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Jaures Cecconi (Ed.) Spectral Analysis Lectures given at a Su mmer School o f the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, August 24-September 2, 1973 C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy [email protected] ISBN 978-3-642-10953-9 e-ISBN: 978-3-642-10955-3 DOI:10.1007/978-3-642-10955-3 Springer Heidelberg Dordrecht London New York ©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Reprint of the 1sted . C.I.M.E., Ed. Cremonese, Rom a 1974 With kind permission of C.I.M.E. Printed on acid-free paper Springer.com CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.LM.E.) III Cielo - Varenna - dal 24 Agosto a1 2 Settembre 1973 SPECTRAL ANALYSIS J. Coordinatore: Prof. Cecconi G. BOTTARO: Quelques resultats d'analyse spectrale pour des operateurs differentiels a coefficients constants sur des domaines non bornes Pag. 1 L. GARDING: Eigenfunction expansions »21 C. GOULAOUIC: Valeurs propres de problemes aux limites irreguliers: applications » 79 G. GRUBB: Essential spectra of elliptic systems on compact manifolds » 141 J. C. GUILLOT: Quelques resultats recents en Scattering » 171 M. SCHECHTER: Theory of perturbations of partial differen- tial operators » 187 C. H. WILCOX: Spectral analysis of the Laplacian with a discontinuous coefficient » 231 CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO (C.I.M.E.) , '" . QUELQUES RESULTATS D'ANALYSE SPECTRALE POUR DES OPERA- DIFF~RENTIELSA TEURS COEFFICIENTS CO,NSTANTS SUR DES DO- MAINES NON BORNES GIANFRANCOBOTTARO Corso tenuto a Varenna da1 24 agosto a1 2 settembre 1973 GIANFRANCO BOTTARO Quelques resultats d' analyse spectrale pour des operateurs a differentiels coefficients constants sur des domaines non bemps 1. Nous connaissons Ie resultat suivant Theor. 5i A est un operateur autoadjoint de domain~contenu dans un espace de Hilbert H, il admet une diagonalisation canonique, a c'est dire qu'il existe un operateur unitaire ~J U H H(A)dtt <r(A) j ou H( ). )dI:'" est une integrale directe dI espaces de 6"(A) t- Hilbert separables, est une mesure de Radon sur @' (A) (spectre de A), la dimension des H( ~) est supposee fonction mesurable Borel, U a la propriete suivante f( >.) U f(A) u( A) A) U u( ou fest une fonction de Baire sur 6"'(A) pour tous les uf H r tels que j If(').) ~ >.) U u( d <: :x> a-(A) a c'est dire cpeUf(A)U*est 1'operation de multiplication par f J r. x sur H( )d (T(A) - 4 - G. Bottaro Garding [4] a expose une idee pour construire cette diagonalisation dans a Ie cas d 'operateurs differentiels elliptiques coefficients constants 2(Rn), a " 'i~~X sur L c'est dire A=:, P ,(i fx ,. ) ,ou ,p 'est urr pol.ynd- 1 n me ,reel d~fini 'positi~Nous savonsque la transformee de Fourier I I A : L2(Rn, ) ~ L2(Rn, est une application unitaire qui diagonalise A d'une fa~on non canonique. En effet, si nous prenons A, domA= on a A Au( ).) = p( ) O( ) • La methode que Garding a propose pour construire la diagonalisation n canonique est celle-ci si p(A) = 2.. a \ ).j' ij i,j=l p defini positif, on considere R(p) =R+ S la variete d'equation t p( ). ) = t , et on pose Ht = L2(St,wt), ou dt dI,.}t Si h.(t,.) est une base ort.honormee pour H, on defLnft; J t '~ J v H dt t R(p) - 5 - G. Bottaro ou (Vv)(t) . pour tous les ve L2(Rn, ) Vest sQrement unitaire et alors J 2 n ~ W= V'/\ : L (R , I) H dt t R(p) est aussi unitaire et on a (W Au)(t) I J p().)QO)h.(t,1)dW .(t,A) t(vQ)t = t(Wu)(t) • t)h 5 J J j t 5i nous connaissons une diagonalisation canonique, il est facile de construire une collection complete de fonctions propres generalisees pour A, c'est a dire des distributions Cfj telles que <Au, Lf .(t,.) > J pour chaque u t ~ (Rn). En effet 11 suffit d' exprimer (Wu).(t) de J la fa~on suivante (Wu)/t) <u, f/t, .) > pour chaque u ~ ~ (Rn); et cela est possible, parce que A est elliptique et par consequent 5 est compact. En appliquant le t theoreme de Fubini on a alors J( -() J J-ei(x,~) - 'f (Wu) .(t) o u(x)h.(t,~)dx d..>:. u x) j t,x dx J 5 Rn J t Rn t - 6 - G. Bottar-o 'f. OU e la fonction suivante J J s t 2. Geci dit, voyons comment une telle idee est r~alisee pour J 2(Rn) l'operateur dassique - sur L [2] et comment on peut laisser a tomber l'hypothese que l'operateur coefficients constants soit ilefini sur tout l'espace. 11 est clair que pour un operateur A, ayant un domaine dense dans 2(fi)(oun n), L est un ouvert de R il suffit de construire un operateur unitaire 2 2 n I , U : L (0.) - L (R , tel que (U Au)( A) p( A)(Uu)(A ) pour chaque u 6. dom A parce qu ' apres cela,nous pouvons encore a appliquer l'idee que nous avons decrite: c'est dire que nous avons besom d'une diagonalisation non canoniqu~, qui prenne la place de la transformee de Fourier. Etudions done le cas de l'operateur de Laplace: on peut considerer 2 comme base orthonormee pour L de la sphere unite une collection d' harmoniques spheriques Ykj (k est le degre du polynome harmonique - 7 - G. Bottaro correspondant et j=l••••••••N(k,n) n+n2+kk-2-2 (n+kk-2) est le nombre d I harmoniques spheriques de degre k lineairement ind~pendantes en dimension n. On peut prendre comme base orthonormee pour 2 L (S ,~ ) les fonctions t t ~ avec ). Si alors nous faisons le calcul que nous avons decrit poor_construire 4 ) une collection complete de fonctions propres gen~raliseespour (- nous avons ik l_n/2 crkj(t,x) =( (2 ) Ixl J(n/2)+k_l cette formule est obtenue en representant la fonction exponentielle aumoyen les harmoniques spheriques et les fonctions de Bessel de premi~re espece. Cf e n 2n On peut aussi verifier que LP(R ) si p >-n-=:'::"" , en kj - 2 connaissant l'expression asymptotique Jv(r) = 0 (r-\); en outre n Cf kj €. C<» (R ), parce que Ix,k Ykj(x) est un polynfhne harmonique et (jxl {t)l-k-(n/2)J (Ix/[t) (n/2)+k-l (tlx~). est une fonction analytique en A partir de l'operateur qui diagonalise canoniquement on peut obtenir d'une fa~on naturelle l'expression J5 , If 2 n f(x) = lim L- f (t) k (t,x)dt, pour chaque f €. L (R ); kj kj j 5-)00 o
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