Sistem Modelleme ve Analizi

165 Pages·2016·5.8 MB·Turkish

Sistem
Sistem Modelleme ve Analizi
dersinde mekanik, elektrik, akış, ısıl ve elektro-
mekanik sistemlerin enerji denklemleriyle
matematik modelleri kurulur. Sistemlerin Modelleme
benzer matematik modellerinin çıkarılması
vurgulanır. Modellerin analitik ve nümerik
çözümleri verilir. Çözümlerde bilgisayarlardan
yararlanma yöntemleri gösterilir. MatLAB, ve Analizi
VisualBASIC ve Bilgisayar Destekli Mühendislik
programları kullanılır.

2. Baskı

Sesli POWER POINT sunum dosyaları ekli CD
dedir. Sunumlar Microsoft Office-XP
uyumludur. dsma.pps dosyası çalıştırılarak Vk DCMotor
sunumlar başlatılabilir.

J
L
1 1 1
E  L q2  J 2  J 2

1 a a m m L L
Prof.Dr. Hira Karagülle Dokuz Eylül 2 2 2
Üniversitesi öğretim üyesidir. Ege
Üniversitesi’nden lisans ve yüksek lisans
dereceleri aldıktan sonra 1984 te
Massachusetts Institute of Technology’den Sesli Sunumlu
makine mühendisliğinde doktora derecesi

almıştır. Bilgisayar destekli mühendislik,
mekanik titreşimler, ultrasonik, ölçme ve
Prof.Dr. Hira Karagülle
kontrol genel uzmanlık alanlarıdır.
SİSTEM MODELLEME
VE ANALİZİ

Prof.Dr. Hira Karagülle
2002, H. Karagülle

Baskı ve Cilt:
Demfo, Bornova-İzmir
e-posta: [email protected]
İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ v
GİRİŞ 1
1 MEKANİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ 3
1.1 Mekanik Sistemlerin Modellenme Yöntemleri 3
1.2 Mekanik Sistem Elemanları 3
1.3 Enerji Eşitlikleri 6
1.4 Lagrange Denklemi 9
1.5 Özdeğer Denklemi 12
2 MEKANİK SİSTEMLERİN BİLGİSAYARLA
MODELLENMESİ 22
3 ELEKTRİK DEVRELERİNİN MODELLENMESİ 29
3.1 Elektrik Devrelerinin Modellenme Yöntemleri 29
3.2 Elektrik Devresi Elemanları 29
3.3 Genel Analoji Tablosu 32
3.4 Elektrik Devrelerinin Modellenmesi 33
4 ELEKTRİK DEVRELERİNİN BİLGİSAYARLA
MODELLENMESİ 43
5 AKIŞ SİSTEMLERİNİN MODELLENMESİ: BENZER
ELEKTRİK DEVRELERİ 48
6 ISIL SİSTEMLERİN MODELLENMESİ: BENZER
ELEKTRİK DEVRELERİ 52
7 ELEKTRO-MEKANİK SİSTEMLERİN
MODELLENMESİ 56
8 DOĞRUSAL DİFERANSİYEL DENKLEMLER 64
8.1 Transfer Fonksiyonu 64
8.2 Eksponansiyel/harmonik girdi 65
8.3 Laplace Transformu 66
8.3.1 İmpuls Cevabı 68
8.3.2 Adım Girdi Cevabı 70
8.3.3 İlk Şartlara Bağlı Çözüm 72
8.4 Blok Diyagramları 74
9 DOĞRUSAL DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI 79
9.1 Durum Değişkenleri 79
9.1.1 Girdiye Bağlı Çözüm 80
9.1.2 İlk Şartlara Bağlı Çözüm 86
9.2 Bilgisayarla Model Çözümleri 87
9.3 Runge-Kutta Yöntemiyle Nümerik Çözüm 88
iii
10 DOĞRUSAL OLMAYAN DİFERANSİYEL DENKLEM
TAKIMLARI 95
10.1 Dengeden Küçük Sapmalarda Doğrusallaştırma 95
10.1.1 Sarkaç Problemi 101
SINAV PROBLEMLERİ 110
Ara Sınav 1 110
Ara Sınav 2 113
Final 116
KAYNAKLAR 119
EK A : MatLAB İLE PROGRAMLAMA 120
EK B : VisualBASIC İLE PROGRAMLAMA 123
EK C: Runge-Kutta Yöntemi Programı 129
PROBLEMLERİN YANITLARI 131
Sunumla İgili Açıklamalar 154
DİZİN 155

iv
ÖNSÖZ

İnsanlık tarihinde önemli dönüm noktalarından biri 17.
yüzyılda hareket kanunlarının keşfidir. Daha önce temel matematik ve
deneyimle yapılan mühendislik tasarımları bu keşifden sonra
bilimselleşerek ileri matematik, deneyim ve hesapla yapılmıştır.
Mühendislik hizmetlerindeki bu değişim sanayi devrimini oluşturmuş,
şehirleşme ile sosyal değişim yaşanmıştır. Büyük fabrikalar
kurulmuştur. Bir fabrikada örneğin kalite kontrolü bölümünde işe
başlayan bir kişi yıllar sonra şef olarak emekli olmuştur. Mühendislik
sistemlerinin fiziği ve matematik modelleri bilindiği halde hesap
olanaklarının kısıtlı olması nedeniyle basit modellere ileri matematik
uygulanabilmiş, karmaşık sistemler için deneyim önemini korumuştur.
Bu dönemde klasik mühendislik eğitimi oldukça yerleşik bir müfredat
oluşturmuştur.
Dijital elektronikteki gelişmeler, bilgisayarlarla hesap
olanaklarını sunmuş ve bilgi çağı dönemi başlamıştır. Artık ileri
matematiğe dayalı karmaşık modeller de çözülebilmekte ve deneyimin
önemi azalmaktadır. Bilgisayar destekli tasarım ve analiz (computer
aided design/computer aided analysis) (CAD/CAE) programları ile
karmaşık mühendislik sistemleri tasarlanıp analiz edilebilmektedir.
Otomasyon hızla artmaktadır. Bu gelişmeler sosyal hayatı ve eğitim
sistemini de doğrudan etkilemektedir. Büyük üretim fabrikalarının
yerini, tasarım şirketlerinin tasarladığı sistemlerin elemanlarını üreten
küçük ve orta boy işletmelere (KOBİ’lere) dayalı üretim almaktadır.
Artık büyük fabrikalarda kalite kontrolü bölümünde emekli olana
kadar çalışma olanağı yerine, KOBİ’lerde değişik işleri yapabilme
yeteneğine sahip, bilgisayar destekli mühendislik hizmetlerini
yapabilen, iletişimi güçlü, takım çalışmasına yatkın mühendislere
ihtiyaç artmaktadır. Bu ihtiyaçlara paralel olarak mühendislik
eğitiminde de önemli değişiklikler olabilecektir. Uzaktan eğitim,
internet destekli eğitim hızla gelişmektedir. Bazı üniversiteler,
müfredatlarında görülen bazı dersleri kendi üniversitelerinden alma
imkanı yanında uzaktan eğitim veren ve kendi standartlarında
gördükleri başka üniversitelerin birinden alınmasını da kabul
etmektedir. Bir kıtada gelişmiş bir üniversitede verilen bir ders, diğer
bir kıtada az gelişmiş birçok üniversitede aynı anda verilebilmektedir.
Bu kitap yeni dönem mühendislik eğitimi anlayışına yönelik
yazılmıştır. Mekanik, elektrik, akış ve ısıl sistemlerin ortak matematik
v
modellerinin çıkarılışı ve bu modellerin bilgisayar desteği ile çözümü
verilerek entegre bir yaklaşım benimsenmiştir. CAD/CAE
programlarıyla da çözümler verilmiştir. Kitap, kendine özgü içerikle
yazılmıştır. Klasik kitaplarda yer alan konuların detayı verilmemiştir.
Kitaptaki konular işlendikten sonra, tümdengelim yaklaşımı ile başlığı
belli bazı konuların detayları için ilgili literatüre başvurulabilir.
Kitap, Dokuz Eylül Üniversitesi-Mühendislik Fakültesi-
Makine Bölümü’nde 7. dönemde verilen Sistem Modelleme ve Analizi
dersi için yazılmıştır. Ders konularının sunumu sesli Power-Point
dosyalarına kaydedilmiş ve kitabın ekindeki CD de verilmiştir.
Sunumlar Microsoft Office-XP uyumlu olup dsma.pps dosyası
çalıştırılarak başlatılabilir. Öğretim üyesinin konuyu anlatırken
tahtada sırasıyla yazdıkları ve söyledikleri sunumlarda
gerçekleştirilmiştir. Sınıfta, bilgisayarla sunum cihazı kullanılarak CD
den yararlanılabilir. Kitabın içerik bakımından orijinallik yönü
yanında, ekli sesli sunum dosyaları ile de orijinal yönü söz konusudur.
Mühendislik eğitimindeki gelişmelere paralel olarak bu kitaptaki
entegre yaklaşım ve sunum tekniklerinin çok daha gelişerek
yayılacağını umuyorum.
Kitabın, makine mühendisleri yanında, tüm mühendislik
alanları için, uygulamalı matematik veya fizikle ilgilenenler için
yararlı olabileceği düşüncesindeyim.
Kitabın yazımında ve düzeltilmesinde yardımcı olan Dr.
Zeki Kıral’a teşekkür ederim.

Prof.Dr. Hira Karagülle
İzmir, Aralık-2002

vi
GİRİŞ

Sistemler belirli bir işlevi yerine getirmek için tasarlanır ve
üretilirler. Farklı özellikteki elemanların farklı şekillerde bağlanması
ile farklı sistemler oluşturulur. Sistemlerin matematik modellerinin
kurulması, girdi ile çıktıları arasındaki ilişkilerin bulunmasını sağlar.
Sistemlerin işlevlerini yerine getirip getirmeyeceği, verimliliği tasarım
aşamasında belirlenir. Elemanlarının dayanımı ve ömrü, dolayısı ile
sistemlerin ömrü tahmin edilebilir. Matematik modellerin kurulması
ile sistem kontrol edilebilir.
Mekanik, elektrik, akış ve ısıl sistemlerde ortak matematik
modeller ortaya çıkar. Basit sistemler dışında, bu modellerin çözümü
bilgisayar gerektirir. Bilgisayarlar gelişmeden önce üretimi ve
denenmesi daha pahalı ve zor olan mekanik, akış ve ısıl sistemler
yerine aynı matematik modele sahip elektrik devreleri kurularak
sistemler geliştirilmiştir. Günümüzde bilgisayar destekli tasarım ve
analiz (computer-aided design/engineering) (CAD/CAE)
programlarına sistemler tanıtılmakta, programlar otomatik olarak
matematik modelleri kurup çözmektedir.
Bu kitapta önce temel mekanik sistem elemanları, eleman
denklemleri ve elemanlarla ilgili enerji eşitlikleri verilir ve Lagrange
yöntemiyle matematik modellerin çıkarılışı gösterilir. Bu modeller
matrislerle yazılabilen doğrusal diferansiyel denklem takımlarıdır.
Denklemlerin çözümünde ilk aşama özdeğerlerin, mekanik sistemler
için doğal frekansların bulunuşudur. Çözümlerde MatLAB’dan
yararlanılır.
Mekanik sistemlerin ANSYS programıyla bilgisayarda
modellenmesi de gösterilir. ANSYS yerine Working Model, ADAMS
gibi farklı programlar da kullanılabilir. Sistem tanıtıldıktan sonra
modeli kendi kurup çözen bilgisayar programlarının sonuçlarının,
matematik modelin kurulup MatLAB ile çözülmesiyle elde edilen
sonuçlarla karşılaştırması örneklerle yapılır.
Elektrik devresi elemanları, eleman denklemleri ve enerji
denklemleri verilir. Mekanik sistemlerle elektrik sistemleri elemanları,
eleman denklemleri ve enerji denklemleri arasındaki benzerlik
vurgulanır. Lagrange denklemi uygulanarak elektrik devrelerinin
matematik modellerinin çıkarılışı gösterilir.
Elektrik devrelerinin Electronics Workbench programıyla
bilgisayarda modellenmesi de gösterilir. Workbench yerine farklı
1
programlar da kullanılabilir. Devre tanıtıldıktan sonra modeli kendi
kurup çözen bilgisayar programlarının sonuçlarının, matematik
modelin kurulup MatLAB ile çözülmesiyle elde edilen sonuçlarla
karşılaştırması örneklerle yapılır.
Akış ve ısıl sistemler için de benzer denklemler vurgulanır ve
bu sistemlerin benzer elektrik devrelerinin kuruluşu gösterilir.
Elektro-mekanik sistemlerin matematik modellerinin
kuruluşu gösterilir. Bu sistemlerin matematik modelleri, doğrusal
olmayan diferansiyel denklem takımlarını da verir.
Tek serbestlik dereceli sistemlerin matematik modeli olan
sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemlerin Laplace transformu
ile çözüm yöntemleri gösterilir.
Çok serbestlik dereceli sistemlerin matematik modeli olan
doğrusal diferansiyel denklem takımlarının çözümünde denklemler
matrislerle durum değişkenleri formunda yazılır ve Laplace
transformuyla çözüm yöntemleri gösterilir. Matrislerin tersinin
alınması, ters Laplace transformlarının bulunması ve cevapların
grafiklerinin çizilmesinde MatLAB’dan yararlanılır. Ayrıca Runge-
Kutta yöntemiyle nümerik çözümler verilir. Runge-Kutta yönteminin
uygulaması VisualBASIC programıyla yapılır.
Son olarak elektro-mekanik sistemlerin modellenmesinde
ortaya çıkan doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin denge
halinin bulunması ve dengeden küçük sapmalar için denklemlerin
doğrusallaştırılması gösterilir.

2
1
MEKANİK SİSTEMLERİN
MODELLENMESİ

1.1 Mekanik Sistemlerin Modellenme Yöntemleri

Mekanik sistemlerin modellenmesinde iki ana yöntem
kullanılır. 1. yöntemde kinematik analiz yapılarak konum, hız ve
ivmeler bulunur. Daha sonra serbest cisim diyagramları çizilerek
mekanik yasaları uygulanır.
2. yöntemde kinematik analiz yapılarak konum ve hızlar
bulunur. Daha sonra sistem için toplam kinetik enerji, potansiyel
enerji ve sanal iş ifadeleri yazılarak Lagrange denklemi uygulanır. Bu
derste 2. yöntem kullanılacaktır.

1.2 Mekanik Sistem Elemanları:

Temel mekanik sistem elemanlarını ele alalım. Ötelenen
elemanlardan ilki Şekil 1.1 de gösterilen m kütlesidir. Kütleye
uygulanan kuvvet F ve kütlenin yer değiştirmesi x tir.

Şekil 1.1 Kütle elemanı

Eleman denklemi

Fmx

ve elemanda depolanan kinetik enerji

1
E1  mx2
2

dir. Burada x hız ve x ivmedir.
İkinci tip eleman Şekil 1.2 de gösterilen k değerinde yaydır.
Yaya uygulanan kuvvet f ve yayın şekil değiştirmesi x tir.
3