbuchderMathematiksowohlaufdas
Bachelor-StudiumalsauchaufdasweiterführendeMaster-Studium.
Vorwort vii
BeidenAnwendungenderMathematikspielenPhänomeneeinegroßeRolle,dieinNaturund
Technikauftreten.DasmathematischeVerständnisdieserPhänomeneerleichtertdemAnwender
indenNaturwissenschaftenundindenIngenieurwissenschaftendenÜberblicküberdieZusam-
menhängezwischenunterschiedlichenmathematischenDisziplinen.Deshalbwirdindiesem
Springer-HandbuchderMathematikdieSichtaufwichtigePhänomenebesondersbetont.Das
betrifft:
– MathematikderGrenzübergänge(AnalysisundFunktionalanalysis),
– MathematikdesOptimalen(Variationsrechnung,optimaleSteuerung,lineareundnichtli-
neareOptimierung),
– MathematikdesZufalls(Wahrscheinlichkeitsrechnung,mathematischeStatistikundsto-
chastischeProzesse),
– MathematikderZeitunddesChaos(dynamischeSysteme),
– MathematikderStabilitätvonGleichgewichtszuständeninNaturundTechnik,vonzeitab-
hängigenProzessenundvonAlgorithmenaufComputern,
– MathematikderKomplexitätvonAlgorithmenaufComputern,
– MathematikderSymmetrie(Gruppentheorie),
– MathematikderSystememitunendlichvielenFreiheitsgraden(Funktionalanalysis),
– MathematikdesqualitativenVerhaltensvonGleichgewichtszuständenundzeitabhängigen
ProzesseninNaturundTechnik(Topologie),
– MathematikderWechselwirkungskräfteinderNatur(nichtlinearepartielleDifferential-
gleichungenundnichtlineareFunktionalanalysis,DifferentialgeometriederFaserbündel
undEichtheorie),
– MathematikderStrukturen(Kategorientheorie).
InteressantistdieTatsache,dassklassischeErgebnissederMathematikheutzutageimRahmen
neuerTechnologienvölligneueAnwendungenerlauben.DasbetrifftetwadieZahlentheorie,
dielangeZeitalseinreinesVergnügendesmenschlichenGeistesgalt.Beispielsweisewirddie
berühmteRiemannscheZetafunktionderanalytischenZahlentheorie,dieinKapitel2betrachtet
wird,indermodernenQuantenfeldtheoriezurBerechnungvonStreuprozessenvonElementar-
teilchenimRahmenderRenormierungstheorieeingesetzt.DerklassischeSatzvonFermat–Euler
überTeilbarkeitseigenschaftenvonZahlenwirdheutewesentlichbenutzt,umdieÜbermittlung
vonNachrichteninraffinierterWeisezuverschlüsseln.DasfindetmanebenfallsinKapitel2.
Das„Springer-HandbuchderMathematik“knüpftaneinelangeTraditionan.Das„Taschen-
buchderMathematik“vonI.N.BronsteinundK.A.SemendjajewwurdevonDr.ViktorZiegler
ausdemRussischeninsDeutscheübersetzt.Eserschien1958imVerlagB.G.TeubnerinLeipzig,
undbiszumJahre1978lagenbereits18Auflagenvor.UnterderHerausgabevonDr.GünterGro-
scheundDr.ViktorZieglerundunterwesentlicherredaktionellerMitarbeitvonFrauDorothea
Zieglererschien1979dievölligüberarbeitete19.Auflage,anderWissenschaftlerderLeipziger
UniversitätundandererHochschulendesmitteldeutschenRaumesmitwirkten.1 DieseNeubear-
beitungwurdeinsRussischeübersetztunderschien1981imVerlagfürTechnisch-Theoretische
LiteraturinMoskau.FernerwurdeneineenglischeundeinejapanischeÜbersetzungpubliziert.
MotiviertdurchdiestürmischeEntwicklungderMathematikundihrerAnwendungenerschien
in den Jahren 1995 und 1996 ein völlig neuverfasstes, zweibändiges „Teubner-Taschenbuch
der Mathematik“ im Verlag B.G. Teubner, Stuttgart und Leipzig.2 Das daraus entstandene,
vorliegende„Springer-HandbuchderMathematik“enthältzweivölligneugeschriebeneKapitel
überWirtschafts-undFinanzmathematiksowieüberAlgorithmikundInformatik.
1Bis1995erschienensiebenweitereAuflagen.
2DieenglischeÜbersetzungdeserstenBandeserschien2003imVerlagOxfordUniversityPress,NewYork,als„Oxford
Users’GuidetoMathematics“.
viii Vorwort
DiemoderneKonzeptionundKoordinationdesKapitels8überWirtschafts-undFinanzma-
thematiklagindenerfahrenenHändenvonHerrnProf.Dr.BerndLuderer(TUChemnitz).In
das von Herrn Prof. Dr. Juraj Hromkovicˇ (ETH Zürich) verfasste Kapitel 9 über Algorithmik
undInformatikflossenseinereichenLehrerfahrungenein.ImMittelpunktstehtdaszentrale
ProblemderKomplexitätvonAlgorithmen.Erinnertseidaran,dasseinesderberühmtensieben
Milleniumsprobleme der Mathematik aus dem Jahre 2000 eine tiefe Frage der Komplexitäts-
theoriebetrifft.DasKapitel7überNumerikundWissenschaftlichesRechnenwurdevonHerrn
Prof.Dr.WolfgangHackbusch(Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften,
Leipzig)wesentlichüberarbeitet,unddieübrigenKapitelwurdenaktualisiert.DerHerausgeber
möchtedenKollegenHackbusch,Hromkovicˇ undLuderersowieallenseinenKoautorenfürihre
engagierteArbeitsehrherzlichdanken.Dasbetrifft:
– Prof.Dr.Hans-Rudolf Schwarz(7.1–7.6)und
Prof.Dr.WolfgangHackbusch(7.7),
– Prof.Dr.BerndLuderer(8.1,8.13),
Prof.Dr.JochenBlath(8.2,8.3),
Prof.Dr.AlexanderSchied(8.4,8.5),
Prof.Dr.StephanDempe(8.6–8.10)und
Prof.Dr.GertWanka(8.11,8.12),
– Prof.Dr.JurajHromkovicˇ (9.1–9.9)und
Prof.Dr.SiegfriedGottwald(9.10).
EinherzlichesDankeschöngehtauchanFrauMicaelaKrieger-HauwedefürdassorgfältigeAnfer-
tigenvielerAbbildungenindenTeilenIbisIII,dasLesenderKorrekturenunddieeinfühlsame,
ästhetischgelungeneTextgestaltung.FrauKerstinFöltingdankeichsehrherzlichfürdassorgfäl-
tigeAnfertigenderAbbildungenundderLATEX-VersionvonTeilIVsowiefürzahlreicheHinweise
zurVerbesserungderDarstellung.DenMitarbeiterndesLeipzigerMax-Planck-Institutesfür
MathematikindenNaturwissenschaften,RegineLübke(Sekretariat),KatarzynaBaierundIn-
goBrüggemann(Bibliothek),OliverHellerundRainerKleinrensing(EDV-Abteilung)seisehr
herzlichfürdietechnischeUnterstützungbeiderFertigstellungdesSpringer-Handbuchesder
Mathematikgedankt.FernerdankeichsehrherzlichFrauUlrikeSchmickler-Hirzebruchvom
VerlagSpringerSpektrumfürdieKoordinationdesgesamtenProjektsundfürdiekompetente
AktualisierungdesLiteraturverzeichnisses.SchließlichseiallenLeserinnenundLeserngedankt,
dieinderVergangenheitdurchihreHinweisezurVerbesserungderDarstellungbeigetragen
haben.
AlleBeteiligtenhoffen,dassdiesesNachschlagewerkinallenPhasendesStudiumsunddanach
imBerufslebeneinnützlicherBegleiterseinwird,derdieEinheitderMathematikbetont.
Leipzig,imSommer2012 DerHerausgeber
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
5 VariationsrechnungundPhysik 1
5.1 VariationsrechnungfürFunktioneneinerVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.1.1 DieEuler-LagrangeschenGleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.1.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.1.3 DieHamiltonschenGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.1.4 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.5 HinreichendeBedingungenfüreinlokalesMinimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1.6 ProblememitNebenbedingungenundLagrangescheMultiplikatoren . . . . . . . . . . . . 23
5.1.7 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.8 NatürlicheRandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 VariationsrechnungfürFunktionenmehrererVariabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 DieEuler-LagrangeschenGleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.3 ProblememitNebenbedingungenundLagrangescheMultiplikatoren . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Steuerungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1 BellmanschedynamischeOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.3 DasPontrjaginscheMaximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.4 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4.1 LokaleMinimumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4.2 GlobaleMinimumproblemeundKonvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4.3 AnwendungenaufdieMethodederkleinstenQuadratevonGauß . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4.4 AnwendungenaufPseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4.5 ProblememitNebenbedingungenundLagrangescheMultiplikatoren . . . . . . . . . . . . 43
5.4.6 AnwendungenaufdieEntropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.7 DerSubgradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.8 DualitätstheorieundSattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
LiteraturzuKapitel5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Stochastik–MathematikdesZufalls 49
6.1 ElementareStochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.1.1 DasklassischeWahrscheinlichkeitsmodell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2 DasGesetzdergroßenZahlvonJakobBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.3 DerGrenzwertsatzvonMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.4 DieGaußscheNormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.5 DerKorrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.6 AnwendungenaufdieklassischestatistischePhysik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2 DieKolmogorowschenAxiomederWahrscheinlichkeitsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.1 DasRechnenmitEreignissenundWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.2 ZufälligeVariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.3 Zufallsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.4 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
x Inhaltsverzeichnis
6.2.5 AnwendungenaufdasBernoullischeModellfürFolgenunabhängigerVersuche . . . . . . 83
6.3 MathematischeStatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 WichtigeSchätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.3 DieUntersuchungnormalverteilterMessgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.4 DieempirischeVerteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.5 DieMaximum-Likelihood-MethodezurGewinnungvonParameterschätzungen . . . . . . 103
6.3.6 MultivariateAnalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 StochastischeProzesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.1 Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.2 MarkowscheKettenundstochastischeMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.3 PoissonscheProzesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4.4 BrownscheBewegungundDiffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4.5 DerHauptsatzvonKolmogorowfürallgemeinestochastischeProzesse . . . . . . . . . . . 122
LiteraturzuKapitel6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 NumerikundWissenschaftlichesRechnen 127
7.1 NumerischesRechnenundFehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.1 BegriffdesAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2 ZahldarstellunginComputern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.3 Fehlerquellen,Fehlererfassung,KonditionundStabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2 LineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.1 LineareGleichungssysteme–direkteMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.2 IterativeLösunglinearerGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.3 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.4 Ausgleichsprobleme,MethodederkleinstenQuadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 Interpolation,numerischeDifferentiationundQuadratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.1 Interpolationspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.2 NumerischeDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3.3 NumerischeQuadratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4 NichtlineareProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4.1 NichtlineareGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4.2 NichtlineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.4.3 BerechnungderNullstellenvonPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.5 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5.1 ApproximationimquadratischenMittel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5.2 GleichmäßigeApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.5.3 GenähertegleichmäßigeApproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6 GewöhnlicheDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.6.1 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.6.2 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.7 PartielleDifferentialgleichungenundWissenschaftlichesRechnen. . . . . . . . . . . . . . . 179
7.7.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.7.2 DiskretisierungsverfahreninderÜbersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.7.3 ElliptischeDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.7.4 ParabolischeDifferentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.7.5 HyperbolischeDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.7.6 AdaptiveDiskretisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.7.7 IterativeLösungvonGleichungssystemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.7.8 Randelementmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.7.9 TechnikderhierarchischenMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217