Spectral series of the Schr\"odinger operator with delta-potential on a three-dimensional spherically symmetric manifold

0.49 MB·

by  Tudor S. Ratiu

Спектральные серии оператора Шредингера с
дельта-потенциалом на трехмерном
сферически симметричном многообразии∗.
7
1
0
2 Тудор С. Ратью, А.А. Сулейманова, А.И. Шафаревич

n
a
J

6 Аннотация

The spectral series of the Schrцdinger operator with a delta-potential
]
h on a three-dimensional compact spherically symmetric manifold in the
p semiclassical limit as h→0 are described.
-
h
t 1. Введение
a
m
[ Исследованию операторов Шрёдингера с дельта-потенциалами (точечны-
ми потенциалами, потенциалами нулевого радиуса) посвящено много фи-
1
зических и математических работ. Модель точечных потенциалов может
v
использоваться для описания короткодействующих примесей, дефектов и
9
5 подобных явлений в различных системах. Одной из первых работ, в кото-
7 рых потенциалы нулевого радиуса применялись для исследования зонного
1 спектра периодических систем, является статья [32], где рассматривалась
0
модель нерелятивистского электрона, движущегося в жесткой кристалли-
.
1 ческой решетке. С тех пор модель приобрела значительную популярность,
0
особенноватомнойиядернойфизике(см.,например,[22],[29],[7],[26],[27],
7
[28], [31], [33], [9]).
1
: Строгое математическое обоснование метода дельта-потенциалов было
v
дано в работе [3], где было предложено использовать формулу М.Г. Крей-
i
X на для описания резольвент операторов с точечными возмущениями. Об-
r ширная библиография работ, посвящённых применениям метода точечных
a потенциалов содержится в монографиях [20], [21]. В работах [23], [24], [25],
[12] на основе теории расширений изучались спектральные свойства опера-
торов с дельта-потенциалами и близких к ним операторов на сингулярных
пространствах.
∗Работа выполнена на при поддержке гранта правительства РФ для господдерж-
ки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых, в ФГБОУ
ВПО “Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова” по договору
N 11G.34.31.0054, а также грантов РФФИ 11-01-00937-а, 13-01-00664, программы под-
держки ведущих научных школ (грант НШ-3224.2010.1) и гранта поддержки молодых
ученых“Мойпервыйгрант"12-01-31235.
1
В данной работе описаны спектральные серии оператора Шредингера
с дельта-потенциалом вида H = −h2∆+αδ (x),α ∈ R в квазиклассиче-
2 x0
ском пределе h → 0 на трехмерной компактной поверхности, обладающей
сферической симметрией. Для широкого класса уравнений с гладкими ко-
эффициентами квазиклассическая теория развита в работах В.П. Маслова
(см.,например, [13], [14]); в частности, из них вытекает следующий резуль-
тат. Пусть N — риманово многообразие и V : N → R — гладкая функ-
ция (потенциал). Если гамильтонова система в T∗N, задаваемая гамиль-
тонианом 1|p|2 +V вполне интегрируема, то соответствующие лиувилле-
2
вы торы Λ определяют квазиклассические спектральные серии оператора
H =−h2∆+V(x) (здесь x∈N, (x,p) – стандартные координаты на T∗N).
2
Именно: асимптотика при h→0 собственных чисел оператора H вычисля-
ется из условий квантования Бора — Зоммерфельда — Маслова
1 (cid:90) 1
(p,dx)+ µ(γ)=m∈Z, (1)
2πh 4
γ
где γ — произвольный цикл на Λ, µ – индекс Маслова, m = O(1/h). Фор-
мальная асимптотика собственных функций (квазимоды) имеет вид ψ =
K (1), где K — канонический оператор Маслова на торе Λ, удовлетворя-
Λ Λ
ющем условию квантования.
К операторам с дельта-потенциалами конструкция канонического опе-
ратора, вообще говоря, неприменима; геометрия соответствующей класси-
ческой задачи к настоящему времени остается мало исследованной. Ниже
описаны инвариантные лагранжевы многообразия, соответствующие спек-
тральным сериям указанного оператора с дельта-потенциалом и получены
условия квантования, определяющие асимптотику собственных значений.
Эти условия, вообще говоря, нестандартны; при больших или малых зна-
чениях коэффициента α они переходят в равенства вида (1), но с разны-
ми значениями индекса Маслова µ — возможно, это указывает на наличие
более сложных геометрических объектов, связанных с квазиклассической
теорией операторов с сингулярными коэффициентами. Работа представля-
ет собой продолжение работ [18], [16]; в них аналогичная задача изучалась
для стандартной сферы (в этом случае спектр вычисляется точно) и для
двумерной поверхности вращения.
2. Постановка задачи.
2.1. Спектральная задача.
Будем рассматривать спектральную задачу
(cid:18) h2 (cid:19)
− ∆+αδ (x)) Ψ=EΨ, x∈N, α∈R, (2)
2 x0
2
где δ (x) - дельта-функция Дирака, сосредоточенная в точке x , в квази-
x0 0
классическом пределе h→0 на трехмерном многообразии в R4
N =(f(z)cosθcosϕ,f(z)cosθsinϕ,f(z)sinθ,z),
где z ∈[z ,z ], 0≤ϕ≤2π, −π ≤θ ≤ π. Относительно функции f(z) будем
0 1 2 2
предполагать следующее.
1. f(z )=f(z )=0, f(z)>0 при z ∈(z ,z );
0 1 0 1
(cid:112)
2. f(z)= (z −z)(z−z )ω(z), где ω(z) — многочлен.
1 0
ПриэтихусловияхповерхностьN —аналитическоемногообразие,диф-
феоморфное трехмерной сфере; точки x ,x , соответствующие значениям
0 1
параметра z = z ,z — полюса этой поверхности (в одном из них сосредо-
0 1
точена дельта-функция).
Замечание 1. Условие 2 можно ослабить — по-видимому, достаточно
требовать аналитичность f в некоторой окрестности отрезка [z ,z ],
0 1
за исключением точек z ,z , в которых f имеет корневую особенность.
0 1
Нижеприведеноформальноеопределениеоператорасδ-потенциаломна
поверхности N.
2.2. Формальное определение оператора H.
Оператор
h2
H =− ∆+αδ (x), x∈N, α∈R (3)
2 x0
впространствеL (N)определяетсяспомощьюконструкциисамосопряжен-
2
ныхрасширений(см.[3]).Именно:H строитсятакимобразом,чтобывыпол-
нялись следующие требования.
1. Оператор H самосопряжен.
2. Нафункциях,обращающихсявнольвточкеx ,H совпадаетсопера-
0
тором H =−h2∆, где ∆ — оператор Лапласа — Бельтрами.
0 2
Точнее: рассмотрим самосопряженный оператор H с областью опре-
0
деления D(H ) = W2(N), где W2(N) — второе пространство Соболева.
0 2 2
Ограничим действие оператора H на функции ψ(x), такие что ψ(x ) = 0;
0 0
получим симметрический оператор H | .
0 ψ(x0)=0
Определение 1. Оператором H = −h2∆+αδ (x) называется самосо-
2 x0
пряженное расширение оператора H | .
0 ψ(x0)=0
Замечание2. Всетакиерасширенияпараметризуютсяоднимвеществен-
ным параметром α, который естественно трактовать как коэффициент
при δ-потенциале в (3) (в частности, при α=0 получаем H =H ).
0
3
Каждое расширение задается граничными условием в точке x ; точнее,
0
область определения оператора H состоит из функций следующего вида
ψ =ψ +c G(x,x ;i)+с G(x,x ,−i),
0 1 0 2 0
где ψ ∈ W2(N), ψ (x ) = 0, G(x,y,λ) — функция Грина оператора ∆, т.е.
0 2 0 0
интегральное ядро резольвенты:
(cid:90)
(∆−λ)−1f = G(x,y;z)f(y)Ω
M
(Ω — форма объема на N).
В точке x функции указанного вида имеют особенность; именно, спра-
0
ведливо следующее разложение
a
ψ(x)=− d(x,x )−1+b+o(1), (4)
4π 0
где a,b ∈ C,d(x,x ) — геодезическое расстояние между x и x на N. Об-
0 0
ласть определения расширения H, соответствующего параметру α, состоит
из функций, удовлетворяющих граничному условию
2α
a= b. (5)
h2
3. Формулировка результата.
3.1. Описание лагранжева многообразия.
Квазиклассическая асимптотика собственных чисел оператора H вычисля-
ется из условия квантования на лагранжевом многообразии, которое мы
сейчас опишем. Пусть (x,p)∈T∗N, где T∗N — кокасательное расслоение к
N, x ∈ N, p — кокасательный вектор к N (импульс). Рассмотрим гамиль-
тонову систему (геодезический поток)

∂H
x˙ = ∂p;
(6)
∂H
p˙ =− ,
∂x
где H= |p|2, и ее траектории
2
(cid:40)
x=X(ω,t);
p=P(ω,t), ω ∈S√2 , t∈R,
2E
заданные начальными условиями
(cid:40)
x(0)=x ;
0
√ (7)
p(0)=ω, ω ∈S√2 , |ω|= 2E.
2E
4
√
Здесь S√2 —- двумерная сфера радиуса 2E в кокасательном простран-
2E
ствевточкеx .Такимобразом,източкиx (вкоторойсосредоточендельта-
0 0
потенциал)поповерхностиN симпульсом,"бегающим"посфереS√2 (т.е.
√ 2E
p ∈ Λ , где Λ = {x = x ,|p| = 2E}), выпускаются траектории гамиль-
0 0 0
(cid:83)
тоновой системы. Эти траектории лежат на многообразии Λ = g Λ (g
t t 0 t
— гамильтонов фазовый поток), диффеоморфном S2×S1 (см. Рис. 1); оно
описывает классические движения, соответствующие данной квантовой за-
даче. Проекции траекторий на N — геодезические.
Рис. 1: Лагранжево многообразие, соответствующее задаче (2).
На многообразии Λ имеется один базисный цикл γ, интегралы по нему
и дают вклад в спектр. В качестве этого цикла можно взять замкнутую
траекторию гамильтоновой системы (6) с начальными условиями (7) (см.
Рис. 2).
ПроекцияΛнаx-пространствоустроеноследующимобразом:вкаждую
точкуN,кромеx иx ,проецируетсядветочкимногообразияΛвида(x,p)
0 1
и (x,−p). В каждую из точек x и x проецируется двумерная сфера.
0 1
3.2. Формулировка результата: условие квантования.
Условие квантования на многообразии Λ по циклу γ и есть искомое урав-
нение на спектр задачи; точнее, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть Ch−(cid:15) < α < Ch(cid:15) для некоторого достаточно малого
h3
(cid:15). Пусть существует число E =O(1), удовлетворяющее условию кванто-
вания
1 (cid:73) 2h3
tan( (p,dx)+O(h))= √ ,
2h 2Eα
γ
5
Рис.2:КлассическиетраекториинаповерхностиN,соответствующиекван-
товой задаче (2).
где γ — указанный выше цикл (замкнутая траектория) на лагранжевом
многообразииΛ.ТогдасуществуетсобственноезначениеE оператораH,
0
такое что |E−E |=o(h), при h→0.
0
Замечание 3. Явный аналитический вид условия квантования таков
1 (cid:90) z1(cid:112) 2h3
tan( 2E(f(cid:48)2+1)dz+O(h))= √
h 2Eα
z0
Замечание 4. Асимптотика собственной функции вне сколь угодно ма-
лой не зависящей от h окрестности точки x имеет вид K (1), где K —
0 Λ˜
канонический оператор Маслова, а Λ˜ — некомпактное лагранжево много-
образие, полученное из Λ выбрасыванием двумерной сферы, проецирующей-
ся в точку x (это многообразие, очевидно, гомеоморфно цилиндру S2×R.
0
3.3. Скачок индекса Маслова.
Рассмотрим предельные случаи условия квантования, описанного в теоре-
ме.Пусть α →0,тогдаусловияквантованияпринимаютстандартныйвид
h3
1 (cid:73) 1
(p,dx)=k+
2πh 2
γ
6
(отметим, что индекс Маслова цикла γ равен двум). Пусть теперь α →∞;
h3
тогда имеем
1 (cid:73)
(p,dx)=k.
2πh
γ
ЭторавенствотакжеимеетвидусловияБора—Зоммерфельда—Маслова;
однаковэтомслучае“индексМаслова” циклаγ оказываетсяравнымнулю.
Такимобразом,припереходечерезкритическоезначениеα=O(h3)проис-
ходит скачок целочисленного инварианта, совпадающего в случае гладкого
потенциала с индексом Маслова: наличие дельта-функции приводит к его
изменению на 2. Возможно, это указывает на существование некоторой то-
пологической конструкции (пока нам неясной), обобщающей канонический
оператор Маслова на случай сингулярных коэффициентов.
Замечание 5. Теорема остается справедливой и без сформулированного
ограничения на α. Однако вне указанного диапазона условие квантования
всегда имеет вид правила Бора — Зоммерфельда — Маслова; кроме то-
го, при доказательстве теоремы может, вообще говоря, потребоваться
построение нескольких поправок к асимптотике (соответствующая про-
цедурааналогичнаописаннойниже),причемколичествопоправокзависит
от порядка отношения α/h3.
Остальная часть работы посвящена доказательству теоремы 1.
4. Доказательство теоремы 1.
4.1. Разделение переменных.
Асимптотическое решение задачи
Hψ(x)=Eψ(x)+o(h) (8)
строим в виде
ψ(x)=e ψ (x)+e ψ (x), (9)
1 1 2 2
гдеe ,e —разбиениеединицыe +e =1,причемносительфункцииψ (x)
1 2 1 2 1
лежит вблизи x , носитель функции ψ (x) вне x . В точках пересечения
0 2 0
носителей функции должны совпадать modo(h).
Метрика на поверхности вращения N имеет вид
f(cid:48)2(z)+1 0 0 
√ (cid:112)
gij = 0 f2(z) 0 , g =f2(z) f(cid:48)2(z)+1 cosθ.
0 0 cos2θf2(z)
Оператор Лапласа в координатах записывается следующим образом
1 ∂ f2(z) ∂ 1
∆= + ∆ ,
f2(z)(cid:112)f(cid:48)2(z)+1∂z(cid:112)f(cid:48)2(z)+1∂z f2(z) 0
7
где ∆ — оператор Лапласа на двумерной сфере:
0
(cid:18) (cid:19)
1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂
∆ = cosθ + .
0 cosθ ∂θ ∂θ ∂ϕcosϕ∂ϕ
Будем искать решение (9) в виде ψ = u(z)Y, где −∆ Y = m(m+1)Y.
0
После подстановки уравнение (8) будет выглядеть так
(cid:18)2f(cid:48)(z) f(cid:48)(z)f(cid:48)(cid:48)(z)(cid:19) (cid:18)2E m(m+1)(cid:19)
u(cid:48)(cid:48)(z)+ − u(cid:48)(z)+(f(cid:48)2(z)+1) − u(z)=0.
f(z) f(cid:48)2(z)+1 h2 f2(z)
(10)
4.2. Структура решений в окрестности особых точек.
В уравнении (10) две регулярных особых точки: z и z . Выясним локаль-
0 1
ную структуру решений в окрестности этих точек; пусть, для определен-
√
ности, z → z . Подставим разложение f(z) = z−z (cid:80)∞ a (z −z )j в
0 0 j=0 j 0
уравнение (10) и учтем только члены порядка (z−z )−1. Получим
0
2 a2 (cid:18)2E m(m+1)(cid:19)
u(cid:48)(cid:48)(z)− u(cid:48)(z)+ 0 − u(z)=0. (11)
z −z 4(z −z) h2 a2(z −z)
0 0 0 0
Для вычисления характеристических показателей (см., например, [17]),
подставим в уравнение (11)
u(z)=(z−z )ρr(z),
0
гдеr(z)=(cid:80)∞ r (z−z )k.Приравняемкнулюкоэфициентпри(z−z )ρ−2,
k=0 k 0 0
получим
m(m+1)
ρ(ρ−1)+2ρ− =0,
4
√
−1± 1+m(m+1)
то есть ρ= , и, пользуясь [17], получаем, что (10) имеет два
2
линейно независимых решения следующего вида
(cid:40)
R (z)=(z−z )ρ1ϕ (z);
1 0 1
R (z)=(z−z )ρ2ϕ (z),
2 0 2
где ϕ (z),ϕ (z) голоморфны в окрестности z .
1 2 0
Нам нужно найти решение (10), аналитическое в окрестности точки z
1
и имеющее особенность вида (z−z )−1 в окрестности точки z . Ясно, что
0 0
такиерешениясуществуютлишьприm=0;этимслучаеммывдальнейшем
и ограничимся. В этом случае имеем
(cid:40)
R (z)=ϕ (z);
1 1
R (z)=(z−z )−1ϕ (z).
2 0 2
В окрестности точки z решения устроены аналогично.
1
8
Замечание 6. Если m (cid:54)= 0, уравнение (10) допускает решения, обращаю-
щиесявнульвточкеz .Такоерешениеопределяетсобственнуюфункцию
0
оператора Лапласа — Бельтрами (без дельта-потенциала); асимптотика
в этом случае строится по стандартной схеме [14]
4.3. Эталонное уравнение в окрестности z .
0
Согласноформуледлядлиныкривойнаповерхности,заданнойпараметри-
чески, d(z,z )=(cid:82)z0(cid:112)f(cid:48)2(z)+1 dz,z ∈(z ,z ), причем
0 z 1 0
(cid:112)
d(z,z )∼(z −z) f(cid:48)2(z)+1
0 0
вблизи z .
0
Исследуем фундаментальную систему решений уравнения (11), учиты-
вая, что m=0:
2 a2 2E
P(cid:48)(cid:48)(z)− P(cid:48)(z)+ 0 P(z)=0. (12)
z −z 4(z −z) h2
0 0
√ √
Сделаем замену t = a0h2E z0−z, тогда уравнение (12) принимает такой
вид
3
P (t)+ P (t)+P(t)=0. (13)
tt t t
Этоуравнение—уравнениеБесселя(см.,например,[2]),егорешениевблизи
точки z представляет собой линейную комбинацию функции Бесселя и
0
функции Неймана первого порядка, умноженных на степень аргумента, а
именно
P(t)=At−1N (t)+Bt−1C (t) (14)
1 1
Эти функции мы будем использовать при построении асимптотики ре-
шения уравнения (10) в окрестности точки z .
0
4.4. Асимптотика решения в окрестности точки z . Пе-
0
ременная Лангера.
Теперь рассмотрим общий вид уравнения (10)
(cid:18)2f(cid:48)(z) f(cid:48)(z)f(cid:48)(cid:48)(z)(cid:19) 2E
u(cid:48)(cid:48)(z)+f(cid:48)(z) − u(cid:48)(z)+(f(cid:48)2(z)+1) u(z)=0. (15)
f(z) f(cid:48)2(z)+1 h2
Это—уравнениесдвумярегулярнымиособымиточкамиz иz .Дляудоб-
0 1
ства обозначим
(cid:18)2f(cid:48)(z) f(cid:48)(z)f(cid:48)(cid:48)(z)(cid:19)
p(z)=(z−z ) − , (16)
0 f(z) f(cid:48)2(z)+1
q(z)=(z−z )(f(cid:48)2(z)+1), (17)
0
9
тогда уравнение (15) примет вид
2E
(z−z )u(cid:48)(cid:48)(z)+p(z)u(cid:48)(z)+q(z) u(z)=0, (18)
0 h2
где p(z),q(z) аналитические функции при z →z .
0
Пользуясь методом Лангера-Вазова, асимптотическое решение уравне-
ния (18) будем искать в виде
u(z)=F(τ)+..., (19)
гдеτ = S(z) —переменнаяЛангера,S(z)—неизвестнаяфункция,аналити-
h2
ческая в окрестности точки z . Функции F, S выберем так, чтобы u имела
0
особенность нужного вида в точке z . Подставим (19) в (18), получим
0
p(z)S(z) 2ES(z)q(z) S(cid:48)(cid:48)S
τF + F + F + F +···=0 (20)
ττ S(cid:48)(z)(z−z ) τ S(cid:48)2(z)(z−z ) (S(cid:48))2 τ
0 0
Поскольку S = h2τ, последнее слагаемое мало (оценка получена ниже);
отбрасывая его и обозначая
S(z) (cid:18)2f(cid:48)(z) f(cid:48)(z)f(cid:48)(cid:48)(z)(cid:19)
n(z)= − , (21)
S(cid:48)(z) f(z) f(cid:48)2(z)+1
2ES(z)
k(z)= (f(cid:48)2(z)+1), (22)
S(cid:48)2(z)
приведем уравнение (20) к виду
τF +n(z)F +k(z)F =0. (23)
ττ τ
Произвольное решение уравнения (20) — это линейная комбинация следу-
ющих функций
1−n(z) (cid:112)
F1 =τ 2 Nn(z)−1(2 k(z)τ), (24)
1−n(z) (cid:112)
F2 =τ 2 Cn(z)−1(2 k(z)τ), (25)
где N (t) – функция Неймана, C (t) - функция Бесселя порядка ν (см.,
ν ν
например,[2]).
Для того, чтобы функция F зависела только от τ, величины k(z) и n(z)
должны быть константами. Можно считать, что k(z) = 1; это равенство
приводит к уравнению Гамильтона — Якоби
2ES(z)
(f(cid:48)2(z)+1)=1.
S(cid:48)2(z)
Отсюда находим S(z)
(cid:18)1(cid:90) z(cid:112) (cid:19)2
S(z)= 2E(f(cid:48)2(z)+1)dz ;
2
z0
10