Soluzioni degli esercizi di Matematica e Statistica Marco Abate

119 Pages·2017·1.8 MB·Italian

Soluzioni degli esercizi di
Matematica e Statistica
Terzaedizione
Marco Abate
25 giugno 2017
Marco Abate, Matematica e statistica, 3e - ISBN 9788838615610, ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl
Marco Abate, Matematica e statistica, 3e - ISBN 9788838615610, ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl
Indice
Capitolo1. Aritmetica 1
Numerieunita` dimisura 1
Operazioni 2
Notazionescientificaeordinidigrandezza 2
Approssimazioni 3
Uguaglianzeedisuguaglianze 3
Propagazionedeglierrori 4
Percentuali 4
Teoriaintuitivadegliinsiemi 6
Logicaelementare 6
Capitolo2. Rappresentazionideidati 9
Funzioni 9
Funzioniiniettive,surgettive,bigettive 9
Composizioneegrafici 10
Coordinatecartesiane 11
Equazioniedisequazioni 12
Diagrammicartesiani 14
Istogrammi 15
Capitolo3. Geometriaanalitica 17
Vettoriapplicati 17
Lunghezzeeangoli 17
Piani 18
Rette 19
Capitolo4. Algebralineare 21
Sistemilinearitriangolarisuperiori 21
Basiedimensione 21
Lariduzioneascala 22
Operazionisullematrici 26
Determinanti 30
Autovalorieautovettori 31
Capitolo5. Bestiario,I:funzionialgebriche 33
Funzionilineari 33
Programmazionelineare 36
Funzioniquadratiche 36
Funzionipolinomiali 42
Funzionipotenza 42
v
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vi INDICE
Funzionirazionali 43
Limitiecontinuita` 45
Capitolo6. Bestiario,II:funzionitrascendenti 47
Funzioniesponenziali 47
Funzionilogistiche 47
Funzionilogaritmiche 48
Funzionitrigonometriche 49
Funzionisinusoidali 51
Successionieserie 51
Capitolo7. Calcolodifferenziale 55
Derivate 55
Calcolodiderivate: funzionialgebriche 55
Calcolodiderivate: funzionitrascendenti 56
Massimieminimi 58
Studioqualitativodifunzioni 59
Laregoladidel’Hoˆpital 72
SviluppodiTaylor 73
Propagazionedeglierrori 74
IlmetododiNewton-Raphson-Wallis 74
Derivateparziali 74
Capitolo8. Calcolointegrale 77
Definizionediintegrale 77
Proprieta` dell’integrale 77
Integraleindefinito 78
Integrazioneperparti 79
Integrazionepersostituzione 80
Integraliimpropri 80
Mediaintegrale 81
Capitolo9. Equazionidifferenziali 83
Introduzione 83
L’equazioney(cid:48) =ay+b 85
Separazionedellevariabili 85
Sistemilinearidiequazioni 87
L’equazioney(cid:48)(cid:48) =ay(cid:48)+by+c 88
Capitolo10. Probabilita` discreta 91
Eventi 91
Distribuzionidiprobabilita` 92
Frequenzerelative 92
Assiomidellaprobabilita` 93
Eventiindipendenti 93
LaleggediHardy-Weinberg 93
Probabilita` condizionata 93
Testdiagnostici 95
Calcolocombinatorio 95
Distribuzionebinomiale 97
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INDICE vii
Capitolo11. Statistica 99
Media,medianaemoda 99
Varianza 99
Ilmetododeiminimiquadrati 100
Tecnichediinterpolazione 100
Capitolo12. Probabilita` continua 103
Variabilialeatorie 103
Valoreattesoevarianzadivariabilialeatoriediscrete 104
DistribuzionediPoisson 105
Variabilialeatoriecontinue 106
Funzionedidistribuzione 108
Distribuzioneuniforme 110
Distribuzioneesponenziale 110
Distribuzionenormale 111
Campioniepopolazione 111
Testd’ipotesi 111
TestZ 111
TestT diStudent 112
TestF dianalisidellavarianza(ANOVA) 112
Testχ2 112
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CAPITOLO 1
Aritmetica
Numerieunita` dimisura
Esercizio1.1 (a),(b),(c),(e),(f).
7 3 √ (cid:18)1(cid:19)−1
Esercizio1.2 − <−0.5<(−2)−4 < < 2< .
3 5 2
Esercizio1.3
(a)63libbre=63/2.2kg;
(b)2.5kg=5.5libbre.
Esercizio1.4
(a)Celsius=Kelvin−273.16
(b)Kelvin=Celsius+273.16
(c)Kelvin=5/9·Fahrenheit+255.382
(d)Fahrenheit=9/5·Kelvin−459.688
Esercizio1.5
(a)337.16Kelvin
(b)104Fahrenheit
(c)-173.16Celsius
(d)-459.688Fahrenheit
(e)288.16Kelvin
(f)-35Celsius
Esercizio1.6
Supponiamo che la radice quadrata di n sia data dal numero razionale ridotto ai minimi
termini p/q; questo vuol dire che n = p2/q2, cioe` q2n = p2. Scriviamo ora la decom-
posizione in fattori primi di p e q: p = pa1···pah e q = qb1···qbk, dove p ,...,p
1 h 1 k 1 h
e q ,...,q sono numeri primi e a ,...,a e b ,...,b sono numeri naturali. Inoltre,
1 k 1 h 1 k
siccome la frazione p/q e` ridotta ai minimi termini, tutti i p sono diversi da tutti i q .
i j
L’uguaglianzaq2n=p2diventa
q2b1···q2bkn=p2a1···p2ah .
1 k 1 h
Siccomeladecomposizioneinfattoriprimidiunnumeroe`unica,neiduemembridiquesta
uguaglianzaconesponentediversodazerodevonoapparireesattamenteglistessinumeri
primi. Manessunodeiq comparenelmembrodestro;quindigliesponentideiq devono
j j
esseretuttiugualiazero,cioe` b = ··· = b = 0eq = 1. Maalloran = p2,percuine`
1 k
effettivamenteilquadratodiunnumeronaturale.
1
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2 1.ARITMETICA
Operazioni
Esercizio1.7
(a)72;
(b)3−3/4
(c)1;
(d)34;
(e)2−7/4;
(f)65/6;
(g)2−19/4.
Esercizio1.8
b+a
(a) ;
ab
ab−a
(b) ;
b2
−2a−4b
(c) ;
a2−b2
b+2a
(d) .
ab(a+b)
Esercizio1.9 Applicando2voltelaproprieta`distributivaotteniamo(a2−ab)−(b2+
ba). Applicando la proprieta` commutativa della somma e quella del prodotto otteniamo
poi(a2−ab)+(ab−b2).Infine,applicandolaproprieta`associativaotteniamo(a2−ab)+
(ab−b2).
Esercizio 1.10 Per la proprieta` commutativa del prodotto by ·b3 = yb·b3 e per la
proprieta` associativadelprodottoyb·b3 =yb4.
Consideriamooral’espressionex(3−y)−y(3−x). Perlaproprieta` distributivadel
prodottorispettoallasommadiventax3+x(−y)−y3+(−y)(−x).Perleproprieta`commu-
tativadelprodottoquest’ultimadiventa3x−xy−3y+(−x)(−y).Leproprieta`associativa
ecommutativadelprodottocidiconoche(−x)(−y) = (−1)x(−1)y = (−1)2xy = xy;
quindilanostraespressionediventa3x−xy−3y+xy Applicandolaproprieta` commu-
tativadellasommaotteniamopoi3x−3y;infineperlaproprieta`distributivadellasomma
rispettoalprodottoconcludiamo3(x−y).
RR
Esercizio1.11 R = 2 .
1 R −R
2
Esercizio1.12 Ilsecondoconohaaltezzaugualeah/20,dovehe`l’altezzadelprimo
cono.
Notazionescientificaeordinidigrandezza
Esercizio1.13 La4,cioe` 10−3 <c<10−2.
Esercizio1.14 2.23·10−27g.
Esercizio1.15 2985.
Esercizio1.16 47250.
Esercizio1.17 80.
Esercizio 1.18 Supponiamo che la superficie con capelli sia un rettangolo di 12 cm
per25cm,edidisporreicapelliinmanieraregolare. Siccome1µm=10−4cm,eaccanto
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UGUAGLIANZEEDISUGUAGLIANZE 3
a ogni capello ci dev’essere uno spazio di un capello, su una riga di 12 cm ci stanno
12/(2 · 50 · 10−4) = 12 · 102 capelli. Analogamente, una colonna di 25 cm contiene
25/(2·50·10−4)=25·102capelli;quindiintotalecisono(12·102)·(25·102)=3·106
capelli. Quindiinognigruppodiesseriumanicomprendentepiu` di3milionidipersonece
nedevonoesserealmenodueconlostessonumerodicapelli. Inparticolare, questovale
perilmondoeperl’Italia;perlatuaregioneolatuacitta` dipendedasehapiu` omenodi
3milionidiabitanti.
Esercizio1.19 1000.
Esercizio1.20 18.73m.
Esercizio 1.21 La massa totale dell’atmosfera e` di 5.1·1018 kg, mentre quella del-
l’ossigenoinessae` di1.122·1018kg.
Esercizio1.22 124666.6anni.
Esercizio1.23 1.6·104l.
Esercizio1.24 191.1·106.
Approssimazioni
Esercizio1.25
(a)Falso;
(b)Vero;
(c)Vero;
(d)Vero.
Esercizio1.26 b=14.
Esercizio1.27
Primaclasse: s∈[3,3.2];3≤s≤3.2;v±e=3.1±0.1.
Secondaclasse: s∈(3.2,3.5];3.2<s≤3.5;v±e=3.35±0.15.
Terzaclasse: s∈(3.5,3.9];3.5<s≤3.9;v±e=3.7±0.2.
Esercizio1.28
0.1237(cid:39)0.1, 0.12, 0.124.
11.4563(cid:39)11.5, 11.46, 11.456.
−12.66666(cid:39)−12.7, −12.67, −12.667.
0.123456(cid:39)0.1, 0.12, 0.123.
151.151151(cid:39)151.2, 151.15, 151.151.
Esercizio1.29
[Errata: neltestodiquestoeserciziol’ultimapercentualedev’essere66.6%.] Rispettiva-
mente10%,11%,12%,67%.
Uguaglianzeedisuguaglianze
Esercizio1.30
(a)(3a+5)2= 1(a+ a) =⇒ a=−40;
2 2 21
(b) 2b+6 =2(cid:0)b2+ b(cid:1) =⇒ b=±1;
3 3
(c) 4c−3 =2(cid:0)c+ c(cid:1) =⇒ c=−9;
2 3 4
(d) 4d+3 =3(cid:0)d+ d(cid:1) =⇒ d= 6 .
3 2 19
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4 1.ARITMETICA
Esercizio1.31
(a)x=0oppurex=4;
√ √
(b)x=0oppurex= 5oppurex=− 5;
(c)x=0oppurex=coppurex=−c.
Esercizio1.32 2<x<5.
Esercizio1.33 a=2,b=−1.
Esercizio1.34 −0.1<y−x<2.1.
Esercizio1.35 x>4.
Esercizio1.36
(a)Nonsempre(dipendedalsegnodiaeb).
(b)S`ı.
Esercizio1.37 Ilragionamentoe`correttofinoaquandosiottienel’uguaglianzaa(b−
a) = (b + a)(b − a), ma a questo punto non possiamo semplificare dividendo ambo i
membriperb−a,datocheb−a=0peripotesi.
Propagazionedeglierrori
Esercizio1.38 xy =1001±110(cid:39)1000±110; x = 91 ± 10 (cid:39)10± 11.
y 9 9 10
Esercizio1.39 210±30.
Esercizio1.40 xy =811±99; x = 811 ± 99.
y 80 80
Esercizio1.41 xy =100.04±4(cid:39)100±4; x =1.0008±0.040016(cid:39)1±0.04.
y
Esercizio1.42 xy =8.1±1.8.
Esercizio1.43 2001±120(cid:39)2000±120.
Esercizio 1.44 (16.168±2.8832)·10−21 (cid:39) (16±2.88)·10−21;l’errorerelativoe`
circa0.178.
Esercizio1.45 Ilvalorestimatoe` circa5h,mentrel’erroreassolutoe` circa0.75h(il
valorestimatoprecisoe` 335 hel’erroreassolutoprecisoe` 25 h).
66 33
Esercizio 1.46 Il valore stimato e` circa 2985.6688, mentre l’errore assoluto e` circa
452.64.
Esercizio1.47 E` compresotra4.46·10−12m3e6.23·10−12m3.
Percentuali
Esercizio1.48 0.8%.
Esercizio1.49 56%.
Esercizio1.50 E` indifferente.
Esercizio1.51 E` diminuitodell’1%.
Esercizio1.52 Inquellosottocasa.
Esercizio1.53 −0.3%.
Esercizio1.54 −0.327%.
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