Soluciones de examenes de ``Logica informatica''

69 Pages·2005·0.273 MB·Spanish

by  Jose A. Alonso Jimenez

Soluciones de exa´menes de
“Lo´gica informa´tica”
Jose´ A. Alonso Jime´nez
Grupo de Lo´gica Computacional
Dpto. de Ciencias de la Computacio´n e Inteligencia Artificial
Universidad de Sevilla
Sevilla, 10 de Junio del 2004 (Versio´n del 4 de Abril de 2005)
2
Laversio´noriginaldelpresentedocumentoseencuentraen
http://www.cs.us.es/˜jalonso/cursos/li-04/examenes/examenes-li.pdf
ypuedecopiarseeimprimirselibremente. Todocomentariosera´ bienrecibidoypuedeenviarsea
[email protected].
´
Indice General
ExamendeDiciembrede2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
ExamendeJuniode2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ExamendeSeptiembrede2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ExamendeDiciembrede2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ExamendeJuniode2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ExamendeSeptiembrede2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ExamendeJuniode2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ExamendeSeptiembrede2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
ExamendeDiciembrede2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ExamendeJuniode2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ExamendeSeptiembrede2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4 ExamendeDiciembrede2000
Examen de Diciembre de 2000
Ejercicio1 Elejercicioconstadedosapartados.
(a) Probarquelasiguientefo´rmulaesunatautolog´ıa: (p → ¬q ∧r) → (p → (q → r))
(a.1) Utilizandotablerossema´nticos.
(a.2) Medianteformanormalconjuntiva.
(b) SeaU = {¬A ∨¬B ∨C ,¬A ∨B ,¬A ∨B ,A ,A }
1 1 2 1 1 2 2 1 2
(b.1) Probarque U esconsistenteydescribirrazonadamentetodoslosmodelosde U.
(b.2) Probarque U |= C medianteresolucio´nlineal.
2
Solucio´n:
Solucio´ndelapartado(a.1): Untablerosema´nticode¬((p → ¬q ∧r) → (p → (q → r)))es
¬((p → (¬q ∧r)) → (p → (q → r)))
p → (¬q ∧r),¬(p → (q → r))
p → (¬q ∧r),p,¬(q → r)
p → (¬q ∧r),p,q,¬r
¬p,p,q,¬r ¬q ∧r,p,q,¬r
Cerrada ¬q,r,p,q,¬r
Cerrada
Comotodaslashojassoncerradas, (p → ¬q ∧r) → (p → (q → r))esunatautolog´ıa.
Solucio´ndelapartado(a.2): Ca´lculodeunaformanormalconjuntivade:
(p → ¬q ∧r) → (p → (q → r))
≡ ¬(¬p∨(¬q ∧r))∨(¬p∨(¬q ∨r)) [por(2)]
≡ (¬¬p∧¬(¬q ∧r))∨(¬p∨¬q ∨r) [por(3)]
≡ (p∧(¬¬q ∨¬r))∨(¬p∨¬q ∨r) [por(3)y(5)]
≡ (p∧(q ∨¬r))∨(¬p∨¬q ∨r) [por(5)]
≡ (p∨¬p∨¬q ∨r)∧(q ∨¬r∨¬p∨¬q ∨r) [por(7)]
≡ V∧V
≡ V
Porserlafo´rmulaequivalentea V,esunatautolog´ıa.
Solucio´ndelapartado(b.1): Vamosaverque´ condicionestienequecumplirunavaloracio´nv paraser
modelode U. Paraverificarlasdos u´ltimasfo´rmulasdeU setieneque
v(A ) = 1 (1)
1
ExamendeDiciembrede2000 5
v(A ) = 1 (2)
2
Paraverificar¬A ∨B ,teniendoencuenta(1),setieneque
1 1
v(B ) = 1 (3)
1
Paraverificar¬A ∨B ,teniendoencuenta(2),setieneque
2 2
v(B ) = 1 (4)
2
Paraverificar¬A ∨¬B ∨C ,teniendoencuenta(1)y(3),setieneque
1 1 2
v(C ) = 1 (5)
2
En definitiva, cualquier valoracio´n v tal que v(A ) = v(A ) = v(B ) = v(B ) = v(C ) = 1 es un modelo
1 2 1 2 2
deU.
Solucio´ndelapartado(b.2): Unaresolucio´nlineales
1 {¬A ,¬B ,C }
1 1 2
2 {¬A ,B }
1 1
3 {¬A ,B }
2 2
4 {A }
1
5 {A }
2
6 {¬C }
2
7 {¬A ,¬B } Resolventede 6y1
1 1
8 {¬B } Resolventede 7y4
1
9 {¬A } Resolventede 8y2
1
10 (cid:164) Resolventede 9y4
Ejercicio2 (a) Hallarlasformasnomalprenexaconjuntiva,deSkolemyclausaldelafo´rmula:
((∃z)A(y,z) → (∃u)B(y,u)) → (∃x)(∀z)[P(x) → ¬Q(z)]
(b) SeaS elconjuntoformadoporlasfo´rmulas
F : (∀x)(∀y)[I(x,y) → I(y,x)]∧(∀x)(∀y)(∀z)[I(x,y)∧I(y,z) → I(x,z)]
1
F : P(e)∧(∀x)[P(x) → S(d,x)]
2
F : (∀x)(∀y )(∀y )[P(x)∧¬I(y ,y ) → ¬(S(y ,x)∧S(y ,x))]
3 1 2 1 2 1 2
Decidir,medianteresolucio´noconstruyendounmodelodeHerbrand,si:
(b.1) S |= (∀y)[I(y,d) → (∀x)[P(x) → S(y,x)]]
(b.2) S |= ¬(∃x)[S(x,e)∧¬I(x,d)]
Solucio´n:
Solucio´ndelapartado(a):
1.–Formanormalconjuntiva:
6 ExamendeDiciembrede2000
((∃z)A(y,z) → (∃u)B(y,u)) → (∃x)(∀z)[P(x) → ¬Q(z)]
≡ ((∃v)A(y,v) → (∃u)B(y,u)) → (∃x)(∀z)[P(x) → ¬Q(z)] [porrectificacio´n]
≡ ¬(¬(∃v)A(y,v)∨(∃u)B(y,u))∨(∃x)(∀z)[¬P(x)∨¬Q(z)] [por(4)]
≡ (¬¬(∃v)A(y,v)∧¬(∃u)B(y,u))∨(∃x)(∀z)[¬P(x)∨¬Q(z)] [por(6)]
≡ ((∃v)A(y,v)∧(∀u)¬B(y,u))∨(∃x)(∀z)[¬P(x)∨¬Q(z)] [por(7)y(9)]
≡ (∃v)[A(y,v)∧(∀u)¬B(y,u)]∨(∃x)(∀z)[¬P(x)∨¬Q(z)] [por(13)]
≡ (∃v)[(A(y,v)∧(∀u)¬B(y,u))∨(∃x)(∀z)[¬P(x)∨¬Q(z)]] [por(14)]
≡ (∃v)(∃x)[(A(y,v)∧(∀u)¬B(y,u))∨(∀z)[¬P(x)∨¬Q(z)]] [por(18)]
≡ (∃v)(∃x)(∀z)[(A(y,v)∧(∀u)¬B(y,u))∨(¬P(x)∨¬Q(z))] [por(16)]
≡ (∃v)(∃x)(∀z)[(∀u)[A(y,v)∧¬B(y,u)]∨(¬P(x)∨¬Q(z))] [por(15)]
≡ (∃v)(∃x)(∀z)(∀u)[(A(y,v)∧¬B(y,u))∨(¬P(x)∨¬Q(z))] [por(12)]
≡ (∃v)(∃x)(∀z)(∀u)[(A(y,v)∨¬P(x)∨¬Q(z)) ∧
(¬B(y,u)∨¬P(x)∨¬Q(z))] [por(20)]
2.–FormadeSkolem:
((∃z)A(y,z) → (∃u)B(y,u)) → (∃x)(∀z)[P(x) → ¬Q(z)]
≡ (∃v)(∃x)(∀z)(∀u)[(A(y,v)∨¬P(x)∨¬Q(z)) ∧
(¬B(y,u)∨¬P(x)∨¬Q(z))]
≡ (∃y)(∃v)(∃x)(∀z)(∀u)[(A(y,v)∨¬P(x)∨¬Q(z)) ∧
sat
(¬B(y,u)∨¬P(x)∨¬Q(z))] [porcierre]
≡ (∃v)(∃x)(∀z)(∀u)[(A(a,v)∨¬P(x)∨¬Q(z))∧(¬B(a,u)∨¬P(x)∨¬Q(z))] [Skolema]
sat
≡ (∃x)(∀z)(∀u)[(A(a,b)∨¬P(x)∨¬Q(z))∧(¬B(a,u)∨¬P(x)∨¬Q(z))] [Skolemb]
sat
≡ (∀z)(∀u)[(A(a,b)∨¬P(c)∨¬Q(z))∧(¬B(a,u)∨¬P(c)∨¬Q(z))] [Skolemc]
sat
3.–Formaclausal:
((∃z)A(y,z) → (∃u)B(y,u)) → (∃x)(∀z)[P(x) → ¬Q(z)]
≡ (∀z)(∀u)[(A(a,b)∨¬P(c)∨¬Q(z))∧(¬B(a,u)∨¬P(c)∨¬Q(z))] [Skolemc]
sat
≡ {{(A(a,b),¬P(c),¬Q(z)},{¬B(a,u),¬P(c),¬Q(z)}}
ExamendeJuniode2001 7
Examen de Junio de 2001
Ejercicio3 Esteejerciciotiene3apartados.
1. Decide, utilizando el me´todo que se indica, si cada una de las fo´rmulas siguientes es insatisfactible
ounatautolog´ıa.
A : (p∧q ↔ p∨q) → (p → q)
B : (p → ¬(q → ¬r))∧(r → ¬q)
C : (q → p∧r)∧¬(p ↔ p∨q)
Losme´todosquedebenusarseson: tablerossema´nticosparaA,formasnormalesparaByresolucio´n
paraC.
2. Describe,razonadamente,todoslosmodelosdecadaunadelasfo´rmulasanteriores.
3. ConsideremoselconjuntoU = {p∨q → r∨s,r∧t → s,r∧¬t → ¬u}. Decide,mediantetableros
sema´nticos,si U |= p → s∨¬u.
Solucio´n:
Solucio´ndelapartado(1.a): Lafo´rmulaAesunatautolog´ıayaqueeltablerosema´nticode{¬A}
¬((p∧q ↔ p∨q) → (p → q))
p∧q ↔ p∨q,¬(p → q)
p∧q → p∨q,p∨q → p∧q,¬(p → q)
p∧q → p∨q,p∨q → p∧q,p,¬q
p∧q → p∨q,¬(p∨q),p,¬q p∧q → p∨q,p∧q,p,¬q
p∧q → p∨q,¬p,p,¬q p∧q → p∨q,q,p,¬q
Cerrada Cerrada
tienetodaslashojascerradas.
8 ExamendeJuniode2001
Solucio´ndelapartado(1.b): Vamosacalcularunaformanormaldisyuntivade B:
(p → ¬(q → ¬r))∧(r → ¬q)
≡ (¬p∨¬(¬q ∨¬r))∧(¬r∨¬q) [por(2)]
≡ (¬p∨(¬¬q ∧¬¬r))∧(¬r∨¬q) [por(4)]
≡ (¬p∨(q ∧r))∧(¬r∨¬q) [por(5)]
≡ (¬p∧(¬r∨¬q))∨((q ∧r)∧(¬r∨¬q)) [por(7)]
≡ ((¬p∧¬r)∨(¬p∧¬q))∨((q ∧r)∧(¬r∨¬q)) [por(6)]
≡ ((¬p∧¬r)∨(¬p∧¬q))∨((q ∧r∧¬r)∨(q ∧r∧¬q)) [por(6)]
≡ ((¬p∧¬r)∨(¬p∧¬q))∨(F∨F)
≡ (¬p∧¬r)∨(¬p∧¬q)
Por tanto, la fo´rmula B es satisfacible (por ejemplo, si v(p) = v(r) = 0, entonces v(B) = 1), pero no es
unatautolog´ıa(porejemplo,si v(p) = 1,entoncesv(B) = 0).
Solucio´ndelapartado(1.c): Enprimerlugar,secalculaunaformaclausalde ¬C.
¬((q → p∧r)∧¬(p ↔ p∨q))
≡ ¬((q → p∧r)∧¬((p → p∨q)∧(p∨q → p))) [por(1)]
≡ ¬((¬q ∨(p∧r))∧¬((¬p∨(p∨q))∧(¬(p∨q)∨p))) [por(2)]
≡ ¬(¬q ∨(p∧r))∨¬¬((¬p∨(p∨q))∧(¬(p∨q)∨p))) [por(3)]
≡ (¬¬q ∧¬(p∧r))∨((¬p∨(p∨q))∧(¬(p∨q)∨p))) [por(4)y(5)]
≡ (q ∧(¬p∨¬r))∨((¬p∨(p∨q))∧(¬(p∨q)∨p))) [por(3)y(5)]
≡ (q ∧(¬p∨¬r))∨(V∧(¬(p∨q)∨p)))
≡ (q ∧(¬p∨¬r))∨(¬(p∨q)∨p)
≡ (q ∧(¬p∨¬r))∨((¬p∧¬q)∨p) [por(4)]
≡ (q ∧(¬p∨¬r))∨((¬p∨p)∧(¬q ∨p)) [por(7)]
≡ (q ∧(¬p∨¬r))∨(V∧(¬q ∨p))
≡ (q ∧(¬p∨¬r))∨(¬q ∨p)
≡ (q ∨(¬q ∨p))∧((¬p∨¬r)∨(¬q ∨p)) [por(7)]
≡ V∧V
≡ V
Puestoque¬C esunatautolog´ıa,C esinsatisfacible.
Solucio´n del apartado (2): Puesto que A es una tautolog´ıa, todas las valoraciones son modelo de A.
Los modelos de B son las valoraciones v tales que v(p) = v(r) = 0 o bien v(p) = v(q) = 0. Puesto que C
esinsatisfacible,notienemodelos.
ExamendeJuniode2001 9
Solucio´ndelapartado(3): Untablerosema´nticode U ∪{¬(p → s∨¬u)}es
p∨q → r∨s,r∧t → s,r∧¬t → ¬u,¬(p → s∨¬u)
p∨q → r∨s,r∧t → s,r∧¬t → ¬u,p,¬(s∨¬u)
p∨q → r∨s,r∧t → s,r∧¬t → ¬u,p,¬s,¬¬u
p∨q → r∨s,r∧t → s,r∧¬t → ¬u,p,¬s,u
p∨q → r∨s,¬(r∧t),r∧¬t → ¬u,p,¬s,u ...,s,...,¬s,u
Cerrada
¬(p∨q),¬(r∧t),r∧¬t → ¬u,p,¬s,u r∨s,¬(r∧t),r∧¬t → ¬u,p,¬s,u
¬p,¬q,¬(r∧t),r∧¬t → ¬u,p,¬s,u
Cerrada
r,¬(r∧t),r∧¬t → ¬u,p,¬s,u s,...,¬s,u
Cerrada
r,¬r,r∧¬t → ¬u,p,¬s,u r,¬t,r∧¬t → ¬u,p,¬s,u
Cerrada
r,¬t,¬(r∧¬t),p,¬s,u r,¬t,¬u,p,¬s,u
Cerrada
r,¬t,¬r,p,¬s,u r,¬t,¬¬t,p,¬s,u
Cerrada Cerrada
Comotodaslashojassoncerradas, U |= p → s∨¬u.
Ejercicio4 Lasrelacionesdeparentescoverificanlasiguientespropiedadesgenerales:
• Sixeshermanodey,entonces y eshermanode x.
• Todoelmundoeshijodealguien.
• Nadieeshijodelhermanodesupadre.
10 ExamendeJuniode2001
• Cualquierpadredeunapersonaestambie´npadredetodosloshermanosdeesapersona.
• Nadieeshijonihermanodes´ımismo.
Tenemos los siguientes miembros de la familia Pela´ez: Don Antonio, Don Luis, Anton˜ito y Manolito y
sabemosqueDonAntonioyDonLuissonhermanos,Anton˜itoyManolitosonhermanos,yAnton˜itoeshijo
deDonAntonio. Sepide:
1. Formalizarlosconocimientosanterioresenunlenguajedeprimerordenusandotansolo:
• A,L,a,mcomoconstantesparaD.Antonio,D.Luis,Anton˜itoyManolito,respectivamente.
• Lospredicados: Her(x,y) =“xeshermanode y”,Hijo(x,y) =“xeshijodey”.
2. Obtenerunaformaclausalparaelconjuntodefo´rmulasobtenidoenelapartado1.
3. Decidirmedianteresolucio´nsiDonLuiseselpadredeManolitoono.
Solucio´n:
Solucio´ndelapartado(1): Formalizacio´n:
• Sixeshermanodey,entonces y eshermanode x.
(∀x)(∀y)[Her(x,y) → Her(y,x)].
• Todoelmundoeshijodealguien.
(∀x)(∃y)Hijo(x,y).
• Nadieeshijodelhermanodesupadre.
(∀x)(∀y)(∀z)[Hijo(x,y)∧Her(z,y) → ¬Hijo(x,z)].
• Cualquierpadredeunapersonaestambie´npadredetodosloshermanosdeesapersona.
(∀x)(∀y)[Hijo(x,y) → (∀z)[Her(z,x) → Hijo(z,y)]].
• Nadieeshijonihermanodes´ımismo.
(∀x)[¬Hijo(x,x)∧¬Her(x,x)].
• DonAntonioyDonLuissonhermanos.
Her(A,L).
• Anton˜itoyManolitosonhermanos.
Her(a,m).
• Anton˜itoeshijodeDonAntonio.
Hijo(a,A).
Solucio´ndelapartado(2): Ca´lculodeformasclausales:
(∀x)(∀y)[Her(x,y) → Her(y,x)]
≡ (∀x)(∀y)[¬Her(x,y)∨Her(y,x)] [por(4)]
≡ {{¬Her(x,y),Her(y,x)}}