SMA0300. GEOMETRIA ANALÍTICA 1o semestre de 2017 1. Geometria e álgebra de vetores 1.1 ...

43 Pages·2017·2.01 MB·Portuguese

SMA0300. GEOMETRIA ANAL(cid:19)ITICA
1o semestre de 2017
1. Geometria e (cid:19)algebra de vetores
1.1. Rela(cid:24)c~oes de equival^encia. Quando dizemos que um objeto (cid:19)e igual a um outro quase sempre
n~ao temos em mente uma igualdade plena. Por exemplo, dizendo que R$1=R$1, n~ao a(cid:12)rmamos que
qualquer moeda de R$1 (cid:19)e id^entica, ou ainda realmente igual, a uma outra. Seria mais adequado dizer
que, como um meio de pagamento, todas as moedas de R$1 s~ao iguais. Ainda melhor a(cid:12)rmar que s~ao
equivalentes em tal papel. Quando declaramos que todas as pessoas s~ao iguais, n~ao temos intenc(cid:24)~ao de
a(cid:12)rmar isto literalmente. Talvez, queremos dizer que todas as pessoas desfrutam direitos iguais ou t^em
uma mesma idade ou :::
Entre objetos neste mundo triste, mesmo como entre pessoas, h(cid:19)a rela(cid:24)c~oes. Por exemplo, a rela(cid:24)c~ao de
amizade: em vez de dizer que p (cid:19)e um amigo de p , podemos escrever p @p . J(cid:19)a que na realidade n~ao
1 2 1 2
existe uma igualdade plena, precisamos lidar com rela(cid:24)c~oes que fazem o papel de igualdade do melhor
jeito poss(cid:19)(cid:16)vel, ou seja, com rela(cid:24)c~oes de equival^encia.
1.1.1. De(cid:12)ni(cid:24)c~ao. Dizemos que uma rela(cid:24)c~ao (bin(cid:19)aria) (cid:25)(cid:19)e uma rela(cid:24)c~ao de equival^encia (ou simples-
mente equival^encia) se ela (cid:19)e re(cid:13)exiva, sim(cid:19)etrica e transitiva. Isto quer dizer que
(cid:15) (re(cid:13)exividade) a(cid:25)a para todo a;
(cid:15) (simetria) a(cid:25)b implica b(cid:25)a;
(cid:15) (transitividade) se a(cid:25)b e b(cid:25)c, ent~ao a(cid:25)c.
1.1.2. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. E(cid:19) arela(cid:24)c~aodeamizade@re(cid:13)exiva? Sim(cid:19)etrica? Transitiva? Asmesmasperguntas
sobre a rela(cid:24)c~ao \ter a mesma idade" e sobre a rela(cid:24)c~ao \estar em uma mesma turma de alunos".
1.2. Vetores no espa(cid:24)co. Denotamos por E3 nosso espa(cid:24)co de dimens~ao 3 (onde talvez vivemos).
Consideremos pares ordenados de pontos em E3, escrevendo (p ;p ) para um tal par de pontos p e p .
1 2 1 2
Note que (cid:19)e bem poss(cid:19)(cid:16)vel que p =p e que o par ordenado (p ;p ) (cid:19)e em geral diferente do par (p ;p ).
1 2 1 2 2 1
Mais precisamente, um par ordenado (p ;p ) (cid:19)e igual a um par ordenado (q ;q ) se e s(cid:19)o se p = q e
1 2 1 2 1 1
p =q . Agora (cid:19)e claro que (p ;p )=(p ;p ) apenas quando p =p .
2 2 1 2 2 1 1 2
Nolugardeumparordenado(p ;p ),podemosdesenharnoespa(cid:24)coE3umsegmentoorientado [p ;p ]
1 2 1 2
sendo p a origem e p a extremidade do segmento orientado.
1 2
1.2.1. De(cid:12)ni(cid:24)c~ao. Umsegmentoorientado[p ;p ](cid:19)editosemelhante aumsegmentoorientado[q ;q ]
1 2 1 2
se todos os quatro pontos p ;p ;q ;q est~ao em um mesmo plano e os segmentos [p ;p ] e [q ;q ] cons-
1 2 1 2 1 2 1 2
tituem lados opostos de um paralelogramo. (Aqui admitimos paralelogramos degenerados.) Em outras
palavras, p ;p ;q ;q s~ao v(cid:19)ertices consecutivos de um paralelogramo.
1 2 2 1
1.2.2. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Mostre que [p ;q ] e [p ;q ] s~ao semelhantes se [p ;p ] e [q ;q ] s~ao semelhantes.
1 1 2 2 1 2 1 2
Ser(cid:19)a que [p;p] (cid:19)e sempre semelhante a [q;q] ?
1.2.3. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Ser(cid:19)a que [q ;q ] e [p ;p ] s~ao sempre semelhantes se [p ;p ] e [q ;q ] s~ao semel-
2 1 1 2 1 2 1 2
hantes?
1.2.4. Lema. Arela(cid:24)c~ao \sersemelhante"(cid:19)eumarela(cid:24)c~aodeequival^enciaentresegmentosorientados.
2 1o SEMESTRE DE 2017
Demonstra(cid:24)c~ao. Ossegmentosordenados[p ;p ]e[p ;p ]s~aoobviamentesemelhantes,poisformam
1 2 1 2
um paralelogramo (degenerado). Logo, a rela(cid:24)c~ao (cid:19)e re(cid:13)exiva. Se [p ;p ] (cid:19)e semelhante a [q ;q ], ou seja,
1 2 1 2
[p ;p ] e [q ;q ] formam lados opostos de um paralelogramo, ent~ao [q ;q ] (cid:19)e semelhante a [p ;p ] :
1 2 1 2 1 2 1 2
o paralelogramo(cid:19)e o mesmo. Conclu(cid:19)(cid:16)mos que a rela(cid:24)c~ao(cid:19)e sim(cid:19)etrica. Finalmente, se [p ;p ](cid:19)e semelhante
1 2
a[q ;q ]e[q ;q ](cid:19)esemelhantea[d ;d ],ent~ao,usandonossosconhecimentosdosegundograu,podemos
1 2 1 2 1 2
ver que [p ;p ](cid:19)e semelhante a [d ;d ] : basta considerar um prisma triangular com os v(cid:19)ertices p ;q ;d
1 2 1 2 1 1 1
do tri^angulo da base e com os v(cid:19)ertices p ;q ;d da face oposta (cid:18)a base. O paralelogramo que faz [p ;p ]
2 2 2 1 2
semelhantea[q ;q ]eoparalelogramoquefaz[q ;q ]semelhantea[d ;d ]constituemduasfaceslaterais
1 2 1 2 1 2
do prisma. Da(cid:19)(cid:16) deduzimos que a terceira face lateral do prisma (cid:19)e um paralelogramo. Isto signi(cid:12)ca que
[p1;p2] (cid:19)e semelhante a [d1;d2]. Assim, veri(cid:12)camos a transitividade da rela(cid:24)c~ao ■
1.2.5. De(cid:12)ni(cid:24)c~ao. Segmentos orientados, considerados a menos da rela(cid:24)c~ao de equival^encia \ser
semelhante", se chamam vetores. Em outras palavras, cada vetor (cid:19)e representado por um segmento
orientado e vetores se tratam como iguais se seus segmentos orientados s~ao semelhantes. Denotamos
(cid:0)!
por p p o vetor representado pelo segmento orientado [p ;p ].
1 2 1 2
Na pr(cid:19)atica, a de(cid:12)ni(cid:24)c~ao acima signi(cid:12)ca que podemos continuar a pensar em vetores como se fossem
segmentos orientados, mas, entretanto, temos a liberdade de colocar a origem (ou a extremidade se a
gente preferir) do segmento em qualquer ponto do espa(cid:24)co. Deste modo, o vetor (cid:19)e o mesmo ainda que
seu representante, um segmento orientado, se altere. Os vetores s~ao m(cid:19)oveis.
1.3. Adi(cid:24)c~ao (subtra(cid:24)c~ao) de vetores. Para somar vetores v e v , podemos colocar, por exemplo,
1 2
aorigemdev naextremidadedev eovetorv +v (cid:19)eaquelecujaorigem(cid:19)eaorigemdev ecujaextrem-
2 1 1 2 1
idade (cid:19)e a extremidade de v . A de(cid:12)ni(cid:24)c~ao de soma que acabamos de apresentar (cid:19)e um pouco defeituosa,
2
poisparecedependerdaescolhaderepresentatesdosvetores. Precisamosmostraraindepend^enciadesta
escolha.
(cid:0)! (cid:0)!
Sejam v =p(cid:0)!p =p′p′ e v =p(cid:0)!p =p′p′. Usando os primeiros representantes de v e v , obtemos
1 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2
(cid:0)!
o vetor soma v =p(cid:0)!p . Usando os segundos representantes de v e v , obtemos o vetor soma w =p′p′.
1 3 1 2 1 3
Precisamos mostrar que v =w, ou seja, que [p ;p ] (cid:19)e semelhante a [p′;p′]. Como acima, consideramos
1 3 1 3
um prisma triangular com os v(cid:19)ertices p ;p ;p do tri^angulo da base e com os v(cid:19)ertices p′;p′;p′ da face
1 2 3 1 2 3
oposta (cid:18)a base. O paralelogramo que faz [p ;p ] semelhante a [p′;p′] e o paralelogramo que faz [p ;p ]
1 2 1 2 2 3
semelhantea[p′;p′]constituemduasfaceslateraisdoprisma. Da(cid:19)(cid:16)deduzimosqueaterceirafacelateral
2 3
do prisma (cid:19)e um paralelogramo. Isto implica que [p ;p ] (cid:19)e semelhante a [p′;p′].
1 3 1 3
Agora, a de(cid:12)ni(cid:24)c~ao da soma de vetores (cid:19)e correta.
(cid:0)!
O vetor⃗0:= pp (cid:19)e dito nulo. Este faz papel do elemento neutro na adi(cid:24)c~ao de vetores:
N.⃗0+v =v+⃗0=v para qualquer vetor v.
Seja v = p(cid:0)!p . De(cid:12)nimos o vetor oposto a v como (cid:0)v := p(cid:0)!p . E(cid:19) f(cid:19)acil veri(cid:12)car que esta de(cid:12)ni(cid:24)c~ao (cid:19)e
1 2 2 1
correta, isto(cid:19)e, independedaescolhadorepresentante[p ;p ]dev. E(cid:19) imediatoque(cid:0)⃗0=⃗0. Maisainda,
1 2
se veri(cid:12)ca facilmente que
O. v+((cid:0)v)=((cid:0)v)+v =⃗0 para qualquer vetor v.
A adi(cid:24)c~ao de vetores (cid:19)e comutativa:
C. v +v =v +v para quaisquer vetores v e v .
1 2 2 1 1 2
Para ver isto, basta construir um paralelogramo cujos lados (em geral) n~ao-paralelos representam
os vetores v e v . (O fato que a de(cid:12)ni(cid:24)c~ao de soma de vetores (cid:19)e correta d(cid:19)a a liberdade de cosiderar
1 2
este desenho (cid:12)cando em um plano!) A soma (cid:19)e representada pela diagonal do paralelogramo. Al(cid:19)em de
vislumbrar a comutatividade da adi(cid:24)c~ao, chegamos a uma (outra) de(cid:12)ni(cid:24)c~ao famosa de soma, a regra do
paralelogramo.
A adi(cid:24)c~ao (cid:19)e associativa:
SMA0300. GEOMETRIA ANAL(cid:19)ITICA 3
A. v +(v +v )=(v +v )+v para quaisquer vetores v , v e v .
1 2 3 1 2 3 1 2 3
J(cid:19)a que a de(cid:12)ni(cid:24)c~ao de soma (cid:19)e correta, para mostrar a associatividade, podemos colocar todos os tr^es
vetoresnamesmaorigemp. Constru(cid:19)(cid:16)mosumparalelep(cid:19)(cid:16)pedo(emgeral,n~aoreto!) cujasarestaspartindo
do v(cid:19)ertice p representam os vetores v , v e v . Para vislumbrar a associatividade, resta entender que a
1 2 3
diagonal do paralelep(cid:19)(cid:16)pedo representa tanto o vetor v +(v +v ) como o vetor (v +v )+v .
1 2 3 1 2 3
Note que a associatividade permite omitir par^enteses quando lidamos com somas de v(cid:19)arios vetores.
Aregrav1(cid:0)v2 :=v1+((cid:0)v2)introdu(zasubtra(cid:24)c~ao) devetores. U(sandoestad)e(cid:12)ni(cid:24)c~aoeaspropriedades
A, O e N, obtemos (v (cid:0)v )+v = v +((cid:0)v ) +v = v + ((cid:0)v )+v = v +⃗0 = v , ou seja,
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1
(v (cid:0)v )+v =v ,umfatoesperado. Oc(cid:19)alculogeom(cid:19)etricodadiferen(cid:24)cadevetoresv ev sefazpelaregra
1 2 2 1 1 2
do tri^angulo: Colocando v e v na mesma origem, encontramos um representante da diferen(cid:24)ca v (cid:0)v .
1 2 1 2
Este (cid:19)e o segmento orientado cuja origem (cid:19)e a extremidade de v e cuja extremidade (cid:19)e a extremidade
2
de v .
1
1.4. Multiplica(cid:24)c~ao de vetores por escalar. Cada segmento orientado [p;q] com p̸=q determina
univocamenteumaretaRquecont(cid:19)emospontospeq. Estareta(cid:19)eorientada,poistemosumdeterminado
sentido do percurso de R durante o qual passamos primeiramente pelo ponto p e depois pelo ponto q.
E(cid:19) claroqueosegmento[q;p]de(cid:12)nenamesmaretaRaorienta(cid:24)c~ao oposta. Umaretaorientadasechama
tamb(cid:19)em eixo.
De(cid:12)namos como multiplicar um vetor por um nu(cid:19)mero real (esta ser(cid:19)a a multiplica(cid:24)c~ao por escalar).
(cid:0)!
Seja v = pq um vetor e seja r um nu(cid:19)mero real. Caso r = 0 ou v =⃗0, de(cid:12)nimos r(cid:1)v :=⃗0. Suponha
agoraquer ̸=0ev ̸=⃗0. Sendop̸=q, existeumau(cid:19)nicaretaR quecont(cid:19)empeq, comoacima. Ser >0,
existe um u(cid:19)nico ponto d na reta R tal que o comprimento de [p;d] (cid:19)e r vezes o comprimento de [p;q] e
os segmentos orientados [p;q] e [p;d] produzem a mesma orientac(cid:24)~ao de R. Se r < 0, existe um u(cid:19)nico
ponto d na reta R tal que o comprimento de [p;d] (cid:19)e jrj vezes o comprimento de [p;q] e os segmentos
(cid:0)!
orientados [p;q] e [p;d] produzem orienta(cid:24)c~oes opostas de R. De(cid:12)nimos r(cid:1)v := pd. Em outras palavras,
quando multiplicamos um vetor v por um nu(cid:19)mero real r, esticamos jrj vezes o vetor v de modo que os
sentidos de v e r(cid:1)v s~ao os mesmos se r >0 e opostos se r <0. (N~ao(cid:19)e dif(cid:19)(cid:16)cil veri(cid:12)car que a apresentada
de(cid:12)ni(cid:24)c~ao independe da escolha do representate de v.) Obviamente,
U. 1(cid:1)v =v para qualquer vetor v.
Tamb(cid:19)em (cid:19)e f(cid:19)acil ver que valem as distributividade e associatividade
DE. (r +r )(cid:1)v =r (cid:1)v+r (cid:1)v para qualquer vetor v e quaisquer nu(cid:19)meros reais r e r ,
1 2 1 2 1 2
AM. (r r )(cid:1)v =r (cid:1)(r (cid:1)v) para qualquer vetor v e quaisquer nu(cid:19)meros reais r e r .
1 2 1 2 1 2
De fato, estas propriedades s~ao consequ^encias simples das distributividade e associatividade da mul-
tiplica(cid:24)c~ao de nu(cid:19)meros reais.
A outra distributividade (cid:12)ca como um exerc(cid:19)(cid:16)cio simples para o leitor:
DD. r(cid:1)(v +v )=r(cid:1)v +r(cid:1)v para qualquer nu(cid:19)mero real r e quaisquer vetores v e v .
1 2 1 2 1 2
Valem tamb(cid:19)em as propriedades ((cid:0)1)(cid:1)v = (cid:0)v e r(cid:1)(v (cid:0)v ) = r(cid:1)v (cid:0)r(cid:1)v para qualquer nu(cid:19)mero
1 2 1 2
real r e quaisquer vetores v, v e v . Mas estas podem ser deduzidas das anteriores de jeito formal.
1 2
Sejav umvetorn~ao-nulo. Tomemosqualquerrepresentante[p ;p ]dev. J(cid:19)aquev ̸=⃗0,temosp ̸=p
1 2 1 2
e podemos construir uma reta orientada determinada por [p ;p ], como acima. Se escolher um outro
1 2
representante [p′;p′] de v, constru(cid:19)(cid:16)mos uma outra reta orientada R′. Sem du(cid:19)vida, R′ (cid:19)e paralela a R.
1 2
Deste modo, com cada vetorn~ao-nulo podemos associar uma certa classe de retas paralelas. Esta classe
se chama dire(cid:24)ca~o do vetor v. Al(cid:19)em da dire(cid:24)c~ao, qualquer vetor n~ao-nulo possui sentido que(cid:19)e nada mais
doquea orientac(cid:24)~ao(simult^anea)de todas asretasparalelas queconstituem adire(cid:24)c~aodovetor. O vetor
oposto (cid:0)v ao vetor v tem a mesma dire(cid:24)c~ao, mas o sentido oposto.
1.5. Descri(cid:24)c~oes vetoriais de espa(cid:24)co, de reta e de segmento. Se(cid:12)xarmosumpontoarbitr(cid:19)arioo
noespa(cid:24)coE3,quechamaremosdeorigem,podemosidenti(cid:12)carvetorescompontosdeE3 : acadaponto
4 1o SEMESTRE DE 2017
(cid:0)!
p de E3 associamos o vetor op e, vice-versa, dado um vetor v, colocando-o na origem o, a extremidade
do segmento orientado obtido, denotada por p:=o+v, (cid:19)e um ponto de E3 que corresponde ao vetor v.
Sim, aqui entendemos como somar um ponto com um vetor. Podemos tamb(cid:19)em dizer que, por meio
desta opera(cid:24)c~ao, os vetores agem sobre o espa(cid:24)co E3, ou seja, \movem" os pontos do espa(cid:24)co. Tal a(cid:24)c~ao (cid:19)e
sujeita (cid:18)as seguintes propriedades:
0. o+⃗0=o para todo ponto o,
AA. (o+v )+v =o+(v +v ) para qualquer ponto o e todos vetores v e v .
1 2 1 2 1 2
Assim, (cid:12)xando uma origem o, podemos pensar que pontos do espa(cid:24)co s~ao vetores. Esta(cid:19)e a descri(cid:24)c~ao
vetorial do espa(cid:24)co.1 E(cid:19) importanteentenderque,escolhendoumoutropontoo′ comoorigem,temosuma
diferentedescri(cid:24)c~aovetorialdoespa(cid:24)co. Realmente,seopontopcorrespondeaovetorv nadescri(cid:24)c~aocom
a origem o, isto (cid:19)e, p = o+v, ou seja, (cid:0)o!p = v, ent~ao na descri(cid:24)c~ao com a origem o′ este mesmo ponto
(cid:0)! (cid:0)!
p corresponde ao vetor o′p = v′ e tais vetores se relacionam pela f(cid:19)ormula v = oo′ +v′ de mudan(cid:24)ca de
origem.
Seja R uma reta no espa(cid:24)co E3 e sejam p;p′ pontos distintos de R. Dado um ponto arbitr(cid:19)ario q de R,
(cid:0)!
o vetor d := pp′ n~ao (cid:19)e nulo e o vetor (cid:0)p!q (cid:19)e um mu(cid:19)ltiplo escalar de d. Portanto, (cid:0)p!q = r(cid:1)d para algum
nu(cid:19)merorealr. Da(cid:19)(cid:16), q =p+r(cid:1)d. Reciprocamente, paraqualquernu(cid:19)merorealr, opontop+r(cid:1)dest(cid:19)ana
reta R. Podemos expressar o fato obtido pela f(cid:19)ormula R=fp+r(cid:1)djr 2Rg. Isto se l^e assim: (a reta)
R(cid:19)e formada por todos os pontos p+r(cid:1)d, onde r percorre (todos) os nu(cid:19)meros reais (a letra R denota o
conjunto de todos os nu(cid:19)meros reais). Chegamos (cid:18)a descri(cid:24)ca~o vetorial de reta.
Podemos v^e-la por outro ^angulo: dados um ponto p no espa(cid:24)co E3 e um vetor n~ao-nulo d, o conjunto
de pontos fp+r(cid:1)d j r 2 Rg (cid:19)e uma reta no espa(cid:24)co. O vetor n~ao-nulo d (cid:19)e um vetor diretor da reta e r
(cid:19)e um par^ametro, variando o qual, listamos todos os pontos da reta: quando r = 0, obtemos o ponto p
de R; quando r = 1, obtemos o ponto p′ de R. Note que uma mesma reta R pode ser descrita atrav(cid:19)es
de qualquer outro seu ponto no lugar de p e com outro vetor diretor.
1.5.1. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Mostre que dois vetores diretores d ;d de uma mesma reta s~ao proporcionais,
1 2
isto (cid:19)e, existe um nu(cid:19)mero real r tal que d =r(cid:1)d . Um vetor diretor de uma reta pode ser nulo?
2 1
1.5.2. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Mostre que duas retas s~ao paralelas se e s(cid:19)o se seus vetores diretores s~ao propor-
cionais.
Que tal se variarmos o par^ametro r apenas no intervalo 0 ⩽ r ⩽ 1 ? Os pontos da reta listados por
tais valores do par^ametro constituem um segmento da reta. E(cid:19) f(cid:19)acil ver isto lembrando-se da de(cid:12)ni(cid:24)c~ao
(cid:0)! (cid:0)!
de multiplicac(cid:24)~ao por escalar. Com efeito, a f(cid:19)ormula q =p+r(cid:1)d com d=pp′ signi(cid:12)ca que (cid:0)p!q =r(cid:1)pp′.
(cid:0)!
Pela mencionada de(cid:12)ni(cid:24)c~ao, o comprimento do vetor pq colocado na origem p (cid:19)e r vezes o comprimento
(cid:0)!
do vetor pp′ colocado na mesma origem. Deste modo, variando r no intervalo 0 ⩽ r ⩽ 1, o ponto q
percorre exatamente o segmento [p;p′] da reta R. Mais ainda, o ponto q divide o intervalo [p;p′] na
raz~ao r :(1(cid:0)r).
Assim, obtemos uma descri(cid:24)c~ao vetorial de segmento.
(cid:0)! (cid:0)!
Escolhemos uma origem o no espa(cid:24)co E3. J(cid:19)a que (cid:0)p!q = (cid:0)o!q (cid:0)(cid:0)o!p e d = pp′ = op′ (cid:0)(cid:0)o!p, a f(cid:19)ormula
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
(cid:0)p!q =r(cid:1)pp′podeserlidacomo(cid:0)o!q(cid:0)(cid:0)o!p =r(cid:1)op′(cid:0)r(cid:1)(cid:0)o!p,ouseja,como(cid:0)o!q =(1(cid:0)r)(cid:1)(cid:0)o!p+r(cid:1)op′. Identi(cid:12)cando
pontosdeE3 comvetorescomousodaorigemo,pareceposs(cid:19)(cid:16)veldizerqueopontoq :=(1(cid:0)r)(cid:1)p+r(cid:1)p′
divideosegmento[p;p′]naraz~aor :(1(cid:0)r). Apesardequeaf(cid:19)ormulaq :=(1(cid:0)r)(cid:1)p+r(cid:1)p′ deveserlida
(cid:0)!
como (cid:0)o!q =(1(cid:0)r)(cid:1)(cid:0)o!p +r(cid:1)op′ e, deste modo, refere-se a uma escolha da origem o, ela independe desta
1Note,entretanto,que(cid:12)xandoumaorigem,cometemosumcertocrime,umatodeviol^encia: oespa(cid:24)coE3 n~aopossui
nenhumpontodistinguido. Poroutrolado,ageometriaanal(cid:19)(cid:16)tica(cid:19)eumcrimeporsi.
SMA0300. GEOMETRIA ANAL(cid:19)ITICA 5
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
escolha. Realmente, para uma outra origem o′, temos (cid:0)o!q =oo′+o′q, (cid:0)o!p =oo′+o′p e op′ =oo′+o′p′.
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
Portanto, (cid:0)o!q =(1(cid:0)r)(cid:1)(cid:0)o!p +r(cid:1)op′ implica o′q =(1(cid:0)r)(cid:1)o′p+r(cid:1)o′p′ (note que os termos envolvendo
(cid:0)!
o vetor oo′ se cancelam). Este milagre possibilita escrever q =(1(cid:0)r)(cid:1)p+r(cid:1)p′ sem mencionar qual(cid:19)e a
origem. (O momento crucial aqui (cid:19)e que (1(cid:0)r)+r =1.)
1.5.3. Lema. Seja 0⩽r ⩽1. Ent~ao o ponto q =(1(cid:0)r)(cid:1)p+r(cid:1)p′ divide o segmento [p;p′] na raz~ao
r :(1(cid:0)r) ■
1.5.4. Exemplo. Usando vetores, provaremos que as medianas de um tri^angulo se interceptam
em um mesmo ponto. Sejam p ;p ;p os v(cid:19)ertices do tri^angulo. Ent~ao os pontos m := 1p + 1p ,
1 2 3 1 2 2 2 3
m := 1p + 1p e m := 1p + 1p s~ao pontos m(cid:19)edios dos correspondentes lados pelo Lema 1.5.3.
2 2 3 2 1 3 2 1 2 2
Osegmento[p ;m ](cid:19)eai-(cid:19)esimamedianadotri^angulo. Vamosadivinharqualseriaopontopdainterse(cid:24)c~ao
i i
das medianas. Deveria ser uma express~ao bastante sim(cid:19)etrica relativamente (cid:18)as trocas de pap(cid:19)eis dos
v(cid:19)ertices ::: Digamos, p := 1p + 1p + 1p , que tal? Veri(cid:12)quemos que a mediana [p ;m ] passa pelo
3 1 3 2 3 3 1 1
ponto p. Com efeito, 1p + 2m = 1p + 2(1p + 1p ) = 1p + 1p + 1p = p. Trocando os pap(cid:19)eis
3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
dos v(cid:19)ertices (sem repetir o c(cid:19)alculo), conclu(cid:19)(cid:16)mos que toda mediana [p ;m ] passa por p s(cid:19)o pelas raz~oes
i i
de simetria. Temos ainda uma grati(cid:12)ca(cid:24)c~ao: pelo Lema 1.5.3, entendenos que o ponto p divide cada
mediana na raz~ao 2:1 ■
1.5.5.Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Sejamp ;p ;p ;p ;p pontosnoespa(cid:24)co. Denotemosporm ;m ;m ;m ospontos
1 2 3 4 5 1 2 3 4
m(cid:19)edios dos segmentos [p ;p ];[p ;p ];[p ;p ];[p ;p ], respectivamente. Sejam n ;n os pontos m(cid:19)edios
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2
dossegmentos[m ;m ];[m ;m ],respectivamente. Ser(cid:19)aqueossegmentos[n ;n ]e[p ;p ]s~aoparalelos?
1 3 2 4 1 2 1 5
1.5.6. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Sejam p ;p ;p ;p v(cid:19)ertices de um tetraedro no espa(cid:24)co. Denotamos por m o
1 2 3 4 1
ponto de intersec(cid:24)~ao das medianas do tri^angulo p p p , por m o ponto de interse(cid:24)c~ao das medianas do
2 3 4 2
tri^angulo p p p , por m o ponto de interse(cid:24)c~ao das medianas do tri^angulo p p p e por m o ponto de
1 3 4 3 1 2 4 4
intersec(cid:24)~ao das medianas do tri^angulo p p p . Ser(cid:19)a que os segmentos [p ;m ];[p ;m ];[p ;m ];[p ;m ]
1 2 3 1 1 2 2 3 3 4 4
t^em um ponto em comum? (Dica: se acha que sim, tente adivinhar tal ponto.)
1.5.7.Envelopes convexosde con(cid:12)gura(cid:24)co~es (cid:12)nitas de pontos. Uma(cid:12)guraF noespa(cid:24)co(cid:19)econvexa seF cont(cid:19)em
o segmento [p1;p2] toda vez quando cont(cid:19)em pontos os p1;p2. A menor (cid:12)gura convexa que cont(cid:19)em um dado conjunto
C de pontos se chama o envelope convexo de C. Sabemos v(cid:19)arias (cid:12)guras convexas: ponto, segmento, reta, tri^angulo,
quadrado,ret^angulo,paralelogramo,trap(cid:19)ezio,plano,c(cid:19)(cid:16)rculo,tetraedro,cubo,paralelep(cid:19)(cid:16)pedo,pir^amide,prisma,octaedro,
dodecaedro,icosaedro,cone,bola,cilindro,elips(cid:19)oide,porcoredondo,etc.
Sejamp1;p2;:::;pn pontosnoespa(cid:24)co. Aexpress~aor1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn(cid:1)pn,onder1;r2;:::;rn⩾0s~aonu(cid:19)meros
reaistaisquer1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn=1,(cid:19)editaumacombinac(cid:24)a~oconvexa dep1;p2;:::;pn. Sendoumpoucomaiscuidadosos,
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
dever(cid:19)(cid:16)amostalvezescreverr1(cid:1)op1+r2(cid:1)op2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn(cid:1)opn nolugarder1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn(cid:1)pn,ondeo(cid:19)eumaorigem
(cid:12)xanoespa(cid:24)co,mas,devido(cid:18)arela(cid:24)c~aor1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn=1,aescolhadeorigem(cid:19)eirrelevantepelasmesmasraz~oescomo
nademonstra(cid:24)c~aodoLema1.5.3.
Como foi entendido acima, o segmento [p;p′] pode ser descrito como o conjunto de todas as combina(cid:24)co~es convexas
dep;p′,isto(cid:19)e,[p;p′]=fs(cid:1)p+s′(cid:1)p′js+s′=1coms;s′⩾0g.
Teorema. OenvelopeconvexoEdepontosp1;p2;:::;pn(cid:19)eformadoportodasascombina(cid:24)c~oesconvexasdestespontos,
E=fr1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn(cid:1)pnjr1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn=1comr1;r2;:::;rn⩾0g.
Demonstrac(cid:24)~ao. Para 1 ⩽ k ⩽ n, denotemos Ek := fr1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rk(cid:1)pk j r1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rk = 1com
r1;r2;:::;rk ⩾0g. PrecisamosmostrarqueEn (cid:19)econvexoequeEn est(cid:19)acontidoemqualquer(cid:12)guraconvexaquecont(cid:19)em
ospontosp1;p2;:::;pn.
Sejampep′ pontosdeEn. Ent~aop=r1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn(cid:1)pn ep′=r1′ (cid:1)p1+r2′ (cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn′ (cid:1)pn paraalguns
nu(cid:19)meros reais r1;r2;:::;rn;r1′;r2′;:::;rn′ ⩾ 0 tais que r1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn = r1′ +r2′ +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn′ = 1. Para provar que o
segmento [p;p′] est(cid:19)a contido em En, basta tomar quaisquer nu(cid:19)meros reais s;s′ ⩾0 tais que s+s′ =1 e veri(cid:12)car que o
pontos(cid:1)p+s′(cid:1)p′ est(cid:19)aemEn. Temos
s(cid:1)p+s′(cid:1)p′=s(cid:1)(r1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn(cid:1)pn)+s′(cid:1)(r1′ (cid:1)p1+r2′ (cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn′ (cid:1)pn)=
=(sr1+s′r1′)(cid:1)p1+(sr2+s′r2′)(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(srn+s′rn′)(cid:1)pn
6 1o SEMESTRE DE 2017
com (sr1+s′r1′)+(sr2+s′r2′)+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(srn+s′rn′)=s(r1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn)+s′(r1′ +r2′ +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rn′)=s+s′ =1. Logo,
opontos(cid:1)p+s′(cid:1)p′ est(cid:19)aemEn. Conclu(cid:19)(cid:16)mosqueEn (cid:19)econvexo.
Agora, seja F uma (cid:12)gura convexa que cont(cid:19)em os pontos p1;p2;:::;pn. Mostraremos, por indu(cid:24)c~ao sobre k, que F
cont(cid:19)em Ek. J(cid:19)a que E1 (cid:19)e simplesmente o ponto p1, vemos que F cont(cid:19)em E1. Suponha que F cont(cid:19)em Ek. Precisamos
mostrar que F cont(cid:19)em Ek+1. Seja p=r1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rk(cid:1)pk+rk+1(cid:1)pk+1 um ponto arbitr(cid:19)ario de Ek+1, onde
r1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rk+rk+1 =1 e r1;r2;:::;rk;rk+1 ⩾0. Se r1+r2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rk =0, ent~ao o ponto p=pk+1 est(cid:19)a contido
em F. Caso contra(cid:19)rio, r := 1(cid:0)rk+1 = r1 +r2 +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rk ̸= 0 e rr1 + rr2 +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+ rrk = 1 com rr1;rr2;:::;rrk ⩾ 0.
Opontoq:= rr1 (cid:1)p1+ rr2 (cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+ rrk (cid:1)pk est(cid:19)aemEk pelade(cid:12)ni(cid:24)ca~odeEk. Pelahip(cid:19)otesedeindu(cid:24)c~ao,opontoq est(cid:19)a
em F. Sendo F uma (cid:12)gura convexa que cont(cid:19)em o ponto p , o ponto (1(cid:0)r )(cid:1)q+r (cid:1)p est(cid:19)a em F. Mas
k+1 k+1 k+1 k+1
(1(cid:0)rk+1)(cid:1)q+rk+1(cid:1)pk+1=r(cid:1)(rr1(cid:1)p1+rr2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rrk(cid:1)pk)+rk+1(cid:1)pk+1=r1(cid:1)p1+r2(cid:1)p2+(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rk(cid:1)pk+rk+1(cid:1)pk+1=p■
Esteteorematemmuitouso,inclusiveemotimiza(cid:24)c~aoconvexaeemcomputa(cid:24)c~aogr(cid:19)a(cid:12)ca.
Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Mostrequeainterse(cid:24)ca~ode(duas)(cid:12)gurasconvexas(cid:19)euma(cid:12)guraconvexa.
Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Descrevatodasas(cid:12)gurasconvexascontidasemumareta.
Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Quais das (cid:12)guras listadas no in(cid:19)(cid:16)cio da subse(cid:24)c~ao 1.5.7 s~ao envelopes convexos de con(cid:12)gura(cid:24)c~oes (cid:12)nitas de
pontos?
1.6. Depend^encia linear de vetores. Sejam r ;r ;:::;r nu(cid:19)meros reais e sejam v ;v ;:::;v
1 2 n 1 2 n
vetores. Usando as opera(cid:24)c~oes com vetores, as quais acabamos de introduzir acima, podemos elaborar
destematerialumaexpress~aodotipor (cid:1)v +r (cid:1)v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r (cid:1)v chamadacombina(cid:24)c~ao linear dosvetores
1 1 2 2 n n
v ;v ;:::;v . Osnu(cid:19)merosr ;r ;:::;r s~aooscoe(cid:12)cientes dacombina(cid:24)c~ao. Quandotodososcoe(cid:12)cientes
1 2 n 1 2 n
de uma combinac(cid:24)~ao linear s~ao nulos a combina(cid:24)c~ao se trata como trivial. Sabendo que 0(cid:1)v = ⃗0 para
todo vetor v,(cid:19)e (cid:19)obvio que a combinac(cid:24)~ao linear trivial produz o vetor nulo, 0(cid:1)v +0(cid:1)v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+0(cid:1)v =⃗0.
1 2 n
1.6.1. De(cid:12)ni(cid:24)c~ao. Os vetores v ;v ;:::;v s~ao linearmente dependentes (abreviamos isto por LD)
1 2 n
se existe uma combina(cid:24)c~ao linear n~ao-trivial que produz o vetor nulo. Neste caso, a igualdade r (cid:1)v +
1 1
r (cid:1)v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r (cid:1)v =⃗0 se chama depend^encia linear (n~ao-trivial) entre v ;v ;:::;v . Caso contr(cid:19)ario,
2 2 n n 1 2 n
osvetoresv ;v ;:::;v s~aoditoslinearmente independentes (abreviamosistoporLI).Assim,osvetores
1 2 n
v ;v ;:::;v s~ao LI se e s(cid:19)o se toda depend^encia linear entre si (cid:19)e trivial.
1 2 n
A cole(cid:24)c~ao de um u(cid:19)nico vetor nulo ⃗0 (cid:19)e LD, pois 1(cid:1)⃗0 = ⃗0. A cole(cid:24)c~ao v;v de dois vetores iguais (cid:19)e
sempre LD, pois 1 (cid:1) v + ((cid:0)1) (cid:1) v = ⃗0. Se uma subcole(cid:24)c~ao v ;v ;:::;v de uma cole(cid:24)c~ao de vetores
1 2 m
v ;v ;:::;v ;v :::;v (cid:19)e LD, ent~ao a cole(cid:24)c~ao(cid:19)e LD. Realmente, se r (cid:1)v +r (cid:1)v +:::r (cid:1)v =⃗0 e
1 2 m m+1 n 1 1 2 2 m m
nem todos os r ’s s~ao nulos, ent~ao obtemos uma depend^encia linear n~ao-trivial r (cid:1)v +r (cid:1)v +:::r (cid:1)
i 1 1 2 2 m
v +0(cid:1)v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+0(cid:1)v =⃗0. (Em particular, se o vetor nulo⃗0 participa de uma cole(cid:24)c~ao de vetores,
m m+1 n
a cole(cid:24)c~ao (cid:19)e LD.) Portanto, qualquer subcole(cid:24)c~ao de uma cole(cid:24)c~ao LI (cid:19)e LI.
(cid:15) Um vetor v (cid:19)e LD se e s(cid:19)o se v =⃗0.
Isto vale, pois r(cid:1)v =⃗0 com r ̸=0 implica v =⃗0 : basta multiplicar ambos os lados da igualdade por
r(cid:0)1 e usar AM e U.
(cid:15) Dois vetores v ;v s~ao LD se e s(cid:19)o se um vetor (cid:19)e um mu(cid:19)ltiplo escalar do outro.
1 2
Com efeito, se r (cid:1)v +r (cid:1)v =⃗0 (cid:19)e uma depend^encia linear n~ao-trivial, ent~ao, por exemplo, r ̸=0.
1 1 2 2 2
Usando O, AM e U, obtemos v = ((cid:0)r(cid:0)1r )(cid:1)v . Quando vetores v ;v s~ao LD, dizemos que s~ao
2 2 1 1 1 2
colineares. Neste caso, se ambos s~ao n~ao-nulos, a reta gerada por qualquer representate de v (cid:19)e paralela
1
a reta gerada por qualquer representate de v . Grosso modo, podemos dizer que v e v s~ao paralelos.
2 1 2
1.6.2. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. A rela(cid:24)c~ao \ser colinear" (cid:19)e uma rela(cid:24)c~ao de equival^encia entre vetores?
Sejam v ;v ;v LD. Ent~ao r (cid:1)v +r (cid:1)v +r (cid:1)v =⃗0 e, digamos, r ̸=0. Usando O, AM, U e DD,
1 2 3 1 1 2 2 3 3 3
vemosqueovetorv (cid:19)eumacombinac(cid:24)~aolineardev ev : v =((cid:0)r(cid:0)1r )(cid:1)v +((cid:0)r(cid:0)1r )(cid:1)v . Colocando
3 1 2 3 3 1 1 3 2 2
osvetoresv ;v ;v emumamesmaorigem,(cid:19)ef(cid:19)acilconcluirqueoscorrespondentessegmentosorientados
1 2 3
est~aoemumplanocontendooparalelogramoquerealizaoc(cid:19)alculodasoma((cid:0)r(cid:0)1r )(cid:1)v +((cid:0)r(cid:0)1r )(cid:1)v
3 1 1 3 2 2
SMA0300. GEOMETRIA ANAL(cid:19)ITICA 7
dosvetores. Poristo,dizemosqueosvetoresLDv ;v ;v s~aocoplanares. Grossomodo,estesvetoress~ao
1 2 3
paralelos a um plano: na pr(cid:19)atica, para decidir se alguns tr^es vetores s~ao coplanares, podemos coloc(cid:19)a-los
em uma mesma origem e ver se os segmentos obtidos est~ao em um mesmo plano.
(cid:15) Tr^es vetores v ;v ;v s~ao LD se e s(cid:19)o se s~ao coplanares.
1 2 3
1.7. Descri(cid:24)c~ao vetorial de plano. SejaP umplanonoespa(cid:24)coE3 esejamp;p ;p pontosnoplano
1 2
P que n~ao (cid:12)cam em uma mesma reta (pontos n~ao-colineares). Consideramos retas R e R que passam
1 2
pelos pontos p;p e p;p , respectivamente. As retas R e R est~ao contidas em P e se interceptam no
1 2 1 2
(cid:0)! (cid:0)!
ponto p. Os vetores n~ao-colineares v :=pp e v :=pp s~ao vetores diretores destas retas.
1 1 2 2
Seja q um ponto arbitr(cid:19)ario de P. Tra(cid:24)camos duas retas R′ e R′, contidas em P, que passam por q
1 2
e s~ao respectivamente paralelas (cid:18)as retas R e R . Obtemos um paralelogramo com v(cid:19)ertices p;q ;q;q
1 2 1 2
(cid:0)! (cid:0)! (cid:0)!
tal que q est(cid:19)a em R e q est(cid:19)a em R . Pela regra do paralelogramo, pq = pp +pp . Sendo v e v
1 1 2 2 1 2 1 2
(cid:0)! (cid:0)!
vetores diretores das retas R e R , existem nu(cid:19)meros reais r e r tais que pp =r (cid:1)v e pp =r (cid:1)v .
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
(cid:0)!
Conclu(cid:19)(cid:16)mos,usandoAA,queq =p+pq =p+r (cid:1)v +r (cid:1)v . Reciprocamente,opontop+r (cid:1)v +r (cid:1)v
1 1 2 2 1 1 2 2
est(cid:19)a no plano P para quaisquer nu(cid:19)meros reais r e r . Chegamos (cid:18)a descri(cid:24)c~ao vetorial de plano: P =
1 2
fp+r (cid:1)v +r (cid:1)v jr ;r 2Rg.
1 1 2 2 1 2
Comonocasodadescri(cid:24)c~aovetorialdereta,podemosinterpretarosnu(cid:19)merosr er comopar^ametros,
1 2
variandoosquais,listamostodosospontosdoplano. Demodosemelhante,(cid:19)ef(cid:19)acilentenderque,fazendo
ospar^ametrosvariarnosintervalos0⩽r ⩽1e0⩽r ⩽1,descrevemosoparalelogramocomosv(cid:19)ertices
1 2
p;p ;p′;p , onde p′ :=p+v +v .
1 2 1 2
Umaoutravariantedestadescri(cid:24)c~ao: dadosumpontopedoisvetoresn~ao-colinearesv ev ,oconjunto
1 2
de pontos fp+r (cid:1)v +r (cid:1)v jr ;r 2Rg (cid:19)e um plano no espa(cid:24)co E3.
1 1 2 2 1 2
1.8. Base linear. Suponha que vetores v ;v ;:::;v s~ao LI. Se um vetor v se expressa na forma
1 2 n
de uma combina(cid:24)c~ao linear de v ;v ;:::;v , esta express~ao (cid:19)e u(cid:19)nica. Realmente, se, por acaso, v =
1 2 n
r (cid:1)v +r (cid:1)v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r (cid:1)v e v =r′ (cid:1)v +r′ (cid:1)v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r′ (cid:1)v , ent~ao obtemos uma depend^encia linear
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
(r (cid:0)r′)(cid:1)v +(r (cid:0)r′)(cid:1)v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(r (cid:0)r′)(cid:1)v =⃗0 entre v ;v ;:::;v . Sendo v ;v ;:::;v LI, esta
1 1 1 2 2 2 n n n 1 2 n 1 2 n
deve ser trivial, ou seja, r (cid:0)r′ =0 para todo i. Assim, r =r′ para todo i.
i i i i
1.8.1. De(cid:12)ni(cid:24)c~ao. Umacole(cid:24)c~aoLIdevetoresb ;b ;:::;b (cid:19)editaumabaselinear setodovetor(cid:19)euma
1 2 n
combinac(cid:24)~ao linear dos vetores b ;b ;:::;b . Dada uma base linear B, podemos escrever uma n-upla de
1 2 n
nu(cid:19)meros reais v = (r ;r ;:::;r ) no lugar de um vetor v expresso como uma combina(cid:24)c~ao linear da
1 2 n B
base, v = r (cid:1)b +r (cid:1)b +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r (cid:1)b , e dizer que os r ’s s~ao coordenadas de v relativas (cid:18)a base B.
1 1 2 2 n n i
(Se a base est(cid:19)a (cid:12)xa, escrevemos v =(r ;r ;:::;r ).) E(cid:19) importante entender que, escolhendo uma outra
1 2 n
base linear, as coordenadas relativas (cid:18)a nova base de um mesmo vetor podem ser bastante diferentes das
velhas.
Existem v(cid:19)arias bases lineares diferentes e n~ao h(cid:19)a nenhuma que seja preferida. Escolhendo uma
base linear concreta e usando as correspondentes coordenadas, cometemos um certo crime, um ato de
viol^encia. Mas quando precisamos efetuar c(cid:19)alculos expl(cid:19)(cid:16)citos para obter um resultado num(cid:19)erico que (cid:19)e
necess(cid:19)ario em uma aplica(cid:24)c~ao pr(cid:19)atica, as coordenadas podem ser realmente bem-vindas. Mesmo neste
caso, sim, fazemos uma viol^encia, mas esta pode ser comparada com a de um cirurgi~ao e n~ao tem nada
a ver com um crime.
Como comportam-se coordenadas quando somamos vetores ou multiplicamos por escalar? Sejam
v = (r ;r ;:::;r ) e v′ = (r′;r′;:::;r′) vetores (uma base linear est(cid:19)a (cid:12)xa). Isto signi(cid:12)ca que v =
1 2 n 1 2 n
r (cid:1)b +r (cid:1)b +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r (cid:1)b e v′ =r′ (cid:1)b +r′ (cid:1)b +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r′ (cid:1)b . Portanto, v+v′ =(r +r′)(cid:1)b +(r +
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n 1 1 1 2
r′)(cid:1)b +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(r +r′)(cid:1)b . Assim, v+v′ =(r +r′;r +r′;:::;r +r′), ouseja, quandosomamosdois
2 2 n n n 1 1 2 2 n n
vetores, as correspondentes coordenadas se somam. Seja r um nu(cid:19)mero real e seja v = (r ;r ;:::;r )
1 2 n
um vetor. De v =r (cid:1)b +r (cid:1)b +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+r (cid:1)b , deduzimos r(cid:1)v =rr (cid:1)b +rr (cid:1)b +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+rr (cid:1)b , isto(cid:19)e,
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
r(cid:1)v = (rr ;rr ;:::;rr ). Em outras palavras, multiplicando um vetor por um escalar, simplesmente
1 2 n
multiplicamos todas as coordenadas do vetor pelo escalar.
8 1o SEMESTRE DE 2017
1.8.2. Lema. Quaisquertr^esvetoresn~ao-coplanares b ;b ;b noespa(cid:24)co E3 formamumabaselinear.
1 2 3
Demonstra(cid:24)c~ao. Por de(cid:12)ni(cid:24)c~ao, b ;b ;b s~ao LI. Os colocamos em uma mesma origem o. Seja v um
1 2 3
vetor arbitr(cid:19)ario. Precisamos express(cid:19)a-lo como uma combina(cid:24)c~ao linear de b ;b ;b .
1 2 3
Sendob ;b ;b LI,ovetorb n~ao(cid:19)enuloeosvetoresb ;b n~aos~aocolineares. Pelasdescri(cid:24)c~oesvetoriais
1 2 3 3 1 2
de plano e de reta, P :=fo+r (cid:1)b +r (cid:1)b jr ;r 2Rg (cid:19)e um plano e R :=fo+r(cid:1)b jr 2Rg (cid:19)e uma
1 1 2 2 1 2 3
reta. A reta n~ao pode ser paralela ao plano, pois os vetores b ;b ;b n~ao s~ao coplanares.
1 2 3
Trac(cid:24)amos uma reta R′ paralela a R que passa pelo ponto q :=o+v. J(cid:19)a que a reta R′ n~ao(cid:19)e paralela
ao plano P, obtemos o ponto de intersec(cid:24)~ao p de R′ e P. Deste modo, o segmento [p;q] esta contido
na reta R′ paralela a reta R. Da(cid:19)(cid:16), (cid:0)p!q = r (cid:1)b para algum nu(cid:19)mero real r , pois b (cid:19)e um vetor diretor
3 3 3 3
de R. Por outro lado, o ponto p est(cid:19)a em P, isto (cid:19)e, p=o+r (cid:1)b +r (cid:1)b para alguns nu(cid:19)meros reais r
1 1 2 2 1
(cid:0)!
e r . Resta observar que as igualdades q = p+ pq = o+r (cid:1)b +r (cid:1)b +r (cid:1)b e q = o+v implicam
2 1 1 2 2 3 3
v =r1(cid:1)b1+r2(cid:1)b2+r3(cid:1)b3 ■
Em termos de coordenadas, (cid:19)e facil decidir se vetores v;v′ s~ao colineares: isto ocorre exatamente
quando as triplas (r ;r ;r ) (coordenadas de v) e (r′;r′;r′) (coordenadas de v′) s~ao proporcionais.
1 2 3 1 2 3
Para tr^es vetores, o crit(cid:19)erio num(cid:19)erico que decide, olhando para as coordenadas dos vetores, se s~ao LD(cid:19)e
um pouco mai[s so(cid:12)sticad]o.
r11 r12 r13
Seja M := r21 r22 r23 uma matriz (=tabela) 3(cid:2)3 de nu(cid:19)meros reais. De(cid:12)nimos o determinante de
M pela f(cid:19)ormular3d1ert3M2 r3:3=r r r +r r r +r r r (cid:0)r r r (cid:0)r r r (cid:0)r r r .
11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 22 21
1.8.3. Lema (semdemonstra(cid:24)c~ao). Sejamu=(u1;u2;u3), v =(v1;v2;v3[)e w =(]w1;w2;w3)vetores
u1 v1 w1
(uma base linear est(cid:19)a (cid:12)xa). Ent~ao os vetores u;v;w s~ao LD se e s(cid:19)o se det u2 v2 w2 =0.
u3 v3 w3
1.9. Sistema de coordenadas.2 Na subse(cid:24)c~ao 1.5, percebemos que, (cid:12)xando uma origem no espa(cid:24)co,
podemosconsiderarpontoscomovetores. Nasubse(cid:24)c~ao1.8,descobrimosquequalquervetor(cid:19)eumau(cid:19)nica
combinac(cid:24)~ao linear de vetores de uma base linear. Estas observac(cid:24)~oes permitem introduzir coordenadas
no espa(cid:24)co.
1.9.1. De(cid:12)ni(cid:24)c~ao. Um sistema de coordenadas (lineares) no espa(cid:24)co E3 (cid:19)e uma origem o e uma
tripla ordenada b ;b ;b de vetores LI. Dado um sistema S de coordenadas em E3, a cada ponto p
1 2 3
no espa(cid:24)co podemos associar uma tripla ordenada de nu(cid:19)meros reais (r ;r ;r ) . Tais nu(cid:19)meros s~ao
1 2 3 S
(cid:0)!
u(cid:19)nicos que providenciam a igualdade op = r (cid:1)b +r (cid:1)b +r (cid:1)b ou, equivalentemente, a igualdade
1 1 2 2 3 3
p = o + r (cid:1) b + r (cid:1) b + r (cid:1) b . Assim, escrevemos p = (r ;r ;r ) ou, ainda, p = (r ;r ;r )
1 1 2 2 3 3 1 2 3 S 1 2 3
quandoosistemadecoordenadasest(cid:19)a(cid:12)xo. E(cid:19) importanteentenderque,escolhendoumoutrosistemade
coordenadas, as coordenadas de um mesmo ponto relativas ao novo sistema podem ser bem diferentes
das velhas.
1.9.2. Equa(cid:24)c~oes de reta. Seja (cid:12)xo um sistema de coordenadas. Em termos de coordenadas,
a descri(cid:24)c~ao vetorial de reta vira uma descri(cid:24)c~ao param(cid:19)etrica de reta. Realmente, seja d = (d ;d ;d )
1 2 3
um vetor diretor de uma reta R e seja p = (p ;p ;p ) um ponto na reta. Um ponto qualquer de R
1 2 3
tem a forma p+r(cid:1)d, onde o par^ametro r percorre todos o{s nu(cid:19)meros reais. Denotando por (x1;x2;x3)
x1=p1+rd1
as coordenadas deste ponto (arbitr(cid:19)ario) de R, obtemos x2=p2+rd2 . Assim, chegamos (cid:18)a descri(cid:24)c~ao
x3=p3+rd3
param(cid:19)etrica de reta.
Suponha que d ;d ;d ̸= 0. Neste caso, exclu(cid:19)(cid:16)ndo o par^ametro r, obtemos equa(cid:24)c~oes sim(cid:19)etricas de
1 2 3
reta: x1(cid:0)p1 = x2(cid:0)p2 = x3(cid:0)p3.
d1 d2 d3
2Emgeral,n~ao-cartesiano!
SMA0300. GEOMETRIA ANAL(cid:19)ITICA 9
Quando um dos d ’s (cid:19)e nulo, n~ao haver(cid:19)a equa(cid:24)c~oes t~ao sim(cid:19)etricas. Mas, mesmo assim, excluindo o
i
para^metro r na descri(cid:24)c~ao param(cid:19)etrica de uma reta, chegamos a duas equa(cid:24)c~oes da reta.
Resumindo, uma reta pode ser dada
(cid:15) por dois pontos distintos na reta;
(cid:15) por um vetor diretor (n~ao-nulo) e um ponto na reta;
(cid:15) por uma descri(cid:24)c~ao vetorial;
(cid:15) por uma descri(cid:24)c~ao param(cid:19)etrica;
(cid:15) por duas equa(cid:24)c~oes, (cid:18)as vezes sim(cid:19)etricas;
(cid:15) como a intersec(cid:24)~ao de dois planos n~ao-paralelos.
Faz pleno sentido imaginar como traduzir uma destas descri(cid:24)c~oes para uma outra. (Quanto (cid:18)a u(cid:19)ltima
descri(cid:24)c~ao, precisa inicialmente estudar a equa(cid:24)c~ao geral de plano.)
1.9.3. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Sejam p := (p ;p ;p ) e p′ := (p′;p′;p′) pontos no espa~co tais que p ̸= p′,
1 2 3 1 2 3 1 1
p ̸=p′ ep ̸=p′. Mostrequearetaquepassaporpep′ (cid:19)edadapelasequa(cid:24)c~oes x1(cid:0)p1 = x2(cid:0)p2 = x3(cid:0)p3.
2 2 3 3 p′1(cid:0)p1 p′2(cid:0)p2 p′3(cid:0)p3
1.9.4. Equa(cid:24)c~ao geral de plano. Seja(cid:12)xoumsistemadecoordenadas. Emtermosdecoordenadas,
a descri(cid:24)c~ao vetorial de plano vira uma descri(cid:24)c~ao param(cid:19)etrica de plano. Com efeito, seja p=(p ;p ;p )
1 2 3
um ponto de um plano P e sejam u = (u ;u ;u ) e v = (v ;v ;v ) vetores n~ao-colineares tais que
1 2 3 1 2 3
um ponto qualquer de P tem a forma p + r (cid:1) u + s (cid:1) v, onde os par^ametros r e s percorrem todos
{os nu(cid:19)meros reais. Denotando por (x1;x2;x3) as coordenadas deste ponto (arbitr(cid:19)ario) de P, obtemos
x1=p1+ru1+sv1
x2=p2+ru2+sv2 . Assim, chegamos (cid:18)a descri(cid:24)c~ao param(cid:19)etrica de plano. Na pr(cid:19)atica, tal descri(cid:24)c~ao n~ao (cid:19)e
x3=p3+ru3+sv3
muito u(cid:19)til.
(cid:0)!
Quando um ponto q = (x ;x ;x ) de E3 est(cid:19)a no plano P ? Quando os vetores pq, u e v s~ao
1 2 3
(cid:0)!
coplanares,ouseja,LD.AquiusamosoLema[1.8.3. Sabe]ndoque pq =(x1(cid:0)p1;x2(cid:0)p2;x3(cid:0)p3),vemos
x1(cid:0)p1 u1 v1
que o ponto q est(cid:19)a no plano P se e s(cid:19)o se det x2(cid:0)p2 u2 v2 =0. Desenvolvendo esta express~ao, obtemos
x3(cid:0)p3 u3 v3
uma equa(cid:24)c~ao do tipo c x +c x +c x =c, onde os coe(cid:12)cientes c;c ;c ;c s~ao nu(cid:19)meros reais tais que
1 1 2 2 3 3 1 2 3
nemtodososc ’ss~aonulos,poiscasocontr(cid:19)ario,talequa(cid:24)c~aodescreveriaouumconjuntovaziodepontos
i
(se c̸=0), ou todo espa(cid:24)co E3 (se c=0).
Reciprocamente, consideramos o conjuntoC de pontosem E3 que satisfazem c x +c x +c x =c,
1 1 2 2 3 3
onde, digamos, c ̸= 0. O ponto p := (0;0;c(cid:0)1c) est(cid:19)a em C. Os vetores v := (c ;0;(cid:0)c ) e v :=
3 3 1 3 1 2
(0;c ;(cid:0)c ) n~ao s~ao colineares, pois r (cid:1)v +r (cid:1)v = 0 implicaria r c = r c = 0 e r = r = 0
3 2 1 1 2 2 1 3 2 3 1 2
devido a c ̸= 0. Logo, P := fp+ r (cid:1)v + r (cid:1) v j r ;r 2 Rg (cid:19)e um plano. Vamos mostrar que
3 1 1 2 2 1 2
C = P. Um ponto arbitr(cid:19)ario de P tem a forma (r c ;r c ;c(cid:0)1c(cid:0)r c (cid:0)r c ). E(cid:19) f(cid:19)acil ver que as
1 3 2 3 3 1 1 2 2
coordenadas deste ponto satisfazem a equa(cid:24)c~ao c x + c x + c x = c. Consequentemente, P est(cid:19)a
1 1 2 2 3 3
contido em C. Por outro lado, se um ponto q :=(x ;x ;x ) satisfaz a equa(cid:24)c~ao c x +c x +c x =c,
1 2 3 1 1 2 2 3 3
ent~ao q =(0;0;c(cid:0)31c)+ xc31 (cid:1)(c3;0;(cid:0)c1)+ xc32 (cid:1)(0;c3;(cid:0)c2), isto (cid:19)e, q est(cid:19)a em P.
A equa(cid:24)c~ao c x +c x +c x =c com um dos c ’s n~ao-nulo se chama equa(cid:24)c~ao geral de plano.
1 1 2 2 3 3 i
Resumindo, um plano pode ser determinado
(cid:15) por tr^es pontos n~ao-colineares no plano;
(cid:15) por dois vetores n~ao-colineares (\paralelos" ao plano) e um ponto no plano;
(cid:15) por uma descri(cid:24)c~ao vetorial;
(cid:15) por uma descri(cid:24)c~ao param(cid:19)etrica;
(cid:15) por uma equa(cid:24)c~ao geral do plano;
(cid:15) por um ponto no plano e uma reta contida no plano que n~ao passa pelo ponto;
(cid:15) por duas retas paralelas distintas contidas no plano;
(cid:15) por duas retas concorrentes contidas no plano.
10 1o SEMESTRE DE 2017
Faz pleno sentido imaginar como traduzir uma destas descri(cid:24)c~oes para uma outra. De fato, j(cid:19)a foram
consideradas as tradu(cid:24)c~oes entre as primeiras cinco descri(cid:24)c~oes. (Quanto (cid:18)as u(cid:19)ltimas duas descri(cid:24)c~oes,
talvez precisamos previamente estudar posi(cid:24)c~oes relativas de duas retas.) Ser(cid:19)a que a gente pode sugerir
mais uma descri(cid:24)c~ao de plano?
1.10. Posi(cid:24)c~oes relativas de dois planos. Seja (cid:12)xo um sistema de coordenadas.
Note que o plano descrito atrav(cid:19)es da equa(cid:24)c~ao geral c x +c x +c x =c passa pela origem se e s(cid:19)o
1 1 2 2 3 3
se c=0.
Para r ̸= 0, a equa(cid:24)c~ao geral de plano rc x +rc x +rc x = rc (cid:19)e equivalente (cid:18)a equa(cid:24)c~ao c x +
1 1 2 2 3 3 1 1
c x +c x =c. Portanto, ambas determinam um mesmo plano. Por outro lado, os planos dados pelas
2 2 3 3
equa(cid:24)c~oes gerais c x +c x +c x =c e c x +c x +c x =c′ n~ao interceptam se c̸=c′. Logo, tais
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
planos s~ao paralelos.
Reciprocamente, se os planos P e P′ com as respectivas equa(cid:24)c~oes gerais c x +c x +c x = c e
1 1 2 2 3 3
c′x +c′x +c′x =c′ s~aoparalelos,ent~aoatriplaordenadadenu(cid:19)merosreais(c ;c ;c )(cid:19)eproporcional
1 1 2 2 3 3 1 2 3
(cid:18)a tripla (c′;c′;c′). Realmente, sem perda de generalidade, podemos supor que c = c′ = 0. (Assim,
1 2 3
no lugar de planos P e P′, consideramos os paralelos que passam pela origem.) Agora, P = P′. Sem
perda de generalidade, podemos supor que c = 1. Ent~ao os pontos (1;0;(cid:0)c ) e (0;1;(cid:0)c ) pertencem
3 1 2
a P e, portanto, a P′. Da(cid:19)(cid:16), c′ (cid:0)c′c = 0 e c′ (cid:0)c′c = 0. Em outras palavras, a tripla (c′;c′;c′) =
1 3 1 2 3 2 1 2 3
(c′c ;c′c ;c′) (cid:19)e proporcional (cid:18)a tripla (c ;c ;c )=(c ;c ;1).
3 1 3 2 3 1 2 3 1 2
Acabamos de elaborar um crit(cid:19)erio num(cid:19)erico decidindo se dois planos s~ao iguais ou paralelos. Conse-
quentemente, obtemos um crit(cid:19)erio num(cid:19)erico que determina se dois planos n~ao s~ao iguais nem paralelos,
ou seja, interceptam em uma reta. Em particular, entendemos quando uma reta pode ser dada como a
intersec(cid:24)~ao de dois planos n~ao-paralelos (vide o (cid:12)nal do item 1.9.2).
1.10.1. Exerc(cid:19)(cid:16)cio. Escreva a equa(cid:24)c~ao geral do plano que passa pelo ponto (p ;p ;p ) e (cid:19)e paralelo
1 2 3
ao plano dado pela equa(cid:24)c~ao geral c x +c x +c x =c.
1 1 2 2 3 3
1.11.Posi(cid:24)c~oesrelativasderetaeplano. DadosumaretaReumplanoP,temostr^esalternativas:
ou P cont(cid:19)em R, ou R (cid:19)e paralela a P, ou R intercepta P em um ponto.
Seja (cid:12)xo um sistema de coordenadas.
Suponha que o plano P (cid:19)e dado atrav(cid:19)es da equa(cid:24)c~ao geral c x +c x +c x =c, que a reta R passa
1 1 2 2 3 3
pelo ponto p:=(p ;p ;p ) e que d:=(d ;d ;d ) (cid:19)e um vetor diretor de R.
1 2 3 1 2 3
A reta R est(cid:19)a contida no plano P se e s(cid:19)o se dois pontos distintos da reta est~ao no plano. Assim,
basta testar se os pontos p e p+d satisfazem a equa(cid:24)c~ao c x +c x +c x =c.
1 1 2 2 3 3
Para decidir se a reta R (cid:19)e paralela ao plano P, podemos trocar a reta por uma reta R′ paralela a
R e o plano por um plano P′ paralelo a P. Pelo Exerc(cid:19)(cid:16)cio 1.5.2, duas reta s~ao paralelas se t^em um
mesmo vetor diretor. Assim, escolhemos a reta R′ que passa pela origem (0;0;0) com o vetor diretor d.
Escolhemos o plano P′ que (cid:19)e paralelo ao plano P e passa pela origem. J(cid:19)a sabemos que o plano P′ (cid:19)e
dado pela equa(cid:24)c~ao geral c x +c x +c x = 0. A reta R (cid:19)e paralela ao plano P se e s(cid:19)o se a reta R′ (cid:19)e
1 1 2 2 3 3
paralela ao plano P′. Mas R′ e P′ passam pela origem. Consequentemente, R′ (cid:19)e paralela a P′ se e s(cid:19)o
se R′ est(cid:19)a contida em P′. Pelo crit(cid:19)erio acima, R′ esta contida em P′ se e s(cid:19)o se c d +c d +c d =0.
1 1 2 2 3 3
Possuindoumcrit(cid:19)erioquedecideseumaretaest(cid:19)acontidaou(cid:19)eparalelaaumplano,temosumcrit(cid:19)erio
decidindo se uma reta n~ao (cid:19)e paralela nem est(cid:19)a contida em um plano, isto (cid:19)e, intercepta o plano em um
ponto. Resta aprender como calcular este ponto.
Resolvendoproblemasexpl(cid:19)(cid:16)citos,sempreprocureasdescri(cid:24)c~oesmaisadequadasdosobjetosenvolvidos
no problema. Por exemplo, para achar o ponto de intersec(cid:24)~ao de uma reta com um plano, (cid:19)e mais
confort(cid:19)avel usar a descri(cid:24)c~ao param(cid:19)etrica da reta e a equa(cid:24)c~ao geral do plano.
1.12. Posi(cid:24)c~oes relativas de duas retas. Duas retas podem ser iguais, paralelas, concorrentes
(istosigni(cid:12)caqueinterceptamemumpontos(cid:19)o)ereversas (istosigni(cid:12)caquen~aos~aoparalelas, masn~ao
interceptam).