So einfach ist Mathematik: Basiswissen für Studienanfänger aller Disziplinen

233 Pages·2015·2.146 MB·German

by  Dirk Langemann, Vanessa Sommer

Dirk Langemann
Vanessa Sommer
So einfach ist
Mathematik
Basiswissen für Studienanfänger
aller Disziplinen
So einfach ist Mathematik
(cid:2)
Dirk Langemann Vanessa Sommer
So einfach ist Mathematik
Basiswissen für Studienanfänger aller
Disziplinen
Prof.Dr.DirkLangemann VanessaSommer
InstitutComputationalMathematics InstitutComputationalMathematics
TUBraunschweig TUBraunschweig
Braunschweig,Deutschland Braunschweig,Deutschland
ISBN978-3-662-47103-6 ISBN978-3-662-47104-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-47104-3
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Inhaltsverzeichnis
1 Bevor’srichtiglosgeht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 HerzlichenGlückwunsch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ostfriesen,BelgierundÖsterreicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 FAQ–häufigeFragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 WielerneichMathematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Akzeptanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Übersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Argumentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 WannisteinmathematischerZusammenhangverstanden? . . . . . 12
2.3 KannmanmathematischeZusammenhängevergessen? . . . . . . . 13
2.4 WieschreibeichmathematischeZusammenhängeauf? . . . . . . . 15
2.5 BraucheichMathematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 WarumgibtessovieleneueBezeichnungen? . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 WasmachendieganzenFormelzeichen? . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 WasfangeichmitdenvielenRegelnan? . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 WassollenBeweise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Darfichmalprobieren? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 ZahlenundBezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 NatürlicheZahlenundKopfrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Umkehroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Überschlagsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3 SchriftlichesRechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.4 LeichteMathematikimAlltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Klammersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 MonsieurFermatsZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.2 NochmehrSchreibkonventionen . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 EinoffenesWort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
V
VI Inhaltsverzeichnis
3.3 GanzeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 DerabsoluteBetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 DieDreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 DivisionmitRest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 KürzenundErweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5.2 Grundrechenarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7 ZeichenundBezeichnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.8 VariablenundGleichheitszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9 Potenz-,Wurzel-undLogarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10 FalscheundnochfalschereFehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 EinbisschenGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1 ImDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Pythagoras&Co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Kreis,BogenmaßundProzentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1 BegriffundNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 GraphenvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.1 BeispielfunktionauseinerKlausur . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.2 GeradengleichungdurchzweiPunkte . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.3 VerschiebeneinerFunktionimKoordinatensystem . . . . . 115
5.2.4 DerrundeKreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 DiebekanntestenFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3.1 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3.2 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.3 Sinus-undKosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.4 Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4 VerkettungvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5 FlächenundÄnderungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.7 Ableitungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.8 Ableitungs-undIntegrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.8.1 ProduktregelundpartielleIntegration . . . . . . . . . . . . . 141
5.8.2 KettenregelundIntegrationmitSubstitution . . . . . . . . . 143
6 HandlungenmitmathematischenSymbolen . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.1 BinomischeFormeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 Termumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Inhaltsverzeichnis VII
6.3 EinpaarTricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.1 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.2 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.3 DifferenzenvonWurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7 Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.1 AuflösenvonlinearenGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2 QuadratischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3 NochallgemeinereGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.1 DieMuttervomPrenzlauerBerg . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4.2 EinVereinsammeltGeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4.3 HauskaufbeidenBrandts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.5 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 EinfacheBeweiseundUngleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.1 EinfacheBeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.1.1 VomgeometrischenundarithmetischenMittel . . . . . . . . 189
8.1.2 BeweisprinzipdervollständigenInduktion . . . . . . . . . . 193
8.1.3 DerindirekteBeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.1.4 EinStückformaleLogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.1.5 DasGegenbeispielistkeinBeweisprinzip . . . . . . . . . . . 199
8.1.6 EineUngleichungundihreVerallgemeinerung . . . . . . . . 200
8.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2.1 Ganzeinfach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2.2 Etwasverzwickter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2.3 Nochzweiandere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3 MehrUngleichungen,MengenundLogik . . . . . . . . . . . . . . . 208
9 WieleseicheinmathematischesFachbuch? . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10 Rezepte,TaschenrechnerundHalbwissen . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11 Zahlenblindheit,DyskalkulieundPrüfungsangst . . . . . . . . . . . . 223
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
1
Bevor’s richtig losgeht
Schön,dassSiedasind.Willkommen.
Zuerst erzählen wir Ihnen, warum dieses Buch entstanden ist, wie man es loh-
nendundfruchtbringendliestundwieesIhnenammeistennützt.
1.1 HerzlichenGlückwunsch
SiebeginneneinStudium.HerzlichenGlückwunsch.
IhrStudiumenthältMathematik,undSiesindinderSchuledurchdieMathema-
tik hindurchgekommen,obwohldieZeichenundFormeln nichtwirklich zu Ihnen
gesprochenhaben.DannhaltenSiedasrichtigeBuchinderHand.
Möglicherweise haben Sie auch längere Zeit etwas anderes gemacht, und die
Mathematik ist ein wenig in Vergessenheit geraten. Auch dann wird Ihnen dieses
kleineBuchguttun.
Das Buch richtet sich an alle Leserinnen und Leser, die ein mathematikhalti-
ges Studium aufnehmen oder vor Kurzem aufgenommen haben. Es ist aus den
ErfahrungenmitderVorlesungzurIngenieurmathematikentstanden,dieangehen-
deMaschinenbauingenieureund-ingenieurinnensowieBauingenieure1,aberauch
GeoökologenundvieleandereanderTechnischenUniversitätBraunschweighören.
AmAnfangvielerStudiengängestehtdieMathematikinunterschiedlicherForm
undIntensität.Fastimmerwirdsiealsschwierigempfunden.FortgeschritteneStu-
dierende sagen dagegen häufig, dass Mathematik ein eher leichtes und verständ-
liches Fach ist, das im weiteren Studium grundlegend nützlich und wichtig ist.
Manche sagen auch, dass sie sich viel Mühe und Kummer erspart hätten, wenn
sie sich schon früher ernsthaft mit der nur scheinbar mystischen Zauberwelt der
Mathematikbeschäftigthätten.
1WirmeinenmitderweiblichengrammatikalischenFormimmerauchJungs,mitdermännlichen
Formebensoimmerdieweiblicheundbeziehengedanklichauchallesozialenundbiologischen
sowiealleandereneigenenundfremdenEinordnungenein.
©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2016 1
D.Langemann,V.Sommer,SoeinfachistMathematik,DOI10.1007/978-3-662-47104-3_1
2 1 Bevor’srichtiglosgeht
DasBuchistauchausderschmerzvollenErfahrungvielerStudierenderentstan-
den,dasssietrotzSchulbildungvondenelementarenGrundlagenderMathematik
entfremdet waren. Genau deshalb beginnen wir mit diesen elementaren Grundla-
gen.Wirrechnenundredendarüber.WirdeutendieBezeichnungenundBegriffe,
undwirredendarüber,wiewirdeutenundwiewirrechnen.WirzeigenWege,wie
mansichunbekannteBezeichnungenundBegriffeerschließt.
Dazu enthält dieses Buch Erklärungen, Veranschaulichungen und Deutungen,
aber nur wenige Aufgaben und keine Rechenrezepte. Insbesondere Rechenrezep-
tesind keineMathematik.Mankannsiedurcheinanderbringen,vergessenundauf
Falschesanwenden.NiemandkannsichsovieleRezepteeinpauken,wieesmögli-
cheAufgabengibt,undkeinMenscharbeitetinseinemBerufslebenRechenrezepte
ab.DafürgibtesComputer.WirdagegenredenüberMathematik.DieLösungswe-
gezudenkbarenAufgabenergebensichausdemVerständnisderdahinterstehenden
SachverhalteundZusammenhängefastvonselbst.
DasBuchbeginntmitmathematischenZusammenhängenausdenunterenSchul-
klassen,beschreibtsieaberso,wiesieaneinerHochschuledargestelltundverwen-
det werden. Sie werden vor allem die ersten Abschnitte völlig problemlos lesen
unddenArgumentationenohneMühefolgenkönnen.MöglicherweisewerdenSie
denEindruckhaben,alles seizu einfach. Mathematik beginntin diesen einfachen
Zusammenhängen.Sosind
8C1D9; 8(cid:2)1D7;
8C.(cid:2)1/D7; 8(cid:2).(cid:2)1/D9
zunächstnurzusammengestellteRechenaufgabenmitganzenZahlen.WennSiedie
Struktur hinter diesen Aufgaben ergründenund sich verdeutlichen, was dort über
UmkehroperationenunddieStrukturderganzenZahlenbeispielhaftgezeigtwird,
betreibenSiesoforthöhereMathematik.
VielleichtwerdenSiejetztfragen,wogenauSiesolcheErkenntnisseimBerufs-
lebenverwendenwerden?SeienSieunbesorgt,wennSiedieGrundlagensosicher
verstanden haben, dass Sie sie als völlig natürlich ansehen, wird es Ihnen umso
leichterfallen,dieAbschnittedesBucheszulesen,diesichmitThemenbeschäfti-
gen,dieihreAnwendungendeutlicheroffenbaren.
Die Frage, wozu man die Mathematik oder bestimmte mathematische Themen
braucht,istfüreinigeStudierendeunheimlichbedeutsam.DochweißmanamAn-
fang des Studiums im Allgemeinen nicht, was einen erwartet. Gleich im ersten
Semester zufragen,wozumanetwas, dasmanlernt,brauchtundobmanesüber-
hauptbraucht,istso,alswürdemanineinerFahrradmanufaktureineSchraubemit
einemLochimGewindefindenundlautausrufen,dassdochniemandeineSchrau-
bemitLochbraucht.ManchältererMeisterwürdeIhnenlächelnddenBowdenzug
anderBremsezeigen.
DiesesBuchistkeinLehrbuchimherkömmlichenSinn.Eserzähltundphiloso-
phiertvielmehrübermathematischeZusammenhänge,logischeÜberlegungenund
das Verständnis des mathematischen Formalismus. Dazu beginntes in Kap. 3 bei
denGrundrechenartenmitnatürlichenZahlen.EsrichtetsichdennochanLeserin-
1.1 HerzlichenGlückwunsch 3
nenundLeser,dieMathematikschoninderSchulehatten,dennbereitsan diesen
einfachenDingenwerdenVerbindungenzuSachverhaltenausderAbiturstufeund
aus dem Studium sichtbar. Nach einem Ausflug in die Geometrie in Kap. 4 stür-
zen wir uns in Kap. 5 in die Welt der Funktion. Dort beleuchten wir kurz die
Differenzial-undIntegralrechnung.
Zugegeben,dasisteinHöhenflug.EsistsogareingewaltigerHöhenflug,wenn
manbedenkt,dasswirunszweiKapitelzuvormitderAdditionundSubtraktionvon
ganzen Zahlen beschäftigen und uns vergewissern, in welchem Sinne die Merk-
regel Punkt- vor Strichrechnung angewendet wird. Jedoch sind Sie, liebe Leserin
undlieberLeser,einerseitszurSchulegegangenundhörenvonderPlus-undMi-
nushandlungnichtzumerstenMal.AndererseitssindeineFunktion,eineAbleitung
undein IntegralzunächsteinmalBegriffe,diemankennenundals Begriffverste-
hensoll, bevormanetwas mitihnenmacht.DamaneinigeVorbereitungenfürsie
braucht, werden Ableitungen und Integraleüblicherweise erst weiter hinten in ei-
nemLehrbuchbehandelt.DochkeineAngst,SiehabendieseVorbereitungbereits,
und das Buch, das Sie in den Händen halten, eröffnetIhnen einen weiteren Blick
aufdieBegriffe.
NachdemHöhenflugwiedergelandet,sammelnwirinKap.6undKap.7aller-
leiNützlichesüberTermumformungen,GleichungenundTextaufgaben.Kapitel8
widmet sich dem mathematischen Kerngeschäft, nämlich den Beweisen, und be-
sprichtdieFrage,wiemansieversteht.DieThemenausdiesendreiKapitelnsind–
natürlichnurimPrinzipundkeinesfallsinjedemDetail–schonTeildesSchulun-
terrichts. Vielleicht ist es dennoch treffender zu behaupten, dass ein geübter und
interessierter Mathe-Freak diese Themen aus dem Schulunterricht heraus erfas-
sen kann. Sie sind damit nichtleichter als dieDifferenzial- und Integralrechnung.
Man kann sogar sagen, Termumformungen, Gleichungen und Textaufgaben sind
schwieriger,weilSiehierbeidazubefähigtwerdensollen, selbsteinenzielführen-
denWegdurchdasLabyrinthderdenkbarenUmformungsschritte,derzurAuswahl
stehendenBeweisgedanken undder möglichenInterpretationeneinerTextaufgabe
zufinden.
DiemathematischenInhaltewerdenvoneinerBedienungsanleitungfürdieMa-
thematik in Kap. 2 und praktischen Tipps für die Reise ins Land der Mathematik
undderHochschuleinKap.9bisKap.11eingerahmt.AmbestenlesenSiediesen
Reiseführer von vorn und mit Zettel und Stift in der Nähe und setzen die kleinen
eingestreuten Aufforderungenund Aufgaben in Skizzen und kurze Überlegungen
um.
DieTipps,wasmanunbedingtbestaunensoll,unddieWarnungen,wasmanbloß
nichttunsoll,kommenimmerwieder.WennSieeinmaleinenSkikursgemachtoder
ein Musikinstrument erlernt haben, wissen Sie, dass die Lehrerin oder der Lehrer
wiederundwiederdasselbeerzählt,eventuellaufunterschiedlichemNiveau.Soist
es auch hier. Die Grundgedanken tauchen in unterschiedlichsten Themen wieder
undwiederauf,unddiesaufunterschiedlichemNiveau.
DasBuchsetztdarauf,dassSieetwasMathematikausderSchulemitbringenund
in denVorlesungen IhresStudiumsnocheiniges mehrerfahren.Dieses Buch hilft
Ihnen, in den Vorlesungen das wiederzuerkennen, was Sie in der Schule gelernt