Sistemas Não Lineares

158 Pages·2014·25.278 MB·Portuguese

by  Plinio Benedicto Lauro Castrucci, Rino Curti

sÉRaE coNTRQLEAUTQMÁTICO DE SISTEMAS DlNÁMicos
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PLÍNIÚ BENEDICTU LAURO EASTHUÍICI
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Castrucci, P.
Sistemas não-lineares
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Prefácio
Este volume dedica os quatro primeiros capitulos à análise'dos
sistemas dinâmicos não-lineares autônomos, principalmente sob o as-
pecto da estabilidade segundo Liapunov; pelos exemplos, estudam-se
alguns sistemas de controle por realimentação. O Cap. 5 apresenta a
estabilidade absoluta desses sistemas e o critério de Popov.
Sistemas de controle, intencionalmente construídos com não-lineari-
dades, constituem certamente um tema inesgotável. O Cap. ó procura
indicar algumas das principais idéias conhecidas neste campo e desen-
volve-se até introduzir as idéias de auto-otimização estática e de adapta-
ção aos sinais e aos parâmetros. O projetista de tais sistemas tem, nos
capitulos anteriores a este1 os recursos básicos para a analise e o aper-
feiçoamento de seus desempenhos; detalhes adicionais dos transitórios
e dos dominios de estabilidade devem ser examinados por meio das
simulações e/ou dos ensaios em protótipos.
Com exceção dos metodos dos primeiros capítulos e das aplicações
a sistemasi'muito simples, pressupõe-se o emprego amplo dos compu-
tadores digitais. Em conseqüência, apresentam-se o Anexo A, que discute
métodos numéricos na solução das equações diferenciais ou na simulação
dos sistemas, e o Anexo B, que apresenta um programa para a solução
da equação algebrica de Liapunov, essencial para análise ou síntese
via Liapunov.
O texto percorre os assuntos numa ordem didaticamente satisfatória,
na experiência dos autores: o plano de fase serve de introdução a'o espaço
de estado e aos conceitos de Liapunov; da teoria de Liapunov decorre
o critério de Popov; e muitos exemplos e o capítulo sobre projeto de
sistemas intencionalmente não-lineares representam estímulo para que o
estudante supere a aridez de certos parágrafos.
E dificil dividir o conteúdo do texto em Graduaçãoe Pós-Graduação;
mas os Caps. 1, 2, 3 e 5, excluído 5.4, parecem adequados a um borr.
curso de Graduação. Os enunciados teóricos não são sempre os mais
gerais encontrados na literatura; a demonstração de teoremas é apre-
sentada só quando e importante sua contribuição para o entendimento
Conteúdo
cAPiTULo 1 Introdução................................................................ 1
cAPÍTULo 2 Sistemasdesegundaordem............................................ 7
CAPÍTULO 3 Teoriageraldeestabilidade ........................................... 37
cAPÍTULo 4 PesquisadefunçõesdeLiapunov.................................... 64
cAPíTULo 5 Sistemasdecontrole: estabilidadeabsoluta........................ 79
cAPÍTULo ó Sistemascomcontroladorintencionalmentenão-linear......... 91
ANEXOS A' Métodosnuméricosnasoluçãodasequaçõesdiferenciais...... 114
B ProgramaparasoluçãodaequaçãodeLiapunov................. 125
c Funçõesdescritivas...................................................... 131
D Demonstraçãodo Critério dePopov ............................... 141
Problemas propostos ............................................................................ 145
Bibliografia......................................................................................... 155

cAPÍiULo 1
Introdução
Sistemas dinâmicos lineares são os que têm o comportamento des-
crito por equações diferenciais, ou de diferenças, lineares. O termo linear
refere-se sempre à aplicabilidade do principio da superposiçãol, à de-
pendência entre as funções de excitação e de solução das equações, ou
seja, entre os sinais de entrada e de saída dos sistemas, ou ainda, entre
as causas e os efeitos dos fenômenos ([1], [2] e [3]). O tratamento mate-
mático dos sistemas fica consideravelmente facilitado pela condição de
linearidade, ainda mais quando eles são invariantes no tempo [1]; muitos
problemas de análise e de síntese de sistemas de controle lineares encon-
tram-se definitivamente resolvidos e de forma fechada.
Infelizmente, a maioria dos sistemas reais não são lineares e seu
comportamento pode ser muito complexo. Por outro lado, tem sido
demonstrado que a introdução deliberada de elementos não-lineares
pode melhorar e até mesmo otimizar sob alguns aspectos o desempenho
de sistemas de controle automatico. Diz-se que o primeiro tipo de não-
-linearidades é acidental e o segundo, intencional. Sem dúvida, de maneira
geral, a teoria e a pratica de analise e de projeto de sistemas não-lineares
encontram-se ainda muito pouco desenvolvidas.
Para melhor compreensão das dificuldades do assunto, anotem-se
os seguintes comentários:
a) Como não vale o principio da superposição, a resposta ao impulso,
a integral de convolução e a função de transferência [3] não são aplicáveis.
b) Estabilidade de um sistema linear é caracteristica que depende
só do sistema; em particular, ela independe das condições iniciais; em
contraposição, os não-lineares podem apresentar comportamento “es-
tável” ou não, dependendo de suas condições iniciais. Tal complexidade
leva a uma profunda reformulação, ou generalização, do conceito de
estabilidade (Cap. 3);
1 Se o sinal de entrada xl(r) produz o desaíday,(t) e se o de entrada x2(t) produzy2(r),
então a entrada (ax1_(t)+flxz(l)) deve produzir a saida (ay,(t)+fiyz[t)), para Vx,(t) e
x2(t), e a e fi constantes.
2222 SSSSIIIiSSSSTTTTEEEEMMMMAAAASSSSNNNN11ÃÃ55DOOO——--UUUUNNNNEEEEAAAARRRREEEESSSS
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5555.... QQQQuuauaaaasssseeee----[[IIzziian‘‘nneeeeaaaarrrrifiiezzzaaaaççccaãééaomm:: DDDDeeeesssseeeennnnavvveooollllavvv'iiiimmmmeeeennnnttttoooe ddddaaaassss fllf‘‘uuuunnnnççccõõfifieeeessss ddddeeeessssecccrrrriiiittttiiiivvvvaaaassss,,,, ggggeeee----
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lntrodução 3
Naturalmente, um componente real de sistema possui um comporta-
mento dinâmico, devido a inércias, indutâncias, capacitâncias e outras.
formas de armazenamento de energia, junto com o eventual comporta-
mento` não-linear. Sempre que possivel, convém separar os dois meca-
nismos, deixando o não-linear resumido numa curva caracteristica está-
tica que exprime a variável de saida em termos da de entrada emregime
estacionário. Geralmente, é fácil medir-se por ensaio uma curva caracte-
rística estática.
c (sAíDA)
FUNÇÃO
APROXIMADA
+3
`\\FUNÇÃ0
REAL
e (ENTRADAl
Fig. 1.1.a
(coMaNAoo)
/ Fl VISCOSO)
/
/
fcicouLoMB)
Fm.r1b
aposmÃo)
r I.
VEš
(PoaçÃo)
4 SISTEMASNÃO-UNEARES
elsAíoA) lc
/ e e
/ (ENTRADÂl I
Fig. 1.1.d Fig. 1.1.5
E
lÍl
Fig. 1.1.f Fig. 1.1.g
A Fig. 1.1 apresenta as principais caracteristicas das näo-linearidadcs
citadas. A Fig. 1.1a representa a saturação simetríca. Seria assimetrica,
se os patamares maximo e minimo, da saida¬ ocorressem em ordenadas
assimetricas. A Fig. 1.1.6 representa o atrito de Coulomb. O atrito viscoso
linear é um fenômeno comum pelo qual a forçafa que se opõe ao movi-
mento relativo de dois corpos e proporcional à sua velocidade relativa
vtƒa =F - v; F:constante). Narealidade, porem, este fenômeno é com-
plicado, cm torno da velocidade relativa nula, por maior interferência
das rugosidades das superficies em contato mútuo, da qual resulta uma
força de atrito inicial, fo. Costuma-se definir o coeficiente de atrito de
Coulomb,fc, de acordo com a Fig. 1.1'5. Uma representação aproximada
da curva caracteristica do atrito combinado é
fa :fc + F 'v (1.2.)
que obviamente ainda e não-linear.
A Fig: l.lc representa a folga de engrenagens em geral, a entrada e
sendo a posição da engrenagem motora e a saida c, a posição da outra.
Eo primeirocasodecorrespondêncianão-biunivocaentreentradaesaída;
conseqüentemente a saída depende da entrada e de sua história; é uma
não-linearidade de memória.
lntrodução 5
A Fig. 1.10' representa a histerese, geralmente associada aos t`eno~
menos magnéticos nos componentes dos sistemas.
A Fig. l.le representa os relés, simetrico e assimétrico, ideais. Tal
comportamento ocorre não só nos tradicionais relés eletromecânicos
mas também em componentes de estado sólido, como ampliadores mag-
néticos, tiristores e transistores ou circuitos integrados lineares quando
operando sem "regime chaveado.”.
Reles e outros elementos chaveados, na realidade, costumam apre-
sentar simultaneamente zona morta (Fig. l.lj) e histerese. Uma curva
caracteristica completa teria o aspecto da Fig. Lig.
Uma caracteristica hão-linear assimétrica pode, às vezes, ser sime-
zrizada introduzindo sinais fixos de polarização. Considere-se a Fig. 1.20¬
em que c0 = em? corresponde a eo. O sistema da Fig. 1.217 é equivalente
ao anterior mas sua não-linearidade é simetrica.
(Im-CQ __
(o) (b)
Fig.1.2
A Fig. 1.30 mostra um bloco multiplicador :(1) =.r(1) -yu). Sua
construção fisica é feita modernamente com circuitos integrados espe-
ciais. Note-se, porem, quel ele constitui um sistema não-linear apenas
quando as duas entradas x(t) e y(t) são interdependentes; caso contrário.
o sistema é linear variante no tempo. Para exemplo de sistema nâo-linear,
temos, na Fig. l.3b, x e y iguais, donde :(t) :x2(t). Na Fig. 1.3c temos
z(t) =[x(t)]2. sgn )r(t).2
nnxê+lsex>0
-lsex<0
Osex=v0
6 SISTEMASNÃO-UNEARES
Se x(r) ey(t) são senoidais, a operação de seu produto gera na saida
componentes senoidais de freqüências diferentes das de entrada; e o
fenômeno do batimento, tão importante nos sistemas de comunicação.
êliáfi, 0 äcëlecimemo'ce..ƒxeqüenciêsiníeriores.ou. _Sapfiriorcs .às I
de entrada e indicação segura da. existência de näorlinearidade.
yH)
ao X zh) m x 'zm
(u) (b)
x{1 X 'zm
(c1
Fig. 1.3