Simulaciones numéricas de agujeros negros y estrellas de neutrones.

31 Pages·2017·3.81 MB·Spanish

Facultad de Ciencias
Memoria del Trebajo de Final de Grado
Simulaciones numéricas de agujeros negros y
estrellas de neutrones.
Alejandro Ballester Fernández
Grado de Física
Año académico 2017-18
Trabajo tutelado por Carlos Palenzuela Luque
Departamento de Física
Se autoriza a la Universidad a incluir este trabajo en el Repositorio Institucional Autor Tutor
para su consulta en acceso abierto y difusión en línia, con finalidades Sí No Sí No
exclusivamente académicas y de investigación X X
Palabras clave del trebajo:
Relatividad, agujeros negros, simulación númerica, Miguel Alcubierre.

Resumen
Este trabajo se plantea como objetivo (cid:28)nal el estudiar diversas propiedades de un agujero negro,
para ello aplicaremos distintas tØcnicas de simulaci(cid:243)n numØrica en la resoluci(cid:243)n de las ecuaciones
de Einstein para la relatividad general. De(cid:28)niremos las ecuaciones covariantes de Einstein como
un sistema parcial de ecuaciones diferenciales dependientes del tiempo, PDEs, y (cid:28)jaremos los
valores iniciales apropiados para las variables de dichas ecuaciones.
Realizaremoscuatrosimulacionesdistintas,partiremosdeuncasosencilloconunaœnicaecuaci(cid:243)n
hiperb(cid:243)lica en 1D, para posteriormente pasar a un sistema mÆs complejo con tres ecuaciones, el
problema conocido como condiciones de frontera radiativas.
En la segunda parte de nuestro anÆlisis pasaremos a trabajar con sistemas hiperb(cid:243)licos, y de(cid:28)ni-
remos mØtodos que no s(cid:243)lo son aplicable a nuestro caso sino que dichas tØcnicas de anÆlisis son
extensibles a otros Æmbitos acadØmicos. Tras de(cid:28)nir las ecuaciones covariantes que previamente
habremos deducido, comenzaremos estudiando un caso sencillo con simetr(cid:237)a esfØrica en el que
inducimos un pulso gaussiano en nuestra "lapse function", y observaremos la dinÆmica de nues-
tro sistema. Finalmente analizaremos un agujero negro de Schwarzschild, caso que inicialmente
parece sencillo y estÆtico pero que (cid:28)nalmente nos mostrarÆ que distaba mucho de ser inerte.
Se harÆ especial menci(cid:243)n a sistemas de evoluci(cid:243)n temporal como la ecuaci(cid:243)n de evoluci(cid:243)n de
Arnowitt(cid:21)Deser(cid:21)Misner ADM[1], y el mØtodo basado en lineas MOL. Se emplearÆ un operador
SBP "Summation By Parts"para la resoluci(cid:243)n de las ecuaciones diferenciales en las fases espa-
ciales y un Runge-Kutta[2] para las fases temporales. Para el anÆlisis de hiperbolicidad, de la
"lapse function", elegiremos la condici(cid:243)n de corte de Bona-Masso[3].
A lo largo del trabajo se emplearÆn muchas de las tØcnicas citadas por el Dr. Miguel Alcubierre
en su libro "Introduction to 3+1 Numerical Relativity"[4], por lo que las referencias a su trabajo
serÆn una constante en este documento, y haremos una menci(cid:243)n especial a su trabajo en este
punto, tratando de evitar citarlo en cada apartado de este documento. TambiØn haremos refe-
rencia a otras fuentes pero destacaremos en especial al libro "Elements of Numerical Relativity
and Relativistic Hydrodynamics"[5], escrito por los Dr. Carles Bona padre e hijo y el Dr. Carlos
Palenzuela.
i

˝ndice
1 Conceptos bÆsicos. 1
1.1 Geometr(cid:237)a diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Variedad y tensor mØtrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Derivada de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 S(cid:237)mbolos de Christo(cid:27)el. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Derivada parcial y derivada covariante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Tensor de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.6 Tensor Energ(cid:237)a-Momento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 El formalismo 3+1. 5
2.1 Divisi(cid:243)n del espacio-tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Curvatura extr(cid:237)nseca, K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
αβ
2.3 Las restricciones de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 La ecuaci(cid:243)n de evoluci(cid:243)n de Arnowitt(cid:21)Deser(cid:21)Misner, ADM. . . . . . . . . . . . . 8
3 Foliaci(cid:243)n. 8
3.1 Foliaci(cid:243)n geodØsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 MÆxima foliaci(cid:243)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Condiciones hiperb(cid:243)licas de foliaci(cid:243)n. Bona(cid:21)Masso. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 MØtodos numØricos. 10
4.1 MØtodos de lineas, MOL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Diferenciaci(cid:243)n espacial, Runge-Kutta 4 RK4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 SBP de cuarto orden con dos l(cid:237)mites, D42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Filtro para altas frecuencias, Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
d
4.5 Condiciones de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Ecuaci(cid:243)n hiperb(cid:243)lica en 1D. 12
6 Condiciones de frontera radiativas. 13
6.1 Divisiones 1/r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2 Paridad de la funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Simulaci(cid:243)n numØrica del espacio-tiempo. 16
7.1 Espacio esfØrico simØtrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.2 Agujero negro de Schwarzschild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.3 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Referencias 24
iii

1. Conceptos bÆsicos.
Como el Dr. Alcubierre cita en su libro[4]: la relatividad general es una gran teor(cid:237)a que permite
entender de una forma diferente conceptos tan fundamentales como la gravedad, el espacio y el
tiempo. La relatividad tambiØn posee un enorme poder predictivo y entre sus resultados mÆs
importantes dentro de sus predicciones encontramos objetos ex(cid:243)ticos como lo son las estrellas de
neutronesylosagujerosnegros,elmodelocosmol(cid:243)gicodelBigBang,einclusodelaexistenciade
ondas gravitacionales, las cuales han sido recientemente detectadas por los detectores de ondas
gravitacionales LIGO y VIRGO[6].
Las ecuaciones de Einstein relacionan la mØtrica de una variedad diferencial, que representa el
espaciotiempo,conlamateriacontenidaenel.Sepuedenescribirdeformacovariantecomounas
ecuaciones en 4D, pero que aunque son muy elegantes no son intuitivas ni fÆciles de resolver. Es
mucho mejor de(cid:28)nirlas como un problema de Cauchy, donde dados unos datos iniciales, las ecua-
ciones de evoluci(cid:243)n te dan las soluciones en todo tiempo futuro. Para escribirlas de esa manera
hay que separar la coordenada temporal de las espaciales en lo que se denomina descomposici(cid:243)n
3+1. Para trabajar en 4D de(cid:28)niremos el formalismo 3+1, y describiremos conceptos bÆsicos de
geometr(cid:237)a diferencial.
La relatividad general, a pesar de su simplicidad conceptual y elegancia cuando se escribe en for-
ma tensorial covariante, resulta ser en la prÆctica una teor(cid:237)a altamente compleja. Las ecuaciones
de campo de Einstein son un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales, no lineales y aco-
pladas en cuatro dimensiones. Debido a esta complejidad, solo tienen en casos con alta simetr(cid:237)a,
ya sea en el espacio o en el tiempo, se consiguen soluciones exactas. La necesidad de estudiar
sistemas mÆs complejos, sin soluciones anal(cid:237)ticas conocidas, ha generado el campo de estudio de
larelatividadnumØrica,queintentaresolverlasecuacionesdecampodeEinsteinusandotØcnicas
numØricas y c(cid:243)digos computacionales complejos.
1.1. Geometr(cid:237)a diferencial.
1.1.1. Variedad y tensor mØtrico.
La geometr(cid:237)a diferencial comienza desde la noci(cid:243)n de una variedad diferenciable (manifold), que
es la forma matemÆtica formal de de(cid:28)nir lo que intuitivamente es un continuo y espacio liso de n
dimensiones.Elespacioeuclidianotridimensional,porejemplo,sede(cid:28)necomounespaciode(cid:28)nido
sobre IR3 y que emplea una mØtrica plana, en este caso la correspondiente a la geometr(cid:237)a plana
euclidiana o identidad ψ (1,1,1), que se emplea para el mapeo. Por lo tanto podemos escribir:
M = {IR3,ψ} (1.1.1.1)
Eucli
En matemÆticas, el tØrmino mapeo, a veces abreviado como mapa, se re(cid:28)ere a una funci(cid:243)n, a
menudo con algœn tipo de estructura especial, que realiza una transformaci(cid:243)n lineal en Ælgebra
lineal, bÆsicamente un cambio de variables del espacio origen, en nuestro caso el eucl(cid:237)deo a otro,
que en el caso del ejemplo anterior tambiØn era el euclidiano por ello el mapeo era la propia
identidad. En el caso del formalismo 3+1, queremos trabajar sobre IR4 y de(cid:28)nir una mapeo
arbitrario que denominaremos g o tambiØn llamado tensor mØtrico.
µν
M = {IR4,g } (1.1.1.2)
µν
La gran contribuci(cid:243)n de Minkowski a la teor(cid:237)a de la relatividad fue la constataci(cid:243)n de que existe
una medida de distancia invariante entre dos eventos en espacio-tiempo cuatridimensional. De
manera mÆs general, en una variedad dada M la noci(cid:243)n de distancia viene dada por la existencia
de un tensor simØtrico, no degenerado, g que de(cid:28)ne el punto o producto escalar entre dos
µν
vectores. En un espacio plano por ejemplo el tensor mØtrico es:
(cid:126)u·(cid:126)v = g uµvν (1.1.1.3)
µν
1
En particular, podemos calcular la magnitud del vector de desplazamiento dx entre dos puntos
in(cid:28)nitesimalmente cercanos en la variedad, lo cual nos permite de(cid:28)nir una noci(cid:243)n de distancia
entre estos dos puntos, como:
dl2 = −dt2+dx2+dy2+dz2 = g dxµdxν (1.1.1.4)
µν
El valor de dl2, el intervalo in(cid:28)nitesimal, nos permite pensar en la longitud de las curvas en el
espacio-tiempo. Si el valor es positivo estaremos hablando de curvas espaciales, si es negativo
serÆn curvas temporales y si es 0 serÆn curvas nulas.
No todas las variedades tienen de(cid:28)nido un tensor mØtrico. En el caso de la relatividad especial,
de hecho, tenemos esa noci(cid:243)n de distancia, con el tensor mØtrico g dado por el intervalo de
Minkowski: g = η . Esto tambiØn signi(cid:28)ca que en la relatividad especial no s(cid:243)lo podemos
µν µν
calcular distancias, sino que de hecho tambiØn podemos construir el producto escalar de dos
vectores arbitrarios.
La mØtrica de la relatividad especial no es de(cid:28)nida como positiva. En general, esta propiedad
de una mØtrica viene dada por los signos de los valores propios de su matriz de componentes.
Uno llama una mØtrica de(cid:28)nida positiva, es decir, una con todos los valores propios de(cid:28)nidos
como positivos, euclidianos, mientras que una mØtrica como la de relatividad especial tiene los
siguientes valores propios (-1,1,1,1) y son conocidos como matriz Lorentziana.
1.1.2. Derivada de Lie.
La derivada de Lie es el equivalente a la derivada direccional empleada en la mØtrica Eucl(cid:237)dea.
Para encontrar las componentes de la derivada direccional, se de(cid:28)ne un campo vectorial (cid:126)u, y se
deriva en la direcci(cid:243)n del vector (cid:126)v obtenemos que la derivada direccional se de(cid:28)ne como:
D (cid:126)u = vβ∂ uα (1.1.2.1)
(cid:126)v β
Ahora para el caso de IR4 aparte de este termino de(cid:28)nido anteriormente, tenemos un segundo
termino que puede interpretarse en como var(cid:237)a el espacio en s(cid:237) mismo y esta derivada direccional
se de(cid:28)ne de la siguiente forma:
£ uα = vβ∂ uα−uβ∂ vα (1.1.2.2)
(cid:126)v β β
Vemosquepodemosescribirlocomounconmutador[(cid:126)v,(cid:126)u]µ,yrepresentaladerivadade(cid:126)urespecto
a (cid:126)v. El caso anterior era para derivar un vector, para derivar una uno-forma o un tensor, las
expresiones son muy parecidas:
£ w = vβ∂ w +w ∂ vβ (1.1.2.3)
(cid:126)v α β α β α
£ Tα = vµ∂ Tα −Tµ∂ vα+Tα∂ vµ (1.1.2.4)
(cid:126)v β µ β β µ µ β
UnapropiedadparticularmenteimportantedeladerivadadeLieestÆrelacionadaconlasimetr(cid:237)as
de una variedad la cual tiene un tensor mØtrico de(cid:28)nido en ella. Decimos que una variedad tiene
una simetr(cid:237)a espec(cid:237)(cid:28)ca si la derivada de Lie de g es nula, es decir, si tenemos:
£ g = vµ∂ g +g ∂ vµ+g ∂ vµ = 0 (1.1.2.5)
(cid:126)v µ αβ αµ β µβ α
2
1.1.3. S(cid:237)mbolos de Christo(cid:27)el.
Para poder de(cid:28)nir correctamente la derivada covariante necesitamos previamente de(cid:28)nir los
s(cid:237)mbolos de Christo(cid:27)el. Los de(cid:28)niremos en tØrminos de los componentes del tensor mØtrico,
de la siguiente forma:
gαµ (cid:20)∂g ∂g ∂g (cid:21)
Γα = βµ + γµ − βγ (1.1.3.1)
βγ 2 ∂xγ ∂xβ ∂xµ
En el caso particular del espacio Eucl(cid:237)deo los Christo(cid:27)el son nulos.
1.1.4. Derivada parcial y derivada covariante.
Para la derivada parcial usaremos el s(cid:237)mbolo ∂, donde α representa la coordenada que puede ser
{0,1,2,3} en referencia a {t,x,y,z} y lo de(cid:28)nimos como:
∂vβ
∂ vβ = (1.1.4.1)
α ∂xα
Para la derivada covariante usaremos el s(cid:237)mbolo ∇, y representarÆ como cambia un vector en
referencia a una coordenada, α. Y se de(cid:28)ne como:
∇ vβ = ∂ vβ +vµΓβ (1.1.4.2)
α α αµ
Este segundo tØrmino viene dado por como cambia la propia coordenada, ya que (cid:126)v se puede
escribir como vβ(cid:126)e , y al realizar la derivada por la regla de la cadena no s(cid:243)lo hay que derivar vβ,
β
sino que tambiØn hay que derivar el vector (cid:126)e .
β
Para uno-formas y tensores el proceso es muy parecido y las expresiones que obtenemos son:
∇ w = ∂ w −w Γµ (1.1.4.3)
α β α β µ αβ
∇ Tµ = ∂ Tµ +TβΓµ −TµΓβ (1.1.4.4)
α ν α ν ν αβ β αν
Con la derivada covariante ahora podemos de(cid:28)nir una de las mas importantes propiedades en
relatividad, el transporte paralelo de un vector (cid:126)v a lo largo de una curva tangente al vector (cid:126)u,
de tal forma que se cumpla:
uβ∇ vα = 0 (1.1.4.5)
β
Otra propiedad tambiØn muy importante son las llamadas curvas geodØsicas, estas se de(cid:28)nen
como una curva que transporta en paralelo su propio vector tangente, es decir, una curva cuyo
vector tangente satisface:
vβ∇ vα = 0 (1.1.4.6)
β
Una geodØsica es simplemente una curva que permanece localmente lo mÆs recta posible. De la
de(cid:28)nici(cid:243)n anterior, podemos reescribir la ecuaci(cid:243)n para una geodØsica como:
d2xα dxβ dxγ
+Γα = 0 (1.1.4.7)
dλ2 βγ dλ dλ
Y vemos como en el espacio Eucl(cid:237)deo los Christo(cid:27)el son nulos y la ecuaci(cid:243)n se reduce a vα
constante.
3
1.1.5. Tensor de Einstein.
El tensor de Einstein se de(cid:28)ne como:
1
G = R − g R = 8πT (1.1.5.1)
µν µν µν µν
2
Donde R es el tensor de Ricci, donde R = Rλ , y el calculo de los coe(cid:28)cientes del tensor
µν µν µλν
es:
Rα = ∂ Γα −∂ Γα +Γα Γρ −Γα Γρ (1.1.5.2)
µβν β µν ν µβ ρβ µν ρµ µβ
Rα , es el tensor de Riemann, g es el tensor mØtrico, R es el escalar de curvatura, que se
µβν µν
de(cid:28)ne como, R = Rµ .
µ
Gracias a las identidades de Bianchi el tensor de Einstein se reduce a un total de 10 inc(cid:243)gnitas
y dichas identidades se de(cid:28)nen como:
∇ Gµν = 0 (1.1.5.3)
ν
Las soluciones obtenidas por el tensor de Einsten son soluciones puramente matemÆticas como
resultado del tensor mØtrico g , que deciden la curvatura del espacio, para incorporar la par-
µν
te f(cid:237)sica al problema debemos aæadir el Tensor Energ(cid:237)a-Momento, T , que mostrarÆ como se
µν
comporta la materia en el espacio.
1.1.6. Tensor Energ(cid:237)a-Momento.
El tensor Energ(cid:237)a-Momento se construye del siguiente modo:
T00: Densidad de energ(cid:237)a.
T0i: Densidad del momento, donde i son las coordenadas espaciales {1,2,3} en referencia
a {x,y,z}
Tij: Flujo del momento i en direcci(cid:243)n j.
Este Tensor debe cumplir con 4 conservaciones, la de la energ(cid:237)a, la del momento, el de la masa
y la de la carga. Que pueden escribirse como:
∇ Tµν = 0 (1.1.6.1)
ν
Deestaformaveremoscomosecurvaelespacioporelefectodelamateriaydecomosecomporta
la materia por la propia curvatura del espacio.
4