Solucionario Geometría Analítica de Charles H. Lehmann

189 Pages·1983·27.36 MB·English

by  Castro Zárate, Juan, González Chávez, Salome

y

LEHMANN

SOLUCIONARIO

Por: R. FIGUEROA G.

II

l'RHIERA EOICION :
Febrero 1983

SEGutH>A F.OICI OII :
Oct ubre 1985

TERCERA F.OICION:
.~bril 19&7
Relmpres1Ón de la

TERCERA EDICION:
Octub re 1990

El método de plantear y resol ver los problemas ,
a s ! como la diagr-ama ción y disposi ción del li-
bro s on de propledad d·eJ • a utor.
Todo~ l os DERECHOS RESERVADOS en c umpl i ~iento
del Oeoreto-Ley Hº 194)7, queda .hecho e l depó-

s.Lto, en la Biblioi e·ca Naci on1Jl, con el Nº 04!1,
seg~n Ley tt 0 1 3714.

1
Se prohibe t~rminantemente la reproducción to-
tal o pa l'cf al d~ la obra, s!n pel"srlsó e:,rpre.so
del autor.

P~OLO GO

Al p;:hli::~-!· este JtO:ro, ha. f"in.: rn! ir:téneión, cont.r:.-
buir Ft d~sp~r~a.r pl ! nts.rés y 1~ :.:1:·1 ; iin del oat.u¿i_i:!"".tt:;
~o-r al es~uiio de la :;f:;OJ:~ t?~{a .J...r..l:.J {t ... ::~. O~~o .aá.7a!--tlr
d~ a,tii.,~~a::o q_ut? (13téJ ~r;ibJ'. jo no t:..cnt: }?i"a te!l~i6n. g.Jrn:::-'l

dét ser un 1:.. h""o d~dá·:!~i co o tle ~.ns.-~fit-.;iz11 ts.órice..
Cc1Jt;;id~:-o q,.~ e] libro e!~ C!f.IT. L~:,.:i:ar.n as eait·.fntc-

ill.én Ld ildácti_ ce, pcr el 1 a t.e p-e~:r.i ti ext.:.~!H:?r, eri c,..¿:'i a.~
pítttlo .. ~l "hH!l~:J ~c.:n .. 12....,!i.S_y delilos """~~rlo:;. r .. H3.ra des!n~Js r1
sol 11::,: !:::~ pr,:-Clenie3 d ~-
catle gl"'t:po. ?&r t i~ula?"m~.._.,ta m~

L#: e ~-... Ol"Ze,.do ~ar~"l qH1:t -~" p;t<>.bleit:1.u 1~;.essn re:H•!!!l :.o.s -:1.r.

foTDa : J a.l'a y ~r.n ci.~la 7 ds m.an-Qrs :¡ u;. !tO ee .:1n <Jst.01·hadt)!.
por c.par~cio:ic:;. l:+T'1. t;;;.tioa.o e-ngc•r-r,:; L~ :J.

Al ,fi:ic.l de e<,é.[,. c" i:,ítiü.o '.lni:'luyri pi·obl e=.a s re31Jel,;os
1
:1,~·-los propuestos €t?'! el te:<to da lvs !"1e1·n.a.I!C1P De La Bc!'"-
bol ' a, por f"on s id9l'"ai-1os, da JlH\;to:r grado dz rfi ( i cul t-a.d 4'

lü~'> Oe lehme.nn. Es .lndudábl.e qye ·,s to p~roit irá ¡J es-:u-
di."J."ltl' adqui.rtr -ri-ayo;r dest~a~~ para. reeo::-,ar ot.roa 'tip~~
de. p.:-.:~le::.::u-:- que s o µ~.¡-die--ran praaer, LE..:r en el den~'--rolltJ
del cu~so d: ~oom~ tr.!a Ar-Afí t ics.

F-in~wen:ic . Jti !lgradaci.)üect~ !I to:Í!l.s I os µi:,r,mr ;¡s, q 1

nen ana •;aliona s a11gBr e u cÜ-1 s hi~1.itrcr:. 1)0Si óle 1.u. ~~f:11 iz1-

1
•
r
-

~ión de esta ºf~n. n~ aep,~~a.1,a ~~ joven ee~udiant e , a

t u de:1eo cls ad~t:iri:r .~ayor d<>;¡¡~Fº en s! tnna y a la ac.F.>J
tación :i::q de t.u :urrt.g ~a:e,g.,0al es°í1e n o-de,:;;to ttaba .. jo.

El &.utor

PROBLEMAS y EJERCICIOS
de

GEOMETRIA
ANALITICA

Sol ucionario del Texto de:

CHARLES H. LEHMANN

Incluye un.a Seleccion d~ Problemas. Resueltos

del Texto ele F.J.Oe La Borbolla

K

TERCERA E01 C I ON '

R. FIGU EROA G.

I'I

QuUn. e<1tá d ¿,./:uP-dO a ,:.,e ali.za" rtf.vo,

Aal(.,:v, .. á ic4 r.,edl<,A.
Ouiln n.o t~n.ga gana~ d~ AaeP--<-~, encon

:tAa.-,& '-= d ¿.;c1d.pa<1,

\
\

\

1 NOIC:E GENER AL

1. Sistema11 de Coordenadas

1.1
Segme~to ~octiJ{r,eo Di~i&ido

1,2 S18tcoa Coorden.ado Lineal
1.3 S.t:,itt,mas de Coordem,das ,;n el plano

PKOBLEH/\5 t!ESUi:I. TOS. Cz,upo l.

1. 1
Di&tll!lc ia !!ntre dos puntos

1.5 División de un .;¡eg::;en;.o en una :>azón dadu.

PROBLEHAS RESUELTOS. Crupo 2 .

1. 6
Pencli ente de una recta.

1.7 Ar.g"1a POtre dos rectas.

PROBLEM:\S RESUELTOS, Crup o 3.

1.8 Demostracjones de teorema s geométricos por el

ti~todo analítico,

PROBLEHAS ijESUELTOS. Cr upo 4.
2. Gráfi c a de una Ecua ció n

2, 1 Gráfica ele \!na i,.c,uación. I:-rcerceptos
EY.ton,;ión • Asíntotas.

2. 7

PSlOOLEMM 1RESUEl TOS, rupo ó,

Ecuacion'.?9 ra.ct<:>rillab ea

PROBLE14AS )RESUELTOS, Cru,¡,o 7,

2.6 Ecullción ae un Lugar Goom/trico .

PR08L(KAS RESUELTOS, Crup¡ 8,

3. L s
Lí n e a Recta

3, 1
Formas de la ecuaci6n de una 1Ínc~ recta.
PR-OBL[IIAS SlfSUfLTOS. GrUP¡O ?.

J . 2
Forma Generrtl de l/l ocuao.i6n óc Unll racta.
). 3 Posicione~ relativas de ctroa rectas.

Pll 08l Et:AS RESUELTOS. Gr~o 10 ,

3. 4 Forma Normlll de l a e cuac¡6n de una T'tlct.a..

V

3
4
5
6

12
13

23
23
25

32

40
L6

57

60

67
68

76
76
??

87

'.l. 5
R>JCIUeci:fo a la foz·:i:a Normal
PHO!l.LE~~S RESUELTOS.
Crupo 11.

3.é Aplica.clon'e!l· ..:e la forn:r:. :,oroal.
Pll06LENAS 11!:SUH rOS.
Grup<> 12,

3. 7
:_rea de un t'rihl:.r:ul~ ..
J.e ,ami11& de r~ctac.

PROBLEM,s RE~UElTOS.
Crupo 13

Pf<'H1LfHAS fltSUl:i ros.
Crupo H

f'ilOfllEWIS AOlCIONALU
( r .. xta: F. lh, :;,;;. .E.:rt>-.>llnl

'
d
•
4 . .L• Circ1r-nfere~da

4• 1
Def1nic_lón y Ecuaci~'lC ~ •.
P?09t-E1t.,s R[StlE:l TOS.
C.:rupo 15.

4.2
Fo.r:n1i General de l&. ecuación d~ una Cir.:n;lll,~Tencia
PROBLEMAS RESUELTOS.
Crupo 16,

4~4 Fasllia d~ Cira~nferenaiaa

.;;,.$
Eje 'ª U.cal.
PIWlllEHAS R(SUEL TOS,
Grupo 17

L. 6
Ta11~ent,, a Jllf. Circunférenc:ta,

l'ROBLtM\S E!CSL"tl r,·s.
Crupo !S

! .• 7
Teor9mnG 'i Pro bleTa.S C.i:: •11 gert:~ ge!>rr:St.t!~vs
~el~tivos a la c_rsu~ ~lt,nc~3.

:·. ;

ºROBlEK~S RfSUELTOS.
Cr~pv 19

nROSLEMAS AOlCIONALCS,
(l,,xto: r. Oc• la Sorh,>1!,)

1

5. Transformaelón de Coorden•das

:'-r~!:la.c1lt ·l~ Ej<. r-: Cc .... r-d-.:. .. -dc3.
PROBL.ttAS RESUFL10S.
C~'fº 20,

t:-i't.c.cié~ tl~ i.;e:1: Coc1·de.r.c..'J!>f;.

1

sci-
s9

<}J
95

105
1C6
107

i 1~

130

1.;< 1

131!

1,:19

152

, é?

1f:7

17J

Co11t en. ¿do

PílOOIHIAS RCSUELIOS. Crupo Zl

S./.
Si!T';)l.l.f;..canión de una e~u,;.ción po::- trens!orrao.-
ción :::e coo1•den .. uas.

PROBLEHAS RSUEL TOS .
Grupo U

6. la Parábola

6. 1
O,;finiclón
6.~!
Ec;.i.;~d., f.e lu pa.ábol:1 con v"rtice l''.'.l el -:-r5.een

PRC!3LEll~S HESU[LíCIS,
Crupo ?J

6.) E~t.6.CiÓ:, éc la p;;:.:-áool ~ con ,1ér,. :.ca "n {h, :.,:) ..
6. 4
3c ,acién Ger.~ral do i..t111 Pa1·!bolo..

PHORLEil~S PFSUEL TOS.
Cro¡,o 2'+

6. ~ Ec·H,~:é n de l ll. tang':>nt.c a en,. ¡,a.:-á~lc

PRDULEMAS RESUELTOS.
Crupo 25

PllODI.EMAS ADICIGllALES
(fnxto, F, De LA Aocboll~)

1. La Elipse

·7. 1
Ditfi11ició:i >
? • 2 EcunniÓ.n do la Alip ~c.

P,<OULFll1\S RESl.lEL TOS.
Crupo 27

7.) 3:-c·.ieaión de l" él lp3J con véi·tic" c:i (b, Id .
7.~ 3~~ación r,en~ral, dJ ~~ elirne

P:rn·\LEHi\S P.CSUfl ros.
Gru~o 28

7,:,
r:eu.1ci6'1 de le t1m1;,rnte 1 una ffl ip11c.

:,. 1

P?D'LE~AS RFSUELTOS.
Grduo ¿9

f.>:10:JLEi•W, llllICIO/lALES,
1

(TPxto: F. Oe La k~rbu ll~J
J

8. La Hipérbola

Jal .. niciér.. El e111en':-c s ¡¡., wi:, 1-,i¡,trbol ,:.
PROaLEHAS RFSUELTOS.
c~~po JO

188

196
197

214
215

21~

2::;.1
22)

247
249

25i
259

1 279

287
2'!8

2
Conicn idc

H.,(
A a!,,tota;; deo u:,;a hir,ér bo 111

.:,.. 5
E ... pé:~:. tt
1; ... t.~~·!-.-nr!"',
8.,6 H!.;Jér:x>;.e.s eor.j:.>t:P-daz

PROSLWAS rESUEETUS.
Crupo 31

s. 7
S&~1md~ t::'!Ouaci&:n o.t"dlnar ia :;.e U!l .... h!pérO:... .. e.

'RU~!..EIMS RESUELTOS.
l,rupo 32

f,9
i:;C':U'd)i Ón
,., :.;i. t.o.rHTi:?t:t~ a
1.HHI bip~.rlio1 J,t.

P~()13LEMAS RE%U H)S ,
".;,:upe H
PA03l~M~S AO!CIO~!lfS (Te~to : F, o~ La B~rbolla)

9 .. 1
Intr"-d!l:.:ciÓt!.
4. 2 Zr-c.~afo t-~~cién _pcr 5Q~O:l6n.

9.3 Tlpos de C6n.ie~~.
9.4 Inv~riant~u.

PROOU:'.tlo\S RESUELTOS.
Crupo }4

9, 5
Oefir.:lc i ÓL zn,e1<al. de la cónic a.

PROCIL EMAS RfSUEl TOS.
Cr· upo 35

9. 6· 1an~en~ a la cónica g en~ra! .

PRO~LEHAS RESUELTOS.
Gr upo 36

1 O. 1 .5i i,t e:nn. de c::>ordena::.11 s p e J. :iy: s .

:-1. 2 Pa.r~Ja de ~co.,.de!ladat pan: ..in p ".lD~.,;, .
.; ?~,
~e coo~cezadas po2~res r. ~e~tar~rtü.are~ ~

·, l~ •1ers e..

1~ . ...

Pfl{18l. Ei'<AS ll~Sl/!:1. ros.

1
Grl,upo 37

7~a~ito de ccrv~~ en zo=r~ ~~añ~s pcl*re s

PROBLEMAS ~ESU8..TOS. crtp~ 35

1

10 . 5 l:, ~ercccc _one~ d6 e~.L:va.2 ffr~ ao:,r i~?l.?.d1 a poltt.res .

.. ~. 6 r,( 3:t?:t.n::ia --ir.~l"e d.oa ¡,1.a:to

PílOJI E~ AS MCSUlL TOS,
Grupo 3 ~

·; "'. '"! E=~nc::,.6n d~ u.:aa :oc~s er: co~r ~en ado.~ pclar~'-4

10.'.:: - •uav.:1!l ."~ :ir.i
!x:-·.1~::c~e:1cis s-~ t:cer -;.. ;ol.1.::~s

~). 9· r:r.~ .10.r:ién ge'1~I'"cl e.le la=- cén .i ,~as en noor d .. ·.,ol er?.s

ríi0!3LfHAS AHUELHJS.
Gr upo 40

295
296

;¡_9'¡

304
Jft;
:n.?.
} 13
:,u

3~7
na

32'1

3/,0

31.1

347
3¡7

')5 7

'.; 57

358

.359

366

379

3S7
38~
389
39~

)

[

\

1

3

1

Sistemas de Coordenadas

l. l
SECIIEllTO RECT ! lltlEO DIRICIOO

?-:,:· la g¡¡ome Lr ía elemental sabell!os que ls. porción de una

1 1~~~ r ect a coopre~di d~ e~tre dos pu~tos A y E se l ls.as
~ ~g-

Q~nio. Per o e~ ella nos~ hacía la distinci6n en~rc los
&cg-
ce::tos }3 y BA, porque noa inte::-aa<ibo. solamente la longitud
a~: ae~ ~cto . E.~ e: est~:iio de la Geo~etrí~ klal!tica es nec!
s~:-io ::,-;ntllderar ~a!lto la longitud co:co el :,é ;o:°tido.
Cua:nc:o

;,os :·e.f'iraa:os a J.a longitud de un segmento, l o con3icieraremos
cono une eAntidac ~clatlua . Cuanjo n~a ::-efirazos tAnto e la
:.ct.¿¡:_:;u:i co=o el :;ct.tido ,ie u~ ·segao~to de. ra~-:a, l e ll=ere-

mo,1 ¿"?'"ento Cltú.n.iad.o. Entonc~s. entend(!)mOG por n gsento o-
r ientado s:¡uel c·:;;o sell.~ido po3it1vo 21e . sido &legido. In eer,-
tid~ pos'tivo se lnd!ca u3ual ~ente colocando ~na flooh~ en :.J
g:'.~ l ugar d&l seg:i en.to .

Figura 1

.S.:i!. la r ec ~ L ~3t' orisntad:. c:nao l o i cdics. 1;:. !lecl:c • lo·
cual significa q~o cual1uie::- longi tui oedidn de izquierSa a
de re cha s::>b!'e 111 re ut a se consid.¡¡re. en ~ent1do pos1 t i ve. D<&o;
~os entcr.ce~ q~~ al segag~to I'§' as positivo, en t~~to ~ua
si

E••fe::to Jrr es 1. -;1g11 t ivc. :n con~ido de un sog:ia:1to aer~ indl -
calc por el orden sn q ue oo escriben l.:is· oxtreno-s del s~g:n,¡11-
t o. Por tnnto, ten$~Os la relación:
n = -3.t

4

Consld~re=o& la poeictón ac un tercer pu..~to C, eobro el ec3-
nento orlent,•do, cor. relnción !l. loe pun.toi.: A y B.

A .e

!"igure

D& lo figuro. 2,

Do la. :figure 3~

De la fieura 4:

H
e
A
B
~- ------

?.
Figi.::ra J

tsne;c;oa:
J!. = AC + CB

AB· = ~c-..e +· ci

+ ~=Tc+c'B

Ail. ·= Tc; ~ :§e

+
Afi'. = Tc. + 'BB

A
3 L+
.... o
'

I'igur ,.

~

(1)

P,n tanto, p1u•a lais trea, pooicionet1 ilu~traduo, es v,l.lida. la
xis~a roleci6n Gntre loo see~entos. Esta relaci6n puede escrt
bi '!'se on la torua, a4s conveniente:
Xc'+ci3+Bi,:o

· l, 2
SISTEMA COllROENAOO LHIEAL

COb3idereQOS ur.a rcc~a !'X c~ya d.ireec1Ón positiva 68 ie

1zquie~d!l ~ ücreeh~, y se~· O un p~t.o !ijo ~obre ~sta línon,

Pa
o ¡¡
Pi
p

X'
---
-x

Í 1'2)
(O} ('T)
(x,)
ü:)

Jieurs. 5

Si f, es w, ¡,unto ñe ,;•x rdt1.a<lo a lr, d&reeh~ de o. ls lone1.
tud OA pue.ic ccnoid;,1·=00 c,.,no u:iirl'-d de :.ougi tud
En .. onee:i
t•l r,u.1-to P, situo.;lo um1h1á., n· la dc~·ed1:i. ha O, contiHe -.. ve ..
et>~ la :.u1id.a
::dop-ti1ó:"! !l-
l .. :,g:.Lttd .Y ó.'t'¿¡~,~n nite c1 p·.'i...nto •.

c.c:~.1t.t:.1>.t:.·•Vuie
l 1u'{noro p::r."'tJ.v~ Y'. }41:álog:.ui<!n;;b r.1 P~ e~ ~1

•;U!!to ;:•tt.~do -r,. la i:1..:,u •. :>rda ao O, eni.r>!'ce:r, dl.I'<,moll que 1,l

,=t"-;o F~ e,· ,~.,;,t.r..r.t.:. ~ .D1-~ (1. 12.-.."a.t-ü.~ ;¡;_¡_.

!.., ~ú
<:1,-t , b1-1.:10~ .t.nn~t,.11:!.dc il-1\ ·t;c,!t:.cr;a pcr m~d..l.'o del cucl ~6

,)8 l:..
d!t'I ·;ui, d(l2,"",l¡lO.OJt1J<CÍl1 c,l\;.r:ÍVO<)tl enf,,,3 ¡,1i11'1,v~ do UJ.ll.i

5

recta y los ndmeros reales, Tal esque11a ,;e llaoa un ¿,:-ó~a

eoo,,d¿¡-¡ado ·l.úu.af:.
Coc refsreceta a la figura 5. la recta l'X r,~ ll¡¡,¡¡¡a ~;e y sl
·punto ·o es el Mlg= dol sist!)ma coordenado lilleal. U .PUllto
P con su coordenada. (x) es la ~cpre~enteci6n geométrice o
gr~fics. del DÚll~ro real JC, y la coordenada (x) es la 11..t,,,.ic•
h&niaci6n anclltica del punto P. Juntos se es~ribe: P(x).

foorema 1. En un s:it1te!lla coordenado lir.cal, 1s. longitud del

oea~ento diri~ido que une dos puntos dadcs ae cb-
tieno, en ~ag:útud y signo, restando la eoordenada del ori•
¡¡on de la coordenada d-sl éxtre110.
Dcn:ostruci611:

En efoc~o, sea la rec.a orientada l'X

O
P1
l'2
X' ~~~~~-..~~~~~o-~~~~-a--~~~~-4,,,¡

(O)

Según la relac1.6n ( ·¡) d,;l ar.tí culo 1 .1, tenelllo&:

OP1 .. l5"iP2 = éW2

+
X1 +'Í>1P~
X2
de dunde:
F;F;, = X.a - x 1

En a~bos ea.sos, la longitud del segaento óirigido se ob.le•
ne reatando la coordenada. del punoo il:J.icial de le coordeoaóc
del pun.~ Cinal.
S1 1·9pre~er,tamou por d la d1.otanci..t ,to ai.,d gida entre P, y

Pa. &acribiremos:

o bien:

1,3 SISTEHA COOROENAOO EH EL PLANO

La estructuro del siste~a de coordenc.daa an el plano

consiste en un par dA rectas orientadas porpendicularea, 11!
ma.do 19 ejes coord11nado1I. La 1·ecta hol:'1:i:on~al es el eje X, la

6

vertioal el eje T, y :'>U 1nteraccci6o ol OA.i.f!M

}'..as cu11t¡•o partea en que el plano
qucd~ diviciido por lo~ ejoD ooor-
y

deaados 60 llaoan ,~~
Y se
II(-,t)
I(+, t}

doeig~an p~r I. lI, III y IV
~n
se~tido contr=io 111 de las 11ane-
cilles del reloj. (Figura 6)

ll --- - -,- P(x,y)

Un p"!lllto 3e indica dnndo au senti-
do y diotencia re3pecto a los ejes
uoordenadoa. El ner~ento orientado
oi~ru> se ropr~s~nta por x y oc 11~
na at4ci4a del p~nto P. ll segnen-
to orientado OB•ii:P se reprooenta
por~ y se llama o~denada de P. i~

III(-,-)
!V(+,-)

Fi¡ura 6

t1s dos c~ntidadee ae deno~!3an cooA.dc.n.ada~ del punto P y se
repre&ente por {x,y).
Si un punto est, a la derecha del eje Y, su 11bsciea es posi-
tin,, si est.t a lit izquierd11. o.el eje !, st: nbscise. es nee;att
v~. Si el p~~~o est, arriba del eje X, au ordene.da e, posit1
va, si está ab~jo dol eje X, su orden~de es negativa.

[.EJERCICIOS. Crupo l

9.
~allar la tliG~~ncia entre los puntoo cuy&u coordonade.e
son, (-5) y (6); (3) y (-?); 1-8) y (-12).

Scl,,ci6n, Por el teore11a 1 se tie:ne:

Pa.-ra loe puntos ?1(-5) y P1(6): rl(Pi,P:)=lx1-xd.,l6-(-5)le11
Si P1(3) y Pa(-7)
d(F1,!'2)=lx1-x:l=l(-7)-JI- -101=10
P1(-8) y ?~(-12) .,. d(Pi.P2)=lxz-x1 '=I (-12)-(-8)1=1-41-(

5.
Le dlstanci~ ontre doo pw,tos 8$ 9. Si uno de los punto~
ea (-2), hallar ~l o,ro punto. (Do~ casos.)

Soluc.:611.
Suponecmon quo P 1 (-2l y P 2 (x1 )

Fntonces, !IÍ d(P 1,P3 )=9 -
1Xz-(-:t} f•9

S ú,J "'"'~ d.c Coo~denacia 1

~ lx1+2l=9 .... x,T2=9
6
X2T2;- 9

..-.. x,~7 6
Xz•-11

7

Por tonto, los p•ir,tos buscedcs son: P,(7) ó Pi(-11)

6.
En ur: s.!.st.ua eoo:rier • .:d= 11:teal, ?i(xi) '/ .? 2 (x 2 ) son los

p1.!11 tos oxtl'ono.s do.dos de un gcgnento dirigido. Demo3trar
que la eCOl'dtto3da {x) ie un pa:-ito P qu• di vio.e a J- 1p2 en
:!.a raz6r. r- (P,?):(Pl',); u:
x _ x, + rx,
4
•
-
1+r
, rr-1

Dc1>.o.ái.r.ar:i.ór..
Er, efecto, por el teor~;a.
se tie:.e:

?1P • x-x, :, PP, = x~-x • Lu!lgo, oi r ; hl + r,, x-x,
:'~2
X2•X

de dond<i:
X _ x 1 + rx,
4 1
1+r
' xr-

7.
Lll.Cieodo r~1 eJ lo f6 ·•41.a obtanida e, e: cjerciclo 6, d~
11:os~!'a.r qu~ la coor-it<nll.da del punto ned.!.o de un aag1e;to
r•ctilír,~o 03 h. t>c<l.io e ri. tmé t:I ca de ::.ae coordenad:,! de
lon p~~.os cx;r~==3.

tJcMOdi.1t,,ci6n..
En efo1cto , si r.rl, en la fór:iiula ant1Jrior

se t.iena:
X
= x1n1 "'x¡;.x!

Halla~ les pun~cs de trisección y el FU~to ~edio del seg

1:11J11t,o dirigido cJyoa extrexoo son loo )>1,t.tos (-?) y (-19).

Sotucl/.o,

Se~n P:(-7) , P,(-19) y
los pur.tos de Lri$ecciún
?(x,) 'I Q(x,)

(-7)

?
H

( l( ')

Si ? r Q <i!.,:.con al sei;,iento P 1P 0 '.!n -:.reo pu·tea i¡ulllei, =-
t.or,o,,s ,
P!:' • l
-
x,-(- 7 ) - 1
d
d
d
r,-z
2
-1':/-:<J
;¡ ,
e
e:: e: x,•-11

,
e:; pJ:1to c~d.io Ue Wi ... x,;: -1ltl-19) ~ -15

:-1 IIP p:n:.c - -Jlo de ¡-;p;
x ~ - 7219
-1J

?o 1' lo t,.n to:
~ ( -11 ) , Q ( - 1 5) y M ( -1J)

8

'.:l.
1/n extremo il:' 1m s-egnento diri¡;ido ::.s el pu:,to (-8) ,' su
pu:i.t,:i medio .,,., (3) . Hall.ar la coorclenatl.a af:11 otro ,01<treu.o

$i>luc-Ur. .
Sei,n P1(-8) , M(}) ;¡ Pz('X"~)

Según la ~órmula del ejoreici~ 7: J ; -82Xg

de dor,de:
:. ?,(1.i)

10. Los ertre~os de un segmento dirig~do son l os ptllltos P1(4}

y P~ (-2). Hallar la r.ni6u (.P"';F): (PP i) en que "'1 punto
?(7) divide ¿ esté oegmento.

Sotuci&n,
entonoas por el teorema 1:

re~, de donde:
r~-3

ll. Un cuadrado , tle l _ado igual a 2a, tiene su centro ~n el o-

rigen y sus l ados .son paralelos a los ejes coordenado$ ,
ITalla,r l as cot>:rdenada.s de aus cuatro .v,htic,e,s.

Sotui;Un, E'r, la interpre tt<oi6n grái'ica dol p-i•ob:l.e,aa pode-

mos o-hs-erv,u, quo~
Alil lifcl leje Y. luego, J,n abecis-a de

A y J es a, (derecha del eje Y) y la
de E y O e~ -a (iÑqui e rda ciel eje Y)
~ I IBDI [eje X, luego, li;. orcl-enacla de
A y a es a (ci,bre el ej& .X:) ,¡ la de
C y D es -n (d.,btijo del eje X) .
Por tanto, las coordenadas de lo$ 4
-v-&r,ices del ci:Rdrado son:

y

!!

-~
ó

e

A(a,a) , B(-a,a) , C(-a.,-a) y D(a,-a)

A

/!

D

12. Tre<: V'ár-':.ice$ de- un re-ctángulo son l()s puntos (2, -1 },
(7,-1) Y (7,3). ~allar el cuarto vértice y ou nrea,

foluci.6n,
S-ee.n A(2, - 1), B(?,-1), C(7,J) y D(x,y)

Por el Teorema
AB ~ 7-2 = 5
5c = 7-x
5=7-x , d.t donde,: x=2

-
X

Análogamente:
§e = 3-(-1) = 4
y

Ali
D
e
e y-(-1)
;
y+1
···r----
Si iñ=BO ... 4=yt-1 . de donde: ;;r~3
1

Por lo que: D(.2, .3)

1

a.{AJ3CD)
[ÁBJxfBcf
X
=
" 51e4 ;- 20 u 2

A
13
.,r

13. Los vórtices de un triángulo rectángulo son A(l,-2) ,

B{l,-2) Y C(4,2). Determinar les longitudes de los cate-
tos, el área del~ y la longitud de la hipotenusa.

S.olu.ci&tr.., Por el 'l'eore.1n:t 1, se tiene:

lilif ; lxa- • x_~ 1
14-1 I

y

"' 3
9

IJ:fül - l;1c - .Yal
12-(-2)1 ; 4
------ ..

Entonc~s~ a(AABC) = iJABjxjr,cJ
6 u..2
o
X
Por Fit6.~orae; IA'cl
1=liaJ 2 +1ac1 2= 9+1b

11.°"'cl : 5
A
B

14. Bn el triáng\llo rectángulo del ejercicio 13, déterminar

primero los puntos medios de ios catetos y, después, al
punto rned.io de la hip.otenusa ••

S. o l.u.c i.611,

Si M(x,y) es punto m~dio de AB
; j( 1+4) : -i

= i<-2-2) ~-2
_ {x~-2
1(4+4)
4
N(x,y) es punto medio de Be+

1,
)
y ; 2 '?-2
o

P(x,y) es punto nedio de AC •
2
2

{

x = 1(H4) : 2

y = Í(-2+2) ; O

Por lo tanto: M(i,O) , N(4,0} y P(1,D)

15. Ballar la distancia del origen al

So~uciéq, En la figura se tiene:

OA
abscisa de P = a

AP
ordenada de P = b

punto P(a, b) .
yt--·_7: P(a,b)
~ X

9

Kn ln .Cigurn •1e:moe que ;

OA = abscina de~~ &

OE : or denada ~e a = 1-BI = S
Por Pitá go':'a.s : 1.Gf'= lfü¡ªJ. Jo§/2

~ (6F"- ra>2=100
; . !!(.!i.,31=10

17. Lo¡¡ v.Sr tic<>a de un cuadriláter o
3(7. 3), C(9, 8J y D{J,8).

A(6, 0} y .&(0.. - 8).

Como CM 1 1 eje Y, la. abscisa. de C y-
e• es xc:1. tiil(.,(J-(-1) 1=4 + (Aii-j:2
Si el A!BC es equiJ.átero, entonces:

IACl=(Afijc4
En el AAMC: IA"c:J 2 =liMJ 2+(MCl 2

+ (4) 2c(2) 2+(icJ 2 +JMCl .. (MC'le2,/J
iuego, la.e ordenadas de los vért1C$8
e y o• son: 1+2,IJ y 1-2/3 •
:. 0(1,1+2,IJ) y c•(1.1-21J)

11

C'

lj. De~ostrar que los punt os A(-5.0), B{0,2) y C(0,-2) son

los vét"t.ices do un tJl.i~!o is6$cel,e.s y ea}.c111ar su -'rea

,....e
.. • :
~
...

JI51 .. (9-(-5) J=5 , (oBJ=(2-0(c2
y!ocl=lo-(-2)J .. 2
En el AAOB: IIBlª=JKóJ 2t(o'Bl 2
=(5) 2t(2)~=29 + IAB)s~

Rn e1. AAOC: IAC p ..