Spectral Theory of Linear Operators and Spectral Systems in Banach Algebras

444 Pages·2007·2.818 MB·English

by  Vladimir Müller

Operator Theory: Advances and Applications
Vol. 139
Editor:
I. Gohberg
Editorial Office: H. G. Kaper (Argonne)
School of Mathematical S. T. Kuroda (Tokyo)
Sciences P. Lancaster (Calgary)
Tel Aviv University L. E. Lerer (Haifa)
Ramat Aviv, Israel B. Mityagin (Columbus)
V. Olshevsky (Storrs)
M. Putinar (Santa Barbara)
Editorial Board:
D. Alpay (Beer-Sheva) L. Rodman (Williamsburg)
J. Arazy (Haifa) J. Rovnyak (Charlottesville)
A. Atzmon (Tel Aviv) D. E. Sarason (Berkeley)
J. A. Ball (Blacksburg) I. M. Spitkovsky (Williamsburg)
A. Ben-Artzi (Tel Aviv) S. Treil (Providence)
H. Bercovici (Bloomington) H. Upmeier (Marburg)
A. Böttcher (Chemnitz) S. M. Verduyn Lunel (Leiden)
K. Clancey (Athens, USA) D. Voiculescu (Berkeley)
L. A. Coburn (Buffalo) D. Xia (Nashville)
R. E. Curto (Iowa City) D. Yafaev (Rennes)
K. R. Davidson (Waterloo, Ontario)
R. G. Douglas (College Station) Honorary and Advisory
A. Dijksma (Groningen) Editorial Board:
H. Dym (Rehovot) C. Foias (Bloomington)
P. A. Fuhrmann (Beer Sheva) T. Kailath (Stanford)
B. Gramsch (Mainz) H. Langer (Vienna)
J. A. Helton (La Jolla)
P. D. Lax (New York)
M. A. Kaashoek (Amsterdam)
H. Widom (Santa Cruz)
Subseries: Advances in
Partial Differential Equations
Subseries editors:
Bert-Wolfgang Schulze
Universität Potsdam
Germany
Sergio Albeverio
Universität Bonn
Germany
Vladimir Müller
Spectral Theory of
Linear Operators
and Spectral Systems in
Banach Algebras
Second edition
Birkhäuser
. .
Basel Boston Berlin
Author:
Vladimir Müller
Institute of Mathematics
Czech Academy of Sciences
Zitna 25
115 67 Praha 1
Czech Republic
e-mail: [email protected]
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:91)(cid:91)(cid:30)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:23)(cid:27)
Library of Congress Control Number: 2007929011
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)
bibliographic data is available in the Internet at <http://dnb.ddb.de>.
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:16)(cid:22)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)
(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)
(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72)
obtained.
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
(cid:51)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:14)(cid:37)(cid:88)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:68)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:102)
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:23)(cid:16)(cid:22)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:24)(cid:16)(cid:19)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Preface to the Second Edition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
I Banach Algebras
1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Commutative Banach algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Approximate point spectrum in commutative Banach algebras. . . 26
4 Permanently singular elements and removability of spectrum . . . 34
5 Non-removable ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Axiomatic theory of spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7 Spectral systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Basic spectral systems in Banach algebras . . . . . . . . . . . . . . 68
Comments on Chapter I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
II Operators
9 Spectrum of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10 Operators with closed range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11 Factorization of vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . 106
12 Kato operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13 General inverses and Saphar operators . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14 Local spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Comments on Chapter II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
IIIEssential Spectrum
15 Compact operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
16 Fredholm and semi-Fredholm operators . . . . . . . . . . . . . . . 155
17 Construction of Sadovskii/Buoni, Harte, Wickstead . . . . . . . . . 164
18 Perturbation properties of Fredholm
and semi-Fredholm operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
19 Essential spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
20 Ascent, descent and Browder operators. . . . . . . . . . . . . . . . 178
vi Contents
21 Essentially Kato operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
22 Classes of operators defined by means of kernels and ranges . . . . 197
23 Semiregularities and miscellaneous spectra . . . . . . . . . . . . . . 211
24 Measures of non-compactness and other operator quantities . . . . 220
Comments on Chapter III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
IV Taylor Spectrum
25 Basic properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
26 Split spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
27 Some non-linear results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
28 Taylor functional calculus for the split spectrum . . . . . . . . . . 260
29 Local spectrum for n-tuples of operators . . . . . . . . . . . . . . . 266
30 Taylor functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
31 Taylor functional calculus in Banach algebras . . . . . . . . . . . . 283
32 k-regular functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
33 Stability of index of complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
34 Essential Taylor spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Comments on Chapter IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
V Orbits and Capacity
35 Joint spectral radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
36 Capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
37 Invariant subset problem and large orbits . . . . . . . . . . . . . . 327
38 Hypercyclic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
39 Weak orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
40 Scott Brown technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
41 Kaplansky’s type theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
42 Polynomial orbits and local capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Comments on Chapter V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
A.1 Banach spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
A.2 Analytic vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
A.3 C∞-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
A.4 Semicontinuous set-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
A.5 Some geometric properties of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . 404
A.6 Basic properties of H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
Preface
Spectraltheoryisanimportantpartoffunctionalanalysis.Ithasnumerousappli-
cations in many parts of mathematics and physics including matrix theory, func-
tion theory, complex analysis, differential and integral equations, control theory
and quantum physics.
In recent years, spectral theory has witnessed an explosive development.
There are many types of spectra, both for one or several commuting operators,
withimportantapplications,forexamplethe approximatepointspectrum, Taylor
spectrum, local spectrum, essential spectrum, etc.
The present monograph is an attempt to organize the available material
mostof which exists only in the form ofresearchpapers scatteredthroughoutthe
literature. The aim is to present a survey of results concerning various types of
spectra in a unified, axiomatic way.
Thecentralunifyingnotionisthatofaregularity,whichinaBanachalgebra
isasubsetofelementsthatareconsideredtobe“nice”.AregularityRinaBanach
algebra A defines the corresponding spectrum σ (a) = {λ ∈ C : a−λ ∈/ R} in
R
thesamewayasthe ordinaryspectrumisdefinedbymeansofinvertibleelements,
σ(a)={λ∈C:a−λ∈/ Inv(A)}.
Axioms ofa regularityare chosenin sucha waythat there are many natural
interesting classes satisfying them. At the same time they are strong enough for
non-trivial consequences, for example the spectral mapping theorem.
Spectraofn-tuplesofcommutingelementsofaBanachalgebraaredescribed
similarly by means of a notion of joint regularity.This notion is closely related to
the axiomatic spectral theory of Z˙elazko and S(cid:2)lodkowski.
The book is organized in five chapters. The first chapter contains spectral
theory in Banach algebras which form a natural frame for spectral theory of op-
erators.
In the second chapter the spectral theory of Banach algebras is applied to
operators.Of particular interestare regularfunctions – operator-valuedfunctions
whose ranges (kernels) behave continuously. Applied to the function z (cid:2)→ T −z
whereT isafixedoperator,thisgivesrisetotheimportantclassofKatooperators
andthecorrespondingKatospectrum(studiedintheliteratureundermanynames,
e.g., semi-regular operators, Apostol spectrum etc.).
viii Preface
The thirdchaptergivesasurveyofresultsconcerningvarioustypesofessen-
tial spectra, Fredholm and Browder operators etc.
The next chapter concentrates on the Taylor spectrum, which is by many
experts considered to be the proper generalization of the ordinary spectrum of
singleoperators.ThemostimportantpropertyoftheTaylorspectrumis the exis-
tence of the functional calculus for functions analytic on a neighbourhood of the
Taylorspectrum.We presentthe Taylorfunctionalcalculusinanelementaryway,
without the use of sheaf theory or cohomologicalmethods.
Further we generalize the concept of regular functions. We introduce and
study operator-valued functions that admit finite-dimensional discontinuities of
the kernel and range. This is closely related with stability results for the index of
complexes of Banach spaces.
The last chapter is concentrated on the study of orbits of operators. By
an orbit of an operator T we mean a sequence {Tnx : n = 0,1,...} where x
is a fixed vector. Similarly, a weak orbit is a sequence of the form {(cid:4)Tnx,x∗(cid:5) :
n = 0,1,...} where x ∈ X and x∗ ∈ X∗ are fixed, and a polynomial orbit
is a set {p(T)x : p polynomial}. These notions, which originated in the theory
of dynamical systems, are closely related to the invariant subspace problem. We
investigate these notions by means of the essential approximate point spectrum.
Allresultsarepresentedinanelementaryway.Weassumeonlyabasicknowl-
edgeoffunctionalanalysis,topologyandcomplexanalysis.Moreover,basicnotions
and results from the theory of Banach spaces, analytic and smooth vector-valued
functions and semi-continuous set-valued functions are given in the Appendix.
The author would like to express his gratitude to many experts in the field
whoinfluenced him invariousways.In particular,hewouldliketo thank V. Pta´k
for his earlier guidance and later interest in the subject, and A. Sol(cid:2)tysiak and
J.Zema´nekwhoreadpartsofthemanuscriptandmadevariouscomments.Theau-
thoris further indebted to V. Kordula,W.Z˙elazko,M.Mbekhta, F.-H.Vasilescu,
C. Ambrozie, E. Albrecht, F. Leon and many others for cooperation and useful
discussionsoverthe years.Finally,the authorwouldlike to acknowledgethat this
book was written while he was partially supported by grant No. 201/00/0208 of
the Grant Agency of the Czech Republic.
Prague V. M.
November 2001
Preface to the Second Edition
Since this book was written several years ago, further progress has been made in
somepartsofthetheory.Iusetheopportunitytoinclude someofthenewresults,
improvetheargumentsinotherplaces,andalsotocorrectsomeunfortunateerrors
and misprints that appeared in the first edition.
My sincere thanks are due to A. So(cid:2)ltysiak, J. Braˇciˇc and J. Vrˇsovsky´ who
contributed to the improvement of the text. The work was supported by grant
No. 201/06/0128of GA CˇR.
Prague V. M.
April 2007