Sólitons Topológicos e o Método de Simmulated Annealing

76 Pages·2017·1.22 MB·Portuguese

by  Gabriel Soares Rocha

Gabriel Soares Rocha
Sólitons Topológicos e o Método de
Simmulated Annealing
Niterói
27 de Setembro de 2017

Banca Examinadora
Luis Esteban Oxman
Orientador
Rodrigo Ferreira Sobreiro
Convidado 1
Marco Moriconi
Convidado 2
Niterói
27 de Setembro de 2017
Agradecimentos
É sempre prazeroso elencar aqueles que contribuíram de forma positiva para uma
parte tão importante da minha vida acadêmica. Primeiramente, e com toda a reverência
possível, agradeço à minha mãe, Maria José, por ser a que mais aturou e deu dicas ao
ansioso autor do presente texto; a meu pai, Luiz, e minha família por seu apoio e torcida
quase incondicionais; aos professores que contribuíram positivamente à minha formação,
em especial o prof. Oxman, que sempre me recebeu com bom humor e paciência e que
sempre tinha algo positivo a acrescentar, e ao prof. Moriconi que me deu várias dicas,
também sempre bem-humorado; aos amigos que fiz neste Instituto, com os quais passei os
altos e baixos do início da vida acadêmica, espero que, senão todos, a maioria não seja
obrigada a abandoná-la e que se tornem futuros colegas e colaboradores; a Pró-Reitoria de
Assuntos Estudantis (Proaes) pela bolsa do Programa de Altos Estudos e os Prêmios de
Reconhecimento Acadêmico que recebi; e a todos que tornam o acesso a artigos e livros
online e de forma gratuita viável, em especial, a criadora do sítio Sci-Hub, Alexandra
Elbakyan.

Resumo
No presente trabalho, serão abordados alguns tópicos referentes à um tipo especial de
soluções de modelos não-lineares, os chamados sólitons. Estes surgem em diversos modelos
em Teoria de Campos e também em muitas outras áreas, sendo objeto de pesquisa atual.
Um sóliton pode ser definido sucintamente como uma perturbação que se propaga sem se
dispersar e cuja forma é preservada mediante colisões.
Existe uma vasta literatura sobre o assunto, com as mais diversas abordagens, todavia,
o interesse aqui repousa sobre soluções estáticas e unidimensionais deste tipo que surgem
graças à degenerescência no vácuo da teoria e que apresentam, portanto, uma estrutura
topológica na sua origem. Como não há formas gerais para obter soluções deste tipo, o uso
de métodos computacionais se faz útil. Neste âmbito, o método de Simmulated Annealing
parece se encaixar bem, ainda que pareça (e é) um esforço excessivo para problemas tão
simples. Porém, deve-se ter em mente que ver que, se tal método funciona bem para
problemas simples, indica que este método possa ser uma ferramenta útil na solução de
problemas mais complexos.
Na introdução são discutidas sucintamente as origens dos sólitons e como o interesse
neles surge nas mais diversas áreas, desde a hidrodinâmica e a onda solitária de Russell,
até a Fisica Nuclear e os Skyrmions. O primeiro capítulo é um resumo das principais
propriedades dos sólitons e de teoremas da Teoria Clássica de Campos. Serão abordados: a
origem dos sólitons topológicos; o método de Bogomol’nyi para a obtenção de soluções que
minimizam energia; o teorema de Derrick, uma restrição sobre em quais contextos soluções
estáticas e estáveis podem surgir; e a estabilidade das soluções frente a perturbações. Neste
capítulo também são introduzidos o kink φ4 e o modelo de Schwinger bosonizado, que
serão analisados numericamente no terceiro capítulo.
No segundo capítulo aborda-se o método de Simmulated Annealing, vê-se como este
surge de uma analogia entre o arrefecimento de cristais e problemas de otimização, bem
como o ‘artesanato’ que constitui sua implementação, além de uma breve discussão sobre
os possíveis problemas que podem ser encontrados ao utilizá-lo.
O terceiro capítulo é a apresentação dos resultados obtidos, além de conter mais alguns
detalhes da implementação. Para o modelo φ4, tem-se a comparação analítico-numérica,
que ajuda a mostrar o quão eficaz é o método; para um modelo bosonizado de férmions
interagentes, os conceitos de blindagem e quebra de corda são analisados. No apêndice, a
implementação dos algoritmos em Wolfram Mathematica é mostrada.
Palavras-chave:Sólitons,Simmulated Annealing,MétododeMonteCarlo,TeoriaClássica
de Campos.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Solução numérica da equação KdV obtida por Zabusky e Kruskal. A
linha contínua mostra a “fila” de pacotes de onda. Retirado de [6]. . . . 13
Figura 2 – Propagação de um pacote gaussiano via a equação de Schrödinger . . . 16
Figura 3 – Perfil de campo de um sóliton do modelo φ4 . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 4 – Densidade de energia de um sóliton no modelo φ4 . . . . . . . . . . . . 21
Figura 5 – Configurações de campo (1.28) para vários valores de m . . . . . . . . 23
Figura 6 – Esquema pictórico do algoritmo de Metropolis, aplicado ao funcional
(2.1) com a distribuição q(C0; C) = e−β∆E . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 7 – Gráfico de magnetização pelo número de interações de Metropolis mo-
delo de Ising em 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 8 – Exemplo de aplicação do algoritmo de Metropolis no modelo de Ising
do ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 9 – Esquema pictórico do algoritmo Simmulated Annealing . . . . . . . . . 38
Figura 10 – Configurações de campo intermediárias, na rota para a minimização . . 44
Figura 11 – Comportamento da energia com o número de iterações, na rota para a
minimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 12 – Configuração de campo final com E ≈ 0.668 e a comparação entre a
solução analítica e numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 13 – Erro relativo entre a solução analítica e a numérica para os campos . . 45
Figura 14 – Comparação analítico-numérica da densidade de energia . . . . . . . . 46
Figura 15 – Configuração do campo χ na rota para o equilíbrio . . . . . . . . . . . 48
Figura 16 – Configuração do campo φ na rota para o equilíbrio . . . . . . . . . . . 48
Figura 17 – Plot da energia versus o número de iterações Metropolis . . . . . . . . 49
Figura 18 – Configuração de equilíbrio dos campos φ e χ encontradas numericamente 49
Figura 19 – Densidade de energia obtida das soluções numéricas . . . . . . . . . . . 50
Figura 20 – Densidade de carga obtida das soluções numéricas . . . . . . . . . . . . 50
Figura 21 – Configuração de campo χ fixada durante cada simulação desta seção. . 52
Figura 22 – Comportamento do campo φ com o número de iterações ‘ = 12 . . . . 53
Figura 23 – Configurações finais do campo φ para vários valores ‘ . . . . . . . . . . 53
Figura 24 – Comparação da densidade de energia da configuração final para vários
valores de ‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 25 – Densidade de carga da configuração final com ‘ = 1. Os pontos azuis
indicam a localização das partículas massivas. . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 26 – Densidade de carga da configuração final com ‘ = 4. Os pontos azuis
indicam a localização das partículas massivas. . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 27 – Densidade de carga da configuração final com ‘ = 12. Os pontos azuis
indicam a localização das partículas massivas. . . . . . . . . . . . . . . 55