Spectral and evolution problems. Proceedings 12th Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-XII). v. 12

226 Pages·2002·2.048 MB·English

by  Kopachevsky N.D., Orlov I.V. (eds.)

Spectral and Evolution Problems
Vol. 12
Editors:
N. D. Kopachevsky, I. V. Orlov
National Taurida V.Vernadsky University
Simferopol, Ukraine
Editorial Board:
N. D. Kopachevsky (editor-in-chief, Simferopol, Ukraine)
A. B. Antonevich (Minsk, Belarus)
T. Ya. Azizov (Voronezh, Russia)
Yu. V. Bogdansky (Kiev, Ukraine)
A. A. Chikrii (Kiev, Ukraine)
M. L. Gorbachuk (Kiev, Ukraine)
M. M. Malamud (Donetsk, Ukraine)
I. V. Orlov (associate editor, Simferopol, Ukraine)
Ya. A. Roitberg (Chernigov, Ukraine)
A. G. Rutkas (Kharkov, Ukraine)
Yu. S. Samo˘ılenko (associate editor, Kiev, Ukraine)
A. L. Skubachevskii (Moscow, Russia)
Advisory Editorial Board:
M. S. Agranovich (Moscow, Russia)
K. I. Chernyshov (Voronezh, Russia)
V. A. Derkach (Donetsk, Ukraine)
Yoshinori Kametaka (Osaka, Japan)
V. I. Ovchinnikov (Voronezh, Russia)
S. N. Samborsky (Caen, France)
L. R. Volevich (Moscow, Russia)
V. I. Zhukovskiy (Moscow, Russia)
Editorial Group:
I. V. Orlov (Simferopol, Ukraine)
P. A. Starkov (Simferopol, Ukraine)
Simferopol, Ukraine
Taurida National V.Vernadsky University
Black Sea Branch of Moscow State University
Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS
Crimean Academy of Sciences
Crimean Mathematical Foundation
SPECTRAL AND EVOLUTION
PROBLEMS
Proceedings of the Twelfth Crimean Autumn
Mathematical School-Symposium
(KROMSH-XII)
September 18 – 29, 2001, Sevastopol, Laspi
Volume 12
Simferopol, 2002
UDC 517.432+517.515+515.958
Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Twelfth Crimean Autumn
Mathematical School-Symposium. Vol. 12. /Group of authors. — Simferopol: Taurida
National V. Vernadsky University, Black Sea Branch of Moscow State University, Crimean
Scientific Center of Ukrainian NAS, Crimean Academy of Sciences, Crimean Mathematical
Foundation, 2002. — 226 pp. — in English and Russian.
This collection contains accounts of lectures and papers of the participants of the Twelfth
Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, which was held by the Crimean Mathe-
matical Foundation. The materials of the Symposium are devoted to the actual mathematical
investigations in the field of spectral and evolutionary problems, and to the close questions.
It is addressed to teachers, scientists, senior and post-graduated students of mathematical
and physical specialities.
c Taurida National V.Vernadsky University
°
Black Sea Branch of Moscow State University
Crimean Scientific Center of Ukrainian NAS
Crimean Academy of Sciences
Crimean Mathematical Foundation, 2002.
Please visit our site in the World Wide Web: tnu.crimea.ua/konf/kromsh
iii
PREFACE
TheXIICrimeanAutumnMathematicalSchool-SymposiumonSpectralandEvolutionProb-
lems was held in a settlement Laspi, on the beautiful cove Batiliman shore on the territory of
“Tchaika"holiday home. The school was working from September 18 till 29, 2001.
At the School 70-th anniversary of the well known mathematicians M.S. Agranovich and
O.A. Ziza were celebrated.
Just as in previous years Organizing Committee was led by the Head of the De-
partment of Mathematical Analysis of National Taurida V.Vernadsky University Professor
N. D. Kopachevsky. The school has been organized and held with the participation of local
organizing committee members, workers of the above-mentioned Department: B. D. Maryanin,
M. A. Muratov, I. V. Orlov, Ju. S. Pashkova, S. I. Smirnova, P. A. Starkov.
About 130 mathematicians from Ukraine, Russia, Belarus, Armenia, Japan, France, Poland
and Israel took part in the Symposium. Among them there were both famous mathematicians
and young scientists, post-graduate students, senior students.
At the School there were presented three sections.
Section 1. Spectral Problems.
Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators (chair persons
A. B. Antonevich (Minsk), M. M. Malamud (Donetsk), V. I. Ovchinnikov (Voronezh),
V. S. Shulman (Vologda).
Subsection 1.2. Spectral Theory of Operator Pencils (chair persons
N. D. Kopachevsky (Simferopol), K. I. Chernyshov (Voronezh), V. S. Rykhlov
(Saratov)).
Section 2. Evolutionary and Boundary-Value Problems.
Subsection 2.1. Differential-Operator and Evolutionary Equations (chair persons
V. S. Melnik (Kiyv), S. N. Samborsky (Caen, France)).
Subsection 2.2.Boundary-Value Problems (chairpersonsM.S.Agranovich(Moscow),
L. R. Volevich (Moscow), A. L. Skubachevsky (Moscow), Yoshinori Kametaka (Osaka,
Japan)).
Section 3. Optimization, Control, Games and Economic Behavior (chair persons
I. M. Anan’evsky (Moscow), M. V. Mikhalevich (Kiyv), M. I. Zelikin (Moscow).
Adduce here the list of the lectures delivered for the school participants:
1. Агранович М. С. (Москва, Россия)
а) Спектральные задачи для уравнений типа Шредингера
б) Спектральные задачи для системы Дирака
2. Антоневич А. Б. (Минск, Белоруссия)
а) Однородные С*-алгебры
б) Динамика линейного отображения на многообразии Грассмана
3. Ананьевский И. М. (Москва, Россия) Кусочно-линейные управления механическими
системами в условиях неопределённости
4. Введенская Н. Д. (Москва, Россия) Некоторые нелинейные дифференциальные
уравнения, встречающиеся в теории связи
5. Волевич Л. Р. (Москва, Россия)
а) Краевые задачи с малым параметром при старшей производной (к 80-летию Вишика
М. И.)
б) Многоугольник Ньютона и общие параболические системы (к 70-летию Аграновича
М. С.)
6. Зеликин М. И. (Москва, Россия) Оптимальное управление для гельдеровых задач
7. Kametaka Yoshinori (Osaka, Japan)
iv
a) Positivity and hierarchy of Green’s functions for boundary value problems for deflection
of a beam
б) Green’s function for biharmonic operator on a disk
8. Kosiek Marek (Krakow, Poland) Common invariant subspace for commuting contractions
9. Кругляк С. А., Самойленко Ю. С. (Киев, Украина) Теория представлений и спектр
суммы операторов
10. Лаптев Г. И. (Тула, Россия) Предельные монотонные операторы и приложения
11. Лебедев А. В. (Минск, Белоруссия) Банаховы алгебры, ассоциированные с
автоморфизмами. Структурные результаты
12. Маламуд М. М. (Донецк, Украина) Об индексах дефекта и самосопряжённости
оператора Штурма-Лиувилля (к 70-летию Аграновича М. С.)
13. Мельник В. С. (Киев, Украина)
а) Неравенство Ки Фаня и операторные включения в банаховых пространствах
б) Многозначные динамические процессы в бесконечномерных пространствах
14. Михалевич М. В. (Киев, Украина) Макроэкономическая модель системы с
моноксоническим рынком труда
15. Овчинников В. И. (Воронеж, Россия) Описание интерполяционных орбит в
произвольных парах пространств Lp
16. Печенцов А. С. (Москва, Россия) Регуляризованные следы дифференциальных
операторов
17. Пивоваров В. Г. (Мурманск, Россия)
а) Вывод преобразований Лоренца без использования постулата о постоянстве скорости
света
б) Математические аспекты падения тунгусского метеорита
18. Попов А. Ю. (Москва, Россия) Нули функции Миттаг-Леффлера и обратные задачи
19. Рыхлов В. С. (Саратов, Россия) О полноте системы собственных функций
обыкновенных дифференциальных пучков
20. Рябенький В. Ф. (Москва, Россия) Метод разностных потенциалов...
21. Самборский С. Н. (Москва, Россия-Франция) Расширение нелинейных
дифференциальных выражений
22.СеровВ.С.(Москва,Россия)Восстановлениесингулярныхпотенциаловвдвумерном
операторе Шредингера. Борн-аппроксимация
23. Скубачевский А. Л. (Москва, Россия) О периодических решениях нелинейных
функционально-дифференциальных уравнений
24. Товмасян Н. Е. (Ереван, Армения) Граничные задачи для эллиптических уравнений
в круге
25. Хацкевич В. А. (Кармиэль, Израиль) Функциональные уравнения типа Абеля-
Шредера
26. Хромов А. П. (Саратов, Россия) Теоремы равносходимости для интегральных
операторов
27. Чернышов К. И. (Воронеж, Россия) Эргодические подпространства и аналитические
полугруппы
28. Шульман В. С. (Вологда, Россия) О решётках проекторов в гильбертовом
пространстве
29. Новокшенов В.Ю. (Уфа, Россия) Метод задачи Римана для DM-солитонов в
нелинейном уравнении Шредингера
30. Хапаев М.М. (Москва, Россия) Эволюция солитонов
31. Басов В.В. (С.-Петербург, Россия) Обобщенная нормальная форма и формальная
эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевыми характеристическими
числами
v
32. Нецветаев Н.Ю. (С.-Петербург, Россия) Топологическое строение комплексных
многообразий с изолированными особенностями
33. Котляров В.П. (Харьков, Украина) Нелинейное уравнение Шредингера на всей оси
и на полуоси
34. Власов В.В. (Москва, Россия) О некоторых спектральных задачах, возникающих в
теории функционально-дифференциальных уравнений
Most of the school participants made their rerports on the section meetings.
Exchange of scientific information did not keep within formal limits and favored the devel-
opment and strengthening of scientific contacts of the school participants. At the School there
was presented a cycle of lectures by V. G. Kopachevskaja devoted to the Crimea.
Bothmaterialsofdeliveredlecturesandreports,andpaperssenttotheeditorialboard,which
were not formally reported during the School because of different reasons, are represented in
the present collection.
_
Section 1
SPECTRAL PROBLEMS
Subsection 1.1
Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators
_
Subsection 1.1. Spectral Theory of Not Self-Adjoint Operators 3
Спектральный анализ степеней оператора
x
(V f)(x) = q(x) w(t)f(t)dt
0
ДомановRИ. Ю.
Донецкий Национальный Университет,
Украина
Keywords: Invariant subspace, cyclic subspace,similarity
1.Введение.Хорошо известно (см. [1], [3]), что оператор интегрирования определенный
x
на L [0,1] соотношением J : f f(t)dt является одноклеточным при p [1, ) и его
p → 0 ∈ ∞
решетка инвариантных подпространств антиизоморфна сегменту [0,1]. То же оказывается
R
верным (см. [1], [3]) и для простейших вольтерровых операторов
x
(x t)α 1
Jα : f − − f(t)dt, α > 0
→ Γ(α)
Z
0
являющихся комплексными степенями оператора интегрирования J.
Более того, соответствующие решетки инвариантных и гиперинвариантных
подпространств имеют вид ([1, 2, 3]) :
LatJα = HyplatJα = E := χ L [0,1] : 0 a 1 ; (1)
a [a,1] p
{ ≤ ≤ }
Из описания (1) решетки LatJα получается следующее описание циклических векторов
оператора Jα :
ε
f CycJα 0 suppf(x) f(x) pdx > 0 ε > 0 (2)
∈ ⇔ ∈ ⇔ | | ∀
Z
0
Условие (2) называют ε-условием.
М.М.Маламудом в [6, 7] проведен спектральный анализ оператора A = Jα B,
действующего в L [0,1] Cn и являющегося тензорным произведением оператор⊗а Jα
p
⊗
и произвольной невырожденной диагональной n n матрицы B = diag(λ ,...,λ ). В
1 n
×
частности, в [6, 7] описаны решетки LatA и HyplatA инвариантных и гиперинвариантных
подпространств оператора A, а также множество CycA.
В работе [4] Joo Ho Kang рассматривал оператор
x
V : f 2iq(x) f(t)w(t)dt (3)
q,w
→
Z
0
в пространстве L [0,1] над полем R в случае, когда функции q(x),w(x) положительны
2
и непрерывны. При этих условиях на функции q и w была доказана одноклеточность
оператора V и было описано множество CycV его циклических векторов.
q,w q,w
В настоящем сообщении мы проводим спектральный анализ оператора вида (3)
отказывшись от условия q(x)w(x) > 0, однако считая функцию q(x)w(x) вещественной.
При этом, в случае знакопеременной функции q(x)w(x) обнаружен ряд новых эффектов :
1) оператор V утрачивает свойство одноклеточности;
q,w
2) его сужения на некоторые инвариантные подпространства квазиподобны операторам
вида A = J B;
⊗
3) при некотрых условиях оператор V вида (3) может быть циклическим, не будучи
q,w
одноклеточным.
Мы приводим также необходимые и достаточные условия на функции q(x), w(x) при
которых оператор V не только одноклеточен, но цикличен и даже квазиподобен и
q,w
подобен оператору J. Оказалось, что одноклеточность оператора V эквивалентна его
q,w