Simulation ARMA de processus stochastiques à partir de leur densité spectrale de puissance

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by  Emmanuel Friot

Simulation ARMA de processus stochastiques à partir
de leur densité spectrale de puissance
Emmanuel Friot
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Emmanuel Friot. Simulation ARMA de processus stochastiques à partir de leur densité spectrale de
puissance. [Rapportderecherche]PublicationsduLMAnuméro122, LMA.1991, 59p. ￿hal-01365734￿
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Figured e couverture :
DensitéS pectraldee Puissancee stiméed e l'accélérativoenr ticaldea ns
une automobile,à partird 'une simulationn umérique où la routee st
modéliséep ar un processusA RMA(5,5)
PUBLICATIONS DU L.M.A.
n° 122 (avril 1991)
NOTES
SCIENTIFIQUES
SIMULATION ARMA
DE PROCESSUS
STOCHASTIQUES
A PARTIR DE LEUR
DENSITE SPECTRALE DE PUISSANCE
Emmanuel FRIOT
CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE1
SIMULATION ARMA DE PROCESSUS STOCHASTIQUES
A PARTIR DE LEUR DENSITE SPECTRALE DE PUISSANCE
Résumé
Les méthodes constructivedse résolutiodne s problèmes aléatoires
font largement appel à la simulation des trajectoiredse processus
stochastiquesC.e rapportp résentep lusieursm éthodes pour l'identification
des paramètresd 'un modèle ARMA discretq ui représentea u mieux un
processusm onodimensionnel physique donné, définip ar sa seuled ensité
spectraled e puissance.S i le processusc iblem odélise,p ar exemple, un
"profilt ype" de route,l e modèle ARMA obtenu permettrad e simuler à
volontél ess ollicitativoenrst icalaepsp liquéeàs un véhiculee n mouvement.
L'identificatdiuo nm odèle ARMA cherchée stl iéeà lam inimisation
de critèreqsu adratiquesn on linéaireest non convexes. On construite n
conséquence le modèle par des chemins détournés,e n procédant à la
factorisatiosnp ectraldeu processusi nitiaOln. considèren otamment à cet
effetu ne techniqueo riginalbea sée surl ad écompositione n séried e Laurent
de la densités pectraleo,ù le recoursà la FFT (FastF ourierT ransform)
permet une résolutiopna rticulièremernatp idee tp réciseP.l usieurmsé thodes
sont ensuitep résentéesp our l'obtentiodnu modèle ARMA ; l'utilisation
systématiqudee laF FT permet là-encoruen traitemenitn formatiqusei mplee t
efficaced es équations.O n présenteral esr ésultatosb tenus pour différents
spectresd e départe t pour finiro n s'intéressearuax conditionsp ratiques
d'utilisatdiuo nm odèle en évoquante n particulileers d ifficultqéusi surgissent
lorsquel 'ons ouhaites imuler des trajectoireasv ec un pas de temps très
inférieuaru x temps caractéristiqdueess f luctuatiodnus processus.
SOMMAIRE
Introduction p. 7
1.P rocessusA R et ARMA p. 9
1.1P rocessuss tochastiquesst ationnaires p. 9
1.2P rocessusA R p. 9
1.3P rocessusA RMA p. 11
2.F ormulationt héoriqudee s problèmesà résoudre p. 13
2.1E chantillonnagec r-i tèrien itial p. 13
2.2F actorisatisopne ctrale p. 15
2.3 Critèrfei nal d-é marche d'ensemble p. 19
3.C onstructionnu mériqued e laf actorisatisopne ctrale p. 21
3.1M inimisationd e lap artd 'énergideu e au bruit p. 22
3.2C alculd irecdte s coefficiendtes laf actorisation p. 26
3.3R ésultatcso mparés des deux méthodes p. 27
4. Constructionnu mériqued u modèle ARMA p. 29
4.1 Méthode ACM - itérations p. 29
4.2 Méthode POM p. 33
4.3A lgorithmed e Marquardt p. 35
4.4 Choix de l'ordre p. 36
5.E xemples de données etd e résultats p. 39
5.1P rocessusd e référencuet ilisés p. 39
5.2Q uelques courbesd e résultats p. 40
6.Simulatioàn des pas de temps trèsp etits p. 45
6.1L imitesd es méthodes précédentes p. 46
6.2P assagea u continu p. 47
Conclusion p. 53
Bibliographie p. 55
Annexes p. 57
A. Arbre des méthodes utilisées p. 57
B. Caractéristiquneusm ériquesd es méthodes utilisées p. 59
INTRODUCTION
De nombreux systèmes mécaniques connaissentd es vibrations
entretenuesp ar des sourcesd 'excitationqsu e l'onp eut considérerc omme
aléatoires o;n peut citerp our fixerl es idées l'exempled 'un véhiculee n
mouvement sollicitpéa r lesd éformationsd e la chaussée.L a mise au point
d'algorithmepso ur lec ontrôlaec tiofu semi-actidfe tellevsi brationasl éatoires
(pare xemple lep ilotagee n temps réeld 'unf luxd 'huildea ns un amortisseur
du véhicule)f aitl argementa ppelà des techniquesd e simulationnu mérique :
on conçoita isémentq u'ile stp lusf aciled 'étudielre sv ibrationds' un modèle
numérique que cellesd 'un système réel,q ue ce soitu n camion, un avion
soumis à la turbulencea tmosphérique ou la croûte terrestrleo rs d'un
tremblementd e terreI.l f autp ouvoira lorsm odéliserc onvenablementl 'entrée
aléatoirde' uns ystèmet elq ue celuir eprésentséu rl es chéma :
Un moyen simpled e modéliseru ne excitatioanl éatoirceo nsistàe en
calculegrl obalementu ne trajectoicr'ee,s àt direu ne suited e valeursc onforme
dans son ensemble aux propriétésst atistiqudeus phénomène à représenter.
Plusieurtse chniquese fficacepse rmettentu ne constructiodne ces trajectoires
préalablàe leuru tilisatioonn t;r ouverau ne synthèsed es différentmeést hodes
utiliséedsa ns [1],l esa rticle[s7 ],[ 8],[ 9]e t [10]e xposentl am éthode dited e
"simulatiopna r FFT"e mployée couramment.M alheureusementc ettem éthode
ne permet de représenteqru e des excitationdse durée donnée,e t on ne peut
interrompre puis relancerl 'excitatiosna ns en modifier les propriétés
statistiquqeusi ,p ar constructionn,e sontc ontrôléeqsu e sil 'onc onsidèrel a
trajectoidraen s son ensemble.U n autrep ointd e vue consistàe détermineru n
8
modèle (par exemple un processusA RMA) dont les trajectoiresso ient
calculablepso intp arp ointe n temps réelc,e quie n permet une utilisatiboine n
plus souple.L e présentr apporté tudiee t compare plusieurtse chniquesp our
calculenru mériquement lesp aramètresd 'unp rocessusA RMA qui modélise
convenablementu n phénomène physiquea léatoirmeo nodimensionneld écrit
par sa densités pectraldee puissanceC.e tteé tudeé taiitn itialemendte stinéeà
la constructiodne modèles simplesp our lec alculr écurrendte l'accélération
verticalper ovoquéep ar lar outed ans une cabined e camion.
Le paragraphe1 constituuen e introductioénl émentairàe lat héorie
des processusA R etA RMA ; l'essentideul v ocabulaireet d es notionsu tilisés
par la suitey estr egroupé.L e paragraphe2 esquissel esg randesl ignesd es
différentéetsa pesd e calcule,t m ontre pourquoie tc omment l'ond oitp rocéder
à la factorisatiosnp ectraled u processusX . C'estu ne introductiona ux
paragraphes3 à 6 qui traitendte s aspectsi nformatiquesp ratiquesd e la
modélisatioAnR MA. On s'intéresesne premierl ieua u paragraphe3 à deux
méthodes de factorisatisopne ctralde' unp rocessuss tochastiquel,' uned 'elle
n'ayantj amaisé tém ise en 9uvre auparavantA.u paragraphe4 on construilte
modèle ARMA à partird e cettef actorisatioLne. p aragraphe5 présentel es
spectresu tilisésp our testere t appliquerl es différentesm éthodes de
constructiodne l'ARMA ; on y compare lesd ensitéss pectraledso nnées et
cellesd es modèles ARMA obtenus.E nfinp aragraphe6 évoque lesd ifficultés
pratiquesl iéesà des conditionsd 'utilisati"oenx trêmes"d es modèles ;o n y
voit apparaîtrlee s limitesd es méthodes précédentese,t la nécessitéd ans
certaincsa s de chercherd e nouvelless olutions.
Signalonsp our terminerq ue cetteé tude constituailte sujetd 'un
staged e find 'étudeà l'EcoleC entraleP aris e;l len e pouvaite n conséquence
durer plus de troism ois .C 'estl a raisonp our laquellec ertaineqsu estions
soulevéest outa u long de ce rapportr estensta nsr éponse.
1. PROCESSUS AR ET ARMA
On pourrat rouveru ne présentatiopnl usc omplètee tp lusf ormelled es
processusA R etA RMA par exemple dans [2] o;n se limitercai -dessouasu x
caractèredse s processusA R etA RMA directemenutt ilispéasr las uite.
1.1P rocessuss tochastiquesst ationnaires
On rappellaev antt outq u'unp rocessuss tochastiquees tu ne familled e
variablesa léatoireisn dexées sur un ensemble quelconque.P our nous un
processuss erau ne grandeurp hysiquep renantd es valeursa léatoireàs tout
instant( nous dironsp rocessusà temps continu)o ù à intervalledse temps
régulier(sp rocessusà temps discret)L.e processuss erad its tationnair(ee n
moyenne d'ordre2 ) sie spérancev,a riancee tc ovariances e conserventd ans le
temps (lesv ariablesa léatoireiss suesd e la physique que nous considérons
admettronst oujourmso yenne etv ariance)A.i nsip eut-onp ar exemple décrire
lesi rrégularitdées l a chausséev ues par un véhiculee n mouvement à l'aide
d'un processuss tochastiquset ationnaireo n: escompte autantd e "bosses"
que de "trous",p our une portion de route donnée les caractéristiques
statistiqudeess déformationss erontc onstantesE.n fin nous associeronsa u
processusX une densités pectraldee puissanceS X(f) dont l'existencsee ra
supposée acquise.S i R(i) est la fonctiond 'autocorrélatidoun processus
stationnair(ee spéranced u produitX (t)X(t+T)) ,S x est la transforméed e
Fourierd e R qui heuristiquemencta ractérislee s "répétitionpsé riodiques
moyennes" de X, dans led omaine fréquentiel.
1.2P rocessusA R
Un processus X à temps discrete st un processus AR d'ordre p
("AutoregressivPer"o cess)s 'ivlé rifilea r elatiodne récurrence :
Xt + alXt-1 + ...+ apXt-p = boet 1 (1.1)
10
où E est un bruitb lanc discretd e variance 1 (lese t sont des variables
aléatoirepsa,r exemple gaussiennecse ntréesd e variance1 ,i ndépendantesE ;
admet une densités pectraleu niformément égale à 1 sur [-1/2,1/2]) .
Heuristiquementl 'équatio(n1 .1)s ignifiqeu e lav aleurp risep ar X à lad atet
estu ne "conséquence"d es p valeursp récédentesp,e rturbéesp ar un "bruit"
dont on connaîtl esp ropriétésst atistiqueLs'.i ntervaldlee temps entred eux
valeurss uccessivepsr isesp ar X esté gala 1.
Pour définicro mplètementl ep rocessusX , ile stn écessairde' adjoindre
des "conditionisn itialeàs "l ar elatio(n1 .1)X. n'estd onc à priorip as du tout
stationnairpeu,i sque l'onp rivilégiuen instanti nitiaEln. faito n démontre
(cf.[2]q)u e X est" asym tp otiquemesntta tionnaierne moyenne d'ordre2 " si
lesr acinesd e l'équation :
xP + aIxP-1+ ...+a p = 0 (1.2)
sont toutesd e module strictemenitn férieurà 1. Cette affirmationa une
significatimoant hématiquet rèsp récise n;o us considéreronssi mplementd ans
ce cas que lest rajectoirde'su np rocessusA R sont,e xceptép our lesp remiers
instantsc,e llesd 'unp rocessuss tationnairNeo.u s parleronsn otamment de la
densité spectraled 'un processus AR au même titreq ue de celled 'un
processuss tationnair(es ous-entendue n: moyenne d'ordre2 ).L e processus
AR prend des valeursà des datess éparéesp ar des intervalledse temps de
durée 1,s on spectree stc ontinue tp ériodiqudee période1 .
Les processus AR sont d'un grand intérêtp our le traitement
numérique :t outo rdinateuàr vocations cientifiqudei sposed 'un générateur
de nombres aléatoiràe ss upportc ompact etd e densitéd e probabilitcéo nstante
sur ce compact, à partird esquelsi le stf aciled e construirlea partie" bruit
blanc"d e l'équatio(n1 .1)E.t antd onnée une valeuri nitialdee X, on pourra
par conséquents imulere n temps réelu ne trajectoidrue processusA R, en
construisanlte sX i par récurrence.
Enfin lar elatio(n1 .1)s uggère,c omme en automatique,d 'envisageXr
(en tantq ue processuss tationnairceo)m me ler ésultadtu passaged e E par un
filtrlei néairdee convolutiodno nt laf onctiodne transfeerstt :
1 H(z) = (1.3)
1 + alz b+ .0. .+a p 1
La densités pectraldee puissanced e X sur [-1/2,1/2e]s ta lorsd onnée par la
relation :