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Spannungs-Verformungsverhalten granularer Materialien am Beispiel von Berliner Sand Von der Fakult(cid:127)at Bauingenieur- und Vermessungswesen der Universit(cid:127)at Stuttgart zur Erlangung der Wu(cid:127)rde eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte Abhandlung Vorgelegt von Dipl.-Ing. Heiner Mu(cid:127)llersch(cid:127)on aus Nu(cid:127)rtingen Hauptberichter: Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers Mitberichter: Prof. Dr.-Ing. Pieter Vermeer Tag der mu(cid:127)ndlichen Pru(cid:127)fung: 07. 08. 2000 Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen) der Universit(cid:127)at Stuttgart 2000 Bericht Nr. II-6 aus dem Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen), Lehrstuhl II, Universit(cid:127)at Stuttgart Herausgeber: Prof. Dr.-Ing. W. Ehlers c Heiner Mu(cid:127)llersch(cid:127)on (cid:13) Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen) Lehrstuhl II Universit(cid:127)at Stuttgart Pfa(cid:11)enwaldring 7 70569 Stuttgart Alle Rechte, insbesondere das der U(cid:127)bersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne Genehmigung des Autors ist es nicht gestattet, dieses Heft ganz oder teilweise auf foto- mechanischem Wege zu vervielf(cid:127)altigen. Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand w(cid:127)ahrend meiner T(cid:127)atigkeit als wissenschaftlicher Mitar- beiter am Institut fu(cid:127)r Mechanik (Bauwesen) der Universit(cid:127)at Stuttgart. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers fu(cid:127)r die Anregung zu die- ser Arbeit, fu(cid:127)r seine Unterstu(cid:127)tzung und F(cid:127)orderung sowie fu(cid:127)r die U(cid:127)bernahme des Haupt- berichts. Herrn Prof. Dr.-Ing. Pieter Vermeer danke ich fu(cid:127)r die kritische Auseinandersetzung mit meiner Arbeit und die bereitwillige und schnelle U(cid:127)bernahme des Mitberichts. Desweiteren danke ich Herrn Vermeer und allenMitarbeitern des Instituts fu(cid:127)r Geotechnik der Universit(cid:127)at Stuttgart fu(cid:127)r die gute und unbu(cid:127)rokratische Zusammenarbeitinsbesondere im Bereich experimenteller Fragestellungen. NichtzuletztbedankeichmichbeiallenKollegenundMitarbeiternamInstitutfu(cid:127)rMecha- nik(Bauwesen) derUniversit(cid:127)atStuttgartfu(cid:127)rdasangenehmeundfreundlicheArbeitsklima und fu(cid:127)r die in vielfacher Hinsicht hilfreiche Unterstu(cid:127)tzung. Hervorheben m(cid:127)ochte ich dabei die Hilfe von Martin Ammann, Peter Blome und Peter Ellsiepen, die durch intensives Korrekturlesen wesentlich zur Verbesserung der Arbeit beigetragen haben. Au(cid:25)erdem bedanke ich mich ganz herzlich bei allen wissenschaftlichen Hilfskr(cid:127)aften fu(cid:127)r die tatkr(cid:127)aftige Unterstu(cid:127)tzung, vor allem bei der Durchfu(cid:127)hrung von Versuchen sowie bei Ralf Plonus fu(cid:127)r die fruchtbare Zusammenarbeit bei der Entwicklung neuer experimentel- ler Methoden. Abschlie(cid:25)end gilt mein ganz besonderer Dank meiner lieben Frau Carola, deren Un- terstu(cid:127)tzung und Verst(cid:127)andnis ein wesentlicher Baustein zum Gelingen dieser Arbeit war. Stuttgart, imAugust 2000 Heiner Mu(cid:127)llersch(cid:127)on Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Motivation und Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Gliederung und Umfang der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Experimentelle Beobachtungen 7 1.1 Homogene mehraxiale Elementversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Triaxialversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Rotationssymmetrische Probengeometrie . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Triaxialanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Probenaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Messung der Probendeformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5 Ein(cid:13)u(cid:25) der Probenschlankheit und der Probenrandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Allgemeines Materialverhalten granularer Sto(cid:11)e . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 Ein(cid:13)u(cid:25) des Lode-Winkels bei deviatorischer Belastungsrichtung . . 30 1.4 Charakterisierung des Versuchssandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.1 Versuche mit Ent- und Wiederbelastungszyklen . . . . . . . . . . . 35 1.5.2 Kompressionsversuche: (cid:27)1 > (cid:27)2 = (cid:27)3 . . . . . . . . . . . . . . . 36 j j j j j j 1.5.3 Hydrostatische Kompressionsversuche: (cid:27)1 = (cid:27)2 = (cid:27)3 . . . . . . . 36 j j j j j j 1.5.4 Extensionsversuche: (cid:27)1 < (cid:27)2 = (cid:27)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 j j j j j j 1.5.5 Reibungswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 I II Inhaltsverzeichnis 2 Theoretische Grundlagen 41 2.1 Theoretische Grundlagen der Elasto-Plastizit(cid:127)atstheorie . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 Elastizit(cid:127)at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.2 Plastizit(cid:127)at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.1 Approximation der Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 Levenberg-Marquardt-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.3 SQP-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Modellbildung und Parameteridenti(cid:12)kation 61 3.1 Elastische Deformationsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.1 Elastizit(cid:127)atsgesetze fu(cid:127)r Reibungsmaterialien . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.2 Ein neues Elastizit(cid:127)atsgesetz fu(cid:127)r Reibungsmaterialien. . . . . . . . . 68 3.2 Plastische Deformationsanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.1 Flie(cid:25)bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.2 Isotrope Verfestigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 Flie(cid:25)regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.4 Parameteridenti(cid:12)kation der Flie(cid:25)bedingung. . . . . . . . . . . . . . 86 3.2.5 Parameteridenti(cid:12)kation des plastischen Potentials . . . . . . . . . . 95 3.2.6 Zusammenfassung des elasto-plastischen Sto(cid:11)modells und der zu- geh(cid:127)origen Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 Bilanzgleichungen der TPM und FEM-Implementierung 99 4.1 Das inkompressible Zweiphasenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.1 Inkompressibilit(cid:127)atsbedingung und Konzept der Volumenanteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.1.3 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2 Numerische Umsetzung mit der FE-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.1 Schwache Formulierungen der Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . 109 4.2.2 Orts- und Zeitdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 L(cid:127)osung der nicht-linearen Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 113 Inhaltsverzeichnis III 5 Numerische Beispielrechnungen 117 5.1 Triaxialversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1.1 Triaxialer Kompressionsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.2 Hydrostatischer Kompressionsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.1.3 CU-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2 Degebo-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Zusammenfassung und Ausblick 125 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A Allgemeine tensorielle Beziehungen 127 A.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.1.1 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.1.2 Identit(cid:127)ats- und Fundamentaltensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 A.1.3 Kugeltensor und Deviator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 A.2 Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 A.2.1 Invarianten eines Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 A.2.2 Invarianten des Deviators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 A.3 Tensoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 IV Inhaltsverzeichnis Einleitung Motivation und Problemstellung Die Vorhersage von Setzungen und Verformungen im Baugrund, hervorgerufen durch Bauma(cid:25)nahmen oder durch ein Bauwerk selbst, erfordern die genaue Kenntnis des Ma- terialverhaltens im Untergrund. Sicherheit gegen Grenzzust(cid:127)ande, wie z.B. Grundbruch, Gel(cid:127)andebruch oder sehr gro(cid:25)e, das Geb(cid:127)aude sch(cid:127)adigende Verformungen, sollen gew(cid:127)ahr- leistet werden. Als Baugrund liegen h(cid:127)au(cid:12)g granulare Materialien wie Kies oder Sand als natu(cid:127)rliche Erdsto(cid:11)e vor. So sind beispielsweise s(cid:127)amtliche Geb(cid:127)aude am Potsdamer Platz in Berlin auf Sand gegru(cid:127)ndet. Das Materialverhalten einer granularen Struktur wie Sand ist allerdings (cid:127)au(cid:25)erst komplex. Sto(cid:11)gesetze zur realit(cid:127)atsnahen Beschreibung dieses Materialverhaltens mu(cid:127)ssen verschie- densten Eigenschaften genu(cid:127)gen. So mu(cid:25) z.B. die Abh(cid:127)angigkeit der Scherfestigkeit vom Spannungszustand als ein typisches Merkmal von Reibungsmaterialien modelliert wer- den. Die Beru(cid:127)cksichtigung der Belastungsgeschichte, dilatante E(cid:11)ekte sowie die Charak- teristik der Materialverfestigung mit zunehmender Belastung k(cid:127)onnen ebenfalls nicht ver- nachl(cid:127)assigt werden. Klassische linear-elastische (Hookesches Gesetz) und ideal-plastische (Grenzbedingung nach Mohr-Coulomb) Spannungs-Verformungstheorien der Bodenme- chanik ergeben oftmals gro(cid:25)e Abweichungen zwischen rechnerischen Vorhersagen und tats(cid:127)achlichen Beobachtungen. Dieses Problem hat, in Zusammenhang mit der Entwick- lung der Finiten-Elemente-Methode, in den letzten 40 Jahren international zu intensiver Forschungst(cid:127)atigkeit gefu(cid:127)hrt. In dieser Zeit sind eine Vielzahlvon Arbeiten entstanden, die sich mit der Entwicklung von elasto-plastischen Sto(cid:11)gesetzen fu(cid:127)r granulare Materialien besch(cid:127)aftigen. An dieser Stelle seien die Arbeiten von Pooroshab et al. [83, 84], Rowe [88], Duncan & Chang [31], Lade [67], Gudehus [45, 46], Vermeer [107], Arslan [1], Desai [24], Kim & Lade [57] und Lade & Kim [70, 71] herausgegri(cid:11)en, da diese als richtungsweisende Beitr(cid:127)age gelten. Die Entwicklung von neuen Materialgesetzen wird vor allemdurch die st(cid:127)andige Steigerung der Computerkapazit(cid:127)aten vorangetrieben, da sich dadurch immer komplexere Theorien numerisch umsetzen lassen. Durch diese Entwicklung stiegen auch die Anforderungen im experimentellen Bereich, da anspruchsvolle Materialgesetze eine versuchstechnisch exakte Untersuchung der Materi- aleigenschaften erfordern. Vor allem die Erfassung kleiner Deformationen in mehraxia- len Versuchen sowie die Untersuchung postkritischer Bereiche bildeten die Schwerpunkte versuchstechnischer Forschungsaktivit(cid:127)aten der letzten Jahre. Im Bereich experimenteller Untersuchungen sind die Leistungen von Ko & Scott [61, 62, 63], Roscoe [85], Bishop 1 2 Einleitung & Wesley [8], Lade & Duncan [68], Tatsouka & Ishihara [100], Goldscheider [42], Yamada & Ishihara [114] und Desrues et al. [26] besonders hervorzuheben. Basierend auf den gesammelten Erfahrungen dieser Autoren und den Vorarbeiten im Bereich elasto-plastischer Konstitutivgleichungen von Ehlers [33, 34] behandelt die- se Arbeit die Entwicklung eines neuen Sto(cid:11)modells zur Beschreibung des Spannungs- -Verformungsverhaltens von granularen Materialien am Beispiel von Berliner Sand. Von Interesse ist dabei die Beziehung zwischen einer auf die Kornstruktur des Sandes auf- gebrachten Spannung bzw. Verformung und der sich daraus ergebenden Verformungs- bzw. Spannungsantwort. Hierbei wird von einer makroskopischen, ph(cid:127)anomenologischen Betrachtungsweise ausgegangen. Dies bedeutet, es wird eine Ansammlung von K(cid:127)orner be- trachtet, die eine zusammenh(cid:127)angende Festk(cid:127)orperstruktur bilden (Kontrollvolumen). Die Anzahl der K(cid:127)orner mu(cid:25) so gro(cid:25) sein, da(cid:25) eine Struktur mit unendlich vielen K(cid:127)orner stati- stisch repr(cid:127)asentiert wird. Das mechanische Verhalten des betrachteten Kontrollvolumens wird gedanklich in einen Punkt eines kontinuierlichen Kontinuums projiziert, welches durch orts- und zeitabh(cid:127)angige Feldgleichungen sowie die entsprechenden Konstitutivglei- chungen beschrieben werden kann.Eineandere Zugangsm(cid:127)oglichkeitistdiemikroskopische Betrachtung einzelner K(cid:127)orner bezu(cid:127)glich deren Geometrie und mechanischen Verhaltens sowie deren Wechselwirkungen zu benachbarten K(cid:127)ornern (Partikelmechanik). Auf diese Vorgehensweise wird im Rahmen dieser Arbeit nicht eingegangen. Experimentelle makroskopische Untersuchungen an granularen Strukturen zeigen, da(cid:25) nach einer Entlastung bei vorhergehender Erstbelastung bleibende Deformationen entste- hen. Dies zeigt, da(cid:25) inelastische Verformungsanteile enthalten sind, die bei der Modellbil- dung beru(cid:127)cksichtigt werden mu(cid:127)ssen. Dies geschieht in der Regel durch eine Aufteilung in elastische und plastische Deformationsanteile. Konstitutivgleichungen fu(cid:127)r die jeweiligen Anteile sind dann erforderlich. Das in dieser Arbeit vorgestellte Modell beschreibt diese Anteile durch eine geometrisch lineare, elasto-plastische Theorie mit einem Ein(cid:13)(cid:127)achen- (cid:13)ie(cid:25)kriterium unter isotroper Verfestigung und einer nicht-assoziierten Flie(cid:25)regel. Die Be- schreibung der elastischen Deformationsanteile erfolgt durch ein materiell nichtlineares Elastizit(cid:127)atsgesetz. Dabei werden verschiedenste Eigenschaften des elastischen Verhaltens einer granularen Struktur beru(cid:127)cksichtigt. Bei der Entwicklung des Elastizit(cid:127)atsgesetzes wird auf die Einhaltung thermodynamischer Grunds(cid:127)atze Wert gelegt. Viele der in den vergangenen Jahren publizierten Elastizit(cid:127)atsgesetze fu(cid:127)r Reibungsmaterialien erfu(cid:127)llen die- se Anforderung nicht. Die plastischen Deformationsanteile sind in dem hier vorgestellten Modell bestimmt durch eine spezielle Flie(cid:25)bedingung und ein zus(cid:127)atzliches plastisches Po- tential in Verbindung mit Evolutionsgleichungen fu(cid:127)r die plastischen Verzerrungsanteile und fu(cid:127)r Variablen der isotropen Verfestigung. Um das entwickelte Sto(cid:11)modell auf das spezielle Materialverhalten von Berliner Sand anpassen zu k(cid:127)onnen, ist die Durchfu(cid:127)hrung und Auswertung von mehraxialen Elementver- suchen erforderlich. Innerhalb dieser Arbeit werden solche mehraxiale Versuche in Form von Triaxialversuchen mit rotationssymmetrischen Probek(cid:127)orpern realisiert. Die Versuchs- ergebnisse zeigen dabei eine starke Sensitivit(cid:127)at in bezug auf die Versuchstechnik. Die besonderen Schwierigkeiten stellen hier die Einhaltung einer homogenen Spannungs- und Verzerrungsverteilung innerhalb der Probe sowie die Messung der exakten Probendefor- mationen dar. Anhand von Ergebnissen aus den durchgefu(cid:127)hrten Triaxialversuchen wird Einleitung 3 eine Parameteridenti(cid:12)kationfu(cid:127)rdieModellgleichungenvorgenommen.Hierbeiwerden ela- stische und plastische Konstitutivgleichungen getrennt betrachtet. Zur Versuchsauswer- tung und Parameteridenti(cid:12)kation wurde ein Programm entwickelt, das Ergebnisse aus triaxialen Kompressions- und Extensionsversuchen sowie aus Triaxialversuchen mit rein hydrostatischer Belastung als Eingabegr(cid:127)o(cid:25)en ben(cid:127)otigt. Die entwickelten elasto-plastischen Konstitutivgleichungen werden dann im Rahmen der TheoriePor(cid:127)oserMedien(TPM) (Bowen[13,14],de Boer & Ehlers[11],Ehlers[32]) in ein Zweiphasenmodell mit inkompressiblen Konstituierenden eingearbeitet. Innerhalb der Bilanzgleichungen des Zweiphasenmodells geht das Sto(cid:11)modell in die Spannungsbe- rechnung derFestk(cid:127)orperstruktur ein.DieEinbindungineinMehrphasenmodellerm(cid:127)oglicht die Beschreibung von wasserges(cid:127)attigten sowie von trockenen granularen Materialien. Da fu(cid:127)r das gesamte Modell keine geschlossenen L(cid:127)osungen existieren, ist eine numerische BehandlungdesProblemserforderlich.DazuwerdendieMaterialgleichungenindasFinite- 1 Elemente-Programm PANDAS eingearbeitet, das speziell fu(cid:127)r die Behandlung von nichtli- nearen Mehrphasenproblemen geeignet ist. Voraussetzungen In den 60er und 70er Jahren wurden in Berlin auf dem Versuchsgel(cid:127)ande der Deutschen Forschungsgesellschaft fu(cid:127)r Bodenmechanik (Degebo) eine Reihe gro(cid:25)ma(cid:25)st(cid:127)ablicher Ver- suche zur Untersuchung von Setzungen und des Grundbruchverhaltens bei nichtbindigen B(cid:127)oden durchgefu(cid:127)hrt. Dabei liegen speziell Versuchsergebnisse aus dem Jahr 1964 in sehr gut dokumentierter Form vor (Elminger & Muhs [40]). Innerhalb des Forschungspro- 2 jekts Baugrund-Tragwerk-Interaktion\ (BTI) , in dem unter anderem die Modellierung " des Materialverhaltens von koh(cid:127)asionslosen B(cid:127)oden behandelt wird, wurde beschlossen, die Ergebnisse dieser Gro(cid:25)versuche zur Veri(cid:12)zierung eines zu entwickelnden Sto(cid:11)modells zu verwenden. Die Versuche von 1964 wurden mit unterschiedlich dicht gelagertem Sand durchgefu(cid:127)hrt. Aus diesen Versuchen wurden innerhalb des Projekts Versuche mit einer 3 3 Sanddichte von (cid:26)d = 1,71g/cm ausgew(cid:127)ahlt . Mit Berliner Sand dieser Dichte sollten dann alle weiteren Untersuchungen durchgefu(cid:127)hrt werden. Um den in den Gro(cid:25)versuchen von 1964 verwendeten Sand zu reproduzieren, wurde Sand am Potsdamer Platz in Ber- lin entnommen und durch Sieben und Umverteilen einzelner Kornanteile so manipuliert, da(cid:25) die Kornverteilung der des Sandes aus den Gro(cid:25)versuchen entspricht. Mit diesem Sand wurden dann mit der vorgegebenen Dichte Elementversuche durchgefu(cid:127)hrt, die zur Parameteridenti(cid:12)kation eines Sto(cid:11)modells erforderlich sind. Die Aufbereitung des Ver- suchssandes, die bodenmechanische Klassi(cid:12)zierung sowie die Durchfu(cid:127)hrung von Element- versuchen erfolgte am Institut fu(cid:127)r Geotechnik der TU Darmstadt. Die Ergebnisse dieser Versuche gehen teilweise in diese Arbeit ein. 1 Porous media Adaptive Nonlinear (cid:12)nite element solver based on Di(cid:11)erential Algebraic Systems. 2 Das Forschungsprojekt BTI wird gef(cid:127)ordert von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG). 3 Fu(cid:127)r Berliner Sand wird diese Dichte in der Bodenmechanik als dichte Lagerung\ klassi(cid:12)ziert. "
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