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Springer-Handbuch der Mathematik III: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler PDF

541 Pages·2013·3.878 MB·German
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Springer-Handbuch der Mathematik III Herausgeber: Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen- schaften,Leipzig,Deutschland Beitragsautoren: Prof.Dr.EberhardZeidler,Max-Planck-InstitutfürMathematikinden Naturwissen- schaften,Leipzig(Kap.5bis6) Prof. Dr. Hans-Rudolf Schwarz, Universität Zürich (Kap. 7.1–7.6) Prof.Dr.WolfgangHackbusch,Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwis- senschaften,Leipzig(Kap.7.7) Prof.Dr.BerndLuderer,TUChemnitz(Kap.8.1,8.13) Prof.Dr.JochenBlath,TUBerlin(Kap.8.2,8.3) Prof.Dr.AlexanderSchied,UniversitätMannheim(Kap.8.4,8.5) Prof.Dr.StephanDempe,TUBergakademieFreiberg(Kap.8.6–8.10) Prof.Dr.GertWanka,TUChemnitz(Kap.8.11,8.12) Prof.Dr.JurajHromkovic,ETHZürich(Kap.9.1–9.9) Prof.Dr.SiegfriedGottwald,UniversitätLeipzig(Kap.9.10) Springer-Handbuch der Mathematik III Begründet vonI.N.Bronstein undK.A.Semendjaew WeitergeführtvonG.Grosche,V.ZieglerundD.Ziegler Herausgegeben vonE.Zeidler Herausgeber Prof.Dr.EberhardZeidler Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften Leipzig Deutschland ISBN978-3-658-00274-9 ISBN978-3-658-00275-6(eBook) DOI10.1007/978-3-658-00275-6 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbi- bliografie;detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. DerVerlagunddieAutorenhabenalleSorgfaltwaltenlassen,umvollständigeundakkurate InformationenindiesemBuchzupublizieren.DerVerlagübernimmtwederGarantienoch diejuristischeVerantwortungoderirgendeineHaftungfürdieNutzungdieserInformatio- nen,fürderenWirtschaftlichkeitoderfehlerfreieFunktionfüreinenbestimmtenZweck. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbaden 2013 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung, dienichtausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarf dervorherigenZu- stimmungdesVerlags.DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Über- setzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischen Systemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesem WerkberechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolche NamenimSinnederWarenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachten wärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE. SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringerScience+BusinessMedia. www.springer-spektrum.de Vorwort Theoriacumpraxi GottfriedWilhelmLeibniz(1646–1716) DieMathematikspielteinewichtigeRolleinvielenBereichenunserermodernenGesellschaft. Sie ist eine Querschnittswissenschaft und zugleich eine Schlüsseltechnologie mit vielfältigen engen Verbindungen zu anderen Wissenschaften. Das betrifft die Naturwissenschaften, die Ingenieurwissenschaften, die Informatik und Informationstechnologie, die Wirtschafts- und Finanzwissenschaft,dieSozialwissenschaftensowiedieMedizin.Mathematikistabstraktund zugleichsehrpraktisch.Dasvorliegende SPRINGER-HANDBUCHDERMATHEMATIK, das sich um einen breit angelegten Brückenschlag zwischen der Mathematik und ihren An- wendungenbemüht,stellteinewesentlicheErweiterungdesSPRINGER-TASCHENBUCHES DERMATHEMATIKdar,das2012imVerlagSpringerSpektrumerschienenist.DasSpringer- HandbuchumfasstdiefolgendenvierTeile: – TEILI:Analysis. – TEILII:Algebra,Geometrie,GrundlagenderMathematik. – TEILIII:VariationsrechnungundPhysik,Wahrscheinlichkeitsrechnungundmathematische Statistik,NumerikundWissenschaftlichesRechnen,Wirtschafts-undFinanzmathematik, AlgorithmikundInformatik. – TEILIV:Funktionalanalysis,DynamischeSysteme,Mannigfaltigkeiten,Topologie,Mathe- matischePhysik. AlsmehrbändigesNachschlagewerkistdasSpringer-HandbuchinersterLiniefürwissenschaft- licheBibliothekengedacht,dieihrenLeserinnenundLesernparallelzumSpringer-Taschenbuch derMathematikdasumfangreichereMaterialdesSpringer-Handbuches(inelektronischerForm und Papierform) zur Verfügung stellen wollen. Für individuell interessierte Leserinnen und Leserseiauffolgendeshingewiesen.DieTeileIbisIIIdesSpringer-HandbuchesderMathematik enthaltendieentsprechendenKapiteldesSpringer-TaschenbuchesderMathematik,diedurch wichtigeszusätzlichesMaterialergänztwerden.DagegensinddieneunKapitelvonTeilIVnicht imSpringer-TaschenbuchderMathematikenthalten. TeilIenthältnebendemeinführendenKapitelunddemKapitel1desSpringer-Taschenbuches der Mathematik zusätzliches Material zur höheren komplexen Funktionentheorie und zur allgemeinenTheoriederpartiellenDifferentialgleichungen. TeilIIenthältnebendenKapiteln2–4desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätz- lichesMaterialzufolgendenGebieten:multilineareAlgebra,höhereZahlentheorie,projektive Geometrie,algebraischeGeometrieundGeometriendermodernenPhysik. TeilIIIenthältnebendenKapiteln5–9desSpringer-TaschenbuchesderMathematikzusätzli- chesMaterialzustochastischenProzessen. vi Vorwort TeilIVenthältdiefolgendenZusatzkapitelzumSpringer-TaschenbuchderMathematik: – Kapitel10:HöhereAnalysis(TensoranalysisundspezielleRelativitätstheorie,Integralglei- chungen,DistributionenundlinearepartielleDifferentialgleichungendermathematischen Physik,moderneMaß-undIntegrationstheorie). – Kapitel11:LineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen. – Kapitel12:NichtlineareFunktionalanalysisundihreAnwendungen. – Kapitel13:DynamischeSysteme–MathematikderZeit. – Kapitel14:NichtlinearepartielleDifferentialgleichungenindenNaturwissenschaften. – Kapitel15:Mannigfaltigkeiten. – Kapitel16:RiemannscheGeometrieundallgemeineRelativitätstheorie. – Kapitel17:Liegruppen,LiealgebrenundElementarteilchen-MathematikderSymmetrie. – Kapitel18:Topologie-MathematikdesqualitativenVerhaltens. – Kapitel19:Krümmung,TopologieundAnalysis(EichheorieinMathematikundPhysik). Hier werden im Rahmen der mathematischen Physik die Bedürfnisse der modernen Physik berücksichtigt. Am Ende von Teil IV findet man eine Tafel zur Geschichte der Mathematik. DiesorgfältigzusammengestelltenLiteraturangabenamEndejedesKapitelssollendemLeser helfen, bei auftretenden Fragen geeignete moderne Bücher zu konsultieren, wobei zwischen einführenderLiteraturundanspruchsvollenStandardwerkengewähltwerdenkann. DasvorliegendeSpringer-HandbuchderMathematikwendetsichan: – FortgeschritteneStudierendederMathematikundangrenzendernaturwissenschaftlicher, technischer,wirtschaftswissenschaftlicherFachrichtungen,Graduierte,Doktoranden – Mathematiker,Physiker,Ingenieure,Informatiker,WirtschaftsmathematikerinForschung, LehreundPraxis – wissenschaftlicheBibliotheken,akademischeInstitutionenundFirmen. DieBedürfnisseeinesderartbreitenLeserkreiseswerdenberücksichtigt,indemderBogenvon elementaren Kenntnissen bis hin zu anspruchsvollen mathematischen Resultaten sehr weit gespanntwirdunddasWerkeinbreitesSpektrummathematischerGebieteüberdeckt.Großer WertwirddabeiauffolgendeAspektegelegt: – ausführlicheMotivationundErläuterungderGrundideen, – leichteFasslichkeit,Anschaulichkeit,undÜbersichtlichkeit, – dieVerbindungzwischenreinerundangewandterMathematik, – vielseitigeAnwendungenderMathematikundPraxisnähe,sowie – dieDiskussiondeshistorischenHintergrunds. Es wird gezeigt, dass die Mathematik mehr ist als eine trockene Ansammlung von Formeln, Definitionen,TheoremenundRechenrezepten.SieisteinunverzichtbarerPartnerdermodernen Technik,undsiehilftwesentlichbeideroptimalenGestaltungvonIndustrie-undWirtschaftspro- zessen.GleichzeitigistdieMathematikeinwichtigerBestandteilunserermenschlichenKultur undeinwundervollesErkenntnisorgandesMenschen,dasihnetwainderHochtechnologie,der ElementarteilchenphysikundderKosmologieinBereichevorstoßenlässt,dieohneMathematik nichtzuverstehensind,weilsievonunserertäglichenErfahrungsweltextremweitentferntsind. Während das Springer-Taschenbuch der Mathematik den Anforderungen des Bachelor- Studiumsangepasstist,beziehtsichdasSpringer-HandbuchderMathematiksowohlaufdas Bachelor-StudiumalsauchaufdasweiterführendeMaster-Studium. Vorwort vii BeidenAnwendungenderMathematikspielenPhänomeneeinegroßeRolle,dieinNaturund Technikauftreten.DasmathematischeVerständnisdieserPhänomeneerleichtertdemAnwender indenNaturwissenschaftenundindenIngenieurwissenschaftendenÜberblicküberdieZusam- menhängezwischenunterschiedlichenmathematischenDisziplinen.Deshalbwirdindiesem Springer-HandbuchderMathematikdieSichtaufwichtigePhänomenebesondersbetont.Das betrifft: – MathematikderGrenzübergänge(AnalysisundFunktionalanalysis), – MathematikdesOptimalen(Variationsrechnung,optimaleSteuerung,lineareundnichtli- neareOptimierung), – MathematikdesZufalls(Wahrscheinlichkeitsrechnung,mathematischeStatistikundsto- chastischeProzesse), – MathematikderZeitunddesChaos(dynamischeSysteme), – MathematikderStabilitätvonGleichgewichtszuständeninNaturundTechnik,vonzeitab- hängigenProzessenundvonAlgorithmenaufComputern, – MathematikderKomplexitätvonAlgorithmenaufComputern, – MathematikderSymmetrie(Gruppentheorie), – MathematikderSystememitunendlichvielenFreiheitsgraden(Funktionalanalysis), – MathematikdesqualitativenVerhaltensvonGleichgewichtszuständenundzeitabhängigen ProzesseninNaturundTechnik(Topologie), – MathematikderWechselwirkungskräfteinderNatur(nichtlinearepartielleDifferential- gleichungenundnichtlineareFunktionalanalysis,DifferentialgeometriederFaserbündel undEichtheorie), – MathematikderStrukturen(Kategorientheorie). InteressantistdieTatsache,dassklassischeErgebnissederMathematikheutzutageimRahmen neuerTechnologienvölligneueAnwendungenerlauben.DasbetrifftetwadieZahlentheorie, dielangeZeitalseinreinesVergnügendesmenschlichenGeistesgalt.Beispielsweisewirddie berühmteRiemannscheZetafunktionderanalytischenZahlentheorie,dieinKapitel2betrachtet wird,indermodernenQuantenfeldtheoriezurBerechnungvonStreuprozessenvonElementar- teilchenimRahmenderRenormierungstheorieeingesetzt.DerklassischeSatzvonFermat–Euler überTeilbarkeitseigenschaftenvonZahlenwirdheutewesentlichbenutzt,umdieÜbermittlung vonNachrichteninraffinierterWeisezuverschlüsseln.DasfindetmanebenfallsinKapitel2. Das„Springer-HandbuchderMathematik“knüpftaneinelangeTraditionan.Das„Taschen- buchderMathematik“vonI.N.BronsteinundK.A.SemendjajewwurdevonDr.ViktorZiegler ausdemRussischeninsDeutscheübersetzt.Eserschien1958imVerlagB.G.TeubnerinLeipzig, undbiszumJahre1978lagenbereits18Auflagenvor.UnterderHerausgabevonDr.GünterGro- scheundDr.ViktorZieglerundunterwesentlicherredaktionellerMitarbeitvonFrauDorothea Zieglererschien1979dievölligüberarbeitete19.Auflage,anderWissenschaftlerderLeipziger UniversitätundandererHochschulendesmitteldeutschenRaumesmitwirkten.1 DieseNeubear- beitungwurdeinsRussischeübersetztunderschien1981imVerlagfürTechnisch-Theoretische LiteraturinMoskau.FernerwurdeneineenglischeundeinejapanischeÜbersetzungpubliziert. MotiviertdurchdiestürmischeEntwicklungderMathematikundihrerAnwendungenerschien in den Jahren 1995 und 1996 ein völlig neuverfasstes, zweibändiges „Teubner-Taschenbuch der Mathematik“ im Verlag B.G. Teubner, Stuttgart und Leipzig.2 Das daraus entstandene, vorliegende„Springer-HandbuchderMathematik“enthältzweivölligneugeschriebeneKapitel überWirtschafts-undFinanzmathematiksowieüberAlgorithmikundInformatik. 1Bis1995erschienensiebenweitereAuflagen. 2DieenglischeÜbersetzungdeserstenBandeserschien2003imVerlagOxfordUniversityPress,NewYork,als„Oxford Users’GuidetoMathematics“. viii Vorwort DiemoderneKonzeptionundKoordinationdesKapitels8überWirtschafts-undFinanzma- thematiklagindenerfahrenenHändenvonHerrnProf.Dr.BerndLuderer(TUChemnitz).In das von Herrn Prof. Dr. Juraj Hromkovicˇ (ETH Zürich) verfasste Kapitel 9 über Algorithmik undInformatikflossenseinereichenLehrerfahrungenein.ImMittelpunktstehtdaszentrale ProblemderKomplexitätvonAlgorithmen.Erinnertseidaran,dasseinesderberühmtensieben Milleniumsprobleme der Mathematik aus dem Jahre 2000 eine tiefe Frage der Komplexitäts- theoriebetrifft.DasKapitel7überNumerikundWissenschaftlichesRechnenwurdevonHerrn Prof.Dr.WolfgangHackbusch(Max-Planck-InstitutfürMathematikindenNaturwissenschaften, Leipzig)wesentlichüberarbeitet,unddieübrigenKapitelwurdenaktualisiert.DerHerausgeber möchtedenKollegenHackbusch,Hromkovicˇ undLuderersowieallenseinenKoautorenfürihre engagierteArbeitsehrherzlichdanken.Dasbetrifft: – Prof.Dr.Hans-Rudolf Schwarz(7.1–7.6)und Prof.Dr.WolfgangHackbusch(7.7), – Prof.Dr.BerndLuderer(8.1,8.13), Prof.Dr.JochenBlath(8.2,8.3), Prof.Dr.AlexanderSchied(8.4,8.5), Prof.Dr.StephanDempe(8.6–8.10)und Prof.Dr.GertWanka(8.11,8.12), – Prof.Dr.JurajHromkovicˇ (9.1–9.9)und Prof.Dr.SiegfriedGottwald(9.10). EinherzlichesDankeschöngehtauchanFrauMicaelaKrieger-HauwedefürdassorgfältigeAnfer- tigenvielerAbbildungenindenTeilenIbisIII,dasLesenderKorrekturenunddieeinfühlsame, ästhetischgelungeneTextgestaltung.FrauKerstinFöltingdankeichsehrherzlichfürdassorgfäl- tigeAnfertigenderAbbildungenundderLATEX-VersionvonTeilIVsowiefürzahlreicheHinweise zurVerbesserungderDarstellung.DenMitarbeiterndesLeipzigerMax-Planck-Institutesfür MathematikindenNaturwissenschaften,RegineLübke(Sekretariat),KatarzynaBaierundIn- goBrüggemann(Bibliothek),OliverHellerundRainerKleinrensing(EDV-Abteilung)seisehr herzlichfürdietechnischeUnterstützungbeiderFertigstellungdesSpringer-Handbuchesder Mathematikgedankt.FernerdankeichsehrherzlichFrauUlrikeSchmickler-Hirzebruchvom VerlagSpringerSpektrumfürdieKoordinationdesgesamtenProjektsundfürdiekompetente AktualisierungdesLiteraturverzeichnisses.SchließlichseiallenLeserinnenundLeserngedankt, dieinderVergangenheitdurchihreHinweisezurVerbesserungderDarstellungbeigetragen haben. AlleBeteiligtenhoffen,dassdiesesNachschlagewerkinallenPhasendesStudiumsunddanach imBerufslebeneinnützlicherBegleiterseinwird,derdieEinheitderMathematikbetont. Leipzig,imSommer2012 DerHerausgeber Inhaltsverzeichnis Vorwort v 5 VariationsrechnungundPhysik 1 5.1 VariationsrechnungfürFunktioneneinerVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.1.1 DieEuler-LagrangeschenGleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.1.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5.1.3 DieHamiltonschenGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.1.4 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.1.5 HinreichendeBedingungenfüreinlokalesMinimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.1.6 ProblememitNebenbedingungenundLagrangescheMultiplikatoren . . . . . . . . . . . . 23 5.1.7 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.8 NatürlicheRandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 VariationsrechnungfürFunktionenmehrererVariabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.1 DieEuler-LagrangeschenGleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2.3 ProblememitNebenbedingungenundLagrangescheMultiplikatoren . . . . . . . . . . . . 33 5.3 Steuerungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3.1 BellmanschedynamischeOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3.2 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3.3 DasPontrjaginscheMaximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3.4 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.4 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4.1 LokaleMinimumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4.2 GlobaleMinimumproblemeundKonvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.4.3 AnwendungenaufdieMethodederkleinstenQuadratevonGauß . . . . . . . . . . . . . . 41 5.4.4 AnwendungenaufPseudoinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4.5 ProblememitNebenbedingungenundLagrangescheMultiplikatoren . . . . . . . . . . . . 43 5.4.6 AnwendungenaufdieEntropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.4.7 DerSubgradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4.8 DualitätstheorieundSattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 LiteraturzuKapitel5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 Stochastik–MathematikdesZufalls 49 6.1 ElementareStochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.1.1 DasklassischeWahrscheinlichkeitsmodell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1.2 DasGesetzdergroßenZahlvonJakobBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.1.3 DerGrenzwertsatzvonMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.1.4 DieGaußscheNormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.5 DerKorrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.1.6 AnwendungenaufdieklassischestatistischePhysik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2 DieKolmogorowschenAxiomederWahrscheinlichkeitsrechnung. . . . . . . . . . . . . . . 63 6.2.1 DasRechnenmitEreignissenundWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2.2 ZufälligeVariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2.3 Zufallsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2.4 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 x Inhaltsverzeichnis 6.2.5 AnwendungenaufdasBernoullischeModellfürFolgenunabhängigerVersuche . . . . . . 83 6.3 MathematischeStatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.3.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.3.2 WichtigeSchätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.3.3 DieUntersuchungnormalverteilterMessgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3.4 DieempirischeVerteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3.5 DieMaximum-Likelihood-MethodezurGewinnungvonParameterschätzungen . . . . . . 103 6.3.6 MultivariateAnalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4 StochastischeProzesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.4.1 Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.4.2 MarkowscheKettenundstochastischeMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.4.3 PoissonscheProzesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.4.4 BrownscheBewegungundDiffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.4.5 DerHauptsatzvonKolmogorowfürallgemeinestochastischeProzesse . . . . . . . . . . . 122 LiteraturzuKapitel6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7 NumerikundWissenschaftlichesRechnen 127 7.1 NumerischesRechnenundFehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.1 BegriffdesAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.2 ZahldarstellunginComputern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.3 Fehlerquellen,Fehlererfassung,KonditionundStabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.2 LineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.2.1 LineareGleichungssysteme–direkteMethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.2.2 IterativeLösunglinearerGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.2.3 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.2.4 Ausgleichsprobleme,MethodederkleinstenQuadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.3 Interpolation,numerischeDifferentiationundQuadratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3.1 Interpolationspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3.2 NumerischeDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.3.3 NumerischeQuadratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4 NichtlineareProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.4.1 NichtlineareGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.4.2 NichtlineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.4.3 BerechnungderNullstellenvonPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.5 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.5.1 ApproximationimquadratischenMittel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.5.2 GleichmäßigeApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.5.3 GenähertegleichmäßigeApproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.6 GewöhnlicheDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.6.1 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.6.2 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.7 PartielleDifferentialgleichungenundWissenschaftlichesRechnen. . . . . . . . . . . . . . . 179 7.7.1 Grundideen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.7.2 DiskretisierungsverfahreninderÜbersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.7.3 ElliptischeDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.7.4 ParabolischeDifferentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.7.5 HyperbolischeDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.7.6 AdaptiveDiskretisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.7.7 IterativeLösungvonGleichungssystemen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.7.8 Randelementmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.7.9 TechnikderhierarchischenMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

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