Smarandache Notions

2010·11.1 MB·English

by  Wenpeng, Zhang

关于Smarandache问题
研究的新进展

郭晓艳

西北大学数学系

袁 霞

西北大学数学系

High American Press
2010
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Peer Reviewers:
Wenpeng Zhang, Department of Mathematics, Northwest University, Xi’an, Shannxi ,
P.R.China.
Wenguang Zhai, Department of Mathematics, Shangdong Teachers’ University, Jinan,
Shandong , P.R.China.
Guodong Liu, Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou,Guangdong,
P.R.China.

Copyright 2010 by High Am. Press, translators, editors, and authors for their papers

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ISBN: 978-1-59973-096-7

Standard Address Number : 297-5092
Printed in the United States of America
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1993 , Only Problem, Not Solutions! ,

35 6˜Ö¥ {7ÛêZæͶ
F. Smarandache 105
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Smarandache ,
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Smarandache ,
‡8(cid:27)3u•Öö0(cid:11)'u ¯K(cid:27)˜(cid:10)(cid:129)#(cid:27)ïĤJ
Smarandache , ,
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¼ê(cid:144)§(cid:27))(cid:31)˜X(cid:15)¯K F"k,(cid:21)(cid:27)ÖöŒ±éù(cid:10)(ØÚ#¯
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2010 12

(cid:27)
I
Smarandache
'u ¯KïÄ(cid:27)#?
8¹
Smarandache 1
1˜Ù 'u ¼ê
1.1 Smarandache . . . . . . . . . . 1
'u ¼ê(cid:27)e.(cid:15)O
1.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Úó9(Ø
1.1.2 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 3
½n (cid:27)y²
1.2 Smarandache ap +bp . . . . 5
¼ê3ê(cid:15) þ(cid:27)e.(cid:15)O
1.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Úó9ïÄ(cid:18)µ
1.2.2 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 5
½n (cid:27)y²
1.3 Smarandahce . . . . . . 9
¼ê3¤(cid:16)êêþ(cid:27)e.(cid:15)O
1.3.1 . . . . . . . . . . . . . . 9
¤(cid:16)êê†Ì‡(Ø
1.3.2 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 10
½n (cid:27)y²
1.4 Smarandache . . . . . . 13
¼ê3(cid:30) £þ(cid:27)e.(cid:15)O
1.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
(cid:30) £0(cid:11)
1.4.2 . . . . . . . . . . . . . 14
½nÚü‡íØ(cid:27)y²
Smarandache LCM 18
1(cid:19)Ù 'u ¼ê(cid:27)˜(cid:10)¯K
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Úó
2.2 Smarandache LCM . . . . . . 18
'u ¼ê9Ùéó¼ê
2.3 Smarandache LCM
¼ê(cid:27)éó¼ê†(cid:129)(cid:2)ƒÏf(cid:27)þ(cid:144)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Š
2.4 Smarandache LCM . . 24
˜‡(cid:157)¹ ¼ê(cid:27)éó¼ê(cid:27)(cid:144)§
2.5 Smarandache Smarandache LCM 30
¼ê† ¼ê(cid:27)·ÜþŠ
2.6 Smarandache Smarandache LCM
˜‡(cid:157)¹ ¼ê† ¼ê
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
(cid:27)(cid:144)§
Smarandache 37
1nÙ 'u Ú¼ê(cid:27)˜(cid:10)¯K
3.1 Smarandache . . . . . . . . . . . 37
'u Ú¼ê(cid:27)þŠ
3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Úó9(Ø
3.1.2 3.1 3.2 . . . . . . . . . . . 38
½n 9½n (cid:27)y²
3.2 Smarandache S(n,k) Dirichlet . 42
˜a(cid:157)¹ Ú¼ê (cid:27) ?ê
3.2.1 Dirichlet . . . . . . . . . . . . 42
?ê†Ì‡(Ø
3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A‡½n(cid:27)y²
II
8¹
3.3 Smarandache AS(n,k) Dirichlet 46
˜a(cid:157)¹ Ú¼ê (cid:27) ?ê
3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
̇(Ø
3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
½n(cid:27)y²
3.4 Smarandache . . . . . . . . . . . . 51
'u ˜Ú(cid:27)þŠ
3.4.1 . . . . . . . . . . . . . . 51
ïÄ(cid:18)µ9̇(Ø
3.4.2 3.13 3.14 . . . . . . . . . . 53
½n 9½n (cid:27)y²
56
1oÙ 'uŒ\¼ê(cid:27)˜(cid:10)¯K
4.1 Smarandache . . . . . . . . 56
˜‡#(cid:27)Œ\¼ê† ê(cid:15)
4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Úó9(Ø
4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ü‡{ü(cid:27)Ún
4.1.3 4.1 4.2 . . . . . . . . . . . 59
½n 9½n (cid:27)y²
4.2 . . . . . . . . . . . . . . . 61
'uŒ\¼ê(cid:27)þ(cid:144)Š
4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
̇(Ø
4.2.2 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 61
½n (cid:27)y²
Smarandache 66
1ÊÙ 'u ê(cid:15)9Ùk'¯K
5.1 Smarandache SP(n) IP(n) . . . 66
²(cid:144)ê(cid:15) Ú (cid:27)þŠ(cid:11)
5.2 Smarandache 3n-digital . . . . . . . . . . . . . 69
ê(cid:15)
Smarandache 76
18Ù ˜(cid:10)(cid:157)¹ ¼ê(cid:27)(cid:144)§
6.1 Smarandache Smarandache LCM
(cid:157)¹– ¼êÚ ¼ê(cid:27)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
(cid:144)§
6.2 Smarandache Smarandache
˜‡(cid:157)¹ ¼ê†– ¼ê(cid:27)(cid:144)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§
6.3 Smarandache . . . . . . . . . . 88
'u ¼ê(cid:27)ü‡ßŽ
6.4 S (n) . . . . . . . . . . . . . 93
k
˜‡(cid:157)¹¼ê (cid:27)(cid:144)§
6.5 Smarandache . . . . . . . . . . 100
'u ¯K(cid:27)˜‡í2
Smarandache 105
1ÔÙ ¼êƒ'¯K
7.1 Smarandache . . . . . . . . . . 105
¼ê(cid:27)·ÜþŠ¯K
7.2 SSC(n) . . . . . . . . . . 109
'u²(cid:144)Öê (cid:27)ü‡¯K
7.3 Smarandache . . . . . . . 113
'u ˜¼ê(cid:27)˜‡þŠ¯K
7.4 Smarandache . . . . . . . . . . . . . 120
'u {ü¼ê
7.5 Smarandache k . . . . . . . . . . . . . 123
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7.6 Gauss . . . . . . . . 127
˜‡(cid:157)¹ ¼ê(cid:27)(cid:144)§9Ù¢ê)
III
Smarandache
'u ¯KïÄ(cid:27)#?
7.7 n . . . . . . . . 131
?›¥š"êi(cid:16)ê²(cid:144)Ú¼êþŠ
135
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IV
Smarandache
1˜Ù 'u ¼ê
Smarandache
1˜Ù 'u ¼ê
,
(cid:31)êØ¥¤(cid:157)¹(cid:27)˜‡ ‡SNÒ´ïÄêؼê(cid:27)ˆ«5Ÿ
Smarandache S(n) ,
(cid:13)Ͷ(cid:27) ¼ê ´ ‡(cid:27)êؼꃘ éuù˜¼
, ,
êéõÆö®²‰(cid:10)ïÄÚ&¢ ¿(cid:18)(cid:26)(cid:10)˜X(cid:15) ‡(cid:27)(J ù(cid:10)nØ
. , Smarandache
¤JéêØuÑk Œ¿Â C
5 'u ¼ê(cid:27)k.
Smarandache ,
5(cid:15)O¯K¤Ǒ ˜‡#,(cid:27)‘K éõÆöéù˜‘K‰
, Smarandache
(cid:10)(cid:29)Ǒ(cid:27)&¢ (cid:29)Ùò0(cid:11)CÏISÆö‚'u ¼ê(cid:27)k
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1.1 Smarandache
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1.1.1
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1.1. n, Smarandache S(n)
½Â éu?¿(cid:20)(cid:18)ê Ͷ(cid:27) ¼ê ½Â
m n m!.
Ǒ(cid:129)(cid:2)(cid:27)(cid:20)(cid:18)ê (cid:26) | =Ò´
S(n) = min m : m N, n m! .
{ ∈ | }
S(n) n = pα1pα2 pαr n
l (cid:27)½ÂéN´íÑXJ 1 2 ··· r L« (cid:27)IO
, S(n) = max S(pαi) . S(1) = 1,
©)ª o 1 i r{ i } dd·‚ǑØJOŽÑ
≤ ≤
S(2) = 2, S(3) = 3, S(4) = 4, S(5) = 5, S(6) = 3, S(7) = 7, S(8) = 4,
S(9) = 6, S(10) = 5, S(11) = 11, S(12) = 4, S(13) = 13, S(14) = 7,
S(15) = 5, S(16) = 6, S(17) = 17, S(18) = 6, S(19) = 19, S(20) = 5, .
···
S(n) , . S(n)
w,¼ê QØ´4O¼ê ǑØ´4~¼ê 'u (cid:27)?˜Ú
, , , [2-6].
5Ÿ NõÆöǑ?1(cid:10)ïÄ ¼(cid:26)(cid:10)Ø(cid:8)k(cid:21)(cid:27)(J ë(cid:29)©z
, [2]
~X ºæ² ¥ïÄ(cid:10)(cid:144)§
k
S(m +m + +m ) = S(m )
1 2 k i
···
i=1
X
, k
(cid:27)Œ)5 |^)ÛêإͶ(cid:27)nƒê½ny²(cid:10)é?¿(cid:20)(cid:18)ê ≥
3, (m ,m , , m ).
1 2 k
T(cid:144)§k¡õ|(cid:20)(cid:18)ê) ···
1
Smarandache
'u ¯KïÄ(cid:27)#?
[3] S(n) ,
Mó¸ ïÄ(cid:10) (cid:27)Š©Ù¯K y²(cid:10)ìCúª
(S(n) P(n))2 = 2ζ 23 x23 +O x32 ,
n x − 3(cid:0)ln(cid:1)x ln2x!
X≤
P(n) n , ζ(s) Riemann zeta- .
Ù¥ L« (cid:27)(cid:129)ŒƒÏf L« ¼ê
[4] S 2p 1(2p 1) ,
−
Wju(cid:19)Ç3©z ¥ïÄ(cid:10) − (cid:27)e.(cid:15)O¯K
:
(cid:0) (cid:1)
¿‰Ñ(cid:10)(cid:15)Oª
S 2p 1(2p 1) 2p+1,
−
− ≥
p . (cid:0) (cid:1)
Ù¥ Ǒ?¿Ûƒê
[5] [4] , .
€ïw ¥U?(cid:10)©z (cid:27)(Ø ‰Ñ(cid:10)(cid:141)r(cid:27)e.(cid:15)O =Ò
p 7,
´y²(cid:10)é?¿ƒê ≥ ·‚k
S 2p 1(2p 1) 6p+1.
−
− ≥
(cid:0) (cid:1)
[6] S(2p +1) ,
€ïw ¥„ïÄ(cid:10) (cid:27)e.(cid:15)O¯K y²(cid:10)é?¿ƒ
p 7,
ê ≥ Ó(cid:24)Œ(cid:26)(cid:20)(cid:15)Oª
S(2p +1) 6p+1.
≥
2p 1(2p 1) ,
−
±þ©z¥¤(cid:21)9(cid:27)ê(cid:15) − kX ‡(cid:27)êØ(cid:18)µ ¯¢
M = 2p 1 . p, M
p p
þê(cid:15) − ¡ǑrÜZê rÜZQßÿé¤kƒê Ǒ
. , M = 211 1 = 23 89
11
ƒê ,(cid:13)ù˜ßÿ(cid:0)5(cid:26)(cid:8)y´†Ø(cid:27) ÏǑ − ×
. 2p 1(2p 1) —
−
´‡Üê (cid:13)ê(cid:15) − †˜‡(cid:20)P(cid:27)êØJK ó(cid:17)(cid:28)ê—
. n n 2n.
ƒƒ' ¤¢ ´˜‡(cid:17)(cid:28)ê´(cid:141) (cid:27)¤k(cid:20)ÏêƒÚ(cid:31)u ~
n = 6 , 12 = 2 6 = 1+2+3+6.
X ´˜‡(cid:17)(cid:28)ê ÏǑ × <‚®y²
n n = 2p 1(2p 1), 2p 1 .
−
˜‡óê ´(cid:17)(cid:28)ê(cid:8)…=(cid:8) − Ù¥ − Ǒƒê ´
. [8]
Ä(cid:127)3Û(cid:17)(cid:28)ê–8´˜‡™)û(cid:27)êØJK k'SNŒë(cid:29)©z
[9].
9
Smarandache ,
éu ¼ê3Ù§ê(cid:15)þ(cid:27)e.(cid:15)O ˜(cid:10)ÆöǑ?1
, , [7] Smarandache
(cid:10)ïÄ ~X (cid:28)<a ?Ø(cid:10) ¼ê3¤(cid:16)êêþ(cid:27)e.
, n 3 :
(cid:15)O¯K y²(cid:10)é?¿(cid:20)(cid:18)ê ≥ k(cid:15)Oª
S(F ) = S 22n +1 8 2n +1,
n
≥ ·
(cid:0) (cid:1)
2
Smarandache
1˜Ù 'u ¼ê
F = 22n +1 .
n
Ù¥ ǑͶ(cid:27)¤(cid:16)êê
, [5] [6] [7] [10] ,
(cid:129)C É(cid:20)©z ! 9 (cid:27)éu§§X¶ ïÄ(cid:10)k'¯K
. :
¼(cid:26)(cid:10)(cid:141)r(cid:27)e.(cid:15)O äN/`ǑÒ´y²(cid:10)e¡(cid:27)
1.1. p 17,
½n éu?¿ƒê ≥ ·‚k(cid:15)Oª
(A). S(2p 1) 10p+1;
− ≥
(B). S(2p +1) 10p+1.
≥
1.1 [4] [5] [6] [7] ,
w,½n ¥(cid:27)e.(cid:15)O`u©z ! ! 9 ¥(cid:27)(Ø
.
(cid:13)…§(cid:27)y²L§(cid:141)äkE|5
1.1.2 1.1
½n (cid:27)y²
1.1 .
ù!·‚|^(cid:31)(cid:144){9|ÜE|†(cid:26)‰Ñ½n (cid:27)y²
1.1 (A) , 1.1 (B) .
·‚(cid:144)y²½n ¥(cid:27) ª ÓnŒíѽn ¥(cid:27) ª
Smarandache p n, S(n) p
d ¼ê(cid:27)5Ÿ(cid:127)éu?¿ƒê | ·‚k ≥
p S(pα) α . , p 17, q
… | é¤k(cid:20)(cid:18)ê ¤á y3 éu?¿ƒê ≥ (cid:23)
(2p 1) , q 5. S(n)
Ǒ − (cid:27)?˜ƒÏf w, ≥ u´d (cid:27)5Ÿ(cid:127)
S(2p 1) q. (1-1)
− ≥
q 2p 1, 2p 1 (mod q). p 2 q .
qdu | − ¤± ≡ Ïd ´ (cid:28) (cid:27)(cid:141)I ¤±
[8] [9] p φ(q) = q 1, q = mp+1.
d©z 9 ¥(cid:141)I(cid:27)5Ÿ(cid:127) | − ½ö d
q , m ,
u ǑÛƒê ¤± ˜½Ǒóê ÏdŒ(cid:23)
q = 2kp+1, k = 1, 2,3, . (1-2)
······
2p 1 . 2p 1 = u2, 2p =
w, − ØŒU´˜‡(cid:17)(cid:28)²(cid:144)ê ÄKk − ½ö
u2 +1, 0 2p u2 +1 2 (mod 4), . 2p 1
ddíÑ ≡ ≡ ≡ gñ u´ − ke
:
(cid:15)Ê«ŒU
(a). 2p 1 , p 17, S(2p 1) 2p 1
− Ǒƒê dž5¿(cid:20) ≥ ·‚k − ≥ − ≥
10p+1.
(b). 2p 1 q m , m 3. 2p 1
− TǑ˜‡ƒê (cid:27) g˜ ≥ du − ØŒ
, m = 3, 5, . m 5, (1-1) (1-2)
UǑ(cid:17)(cid:28)²(cid:144) ¤± ··· e ≥ Kdž(Ü 9
ªk
S(2p 1) S(qm) mq > 5(2p+1) > 10p+1.
− ≥ ≥
3