Spektren verallgemeinerter Hodge-Laplace-Operatoren : Am Beispiel von flachen Tori und runden Sphären PDF
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Stine Franziska Beitz Spektren verallgemeinerter Hodge-Laplace-Operatoren Am Beispiel von flachen Tori und runden Sphären BestMasters Mit „BestMasters“ zeichnet Springer die besten Masterarbeiten aus, die an renom mierten Hochschulen in Deutschland, Österreich und der Schweiz entstanden sind. Die mit Höchstnote ausgezeichneten Arbeiten wurden durch Gutachter zur Ver öffentlichung empfohlen und behandeln aktuelle Themen aus unterschiedlichen Fachgebieten der Naturwissenschaften, Psychologie, Technik und Wirtschaftswis senschaften. Die Reihe wendet sich an Praktiker und Wissenschaftler gleichermaßen und soll insbesondere auch Nachwuchswissenschaftlern Orientierung geben. Stine Franziska Beitz Spektren verallgemeinerter Hodge-Laplace-Operatoren Am Beispiel von flachen Tori und runden Sphären Stine Franziska Beitz Münster, Deutschland BestMasters ISBN 9783658131098 ISBN 9783658131104 (eBook) DOI 10.1007/9783658131104 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen und MarkenschutzGesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Danksagung An dieser Stelle möchte ich mich bei all denjenigen bedanken, die mich während der Anfertigung dieser Masterarbeit unterstützt haben. Ganz be- sonders gilt mein Dank Prof. Dr. Christian Bär für die gute Betreuung, viele anregende Gespräche und dafür, dass ich dieses interessante Thema überhaupt bearbeiten durfte. Ich danke auch Dr. Andreas Hermann, mit dem ich immer über den aktuellen Stand der Arbeit und meine neuesten ErkenntnissediskutierenkonnteunddermirvielenützlicheHinweisegege- ben hat. Meinen Kommilitonen Matthias Ludewig, Max Lewandowski und Oliver Lindblad Petersen, welche mich die ganze Zeit über unterstützt ha- ben,binichfürzahlreichehilfreicheDiskussionenundfachlicheAnregungen dankbar.IchmöchteauchArianeBeyer,VictoriaRotheundClaudiaGrabs danken, die mir immer einen Platz in ihrem Büro zur Verfügung gestellt und somit für eine angenehme Arbeitsatmosphäre gesorgt haben. Über- haupt bedanke ich mich bei der gesamten Potsdamer Arbeitsgruppe für die amüsanten und über die Mathematik hinaus sehr lehrreichen Mittags- undKaffeerunden,diedafürsorgten,denKopfzwischendenArbeitsphasen wieder freizubekommen, um mir diesen mit neuem Elan wieder zerbrechen zukönnen.NichtzuletztgebührtmeinDankmeinenEltern,ohnediedieses Unternehmen schon von vornherein nicht möglich gewesen wäre. V Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Definitionen und Vorüberlegungen 5 3 Spektrum auf flachen Tori 17 3.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Eigenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Multiplizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Isospektralität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4.1 Eigenschaften von Isometrien . . . . . . . . . . . . . 27 3.4.2 Isometrische flache Tori . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.3 Variation der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Spektrum auf Sphären 37 4.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Eigenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2.1 Eigenformen zu δSnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 Eigenformen zu dδSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2.3 Beweis der Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 Multiplizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 Isospektralität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.4.1 F auf Sphären verschiedener Radien . . . . . . . . 55 αβ 4.4.2 Variation der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Literaturverzeichnis 61 VII 1 Einleitung Kann man eigentlich die Form einer Trommel hören? Kann man allein an- hand ihres Klanges Rückschlüsse auf deren Form ziehen? Diese Frage warf Mark Kac schon 1966 in seinem Artikel "Can One Hear the Shape of a Drum" auf ([Kac66]). Vollständig beantworten konnte er diese allerdings nicht. Mathematisch wird in seiner Arbeit die aufgespannte Schwingungs- membran durch ein Gebiet G in der Ebene modelliert. Die Resonanzfre- quenzen sind gerade die Eigenwerte des Dirichlet-Problems des Laplace- Operators Δ0 auf Funktionen, d.h., diejenigen reellen Zahlen λ, für die es Funktionen f :GÑR, f ı0, gibt, die auf dem Rand von G verschwinden und die Eigenwertgleichung Δ0f “λf erfüllen. InderSpektralgeometriewerdenähnlicheProblemeineinemallgemeineren Rahmen untersucht. Man interessiert sich hier für die Beziehung zwischen den geometrischen Strukturen von riemannschen Mannigfaltigkeiten und den Spektren elliptischer Differentialoperatoren. Insbesondere fragt man sich, welche Informationen das Spektrum dieser Operatoren über die Geo- metrie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten liefert. Eines der ersten Resultate dieser Art entdeckte Hermann Weyl 1911 ([Wey11]). Er zeig- te, dass das Volumen eines beschränkten Gebietes im euklidischen Raum durch das asymptotische Verhalten der Eigenwerte des Dirichlet-Problems desLaplace-Beltrami-Operatorsbestimmtist.UmeineMannigfaltigkeitbis auf Isometrie vollständig zu rekonstruieren, reicht die reine Kenntnis der Eigenwerteallerdingsnichtaus.DieAntwortaufdieFrage"CanOneHear theShapeofaDrum"lautetalso"nein".DieserkannteschonJohnMilnor, welcher die Existenz von zwei nichtisometrischen 16-dimensionalen Tori mit identischen Spektren der Laplace-Operatoren bewies ([Mil64]). Auch Gordon, Webb und Wolpert konstruierten unterschiedliche Gebiete in der Ebene, deren Eigenwerte übereinstimmen ([GWW92]). In dieser Arbeit betrachten wir für reelle Zahlen α,β ą 0 die Familie von DifferentialoperatorenFM :“αdδ`βδdaufdemHilbertraumL2pM,T˚Mq, αβ d.h. den L2-Einsformen auf einer kompakten riemannschen Mannigfaltig- keit pM,gq der Dimension n mit dem Sobolevraum H2pM,T˚Mq als Defi- nitionsbereich. Hierbei bezeichnen d die äußere Ableitung auf Differential- formen und δ den zu d adjungierten Operator. Für α “ β “ 1 ergibt sich gerade der wohlbekannte Hodge-Laplace-Operator. Unser Ziel ist es, für gewisse Mannigfaltigkeiten das Spektrum SpekpFMq der Operatoren FM αβ αβ explizitzubestimmenundzuuntersuchen,unterwelchenUmständendiese Operatoren isospektral sind, also dasselbe Spektrum besitzen. DerOperatorFM istaufseinemDefinitionsbereichselbstadjungiert.Daher αβ © Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 1 S.F. Beitz, Spektren verallgemeinerter Hodge-Laplace-Operatoren, BestMasters, DOI 10.1007/978-3-658-13110-4_1 liefertderSpektralsatzfürunbeschränkteselbstadjungierteOperatorenaus der Funktionalanalysis ([Wer04, Theorem VII.3.2]) ein eindeutig bestimm- tes Spektralmaß E und mit Hilfe dessen eine Spektralzerlegung unseres Operators: ż FMω “ λdE ω αβ λ SpekpFM q αβ für ω PH2pM,T˚Mq. Das Spektralmaß E ist dabei ein Operator-wertiges Maß, welches alle Informationen über das Spektrum kodiert und dieses insbesondere als Träger hat. Da die riemannsche Mannigfaltigkeit M kom- paktist,istdasSpektrumvonFM diskretundbestehtnurausEigenwerten αβ endlicher Multiplizitäten. Diese sind aufgrund der Selbstadjungiertheit des Operatorsreell.InunseremFallistdasSpektralmaßsomitgeradedieSum- me von Projektoren P auf die Eigenräume EigpFM,λq: λ αβ ÿ E “ P λ λPSpekpFMq αβ und wir erhalten die Spektralzerlegung ÿ FMω “ λP ω αβ λ λPSpekpFMq αβ fürω PH2pM,T˚Mq.UmdasSpektrumdesOperatorsFM zubestimmen, αβ reicht es also das algebraische Eigenwertproblem zu untersuchen, d.h., Lö- sungen λ P R und ω P H2pM,T˚Mq der Eigenwertgleichung FMω “ λω αβ zu finden, das bedeutet, alle Eigenwerte und Eigenformen von FM. αβ Zu ξ PT˚M aus dem Kotangentialbündel von M ist ` ˘ ´ β|ξ|2id`pα´βqξ^pξ7{ ¨q dasHauptsymbolvonFM.Hierbeiistξ7{ω :“ωpξ7qfürω PH2pM,T˚Mq αβ und 7 bezeichnet den musikalischen Isomorphismus, der jedem ξ P T˚M einen eindeutig bestimmten Vektor ξ P TM so zuordnet, dass gpξ7,¨q “ ξ. Auf Einsformen entspricht das Hauptsymbol bezüglich einer Orthonormal- basis gerade der Matrix ` ˘ A:“´ β|ξ|21 `pα´βqξξt n mit ξ P Rn und der n-dimensionalen Einheitsmatrix 1 . Ergänzt man für n ξ ‰ 0 den Vektor |ξξ| zu einer Orthonormalbasis von Rn durch b2,...,bn 2 und wählt ein QPOpnq so, dass Q|ξξ| “e1 und Qbi “ei für iPt2,...,nu, wobei te1,...,enu die Standardbasis des Rn sei, so sieht man, dass detpAq“detpQAQtq“p´1qnαβn´1|ξ|2n ‰0. Das Hauptsymbol ist also invertierbar für alle ξ ‰ 0 und FM somit ellip- αβ tisch.MitderelliptischenRegularitätstheorieaufMannigfaltigkeiten(siehe z.B. [Gil95, Lemma 1.6.3]) folgt nun, dass all seine Eigenformen glatt sind. Esgenügtdaher,FM alsOperatoraufdenglattenEinsformenΩ1pMqauf- αβ zufassen. WirwerdenindieserArbeitdasSpektrum,alsodieEigenwertemitzugehö- rigenEigenräumen,derOperatorenFM fürzweiBeispielmannigfaltigkeiten αβ M berechnen - den Sphären Sn verschiedener Radien r ą0 und den durch r Gitter Λ Ă Rn induzierten flachen Tori Rn{Λ. Wir werden dabei feststel- len, dass sich dieses in Eigenwerte zum Parameter α und Eigenwerte zum Parameterβ aufspaltet,d.h.,zuEigenwertenderOperatorenαdδ undβδd. In der Dimension n“2 ist das Spektrum sogar symmetrisch in α und β. Es wird sich herausstellen, dass das Spektrum von FT auf flachen Tori T αβ gerade die Vereinigung des einmal mit α und einmal mit β multiplizierten SpektrumsdesgewöhnlichenLaplace-OperatorsΔ0 aufglattenFunktionen ist.MitdieserErkenntnislassensichAussagenüberdieIsospektralitätvon zwei Operatoren FαTβ1 und FαT12β1 für α,α1,β,β1 ą0 auf flachen Tori T1 und T2 treffen. WirwerdendieKoeffizientenα undβ zunächstfesthaltenundzeigen,dass für zwei kompakte isometrische riemannsche Mannigfaltigkeiten M und N die Operatoren FM und FN dasselbe Spektrum besitzen. Es stellt sich αβ αβ danndieFrage,obauchdieUmkehrungdieserAussageimFallvonflachen Tori gilt, d.h., ob das Spektrum von FT den flachen Torus T schon bis αβ auf Isometrie bestimmt. In der Dimension n “ 1, also für eindimensiona- le Sphären, sieht man sofort, dass die Antwort "ja" lautet. Wir beweisen als nächstes, dass für zwei flache Tori T1 und T2 die Operatoren FαTβ1 und FT2 genau dann isospektral sind, wenn die Laplace-Operatoren ΔT1 und αβ 0 ΔT2 dasselbe Spektrum haben. Damit können wir die obige Frage auch 0 für höhere Dimensionen beantworten, da die Antwort im Fall des Laplace- Operators auf Funktionen bereits bekannt ist: In der Dimension n “ 2 lautet sie ebenfalls "ja" und ab der Dimension n “ 4 gibt es flache Tori, die nicht isometrisch, deren Spektren bzgl. F jedoch identisch sind. Für αβ die Dimension n“3 scheint die Frage noch offen zu sein. ImdarauffolgendenAbschnittlassenwirbeliebigeParameterα,α1,β,β1 ą 0 zu und stellen für n ‰ 2 fest, dass FT und FT für flache Tori T nur αβ α1β1 3
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