Spieltheorie: Dynamische Behandlung von Spielen PDF
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Werner Krabs Spieltheorie Werner Krabs Spieltheorie Dynamische Behandlung von Spielen 1m Teubner B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Prof. Dr. Werner Krabs Geboren 1934. 1963 Promotion Universitat Hamburg. 1967 - 1968 Visiting Assistant Prof. an der Uni versity of Washington in Seatlle. 1968 Habilitation Universitat Hamburg. 1970 - 1972 Wissenschaftli cher Rat und Prof. RWTH Aachen. 1971 Visiting Associate Prof. Michigan State University East Lansing. 1977 Full Prof. Oregon State University Corvallis. 1972 - 1999 Professor an der TU Darmstadt. Emeri tiert seit 1999. Arbeitsschwerpunkte: Approximation, Optimierung, Kontrolltheorie, Mathematische Modellierung, Dynamische Systeme. 1. Auflage Marz 2005 Aile Rechte vorbehalten © B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005 Lektorat: Ulrich Sandten Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver lags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fOr Vervielfaltigungen, Obersetzun gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dOrften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN-13: 978-3-519-00523-0 e-ISBN-13: 978-3-322-80087-9 DOT: 10.1007/978-3-322-80087-9 Vorwort Dieses Buch ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die ich im Sommer semester 2003 an der TV Darmstadt gehalten habe. Es besteht aus einer Einleitung, 4 Kapiteln und einem Anhang, in dem Hilfsmittel bereitgestellt werden. Die Einleitung geht von der beriihmten Arbeit von John v. Neu mann iiber die Theorie der Gesellschaftsspiele aus, mit der im Jahre 1928 die Spieltheorie begonnen hat, und gibt eine Ubersicht iiber den Inhalt des Buches. Kapitel 1 ist der Theorie der nicht-kooperativen Spiele gewidmet. Hier steht der Begriff des Nash-Gleichgewichtes im Zentrum der Uberlegungen. Zum Nachweis der Existenz eines solchen in der gemischten Erweiterung eines n-Personen-Spiels mit endlichen Strategiemengen wird auf eine Origi nalarbeit von John Nash zuriickgegriffen. Kapitel 2 befaBt sich mit kooperativen Spielen. Hier spielt der Begriff des Core eine dominante Rolle, dessen Nichtleer-Sein garantiert, daB die groBe Koalition, d.h. ein ZusammenschluB aller Spieler, stabil ist in dem Sinne, daB ein Abweichen von dieser hochstens zu einer Verschlechterung fiihrt. In Kapitel 3 geht es urn die Frage, unter welchen Bedingungen es moglich ist, ein nicht-kooperatives Spiel in ein kooperatives iiberzufiihren, dessen Core nichtleer und in dem somit die groBe Koalition stabil ist. In Kapitel 4 werden sog. dynamische Spiele behandelt, bei denen das Spiel mit einer zeitlichen Dynamik verkniipft wird. -Hier geht es einerseits urn die Frage der Steuerbarkeit dieser Dynamik in ein Gleichgewicht und das auf kooperative und nicht-kooperative Weise und andererseits urn die VI VORWORT asymptotische Stabilitat von Nash-Gleichgewichten, insbesondere in Matrix Evolutionsspielen und Bi-Matrixspielen. Danken m6chte ich Frau A. Garhammer fUr das Schreiben dieses Buches auf dem Computer und Herrn E. Kropat fur die Anfertigung der Graphiken. Darmstadt, September 2004 Werner Krabs Inhaltsverzeichnis Vorwort i Inhaltsverzeichnis iii Einleitung und Ubersicht vii 1 Nicht-kooperative Spiele 1 1.1 Zwei-Personen-Spiele............. 1 1.1.1 Definition und Nash-Gleichgewichte 1 1.1.2 Bi-Matrix-Spiele . 5 1.1.3 Nullsummen-Spiele......... 17 1.1.4 Matrix-Spiele . . . . . . . . . . . . 24 1.1.5 Matrix-Spiele und lineare Optimierung 28 1.1.6 Evolutions-Matrix-Spiele 30 1.1. 7 Baumspiele ... . . . 35 1.1.8 Lasung der Aufgaben . 45 1.2 n-Personen-Spiele....... 48 1.2.1 Nash-Gleichgewichte . 48 1.2.2 Drei-Personen-Nullsummen-Spiele 57 1.2.3 Pareto-Optima . . . . . . . . . . 61 2 Kooperative Spiele 65 2.1 Definition und Lasungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2 Der Core eines n-Personen-Spieles . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.1 Definition und Bedingungen fUr das Nichtleer-Sein . 68 2.2.2 Der Fall eines 3-Personen-Spieles .......... 75 2.2.3 Berechnung von Core-Elementen im allgemeinen Fall 79 VIII INHALTSVERZEICHNIS 2.2.4 Der Core eines Produktionsspieles . 82 2.2.5 Der Core eines konvexen Spieles .. 84 2.3 Der T-~ert ................ . 88 2.3.1 Der Ober-Vektor, der Konzessions-Vektor und die Liicken- funktion eines Spieles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88 2.3.2 Der T-~ert eines quasi-balancierten Spieles. . . . . .. 90 2.3.3 Notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir, daB der T-~ert zum Core gehort 91 2.3.4 Der Fall n = 3 . 93 2.4 Kostenspiele ............ . 94 2.4.1 Definition.......... 94 2.4.2 Der T-~ert des zugeordneten Spar-Spieles 96 2.5 Einige Anwendungen ....... . 97 2.5.1 Eine Produktionsokonomie . 97 2.5.2 Eine Austauschokonomie 98 2.5.3 Das Flughafenspiel · 101 2.5.4 Das Bankrott-Spiel . . . · 105 3 Von Nicht-Kooperation zu Kooperation 107 3.1 Ein allgemeines n-Personen-Kosten-Spiel · 107 3.2 Uberfiihrung in ein kooperatives Spiel .. · 110 3.3 SpeziaWUle ............... . · 115 3.4 von Neumannsche Theorie kooperativer Spiele · 119 3.4.1 Die charakteristische Funktion eines Spieles · 119 3.4.2 Der von Neumannsche Losungsbegriff . · 124 4 Dynamische Spiele 129 4.1 Definition eines Problems der Steuerbarkeit · 129 4.2 Eine spieltheoretische Losung . . · 131 4.2.1 Der nicht-kooperative Fall ..... . · 131 4.2.2 Der kooperative Fall ........ . · 133 4.3 Ein Modell zur Reduktion der COTEmission . · 135 4.3.1 Das ungesteuerte Modell .. · 135 4.3.2 Das gesteuerte Modell . . . · 137 4.3.3 Kostenminimale Steuerung . · 140 4.4 Dynamische Evolutionsspiele . · 152 4.5 Dynamische Bi-Matrix-Spiele ... · 159 INHALTSVERZEICHNIS IX 4.6 Dynamische n-Personen-Spiele . · 167 5 Appendix 183 5.1 Lineare Ungleichungen .......... . · 183 5.Z Hauptsatze der linearen Optimierung .. . · 185 5.3 Asymptotische Stabilitat von Fixpunkten . · 186 5.4 Der Fixpunktsatz von Kakutani · 189 5.5 Bibliographische Bemerkungen . . . . . . . · 191 Literaturverzeichnis 193 Index 195 •• Einleitung und Ubersicht Die Spieltheorie begann im Jahre 1928 mit einer Arbeit von John v. Neumann mit dem Titel "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele" im Band 100 der Ma thematischen Annalen. In dieser Arbeit geht er von folgender Fragestellung aus: "n Spieler, Sl, S2, ... ,Sn, spielen ein gegebenes Gesellschaftsspiel G. WiE muB einer dieser Spieler, Sm, spielen, urn dabei ein moglichst gtinstiges Re suit at zu erzielen?" Diese Fragestellung muB nattirlich prazisiert werden. In einem erst en Schritt beschreibt John v. Neumann ein Gesellschaftsspiel folgendermaBen: "Ein Gesellschaftsspiel besteht aus einer bestimmten Reihe von Ereignissen: deren jedes auf endlich viele verschiedene Arten ausfallen kann. Bei gewissen unter diesen Ereignissen hangt der Ausfall vom Zufall ab, d.h.: es ist bekannt mit welchen Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Resultate eintreten werden: aber niemand vermag sie zu beeinfiussen. Die tibrigen Ereignisse aber hangen vom Willen der einzelnen Spieler Sl, S2,' .. ,Sn abo D.h.: es ist bei jedem die ser Ereignisse bekannt, welcher Spieler Sm seinen Ausfall bestimmt, und von den Resultaten welcher anderer ("frtiherer") Ereignisse er im Moment sei ner Entscheidung bereits Kenntnis hat. Nachdem der Ausfall aller EreignissE bereits bekannt ist, kann nach einer festen Regel berechnet werden, welchE Zahlungen die Spieler Sl, S2,' .. ,Sn aneinander zu leisten haben." Diese Beschreibung gieBt er nun in ein mathematisches Modell, das el schrittweise so vereinfacht, daB am Ende die folgende Normalform eines Ge sellschaftsspieles herauskommt: "Jeder der Spieler Sl, S2,' .. ,Sn wahlt eine Zahl, und zwar Sm eine del Zahlen 1,2, ... , 'Em(m = 1,2, ... , n). Jeder hat seinen EntschluB zu fassen: ohne tiber die Resultate der Wahlen seiner Mitspieler Kenntnis zu haben. Wenn Sie die Wahlen Xl, X2,"" Xn getroffen haben (xm = 1,2, ... , 'Em, m =
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