Singularit\'es canoniques et actions horosph\'eriques

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by  Kevin Langlois

Singularit´es canoniques et actions horosph´eriques
Kevin Langlois∗
7
1
0
2 Abstract

r Let G be a connected reductive linear algebraic group. We consider the normal G-varieties with horospherical
a
orbits. In this short note, we provide a criterion to determine whether these varieties have at most canonical, log
M
canonical or terminal singularities in the case where they admit an algebraic curve as rational quotient. This result
seemstobenewinthespecialsettingoftorusactionswithgeneralorbitsofcodimension1. ForthegivenG-varietyX,
6
1 our criterion is expressed in terms of a weight function ωX that is constructed from the set of G-invariant valuations
of the function field k(X). In thelog terminal case, thegenerating function of ωX coincides with the stringy motivic
] volumeof X. As an application, we discuss thecase of normal k⋆-surfaces.
G
A R´esum´e
h. Soit G un groupe alg´ebrique lin´eaire r´eductif connexe. Nous consid´erons les G-vari´et´es normales avec orbites
t horosph´eriques.Danscette courtenote, nousdonnonsuncrit`ere pourd´eterminerlorsque ces vari´et´esont au plusdes
a
singularit´es canoniques, log canoniques ou terminales dans le cas ou` elles admettent une courbe alg´ebrique comme
m
quotientrationnel.Cer´esutatsemblenouveaupourlecassp´ecialdesactionsdetoresalg´ebriquesavecorbitesg´en´erales
[ decodimension 1. Pourla G-vari´et´econsid´er´ee X,notre crit`ere est exprim´een terme d’unefonction depoids ωX qui
estconstruite`apartirdel’ensembledesvaluationsG-invariantesducorpsdesfonctionsk(X).Danslecaslogterminal,
2
v lafonction g´en´eratrice deωX correspond au volume motiviquedes cordesdeX. Comme application, noustraitons le
7 cas des k⋆-surfaces normales.
6
3
Introduction
6
0
1. Dans cet article,les vari´et´esalg´ebriqueset les groupes alg´ebriquessont d´efinis sur un corps alg´ebriquementclos k de
0 caract´eristique0.Un espacehomog`eneG/H sousun groupe alg´ebriquelin´eairer´eductifconnexe G est dit horosph´erique
7 silesous-groupeferm´eH ⊆Gcontientunsous-groupeunipotentmaximal.Danscecas,lenormalisateurP =N (H)de
G
1
H dansGestunsous-groupeparabolique,P/H estuntorealg´ebriqueetl’espacehomog`eneG/H estdoncr´ealis´ecomme
:
v P/H-torseur au dessus de la vari´et´e des drapeaux G/P (voir [Pas08, Section 2]). Rappelons qu’une G-vari´et´e normale
i est dite sph´erique si elle poss`ede une orbite ouverte sous l’action d’un sous-groupe de Borel. Comme cons´equence de la
X
d´ecomposition de Bruhat, l’espace homog`ene horosph´erique G/H est sph´erique.
r
a Nousconsid´eronslesG-vari´et´esnormalesavecorbiteshorosph´eriques.Notrebutestd’´etabliruncrit`erepourd´eterminer
lorsque que ces vari´et´es suppos´ees Q-Gorenstein ont au plus des singularit´es canoniques (log canoniques ou terminales)
souslaconditiond’existenced’unquotientrationnelquiestunecourbealg´ebrique(casdecomplexit´eun).Notrer´esultat
estmotiv´eparle casdes vari´et´estoriques(voir[KKMS73,Dan78,Oda78]). Dans[Rei80,Rei83],lessingularit´estoriques
intervenantdans le programmedu mod`ele minimal sontcaract´eris´eesen termes de g´eom´etrieconvexe,voir aussi[BG95,
Section 1], [Dai02, Sections 3, 4] pour une exposition.
Ces crit`eres ont ´et´e g´en´eralis´es par Brion dans le cadre sph´erique [Bri93] en utilisant la th´eorie de Luna-Vust (cf.
[Kno91]). Recemment, Liendo et Suess [LS13] ont ´etudi´es les singularit´es des vari´et´es normales avec actions de tores
alg´ebriques via la description d’Altmann-Hausen (voir [AH06, AHS08]). En particulier, ils obtiennent un crit`ere pour
les singularit´es log terminales des vari´et´es normales Q-Gorenstein dot´ees d’une op´eration d’un tore alg´ebrique avec or-
bites g´en´erales de codimension 1, voir [LS13, Corollary 5.4] et [LS13, Theorem 4.9], [LT16, Theorem 2.22] pour des
g´en´eralisationsde ce crit`ere.
∗Remerciement :Lepr´esent texte estfinanc´e par l’universit´eHeinrichHeinedeDuesseldorf.Adresse : Mathematisches Institut, Heinrich
HeineUniversit¨at,40225Du¨sseldorf,Allemagne.Courrier´electronique:[email protected].
1
Notations. Nous r´eunissons maintenant les notations n´ecessairespour ´enoncer notre r´esultat. Nous utiliserons l’ap-
proche de Timashev pour d´ecrire les op´erations de groupes alg´ebriques r´eductifs de complexit´e un, voir [Tim97]. Nous
fixons d´esormais, une G-vari´et´e normale X avec orbites horosph´eriques ayant un quotient rationnel π : X 99K C sous
l’action de G, ou` C est une courbe alg´ebrique compl`ete lisse. En particulier, C s’identifie avec l’ensemble des places du
corps de fonctions k(X)G. Pour un choix fix´e d’un sous-groupe de Borel B ⊆ G, nous appellerons couleur de X un
diviseurpremier B-stablede X quin’estpas G-stable.Lescouleursde X constituentun ensemblefini F. D´esignonspar
F ⊆ F le sous-ensemble des couleurs contenant une G-orbite. Puisque notre probl`eme est locale, on peut supposer
X
qu’il existe un ouvert affine dense B-stable X ⊆X intersectant toute G-orbite de X [Kno91, Theorem 1.3]. Sous cette
0
condition, X est le compl´ementaire de la r´eunion des couleurs appartenant `a F \F [LT16, Lemma 2.1]. Par ailleurs,
0 X
X admet un mod`ele birationnel´equivariantde la forme C×G/H, ou` G/H est un espace homog`enehorosph´erique(voir
par exemple [Kno90, Satz 2.2]). Si G/H → G/P est la projection naturelle vers la vari´et´e des drapeaux, alors F est
naturellement en bijection avec l’ensemble des diviseurs de Schubert de G/P. En particulier, F s’identifie `a l’ensemble
desracinessimplesΦ de(G,B) quineproviennentpasdeP.Pourα∈Φle symboleα∨ repr´esenteralacoracineassoci´ee
et a le nombre entier h β,α∨i. Nous d´esignerons par Φ le sous-ensemble de Φ correspondant aux couleurs de
α β∈Φ X
F .
X
En consid´erantle radPicalunipotent U de B, l’alg`ebredes invariantsA:=k[X ]U est gradu´eepar les poids provenant
0
des fonctions rationnelles propres de X sous l’op´eration de B. Soient M le r´eseaudes B-poids de A (ou indiff´eremment
de k(X)), N =Hom(M,Z) le dual et N =Q⊗ N, M =Q⊗ M les Q-espaces vectoriels associ´es.Le coˆne des poids
Q Z Q Z
σ∨ ⊆M de A est le dual d’un coˆne poly´edralsaillant σ ⊆N (i.e. ayant0 comme sommet). De plus, en choisissant un
Q Q
ensemble de fonctions rationnelles propres V = {χm ∈ k(X)⋆,m ∈ M} sous B avec les conditions χm ·χm′ = χm+m′
pour tous m,m′ ∈M, l’alg`ebre A est d´ecrite par une unique fonction lin´eaire par mor¸ceaux
DX,V :σ∨ →CaDiv(CX), m7→ minhm,vi·[y]
yX∈CXv∈Dy
d´efinie par l’´egalit´e A=A[CX,DX,V]:= H0(CX,OCX(DX,V(m))·χm.
m∈σ∨∩M
M
Ici C ⊆ C est un ouvert dense, les sous-ensembles D ⊆ N sont des poly`edres avec coˆne de r´ecession σ ´etant pour
X y Q
presque tout y ∈ C ´egaux `a σ et CaDiv(C ) est l’espace vectoriel des Q-diviseurs de Cartier sur C . Le couple
X X X
(DX,V,FX) est la contrepartie combinatoire de X et sera appel´e un diviseur poly´edral colori´e associ´e `a X (voir [AH06,
Section 2] et [LT16, Section 1.3]). Nous renvoyons `a [Tim97] pour la construction inverse d’une telle G-vari´et´e `a par-
tir d’un diviseur poly´edral colori´e abstrait. Le formalisme des diviseurs poly´edraux a ´et´e introduit dans [AH06], voir
[AHS08,Lan16]pour desg´en´eralisations.Dans lasuite,nous poseronssupp(DX,V)={y ∈CX|Dy 6=σ} etnoteronspar
deg(DX,V) le sous-ensemble de NQ qui est vide si CX 6=C et qui est ´egal au poly`edre y∈CDy sinon. Notons que l’on
a toujours degD ⊆σ (voir [AH06, Example 2.12]).
P
Int´egration motivique et fonctions de poids. Nous introduisons la fonction de poids ω attach´ee `a la donn´ee
X
(DX,V,FX). Dans le cas ou` les singularit´es de X sont au plus log terminales, cette fonction apparaˆıt dans le calcul du
volume motivique des cordes defini par l’int´egrale motivique
Est(X)= L−ordKX′/XdµX′.
ZL(X′)
Le symbole KX′/X d´esigne un diviseur canonique relatif provenant d’une log r´esolution et L(X′) est le sch´ema des
arcs de la d´esingularisation. L’int´egrale E (X) appartient `a une certaine modification et compl´etion M du localis´e
st
de l’anneau de Grothendieck K (Var )[L−1] de la cat´egorie des k-vari´et´es par rapport `a la classe de la droite affine
0 k
L:=[A1k] et ne depend ni du choix de la log r´esolution ni de celui du diviseur canonique relatif KX′/X. Nous renvoyons
`a [DL99, Loe09, Vey06] pour plus de d´etails sur l’int´egration motivique et `a [Bat98] pour la construction des invariants
des cordes. Plus precis´ement, le r´esultat principal de [LPR16] est la formule suivante inspir´ee par celle de Batyrev et
Moreau dans [BM13, Theorem 4.3] :
E (X)=[G/H] ζ ·LωX(y,ν,ℓ) ,
st ℓ
 
[y,ν,ℓX]∈|DX,V|
 
2
ou` ici ζℓ est´egale `a la classe [CX \supp(DX,V)] si ℓ=0 et `a L−1 si ℓ≥1 vue dans le compl´et´e M; le second membre
´etant interpr´et´e comme la fonction g´en´eratrice de ω .
X
Supposons que la G-vari´et´e X avec orbites horosph´eriques associ´ee `a la donn´ee (DX,V,FX) est Q-Gorenstein (et
possiblement non log terminale). Nous renvoyons `a [LT16, Corollary 2.19] pour un crit`ere explicite de la condition
Q-Gorenstein. On d´efinit alors l’ensemble |DX,V| par l’´egalit´e
|DX,V|={[y,ν,ℓ]|y∈supp(DX,V),ν ∈N,ℓ∈Z≥0 et (ν,ℓ)∈C(Dy)},
ou`C(D )⊆N ⊕Qestlecoˆneengendr´eparlar´eunionde(D ,1)etde(σ,0).Lesymbole[y,ν,ℓ]d´esignelaclassemodulo
y Q y
larelationd’´equivalence∼d´efiniepar(y,ν,ℓ)∼(y′.ν′,ℓ′)sietseulementsi(y =y′,ν =ν′,ℓ=ℓ′)ou(ℓ=ℓ′ =0,ν =ν′).
Soit C(DX,V) l’ensemble y∈CX{y}×C(Dy) modulo ∼. Sous l’hypoth`ese Q-Gorenstein la fonction ωX :C(DX,V)→Q
estuniquementd´etermin´eeparlesconditionssuivantespourtouty ∈C (voir[LPR16,Section5.2etProposition5.11]).
X
(i) ω induit une foncStion Q-lin´eaire sur chaque coˆne C(D );
X y
(ii) Nous avons ω (y,ρ)=−1 pour tout vecteur primitif g´en´erateurρ∈N ⊕Z d’une face de dimension 1 de C(D )
X y
tel que l’intersection de Q≥0ρ avec deg(DX,V)∪̺(DX,V) est vide;
(iii) On a ω (y,α∨ ,0)=−a pour tout α∈Φ .
X |M α X
(iv) Si ρ∈N estun g´en´erateurprimitif d’une face de dimension1 de σ telque Q≥0ρ∩deg(DX,V)6=∅,alorsilexiste
λ ∈ Q tel que ρ = λv ou` v = v et v est un sommet de D [LPR16, Lemma 5.22]. Dans ce cas, on a
>0 z∈CX z z z
C =C et
X
P
1
ω (y,ρ,0)=λ degK + 1− avec κ(v )=inf{ℓ∈Z | ℓv ∈N}.
X C z >0 z
κ(v )
z∈C(cid:18) z (cid:19)!
X
Les´el´ementsde|DX,V|correspondent`acertainesvaluations(g´eom´etriques)G-invariantesdek(X)`avaleursdansZdont
le centre est une sous-vari´et´e ferm´ee irr´eductible G-stable de X. Pour chaque ξ ∈ |DX,V| correspondant `a un diviseur
exceptionnel G-stable d’une d´esingularisation ´equivariante de X, la valeur −1−ω (ξ) est ´egale `a sa discr´epance (voir
X
[LPR16, Propositions 5.9 et 5.15]).
R´esultat principal
Th´eor`eme 0.1. Soit X une G-vari´et´e normale Q-Gorenstein avec orbites horosph´eriques. Supposons que X admette un
quotient rationnel X 99KC, ou` C est une courbe alg´ebrique compl`ete lisse, et que X soit d´ecrite par le diviseur poly´edral
colori´e (DX,V,FX). Alors X a au plus des singularit´es log canoniques si et seulement si au moins une des assertions
(a),(b),(c) est vraie :
(a) C est une courbe alg´ebrique affine.
X
(b) C s’identifie `a la droite projective P1 et 1− 1 ≤ 2, ou` κ =max{κ(v)|v sommet de D } et κ(v)=
X k y∈CX κy y y
inf{ℓ∈Z>0 | ℓv ∈N}. P (cid:16) (cid:17)
(c) C est une courbe elliptique et pour tout y ∈C les sommets du poly`edre D sont des vecteurs entiers.
X X y
Par ailleurs, X a au plus des singularit´es canoniques (resp. terminales) si et seulement si :
(d) Pour tout y ∈C et tout vecteur entier primitif ξ telqueξ soit dans l’interieur relatif de C (D) ou ung´en´erateur
X y
d’une face de dimension 1 de Cy(D) tel que Q≥0ξ∩(deg(DX,V)∪̺(DX,V)) 6= ∅, on a l’in´egalit´e ωX(y,ξ) ≤ −1
(resp. ω (y,ξ)<−1 ).
X
D´emonstration. Nous commen¸cons par rappeler la construction de [LPR16, Section 5.3] pour une d´esingularisation de
X. Elle est donn´ee par une suite de morphismes propres birationnels G-equivariants
q′ q π
X′ =X(E′) X(E˜) X(E) X.
ψ
LesG-vari´et´esX(E′),X(E˜),X(E)sontd´ecritespardesensemblesfinisdediviseurspoly´edrauxcolori´es,appel´es´eventails
divisoriels colori´es (voir [Tim97],[LPR16, Section3] pour plus de d´etails); chacund’autres eux d´ecrivantun recollement
3
endesouvertsG-stablesdeG-vari´et´esnormalesavecorbiteshorosph´eriques.OnaE ={(DX,V,∅)}etπ estlemorphisme
naturelded´ecolorisation(voir[LT16,Section2.2]).Deplus,enconsid´erantunrecouvrementfini(Ci ) d’ouvertsaffines
X i∈I
de CX, l’ensemble E˜ est {(DX,V|Ci ,∅)|i∈I} et q est le morphisme de contraction ou d’affinisation (voir par exemple
[AH06, Theorem 3.1], [LPR16, SecXtion 4.2]). Enfin la vari´et´e lisse X(E′) est induite par une subdivision r´eguli`ere de
C(DX,V) (voir [LPR16, Section 5.3] pour une construction inspir´ee de [KKMS73]).
En utilisant [LPR16, Proposition 5.9], un diviseur canonique relatif `a ψ et port´e sur le lieu exceptionnel peut ˆetre
exprim´e comme la somme
r s t
KX′/X =KX′ −ψ⋆KX = (−1−ωX(yi,pi))D(yi,pi)+ (−1−ωX(yj′,p′j))D(yj′,p′j)+ (−1−ωX(yℓ′′,p′ℓ′))D(yℓ′′,p′ℓ′),
i=1 j=1 ℓ=1
X X X
ou` D(yi,pi),D(yj′,p′j),D(yℓ′′,p′ℓ′) sont les diviseurs premiers correspondants.Ceux de la forme D(yℓ′′,p′ℓ′) sont obtenus comme
composantes irr´eductibles du lieu exceptionnel de q′ et ceux de la forme D(yi,pi),D(yj′,p′j) sont obtenus comme images
inverses de composantes irr´eductibles des lieux exceptionnels de q et π, respectivement. Supposons que X satisfasse au
moins une des assertions (a),(b),(c). Nous rappelons que la condition log canonique est ´equivalente `a ce que tous les
coefficients de KX′/X sont ≥ −1. Si X v´erifie (a), alors ωX ≤ 0 et donc X a des singularit´es log canoniques. Donc on
peut supposer que C =C est compl`ete. Dans ce cas, pour toute suite v =(v ) ou` v est un sommet de D on pose
X y y∈C y y
1
δ(v):=degK + 1− .
C
κ(v )
z∈C(cid:18) z (cid:19)
X
Pour tout 1≤i≤r, l’in´egalit´e −1−ω (y ,p )≥−1 est´equivalente `a δ(vi)≤0, ou` vi =(vi) est une suite telle que
X i i y y∈C
vi est un sommet de D pour tout y ∈C et telle qu’il existe λ∈Q tel que λ·p = vi. Cette derni`erecondition
y y >0 i y∈C y
est consequence de la validit´e de l’assertion (b) ou (c).
P
R´eciproquement, supposons que X a des singularit´es log canoniques et que C = C est une courbe compl`ete lisse.
X
Soitv =(v ) unesuitearbitrairetellequepourtouty ∈C,levecteurv estunsommetdeD .Notonsv = v .
y y∈C y y y∈C y
Alors en reprenant les notations ci-dessus les in´egalit´es δ(vi) ≤ 0 pour 1 ≤ i ≤ r impliquent degK ≤ 0, c’est `a dire
C P
degK = −2 ou degK = 0. Elles impliquent en outre que (ω ) ≤ 0. Puisque C est compl`ete, on a (K ) =
C C X |σ X X |X0
div(fχe) (cf. [LT16, Section 2.3]) pour le diviseur canonique K d´efini dans [LT16, Theorem 2.18], ou` fχe est une
X
fonction rationnelle B-propre de k(X) avec f ∈ k(C)⋆ et e ∈ M. En adaptant l’argument de la preuve de [LPR16,
Lemma 5.23], on d´eduit la formule
1
0≥ω (z,v)= κ(v )(he,v i+ord (f))=δ(v)
X y y y
κ(v )
y
y∈C
X
ou` z ∈C. Consid´erons le cas degK =0. Alors C est une courbe elliptique et l’in´egalit´e δ(v)≤0 donne v ∈N pour
C X y
touty ∈C.Commelasuite(v ) estchoisiedefac¸onarbitraire,onobtientl’assertion(c).SimaintenantdegK =−2,
y y∈C C
alors C s’identifie `a la droite projective et `a nouveau en maximisant δ(v)≤0 sur toute suite v, on a (b).
X
Nous passons au crit`ere pour les singularit´es canoniques (resp. terminales). Supposons que X a des singularit´es
canoniques(resp.terminales).Soitξ ∈C (D)unvecteurprimitifentierou`y ∈C .Alorsonpeutconstruirel’application
y X
q′ de sorte qu’il existe 1 ≤ ℓ ≤ t tel que ξ = (yℓ′′,p′ℓ′). En particulier, le fait que la discr´epance au diviseur D(yℓ′′,p′ℓ′) est
≥0 (resp. >0) implique la condition (d). La r´eciproque est ais´ee `a d´emontrer et laiss´ee au lecteur.
Dans l’exemple suivant, nous regardons le cas particulier des surfaces affines normales avec une op´erationalg´ebrique
fid`ele du groupe multiplicatif (voir [LS13, Theorem 5.7] pour le cas des singularit´es canoniques1). Plus g´en´eralement,
nousrenvoyons`a[Sem80],[Ish14,Section7]pourplusded´etailssurlessingularit´esdesurfaces.Notonsquetoutesurface
normale est Q-Gorenstein et celles ayant des singularit´es terminales sont lisses.
Exemple 0.2. k⋆-surfaces. Supposons que X est une surface affine normale et que le groupe op´erant G est le groupe
G (k) = (k⋆,×). Alors on a X = X , M = Z et F = ∅. Si σ 6= 0, alors on peut supposer que σ = Q et donc D
m 0 X ≥0
est uniquement d´etermin´e par le diviseur D :=D(1). Dans ce cas, on dit que la k⋆-surface X est de type parabolique si
1. Lelecteur noteraquelas´erieE dansloc. cit.devraitˆetreEi: 12 ·[0]+ 31 ·[1]− ii−−43 ·[∞]pouri=6,7,8.
4
C est affine et de type elliptique si C est compl`ete. Le cas restant est lorsque σ = {0}, C est affine, et D est alors
X X X
uniquement d´etermin´e par le couple (D ,D ), ou` D = D(−1) et D = D(1); la surface correspondante est dite de
− + − +
type hyperbolique. Voir [FZ03] pour une description g´eom´etrique de cette trichotomie. Si X est elliptique, alors d’apr`es
le th´eor`eme 0.1, X est log canonique si et seulement si l’un des deux cas suivant est vrai :
(1) (X est rationnelle) La courbe C s’identifie `a la droite projective P1 et apr`es r´eductions par des isomorphismes
X k
k⋆-equivariants (i.e., en changeantD par D+E ou` E est un diviseur entier de degr´e0 sur C ), on peut´ecrire le
X
diviseur D comme la somme
e e e e
1 2 3 4
D = ·[0]+ ·[1]+ ·[2]+ ·[∞],
m m m m
1 2 3 4
ou` pourtout1≤i≤4,lesentierse ,m sontpremiersentreeuxetlequadruplet(m ,m ,m ,m )estdelaforme
i i 1 2 3 4
(2,2,r,1) (pour r ∈ Z ), (1,p,q,1) (pour des entiers p ≥ q ≥ 1), (2,3,3,1), (2,3,4,1), (2,3,5,1), (2,3,6,1),
>1
(2,4,4,1), (3,3,3,1), et (2,2,2,2).
(2) (X n’est pas rationnelle) Alors C est une courbe elliptique et D est un diviseur entier de degr´e > 0. En
X
particulier, tout coˆne affine normale au dessus d’une courbe elliptique a des singularit´es log canoniques; ces
derniers correspondantau cas ou` D est tr`es ample, c’est `a dire satisfaisant la condition degD ≥3.
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