Special Smarandache Curves in R

2016·0.33 MB·

by  Nurten Bayrak Gurses

Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. SØr. A1 Math. Stat.
Volume 65,Number 2,Pages 143(cid:150)160 (2016)
DOI:10.1501/Commua1_0000000766
ISSN 1303(cid:150)5991
SPECIAL SMARANDACHE CURVES IN R31
NURTEN (BAYRAK) G(cid:220)RSES,(cid:214)ZCAN BEKTAS‚,AND SALIM Y(cid:220)CE
Abstract. Inthisstudy,wedetermineTN-Smarandachecurveswhoseposi-
tion vector is composed by Frenet frame vectors of another regular curve in
Minkowski 3-space R31. Then, we present some characterisations of Smaran-
dache curves and calculate Frenet invariants of these curves. Moreover, we
classifyTN;TB;NBandTNB-Smarandachecurvesofaregularcurvepara-
metrizedbyarclength(cid:11)bypresentingabrieftablewithrespecttothecausal
characterof(cid:11). Also,we willgive some examples related to results.
1. Introduction
In di⁄erential geometry, there are many important consequences and properties
of curves studied by some authors [1, 2, 3]. Researchers always introduce some
new curves by using the existing studies. Special Smarandache curves are one of
them. Smarandache curve is de(cid:133)ned as a regular curve whose position vector is
composedbyFrenetframevectorsofanotherregularcurveinMinkowskispacetime
in [4]. Special Smarandache curves have been studied by some authors [4, 5, 6].
M. Turgut and S. Y‹lmaz have identi(cid:133)ed a special case of such curves and called
themTB2-SmarandachecurvesinthespaceR41 [4]. Theyhavedealtwithaspecial
Smarandache curve which is de(cid:133)ned by the tangent and second binormal vector
(cid:133)elds. Besides, they have computed formulae of this kind of curves by the method
expressed in [4]. A. T. Ali has introduced some special Smarandache curves in
the Euclidean space [5]. Special Smarandache curves such as TN , TN , N N
1 2 1 2
and TN N -Smarandache curves according to Bishop frame in Euclidean 3-space
1 2
have been investigated by ˙etin and Tun(cid:231)er [6]. Furthermore, they have studied
di⁄erential geometric properties of these special curves and they have calculated
the(cid:133)rstandsecondcurvature(naturalcurvatures)ofthesecurves. Also,theyhave
found the centres of the curvature spheres and osculating spheres of Smarandache
curves.
Received by the editors:March 28,2016,Accepted: May 24,2016.
2010 Mathematics Subject Classi(cid:133)cation. 53A35,51B20.
Key words and phrases. Minkowskispace,Frenet invariants,Smarandache curves.
c2016 Ankara University
Communications de la FacultØ des Sciences de l(cid:146)UniversitØ d(cid:146)Ankara. SØries A1. Ma(cid:13)thematics and Statistics.
143
144 NURTEN (BAYRAK) G(cid:220)RSES,(cid:214)ZCAN BEKTAS‚,AND SALIM Y(cid:220)CE
In addition, special Smarandache curves according to Darboux frame in Euclid-
ean 3-space have been introduced in [7]. They have investigated special Smaran-
dachecurvessuchasTg;Tn;gnandTgn-Smarandachecurves. Furthermore,they
havefoundsomepropertiesofthesespecialcurvesandcalculatednormalcurvature,
geodesic curvature and geodesic torsion of these curves.
In this study, we (cid:133)rstly mention the fundamental properties and Frenet invari-
ants of curves in R31. Then, we give the de(cid:133)nition of TN;TB;NB and TNB-
Smarandache curves of a regular curve parametrized by arc length (cid:11) in R31. In
sections 2-4, we investigate and calculate Frenet invariants of TN-Smarandache
curves of a timelike, spacelike and null curves in R31. In section 5, we obtain the
characterisationsofTN;TB;NBandTNB-Smarandachecurvesofaregularcurve
parametrizedbyarclength(cid:11)bypresentingabrieftable. Weclassifygeneralresults
of these Smarandache curves with respect to the causal character of (cid:11). Also, we
present some examples.
2. Preliminaries
The Minkowski 3-space R31 is the real vector space provided with the standard
(cid:135)at metric given by
<;>= dx2+dx2+dx2;
(cid:0) 1 2 3
where (x1;x2;x3) is a rectangular coordinate system of R31. An arbitrary vector
v=(v1;v2;v3) in R31 can have one of three Lorentzian causal characters; it can be
spacelikeif v;v >0orv=0; timelikeif v;v <0andnull(lightlike)if v;v =
h i h i h i
0 and v=0. Similarly, an arbitrary curve (cid:11) = (cid:11)(s) can be locally spacelike,
6
timelike or null (lightlike) if all of its velocity vectors (cid:11) (s) are spacelike, timelike
0
or null (lightlike), respectively. We say that a timelike vector is future pointing or
pastpointingifthe(cid:133)rstcomponentofthevectorispositiveornegative,respectively.
Also, the vector product of any vectors x=(x1;x2;x3) and y=(y1;y2;y3) in R31 is
de(cid:133)ned by
e e e
1 2 3
(cid:0) (cid:0)
(cid:12) (cid:12)
x y=(cid:12) x1 x2 x3 (cid:12)=(x2y3 x3y2;x1y3 x3y1;x2y1 x1y2);
(cid:2) (cid:12) (cid:12) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) y1 y2 y3 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
where (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
e e = e ; e e =e ; e e = e :
1 2 3 2 3 1 3 1 2
(cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:2) (cid:0)
Let(cid:11)=(cid:11)(s)bearegularcurveparametrizedbyarclengthinR31andfT;N;B;(cid:20);(cid:28)g
be its Frenet invariants, where T;N;B ;(cid:20) and (cid:28) are moving Frenet frame, cur-
f g
vature and torsion of (cid:11)(s), respectively. The Frenet formulae of (cid:11) = (cid:11)(s) are
described with respect to the causal character of (cid:11) (s). For an arbitrary timelike
0
SPECIAL SMARANDACHE CURVES IN R31 145
curve (cid:11)(s) in the Minkowski space R31, the following Frenet formulae are given as
follows ([8]):
T0=(cid:20)N
N0=(cid:20)T+(cid:28)B (2.1)
8
< B0= (cid:28)N;
(cid:0)
where T;T = 1; N;N = B;B = 1; T;N = T;B = N;B = 0.
h i (cid:0) h i :h i h i h i h i
Then, we write Frenet invariants in this way: T(s) = (cid:11)(s), (cid:20)(s) = T(s) ,
0 0
jj jj
N(s)=T0(s)=(cid:20)(s), B(s)=T(s) N(s) and (cid:28)(s)= N(s)0, B(s) .
(cid:2) h i
For an arbitrary spacelike curve (cid:11)(s) in the space R31, the Frenet formulae are
given as below ([8]):
T0=(cid:20)N
N0= "(cid:20)T+(cid:28)B (2.2)
8 (cid:0)
< B0=(cid:28)N;
where " = 1. If " = 1, then (cid:11)(s) is a spacelike curve with spacelike principal
(cid:6) :
normal N and timelike binormal B. Also, T;T = N;N = 1; B;B = 1 and
h i h i h i (cid:0)
T;N = T;B = N;B = 0. If " = 1 , then (cid:11)(s) is a spacelike curve with
h i h i h i (cid:0)
timelikeprincipalnormalNandspacelikebinormalB. Besides, T;T = B;B =
h i h i
1; N;N = 1 and T;N = T;B = N;B = 0. We de(cid:133)ne Frenet invariants
h i (cid:0) h i h i h i
for spacelike curves in this way: T(s)=(cid:11)(s);(cid:20)(s)= "<T(s);T(s)>;N(s)=
0 0 0
T(s)=(cid:20)(s);B(s)=T(s) N(s) and (cid:28)(s)= "<N(s);B(s)>.
0 0
(cid:2) (cid:0) p
In addition, the Frenet formulae for a null curve parametrized by distinguished
parameter (cid:11)(s) in R31, are given as follows:
T0=(cid:20)B
N0= (cid:28)B (2.3)
8 (cid:0)
< B0= (cid:28)T+(cid:20)N;
(cid:0)
where T;T = N;N = T;B = N;B = 0; B;B = 1; T;N = 1 and
:
h i h i h i h i h i h i
T B= T, T N= B;B N= N. In this state, T and N are null vectors
(cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0)
and B is a spacelike vector. We describe Frenet invariants T(s) = (cid:11)(s); (cid:20)(s) =
0
T(s) ;N(s) = ((1=(cid:20))((cid:28)T+(1=(cid:20))T +(1=(cid:20))T ))(s);B(s) = ((1=(cid:20))T)(s) and
0 0 0 00 0
jj jj
(cid:28)(s)=(1=2)[(1=(cid:20)3) T 2 ((1=(cid:20)))2(cid:20)](s) ([9]).
00 0
jj jj (cid:0)
De(cid:133)nition 2.1 ([4]). Let (cid:11)=(cid:11)(s) be a regular curve parametrized by arc length in
R31 with its Frenet frame fT;N;Bg. Then, TN;TB;NB and TNB-Smarandache
curves of (cid:11) are de(cid:133)ned, respectively, as follows:
1
(cid:12) = (T+N);
TN p2
1
(cid:12) = (T+B);
TB p2
1
(cid:12) = (N+B);
NB p2
146 NURTEN (BAYRAK) G(cid:220)RSES,(cid:214)ZCAN BEKTAS‚,AND SALIM Y(cid:220)CE
1
(cid:12) = (T+N+B):
TNB p3
In the following sections, we investigate special TN-Smarandache curves for a
given regular curve (cid:11) in R31. We consider Frenet invariants fT;N;B;(cid:20);(cid:28)g and
T ;N ;B ;(cid:20) ;(cid:28) for (cid:11) and its TN-Smarandache curve (cid:12) , respectively.
f (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)g TN
3. TN-Smarandache curves of a timelike curve in R31
De(cid:133)nition 3.1. Let the curve (cid:11) = (cid:11)(s) be a timelike curve parametrized by arc
length in R31. Then, TN-Smarandache curves of (cid:11) can be determined by the Frenet
vectors of (cid:11) such as:
1
(cid:12) = (T+N); (3.1)
TN p2
where T is timelike, N and B are spacelike.
Let us investigate the causal character of TN-Smarandache curve (cid:12) : By dif-
TN
ferentiating Equation (3.1) with respect to s and using Equation (2.1), we get
d(cid:12) 1
(cid:12)0 = TN = ((cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B); (3.2)
TN ds p2
and
(cid:28)2
(cid:12)0 ;(cid:12)0 = :
h TN TNi 2
Therefore, there are two possibilities for the causal character of (cid:12) under the
TN
conditions (cid:28) =0 and (cid:28) =0. Because of the fact that (cid:28)2 =1 for at least one (cid:28) R,
6 2 6 2
we know that s is not arc-length of (cid:12) . Assume that s is arc-length of (cid:12) :
TN (cid:3) TN
Case 3.1. If (cid:28) =0; then TN-Smarandache curve (cid:12) is a spacelike curve.
6 TN
If we rearrange Equation (3.2), we obtain the tangent vector of (cid:12) as below:
TN
1
T = ((cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B); (3.3)
(cid:3)
(cid:28)
j j
where
ds (cid:28)
(cid:3) = j j: (3.4)
ds p2
i) Let (cid:12) be a spacelike curve with timelike binormal.
TN
If we di⁄erentiate Equation (3.3) with respect to s, we obtain
dT ds 1
(cid:3) (cid:3) = ((cid:0) T+(cid:0) N+(cid:0) B); (3.5)
ds ds (cid:28)2 1 2 3
(cid:3)
where
(cid:0)1 = (cid:20)0(cid:28)0 (cid:20)2(cid:28)0
(cid:0) (cid:0)
8< (cid:0)(cid:0)23 ==(cid:0)(cid:20)(cid:20)2(cid:28)(cid:28)(cid:28)00(cid:0)(cid:20)(cid:28)00(cid:28)2:0 +(cid:28)2(cid:28)0
(cid:0) (cid:0)
:
SPECIAL SMARANDACHE CURVES IN R31 147
Substituting Equation (3.4) with Equation (3.5), we gain
p2
T_ = ((cid:0) T+(cid:0) N+(cid:0) B):
(cid:3) (cid:28)3 1 2 3
j j
Accordingtothede(cid:133)nitionoftheFrenetinvariantsofaspacelikecurvewithtimelike
binormal, we can calculate the curvature and principal normal vector (cid:133)elds of (cid:12)
TN
such as:
p2
(cid:20) = ( (cid:0)2+(cid:0)2+(cid:0)2)
(cid:3) (cid:28)3 (cid:0) 1 2 3
j jq
and
1
N = ((cid:0) T+(cid:0) N+(cid:0) B);
(cid:3) 1 2 3
(cid:0)2+(cid:0)2+(cid:0)2
(cid:0) 1 2 3
respectively. Furthermore,pwe have
T N B
(cid:0) (cid:0)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
1 (cid:12) (cid:12)
B(cid:3) =T(cid:3) N(cid:3) = (cid:12) (cid:20) (cid:20) (cid:28) (cid:12):
(cid:2) (cid:28) (cid:0)2+(cid:0)2+(cid:0)2 (cid:12) (cid:12)
j j (cid:0) 1 2 3 (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
p (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:0)1 (cid:0)2 (cid:0)3 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Based upon this calculation, the binormal vector o(cid:12)f (cid:12) is (cid:12)
(cid:12) TN (cid:12)
1
B = ((cid:22) T+(cid:22) N+(cid:22) B);
(cid:3) (cid:28) (cid:0)2+(cid:0)2+(cid:0)2 1 2 3
j j (cid:0) 1 2 3
where p
(cid:22) =(cid:20)(cid:0) (cid:28)(cid:0)
1 3(cid:0) 2
(cid:22) = (cid:28)(cid:0) +(cid:20)(cid:0)
8 2 (cid:0) 1 3
(cid:22) = (cid:20)(cid:0) +(cid:20)(cid:0)
< 3 (cid:0) 2 1:
So, the torsion of (cid:12) is given as below:
TN :
(cid:0)(cid:20)(cid:0)31(cid:22)2+(cid:0)32((cid:20)(cid:22)1+(cid:22)3(cid:28))(cid:0)(cid:0)23((cid:28)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:22)1(cid:0)01+(cid:22)2(cid:0)02)
(cid:0)(cid:0)2(cid:0)3((cid:0)3((cid:20)(cid:22)1(cid:0)(cid:22)3(cid:28))+(cid:22)3(cid:0)02+(cid:22)2(cid:0)03)
(cid:0)(cid:0)22((cid:28)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:22)1(cid:0)01+(cid:22)3(cid:0)03)+(cid:0)21((cid:28)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:0)2((cid:20)(cid:22)1(cid:0)(cid:22)3(cid:28))(cid:0)(cid:22)2(cid:0)02(cid:0)(cid:22)3(cid:0)03)
(cid:28) = +(cid:0)1((cid:20)(cid:0)22(cid:22)2+(cid:0)2((cid:22)2(cid:0)01+(cid:22)1(cid:0)02+(cid:0)3((cid:20)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:22)3(cid:0)01+(cid:22)1(cid:0)03)) :
(cid:3) (cid:28) ( (cid:0)2+(cid:0)2+(cid:0)2)2
j j (cid:0) 1 2 3
ii) Let (cid:12) be a spacelike curve with timelike principal normal, then the
TN
Frenet invariants of (cid:12) are given as below:
TN
148 NURTEN (BAYRAK) G(cid:220)RSES,(cid:214)ZCAN BEKTAS‚,AND SALIM Y(cid:220)CE
1
T = ((cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B);
(cid:3)
(cid:28)
j j
1
N = ((cid:0) T+(cid:0) N+(cid:0) B);
(cid:3) 1 2 3
(cid:0)2 (cid:0)2 (cid:0)2
1(cid:0) 2(cid:0) 3
1
B = p ((cid:22) T+(cid:22) N+(cid:22) B);
(cid:3) (cid:28) (cid:0)2 (cid:0)2 (cid:0)2 1 2 3
j j 1(cid:0) 2(cid:0) 3
(cid:20) = p2p ( (cid:0)2+(cid:0)2+(cid:0)2);
(cid:3) (cid:28)3 (cid:0) 1 2 3
j jq
(cid:20)(cid:0)31(cid:22)2+(cid:0)32((cid:20)(cid:22)1(cid:0)(cid:22)3(cid:28))+(cid:0)23((cid:28)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:22)1(cid:0)01+(cid:22)2(cid:0)02)
+(cid:0) (cid:0) ((cid:0) ((cid:20)(cid:22) (cid:22) (cid:28))
2 3 3 1(cid:0) 3
+(cid:22)3(cid:0)02+(cid:22)2(cid:0)03)+(cid:0)22((cid:28)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:22)1(cid:0)01(cid:0)(cid:22)3(cid:0)03)
+(cid:0)21((cid:0)(cid:28)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:0)2((cid:0)(cid:20)(cid:22)1(cid:0)(cid:22)3(cid:28))+(cid:22)2(cid:0)02(cid:0)(cid:22)3(cid:0)03)(cid:0)
(cid:28) = (cid:0)1((cid:20)(cid:0)22(cid:22)2+(cid:0)2((cid:22)2(cid:0)01+(cid:22)1(cid:0)02+(cid:0)3((cid:20)(cid:0)3(cid:22)2+(cid:22)3(cid:0)01+(cid:22)1(cid:0)03)) :
(cid:3) (cid:28) ( (cid:0)2+(cid:0)2+(cid:0)2)2
j j (cid:0) 1 2 3
Case 3.2. If (cid:28) =0, then TN-Smarandache curve (cid:12) is a null curve.
TN
If we di⁄erentiate Equation (3.1) with respect to s, the tangent vector of (cid:12)
TN
can be written namely:
1 ds
T = (cid:20)(T+N): (3.6)
(cid:3)
p2ds
(cid:3)
By di⁄erentiating Equation (3.6), we obtain
1
T_ = (cid:0) (T+N);
(cid:3) p2 (cid:3)
where
d2s ds 2
(cid:0) = (cid:20)+ (cid:20) +(cid:20)2 :
(cid:3) ds(cid:3)2 (cid:18)ds(cid:3)(cid:19) 0 !
(cid:0) (cid:1)
FromthecalculationsofFrenetinvariantsofanullcurve,we(cid:133)ndthatthecurvature
(cid:20) of (cid:12) is equal to zero. So, there is no calculation for N and B in this case.
(cid:3) TN (cid:3) (cid:3)
4. TN-Smarandache curves of a spacelike curve in R31
4.1. TN-Smarandachecurvesofaspacelikecurvewithtimelikebinormal.
De(cid:133)nition 4.1. Let the curve (cid:11) = (cid:11)(s) be a spacelike curve parametrized by arc
length with timelike binormal in R31. Then, TN-Smarandache curves of (cid:11) can be
de(cid:133)ned by the frame vectors of (cid:11) such as:
1
(cid:12) = (T+N); (4.1)
TN p2
where B is timelike, N and T are spacelike.
SPECIAL SMARANDACHE CURVES IN R31 149
Let us analyze the causal character of (cid:12) : By di⁄erentiating Equation (4.1)
TN
with respect to s, we have
1
(cid:12)0 = ( (cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B);
TN p2 (cid:0)
and
2(cid:20)2 (cid:28)2
(cid:12)0 ;(cid:12)0 = (cid:0) :
h TN TNi 2
In this situation, there are three possibilities for the causal character of (cid:12) under
TN
the circumstances 2(cid:20)2 (cid:28)2 <0; 2(cid:20)2 (cid:28)2 >0 and p2(cid:20) = (cid:28) . Because of the fact
(cid:0) (cid:0) j j j j
that 2(cid:20)2 (cid:28)2 = 1 for at least one (cid:20) or (cid:28), we know that s is not arc-length of (cid:12) :
2(cid:0) 6 TN
Suppose that s is arc-length of (cid:12) .
(cid:3) TN
Case 4.1. If 2(cid:20)2 (cid:28)2 <0; then TN-Smarandache curve (cid:12) is a timelike curve.
(cid:0) TN
Ifwedi⁄erentiateEquation(4.1)withrespecttos,weobtainthetangentvector
of (cid:12) as given below:
TN
1
T = ( (cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B); (4.2)
(cid:3)
2(cid:20)2 (cid:28)2 (cid:0)
j (cid:0) j
where p
ds 2(cid:20)2 (cid:28)2
(cid:3) = j (cid:0) j: (4.3)
ds p2
p
By di⁄erentiating Equation (4.2) with respect to s, we have
dT ds 1
(cid:3) (cid:3) = ((cid:3) T+(cid:3) N+(cid:3) B); (4.4)
ds(cid:3) ds 2(cid:20)2 (cid:28)2 3 1 2 3
j (cid:0) j
q
where
(cid:3) = 4(cid:20)2(cid:20) +2(cid:20)(cid:28)(cid:28) 2(cid:20)2 (cid:28)2 ((cid:20)2+(cid:20))
1 0 0 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:3) =4(cid:20)2(cid:20) 2(cid:20)(cid:28)(cid:28) 2(cid:20)2 (cid:28)2 ((cid:20)2+(cid:20) +(cid:28)2)
8 2 0(cid:0) 0(cid:0) (cid:12) (cid:0) (cid:12) 0
(cid:3) =4(cid:20)(cid:20)(cid:28) 2(cid:28)2(cid:28) 2(cid:12)(cid:20)2 (cid:28)2 ((cid:12)(cid:20)(cid:28) +(cid:28) ):
< 3 0 (cid:0) 0(cid:0)(cid:12) (cid:0) (cid:12) 0
Substituting Equation (4.3) with Equatio(cid:12)n (4.4), w(cid:12)e gain
: (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
p2
T_ = ((cid:3) T+(cid:3) N+(cid:3) B):
(cid:3) (2(cid:20)2 (cid:28)2)2 1 2 3
(cid:0)
By using the de(cid:133)nition of Frenet invariants of a timelike curve, the curvature and
principal normal vector (cid:133)elds of (cid:12) are
TN
p2
(cid:20) = T_ = ((cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2)
(cid:3) (cid:3) (2(cid:20)2 (cid:28)2)2 1 2(cid:0) 3
(cid:13) (cid:13) (cid:0) q
and (cid:13) (cid:13)
(cid:13) (cid:13)
1
N = ((cid:3) T+(cid:3) N+(cid:3) B);
(cid:3) 1 2 3
(cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2
1 2(cid:0) 3
p
150 NURTEN (BAYRAK) G(cid:220)RSES,(cid:214)ZCAN BEKTAS‚,AND SALIM Y(cid:220)CE
respectively. Additionally, we gain
T N B
(cid:0) (cid:0)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
p2 (cid:12) (cid:12)
B(cid:3) =T(cid:3) N(cid:3) = (cid:12) (cid:20) (cid:20) (cid:28) (cid:12):
(cid:2) 2(cid:20)2 (cid:28)2 (cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2 (cid:12) (cid:0) (cid:12)
j (cid:0) j 1 2(cid:0) 3 (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
p p (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:3)1 (cid:3)2 (cid:3)3 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
From this calculation, the binormal vector of (cid:12)TN is (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
p2
B = ((cid:17) T+(cid:17) N+(cid:17) B);
(cid:3) 2(cid:20)2 (cid:28)2 (cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2 1 2 3
j (cid:0) j 1 2(cid:0) 3
where
p p
(cid:17) =(cid:20)(cid:3) (cid:28)(cid:3)
1 3(cid:0) 2
(cid:17) = (cid:20)(cid:3) (cid:28)(cid:3)
3 1
8 2 (cid:0) (cid:0)
(cid:17) =(cid:20)((cid:3) +(cid:3) ):
< 3 1 2
So, the torsion of (cid:12) is given by:
TN
:
(cid:0)(cid:20)(cid:3)31(cid:17)2+(cid:3)32((cid:0)(cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))(cid:0)(cid:3)23((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2+(cid:17)1(cid:3)01+(cid:17)2(cid:3)02(cid:0)3(cid:17)3(cid:3)03)
+(cid:3)2 (cid:3)3((cid:3)3((cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))(cid:0)2(cid:17)3(cid:3)02(cid:0)2(cid:17)2(cid:3)03)
(cid:0)(cid:3)22((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2+(cid:17)1(cid:3)01(cid:0)(cid:17)3(cid:3)03+2(cid:17)2(cid:3)02)+(cid:3)21((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2
+(cid:3)2((cid:0)(cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))+(cid:17)2(cid:3)02+(cid:17)1(cid:3)01)
(cid:28) = +(cid:3)1((cid:20)(cid:3)22(cid:17)2(cid:0)(cid:20)(cid:3)23(cid:17)2+2(cid:17)2(cid:3)01+2(cid:3)2(cid:17)1(cid:17)02(cid:0)(cid:3)3((cid:17)3(cid:3)01+2(cid:17)1(cid:3)03)) :
(cid:3) 2(cid:20)2 (cid:28)2 ((cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2)2
j (cid:0) j 1 2(cid:0) 3
Case 4.2. If 2(cid:20)2 (cid:28)2 >0; then TN-Smarandache curve (cid:12) is a spacelike curve.
(cid:0) TN
i) Let (cid:12) be a spacelike curve with timelike binormal, then the Frenet in-
TN
variants of (cid:12) are given as below:
TN
T = 1 ( (cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B),
(cid:3) p2(cid:20)2 (cid:28)2 (cid:0)
N = (cid:0)1 ((cid:3) T+(cid:3) N+(cid:3) B),
(cid:3) p(cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2 1 2 3
1 2(cid:0) 3
B = p2 ((cid:17) T+(cid:17) N+(cid:17) B),
(cid:3) p2(cid:20)2 (cid:28)2p(cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2 1 2 3
(cid:0) 1 2(cid:0) 3
(cid:20) = p2 ((cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2),
(cid:3) (2(cid:20)2 (cid:28)2)2 1 2(cid:0) 3
(cid:0)
(cid:0)(cid:20)(cid:3)31(cid:17)p2+(cid:3)32((cid:0)(cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))(cid:0)(cid:3)23((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2+(cid:17)1(cid:3)01+(cid:17)2(cid:3)02(cid:0)3(cid:17)3(cid:3)03)
+(cid:3)2 (cid:3)3((cid:3)3((cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))(cid:0)2(cid:17)3(cid:3)02(cid:0)2(cid:17)2(cid:3)03)(cid:0)
(cid:3)22((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2+(cid:17)1(cid:3)01(cid:0)(cid:17)3(cid:3)03+2(cid:17)2(cid:3)02)+(cid:3)21((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2
+(cid:3)2((cid:0)(cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))+(cid:17)2(cid:3)02+(cid:17)1(cid:3)01)
(cid:28) = +(cid:3)1((cid:20)(cid:3)22(cid:17)2(cid:0)(cid:20)(cid:3)23(cid:17)2+2(cid:17)2(cid:3)01+2(cid:3)2(cid:17)1(cid:17)02(cid:0)(cid:3)3((cid:17)3(cid:3)01+2(cid:17)1(cid:3)03)) :
(cid:3) (cid:0) 2(cid:20)2 (cid:28)2((cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2)2
j (cid:0) j 1 2(cid:0) 3
ii) Let (cid:12) be a spacelike curve with timelike principal normal, then the
TN
Frenet invariants of (cid:12) are namely:
TN
SPECIAL SMARANDACHE CURVES IN R31 151
T = 1 ( (cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B),
(cid:3) p2(cid:20)2 (cid:28)2 (cid:0)
N = (cid:0)1 ((cid:3) T+(cid:3) N+(cid:3) B),
(cid:3) p (cid:3)2 (cid:3)2+(cid:3)2 1 2 3
(cid:0) 1(cid:0) 2 3
B = p2 ((cid:17) T+(cid:17) N+(cid:17) B),
(cid:3) p2(cid:20)2 (cid:28)2p (cid:3)2 (cid:3)2+(cid:3)2 1 2 3
(cid:0) (cid:0) 1(cid:0) 2 3
(cid:20) = p2 ( (cid:3)2 (cid:3)2+(cid:3)2),
(cid:3) (2(cid:20)2 (cid:28)2)2 (cid:0) 1(cid:0) 2 3
(cid:0)
(cid:0)(cid:20)(cid:3)31(cid:17)2+p(cid:3)32((cid:0)(cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))(cid:0)(cid:3)23((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2+(cid:17)1(cid:3)01+(cid:17)2(cid:3)02(cid:0)3(cid:17)3(cid:3)03)
+(cid:3)2 (cid:3)3((cid:3)3((cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))(cid:0)2(cid:17)3(cid:3)02(cid:0)2(cid:17)2(cid:3)03)(cid:0)
(cid:3)22((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2+(cid:17)1(cid:3)01(cid:0)(cid:17)3(cid:3)03+2(cid:17)2(cid:3)02)+(cid:3)21((cid:28)(cid:3)3(cid:17)2
+(cid:3)2((cid:0)(cid:20)(cid:17)1+(cid:17)3(cid:28))+(cid:17)2(cid:3)02+(cid:17)1(cid:3)01)
(cid:28) = +(cid:3)1((cid:20)(cid:3)22(cid:17)2(cid:0)(cid:20)(cid:3)23(cid:17)2+2(cid:17)2(cid:3)01+2(cid:3)2(cid:17)1(cid:17)02(cid:0)(cid:3)3((cid:17)3(cid:3)01+2(cid:17)1(cid:3)03)) :
(cid:3) 2(cid:20)2 (cid:28)2((cid:3)2+(cid:3)2 (cid:3)2)2
j (cid:0) j 1 2(cid:0) 3
Case 4.3. If p2(cid:20) = (cid:28) , then TN-Smarandache curve (cid:12) is a null curve.
j j j j TN
The tangent vector of (cid:12) and its derivative with respect to s are obtained,
TN (cid:3)
respectively,
T = 1 ds ( (cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B)
(cid:3) p2ds(cid:3) (cid:0)
8 T_ = 1 ((cid:3) T+(cid:3) N+(cid:3) B);
>>< (cid:3) p2 (cid:3)1 (cid:3)2 (cid:3)3
where >>:(cid:3) = d2s ( (cid:20))+ ds 2 (cid:20) (cid:20)2
(cid:3)1 ds(cid:3)2 (cid:0) ds(cid:3) (cid:0) 0(cid:0)
8 (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
>>>>>< (cid:3)(cid:3)2 = dds2(cid:3)s2((cid:20))+ ddss(cid:3) 2 (cid:20)0(cid:0)(cid:20)2+(cid:28)2
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
(cid:3) = d2s ((cid:28))+ ds 2((cid:28) +(cid:20)(cid:28)):
Based upon these ca>>>>>:lcula(cid:3)3tionsd,s(cid:3)th2e Fren(cid:0)edts(cid:3)in(cid:1)varia0nts of (cid:12)TN are namely:
(((cid:3)(cid:3)3)(cid:0)2[+(cid:3)(cid:3)12(cid:3)(cid:3)(cid:3)3(cid:3)1((cid:3)(cid:3)(cid:3)2(cid:3)3))(0(cid:0)+p(2(cid:3)(cid:20)(cid:3)1(cid:28))2dd(s(cid:3)s(cid:3)(cid:3)2+)0(cid:17)+(cid:3)1)((cid:3)(cid:3)1)0(cid:3)(cid:3)2(cid:3)(cid:3)1])T
+(((cid:3)(cid:0)(cid:3)3)[(cid:3)2(cid:3)2+(cid:3)2(cid:3)3(cid:3)((cid:3)(cid:3)1(cid:3)(cid:3)3)(cid:3)20)+(p(2(cid:3)(cid:20)(cid:3)1(cid:28))0d(ds(cid:3)s(cid:3)(cid:3)2+)2(cid:17)+(cid:3)2)((cid:3)(cid:3)2)0(cid:3)(cid:3)2(cid:3)(cid:3)1)])N
N(cid:3) = +(((cid:3)(cid:0)(cid:3)3[)(2(cid:3)+(cid:3)3)22((cid:3)(cid:3)(cid:3)1(cid:3)3(cid:3))0(cid:3)2+)(p((cid:3)2(cid:3)1(cid:28))20(cid:3)ddss(cid:3)2(cid:3)++(cid:3)(cid:17)3(cid:3)3(cid:3)3(cid:3))(cid:3)2(cid:3)(cid:3)1+(cid:3)(cid:3)3])B ;
(((cid:3)(cid:3)3)2+2(cid:3)(cid:3)1(cid:3)(cid:3)2)2
B = 1 (cid:3) T+(cid:3) N+(cid:3) B;
(cid:3) p((cid:3)(cid:3)3)2+2(cid:3)(cid:3)1(cid:3)(cid:3)2 (cid:3)1 (cid:3)2 (cid:3)3
(cid:20) = 1 ((cid:3) )2+2(cid:3) (cid:3) ;
(cid:3) p2 (cid:3)3 (cid:3)1 (cid:3)2
p
(cid:28)(cid:3) = (((cid:3)(cid:3)3)2+2(cid:3)(cid:3)1(cid:3)(cid:3)2)3((cid:17)(cid:3)3+2(cid:17)(cid:3)1(cid:17)(cid:3)2)(cid:0)4((cid:3)(cid:3)3((cid:3)(cid:3)3)03+(cid:3)(cid:3)1((cid:3)(cid:3)2)0+((cid:3)(cid:3)1)0(cid:3)(cid:3)2)2:
8p2(((cid:3)(cid:3)1)2+2(cid:3)(cid:3)1(cid:3)(cid:3)2)2
152 NURTEN (BAYRAK) G(cid:220)RSES,(cid:214)ZCAN BEKTAS‚,AND SALIM Y(cid:220)CE
4.2. TN-Smarandache curves of a spacelike curve with timelike principal
normal.
De(cid:133)nition 4.2. Let the curve (cid:11) = (cid:11)(s) be a spacelike curve parametrized by arc
length with timelike principal normal in R31. Then, TN-Smarandache curves of (cid:11)
can be de(cid:133)ned by the Frenet vectors of (cid:11) such as:
1
(cid:12) = (T+N); (4.5)
TN p2
where N is timelike, T and B are spacelike.
Letussearchthecausalcharacterof(cid:12) :Ifwedi⁄erentiateEquation(4.5)with
TN
respect to s, we get
1
(cid:12) = ((cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B):
0TN p2
Then, we can obtain
(cid:28)2
(cid:12) ;(cid:12) = :
h 0TN 0TNi 2
Hence, there are two possibilities for the causal character of (cid:12) under the condi-
TN
tions (cid:28) = 0 and (cid:28) = 0. Because of the fact that (cid:28)2 = 1 for at least one (cid:28) R, we
6 2 6 2
suppose that s is arc-length of (cid:12) .
(cid:3) TN
Case 4.4. If (cid:28) =0, then TN-Smarandache curve (cid:12) is a spacelike curve.
6 TN
i) Let (cid:12) be a spacelike curve with timelike binormal, then the Frenet
TN
invariants of (cid:12) are given as follows:
TN
1
T = ((cid:20)T+(cid:20)N+(cid:28)B);
(cid:3)
(cid:28)
j j
1
N = ((cid:21) T+(cid:21) N+(cid:21) B);
(cid:3) 1 2 3
(cid:21)2 (cid:21)2+(cid:21)2
1(cid:0) 2 3
q p2
B = (! T+! N+! B);
(cid:3) 1 2 3
(cid:28) (cid:21)2 (cid:21)2+(cid:21)2
j j 1(cid:0) 2 3
p2q
(cid:20) = (cid:21)2 (cid:21)2+(cid:21)2 ;
(cid:3) (cid:28)3 1(cid:0) 2 3
j jq
(cid:20)(cid:21)3(cid:0)(cid:22) +(cid:21)3((cid:20)! +(cid:1)(cid:22) (cid:28))+(cid:21)2((cid:28)(cid:21) ! ! (cid:21)0 +! (cid:21)0)
(cid:0) 1 2 2 1 3 3 3 2(cid:0) 1 1 2 2
(cid:21) (cid:21) ((cid:21) ((cid:20)! +! (cid:28))+! (cid:21)0 +! (cid:21)0)+
(cid:0) 2 3 3 1 3 3 2 2 3
(cid:21)2( (cid:28)(cid:21) ! +! (cid:21)0 +! (cid:21)0)+(cid:21)2( (cid:28)(cid:21) !
2 (cid:0) 3 2 1 1 3 3 1 (cid:0) 3 2
+(cid:21) ((cid:20)! +! (cid:28)) ! (cid:21)0 +! (cid:21)0)
2 1 3 (cid:0) 2 2 3 3
+(cid:21) ( (cid:20)(cid:21)2(cid:22) +(cid:21) ((cid:22) (cid:21)0 ! (cid:21)0 +(cid:21) ((cid:20)(cid:21) ! ! (cid:21)0 +! (cid:21)0))
(cid:28) = 1 (cid:0) 2 2 2 2 1(cid:0) 1 2 3 3 2(cid:0) 3 1 1 3 ;
(cid:3) (cid:0) (cid:28) (cid:21)2 (cid:21)2+(cid:21)2 2
j j 1(cid:0) 2 3
(cid:0) (cid:1)