Solution to Advanced Problems in Mathematics for JEE (MAIN & ADVANCED) (Black Book Maths Solution)

372 Pages·2017·6.193 MB·English

by  Pankaj Joshi , Vikas Gupta

Function 1
1
F
UNCTION
Exercise-1 : Single Choice Problems
1. f(x)(cid:61)log (2(cid:45)2log (16sin2 x (cid:43)1))
2 2
0(cid:163)log (16sin2 x (cid:43)1)(cid:163)log 17 (cid:222) 2(cid:45)2log 17(cid:163)2(cid:45)2log (16sin2 x (cid:43)1)(cid:163)2
2 2 2 2
(cid:222) 0(cid:60)2(cid:45)2log (16sin2 x (cid:43)1)(cid:163)2 (cid:222) f(x)(cid:163)1
2
2. For any b(cid:206)Re|x(cid:45)b| is
e|x–b|
|||||||1|||||||||||||||||||||||||||||| |e|x–b|–3|
b
min
–2
|e|x(cid:45)b| (cid:45)a| has four distinct solutions a(cid:62)3 so a(cid:206)(3,(cid:165))
3. Domain (cid:61)[(cid:45)1,1] and both are increasing functions.
(cid:92) x (cid:61)(cid:45)1, we get minimum value & x (cid:61)1, we get maximum value.
(cid:233) (cid:112) (cid:112) (cid:112) (cid:112)(cid:249) (cid:233) (cid:112) (cid:112)(cid:249)
(cid:45) (cid:45) , (cid:43) (cid:61) (cid:45) ,
(cid:234) (cid:250) (cid:234) (cid:250)
(cid:235) 4 4 4 4(cid:251) (cid:235) 2 2(cid:251)
2
4. (cid:230)(cid:231)22x2(cid:43)2y (cid:45)22x(cid:43)2y2(cid:246)(cid:247) (cid:61)1(cid:45)22x2(cid:43)2y2(cid:43)2x(cid:43)2y(cid:43)1 (cid:179)0
(cid:232) (cid:248)
2 2
(cid:230) 1(cid:246) (cid:230) 1(cid:246)
(cid:222) (cid:231)x (cid:43) (cid:247) (cid:43)(cid:231)y (cid:43) (cid:247) (cid:163)0
(cid:232) 2(cid:248) (cid:232) 2(cid:248)
2 Solution of Advanced Problems in Mathematics for JEE
y
1
5. x
O
(0,–a)
(cid:230) 5 2 (cid:246)
7. sec(cid:45)1(cid:231)(cid:45) (cid:43) (cid:247) x2 (cid:43)2(cid:179)2
(cid:232)(cid:231) 2 2(x2 (cid:43)2)(cid:248)(cid:247)
(cid:230) 5 1 (cid:246) (cid:230) 1 1(cid:246)
(cid:61)sec(cid:45)1(cid:231)(cid:45) (cid:43) (cid:247) (cid:231) (cid:163) (cid:247)
(cid:232)(cid:231) 2 (x2 (cid:43)2)(cid:248)(cid:247) (cid:232) x2 (cid:43)2 2(cid:248)
(cid:230) 5 1 5 1 (cid:246)
(cid:163)sec(cid:45)1((cid:45)2)(cid:61)(cid:112)(cid:45)sec(cid:45)1(2) (cid:231)(cid:45) (cid:43) (cid:163)(cid:45) (cid:43) (cid:61)(cid:45)2(cid:247)
(cid:232) 2 x2 (cid:43)2 2 2 (cid:248)
2(cid:112)
(cid:61)
3
8. f(cid:162)(x)(cid:61)x2 (cid:43)ax (cid:43)b is injective if D(cid:163)0
a2 (cid:45)4b(cid:163)0
If a(cid:61)1,b(cid:61)1,2,3,4,5 Number of pair (cid:61)5
a(cid:61)2,b(cid:61)1,2,3,4,5 Number of pair (cid:61)5
a(cid:61)3,b(cid:61)3,4,5 Number of pair (cid:61)3
a(cid:61)4,b(cid:61)4,5 Number of pair (cid:61)2
a(cid:61)5 b has no value
9. f(x)(cid:61)log [x] (cid:222) f(x)(cid:206)[0,1]
x
g(x)(cid:61)|sinx|(cid:43)|cosx|
(cid:222) g(x)(cid:206)[1, 2]
10. f(x)(cid:61)2x3 (cid:45)3x2 (cid:43)6
f(cid:162)(x)(cid:61)6x2 (cid:45)6x(cid:179)0 (cid:222) x(cid:206)[1,(cid:165))
and f(x)(cid:206)[5,(cid:165))
11. 0(cid:163){x}(cid:60)1
{x}({x}(cid:45)1)({x}(cid:43)2)(cid:179)0
(cid:222) {x}(cid:61)0 (cid:222) x(cid:206)z
14. 1(cid:43)sin2 x(cid:206)[1,2]
1 (cid:233)1 (cid:249)
(cid:206) ,1
1(cid:43)sin2 x (cid:235)(cid:234)2 (cid:251)(cid:250)
sin(cid:45)1(cid:230)(cid:231) 1 (cid:246)(cid:247)(cid:206)(cid:233)(cid:112),(cid:112)(cid:249)
(cid:232)1(cid:43)sin2 x(cid:248) (cid:235)(cid:234)6 2(cid:251)(cid:250)
Function 3
K(cid:112) (cid:233)(cid:112) (cid:112)(cid:249)
(cid:206) , K(cid:206)[1,3]
(cid:234) (cid:250)
6 (cid:235)6 2(cid:251)
15. f(x (cid:45) y)(cid:61) f(x)f(y)(cid:45) f(a(cid:45)x)f(a(cid:43) y)
Put x (cid:61) y (cid:61)0
f(0)(cid:61)[f(0)]2 (cid:45) f(a)f(a)
(cid:222) f(a)(cid:61)0 [(cid:81) f(0)(cid:61)1]
Put x (cid:61)a and y (cid:61)x
f(a(cid:45)x)(cid:61) f(a)f(x)(cid:45) f(0)f(a(cid:43) x)
(cid:222) (cid:45)f(a(cid:45)x)(cid:61) f(a(cid:43) x) (cid:222) f(2a(cid:45)x)(cid:61)(cid:45)f(x)
18. f(x)(cid:61)4x (cid:45)x2 (cid:61) y
x2 (cid:45)4x (cid:43) y (cid:61)0
f(cid:45)1(x)(cid:61)2(cid:45) 4(cid:45)x
19. [5sinx](cid:43)[cosx](cid:61)(cid:45)6
(cid:222) (cid:45)1(cid:163)cosx(cid:60)0 and (cid:45)5(cid:163)5sinx(cid:60)(cid:45)4
4
(cid:45)1(cid:163)sinx(cid:60)(cid:45)
5
20. f(x)(cid:61)ax (cid:43)cosx
f(cid:162)(x)(cid:61)a(cid:45)sinx
if f(x) is invertible, then
f(cid:162)(x)(cid:179)0 or f(cid:162)(x)(cid:163)0
(cid:222) a(cid:179)1 or a(cid:163)(cid:45)1
(cid:233) x(cid:249) (cid:233) x(cid:249) (cid:233) x(cid:249)
21. f(x)(cid:61)[1(cid:43)sinx](cid:43) 2(cid:43)sin (cid:43) 3(cid:43)sin (cid:43)(cid:188)(cid:43) n(cid:43)sin
(cid:234) (cid:250) (cid:234) (cid:250) (cid:234) (cid:250)
(cid:235) 2(cid:251) (cid:235) 3(cid:251) (cid:235) n(cid:251)
(cid:233) x(cid:249) (cid:233) x(cid:249) (cid:233) x(cid:249)
(cid:61)(1(cid:43)2(cid:43)3(cid:43)(cid:188)(cid:43)n)(cid:43)[sinx](cid:43) sin (cid:43) sin (cid:43)(cid:188)(cid:43) sin
(cid:234) (cid:250) (cid:234) (cid:250) (cid:234) (cid:250)
(cid:235) 2(cid:251) (cid:235) 3(cid:251) (cid:235) n(cid:251)
x2 (cid:43)ax (cid:43)1
22. y (cid:61)
x2 (cid:43) x (cid:43)1
(y (cid:45)1)x2 (cid:43)(y (cid:45)a)x (cid:43)(y (cid:45)1)(cid:61)0
D(cid:179)0
(y (cid:45)a)2 (cid:45)4(y (cid:45)1)2 (cid:179)0
(cid:45)3y2 (cid:43) y(8(cid:45)2a)(cid:43)a2 (cid:45)4(cid:179)0(cid:34) y(cid:206)R
Not possible
23. f(x)(cid:61)[x](cid:43)[(cid:45)x]
4 Solution of Advanced Problems in Mathematics for JEE
(cid:236)0 x(cid:206)I
f(x)(cid:61)(cid:237)
(cid:238)(cid:45)1 x(cid:207)I
g(x)(cid:61){x}
h(x)(cid:61) f[g(x)](cid:61) f({x}) {x}(cid:61)0 x(cid:206)I
{x}(cid:61){x} x(cid:207)I
(cid:236) f(0) x(cid:206)I (cid:236)0 x(cid:206)I
h(x)(cid:61)(cid:237) (cid:222) h(x)(cid:61)(cid:237)
(cid:238)f({x}) x(cid:207)I (cid:238)(cid:45)1 x(cid:207)I
Hence, the option (b).
(cid:233) x (cid:249) (cid:233) 15(cid:249)
24. f(x)(cid:61) (cid:45) x(cid:206)(0,90)
(cid:234) (cid:250) (cid:234) (cid:250)
(cid:235)15(cid:251) (cid:235) x (cid:251)
0(cid:163) x(cid:60)15 f(x)(cid:61)0
15(cid:163) x(cid:60)30 f(x)(cid:61)(cid:45)1
30(cid:163) x(cid:60)45 f(x)(cid:61)(cid:45)2
45(cid:163) x(cid:60)60 f(x)(cid:61)(cid:45)3
60(cid:163) x(cid:60)75 f(x)(cid:61)(cid:45)4
75(cid:163) x(cid:60)90 f(x)(cid:61)(cid:45)5
Total integers in range f(x)(cid:61){0,(cid:45)1,(cid:45)2,(cid:45)3,(cid:45)4,(cid:45)5}
1
25. g(x)(cid:61)
f(|x|)
g(x) (cid:222) even functions (cid:222) symmetric about y-axis
(cid:222) x(cid:174)(cid:165) f(x)(cid:174)0
at x (cid:61)x f(x)(cid:61)0 (cid:222) g(x )(cid:174)(cid:165)
1 1
26. Homogeneous function (cid:222) f(tx,ty)(cid:61)tn f(x, y)
(cid:233)2x (cid:43)3 x(cid:163)1
27. f(x)(cid:61)
(cid:235)(cid:234)a2x (cid:43)1 x(cid:62)1
For x(cid:163)1 f(x)(cid:163)5
So for range of f(x) to be R.
(cid:222) a2 (cid:43)1(cid:163)5 and a(cid:185)0
(cid:222) a(cid:206)[(cid:45)2,2]
Hence, a(cid:61){(cid:45)2,(cid:45)1,1,2}
28. log (log (x (cid:45)5))(cid:62)0
1/3 4
0(cid:60)log (x (cid:45)5)(cid:60)1
4
1(cid:60) x (cid:45)5(cid:60)4
6(cid:60) x(cid:60)9
(cid:230) 4 (cid:246)
29. f(x)(cid:61)log (cid:231) (cid:247);(cid:45)2(cid:163) x(cid:163)2
2
(cid:232) 2(cid:43) x (cid:43) 2(cid:45)x(cid:248)
Function 5
2(cid:43) x (cid:43) 2(cid:45)x (cid:61) y
4(cid:43)2 4(cid:45)x2 (cid:61) y2
y(cid:206)[2,2 2]
(cid:233) 4 4(cid:249)
Range f(x)(cid:61) log ,log
(cid:234) 2 2 (cid:250)
(cid:235) 2 2 2(cid:251)
(cid:233)1 (cid:249)
f(x) lies between ,1
(cid:234) (cid:250)
(cid:235)2 (cid:251)
30. |x2 (cid:43)5x|(cid:43)|x (cid:45)x2|(cid:61)|6x| (cid:222) |x2 (cid:43)5x|(cid:43)|x (cid:45)x2|(cid:61)|(x2 (cid:43)5x)(cid:43)(x (cid:45)x2)|
|a|(cid:43)|b|(cid:61)|a(cid:43)b| (cid:222) ab(cid:179)0
(x2 (cid:43)5x)(x (cid:45)x2)(cid:179)0
x(x (cid:43)5)(cid:215)x(x (cid:45)1)(cid:163)0 (cid:222) (cid:45)5(cid:163) x(cid:163)1
(cid:230)1(cid:246) (cid:230)1(cid:246)
31. f(x)(cid:43) f(cid:231) (cid:247)(cid:61) f(x)f(cid:231) (cid:247)
(cid:232) x(cid:248) (cid:232) x(cid:248)
(cid:222) f(x)(cid:61)1(cid:177) xn
f(2)(cid:61)33 (cid:222) n(cid:61)5
Hence, f(x)(cid:61)1(cid:43) x5
Here, f(x)(cid:43) f((cid:45)x)(cid:185)0.
Hence not an odd function.
sinx (cid:43)sin7x 2sin4xcos3x
32. g(x)(cid:61) (cid:43)|sinx|(cid:61) (cid:43)|sinx|
cosx (cid:43)cos7x 2cos4xcos3x
(cid:61)tan4x (cid:43)|sinx|
g(x) period (cid:61)(cid:112)
(cid:233)x (cid:45)1
x (cid:61)odd
(cid:234)
33. f(x)(cid:61) 2 f(x):N(cid:174) Z
(cid:234) x
(cid:234) (cid:45) x (cid:61)even
(cid:235) 2
Let x (cid:61) odd (cid:61)(2n(cid:43)1);n(cid:62)0
2n(cid:43)1(cid:45)1
f(x)(cid:61) (cid:61)n (cid:222) +ve integer
2
Let x (cid:61) even (cid:61)2m;m(cid:62)0
2m
f(x)(cid:61)(cid:45) (cid:61)(cid:45)m (cid:222) –ve integer
2
(cid:222) Range = codomains (cid:222) onto and clearly f(x) is one-one function.
Hence, bijective.
2x(cid:43)1 (cid:45)21(cid:45)x 22x(cid:43)1 (cid:45)2
34. y (cid:61) (cid:61)
2x (cid:43)2(cid:45)x 22x (cid:43)1
6 Solution of Advanced Problems in Mathematics for JEE
y(22x (cid:43)1)(cid:61)(22x (cid:45)1)2
22x (cid:215)y (cid:43) y (cid:61)22x (cid:215)2(cid:45)2
22x(y (cid:45)2)(cid:61)(cid:45)(2(cid:43) y)
(y (cid:43)2)
22x (cid:61)
(2(cid:45) y)
(2(cid:43) y)
2x (cid:61)log
2
(2(cid:45) y)
1 (2(cid:43) y)
x (cid:61) log
2
2 (2(cid:45) y)
1 (2(cid:43) x)
f(cid:45)1(x)(cid:61) log
2
2 (2(cid:45)x)
35. |y|(cid:61)x ((cid:81)x(cid:62)0)
(cid:222) |y|(cid:61)x2
(cid:222) y (cid:61)x2 y(cid:179)0
y (cid:61)(cid:45)x2 y(cid:60)0
36. f(x)(cid:61)log (9(cid:45)x2)
[x]
Domains (cid:61)[x](cid:62)90(cid:45)axn2d(cid:62)[x0](cid:185)1(cid:252)(cid:253)(cid:254) (cid:222) x(cid:206)[2,3) (cid:222) f(x)(cid:61)log2(9(cid:45)x2)
Range (cid:61)((cid:45)(cid:165),log 5]
2
37. Gives ex (cid:43)ef(x) (cid:61)e
ef(x) (cid:61)e(cid:45)ex
(cid:222) f(x)(cid:61)log (e(cid:45)ex)
e
Domain e(cid:45)ex (cid:62)0
x(cid:60)1 (cid:222) x(cid:206)((cid:45)(cid:165),1)
Range ((cid:45)(cid:165),1)
38. Gives y (cid:43)|y|(cid:61)x (cid:43)|x|
If x(cid:62)0, y(cid:62)0 (cid:222) 2y (cid:61)2x (cid:222) y (cid:61)x
x(cid:60)0, y(cid:62)0 (cid:222) 2y (cid:61)0 (cid:222) y (cid:61)0
x(cid:62)0, y(cid:60)0 (cid:222) 0(cid:61)2x (cid:222) x (cid:61)0
x(cid:60)0, y(cid:60)0 (cid:222) 0(cid:61)0 (cid:222) whole region of III quadrant.
For person to be safe there should not be point common to the given curves and the voltage
field graph. Only y (cid:61)m (cid:43)|x| does not have any point of intersection with the curve.
39. Gives |f(x)(cid:43)6(cid:45)x2|(cid:61)|f(x)|(cid:43)|4(cid:45)x2|(cid:43)2
(cid:222) |f(x)(cid:43)2(cid:43)(4(cid:45)x2)|(cid:61)|f(x)|(cid:43)|4(cid:45)x2|(cid:43)2