Signale und Systeme: Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB®-Übungen und Lösungen

396 Pages·2008·4.299 MB·German

by  Martin Werner (auth.)

Martin Werner
Signale und Systeme
Martin Werner
Signale und Systeme
Lehr- und Arbeitsbuch mit MATLAB®-Übungen
und Lösungen
3., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 256 Abbildungen, 48 Tabellen und zahlreichen
Beispielen, sowie integriertem Online-Übungsteil
mit 118 gelösten Aufgaben und MATLAB®-Übungen
STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
1. Auflage 2000
2.,vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage 2005
3.,vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008
Lektorat: Reinhard Dapper
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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0233-0
V
Vorwort
„Signale und Systeme“ ist als Lehr- und Arbeitsbuch für Studierende der Informationstechnik,
Nachrichtentechnik, der Informatik und verwandter Fächer gedacht. Da es den Lehrstoff an-
hand praxisnaher Aufgaben mit ausführlichen Lösungswegen entwickelt, ist es auch für Inge-
nieure und Informatiker in der beruflichen Praxis zum Selbststudium geeignet. Die Grundlagen
werden in kompakter Form vorgestellt. Durch die Gegenüberstellung von zeitkontinuierlichen
und zeitdiskreten Signalen und Systemen wird das gemeinsame Konzept deutlich hervorge-
hoben und eine Synergie des Lernens möglich. Wegen der Zusammenstellungen der wichtigs-
ten Formeln in Tabellen und der vielen gelösten Aufgaben eignet es sich auch als Nachschlage-
werk.
Die rasante Entwicklung der Informationstechnik hat in den Anwendungen der Signal- und
Systemtheorie zu einer Verschiebung des Schwerpunkts geführt: von der klassischen Theorie
der Filter, Netzwerke und Leitungen hin zu komplexen Algorithmen der digitalen Signal-
verarbeitung. Das vorliegende Buch trägt dieser Entwicklung Rechnung, indem es die klas-
sischen Methoden straff behandelt und der digitalen Signalverarbeitung sowie den stochasti-
schen Signalen in der Informationstechnik breiteren Raum gibt.
Zur 3. Auflage
Die Neuauflage des Buches bot Gelegenheit, das Konzept konsequent auf die seit einigen Jahren
beobachteten Veränderungen anzupassen. Viele Studierende sind heute mit dem Programmieren
und Anwenden von Computern mehr vertraut als mit den physikalischen Grundlagen der
Informationstechnik. In der 3. Auflage werden deshalb die Themen zunächst an zeitdiskreten
Beispielen eingeführt und dann auf den zeitkontinuierlichen Fall übertragen: Die Differenzen-
gleichung ist der Differenzialgleichung und die z-Transformation der Laplace-Transformation
vorangestellt. Dadurch wird es möglich, zunächst mit relativ einfachen Beispielen am PC die
Zusammenhänge zu veranschaulichen. Dementsprechend wurde der Übungsteil vollständig
überarbeitet, erweitert und mit zahlreichen MATLAB®-Beispielen1 ergänzt.
Um den studentenfreundlichen Preis zu halten, wird der umfangreiche Übungsteil als Online-
Ressource zur Verfügung gestellt. Wie die zum Buch erstellten MATLAB-Programme
und Lösungen ist er kostenlos über den Vieweg+Teubner Verlag erhältlich unter www.
viewegteubner.de.
Außerdem wurden zahlreiche Verbesserungen und Ergänzungen vorgenommen. Die Lösung
von Differenzengleichungen wird ausführlicher behandelt. Die in der Audio- und Bild-
codierung wichtige diskrete Kosinus-Transformation rundet nun den Abschnitt zur diskreten
Fourier-Transformation ab.
Fulda, Mai 2008 Martin Werner

1 MATLAB® ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma The MathWorks, Inc., U.S.A. MATLAB
ist auch in einer Studentenversion verfügbar und wird mit einer ausführlichen Online-Hilfe sowie
Online-Einführungskursen ausgeliefert.
Für mehr Informationen siehe www.mathworks.com oder www.mathworks.de.
Inhaltsverzeichnis VII
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung ............................................................................................................ 1
2 Grundbegriffe der Signal- und Systemtheorie.............................................. 3
2.1 Klassifizierung von Signalen ............................................................................... 3
2.2 Standardsignale ...................................................................................................... 10
2.2.1 Exponentielle Signale ......................................................................................... 10
2.2.2 Sprungfunktion und Rechteckimpuls ................................................................. 11
2.2.3 Impulsfunktion ................................................................................................... 12
2.3 Klassifizierung von Systemen ............................................................................. 16
2.3.1 Systembegriff ..................................................................................................... 16
2.3.2 Systemeinteilung nach Signalklassen ................................................................. 16
2.3.3 Systeme mit und ohne Gedächtnis ...................................................................... 17
2.3.4 Kausale Systeme ................................................................................................. 17
2.3.5 Lineare und zeitinvariante Systeme .................................................................... 18
2.3.6 Stabile Systeme .................................................................................................. 19
2.3.7 Beispiele ............................................................................................................. 19
2.3.7.1 Gleitender Mittelwert .................................................................................... 19
2.3.7.2 Medianfilter .................................................................................................. 21
2.3.7.3 Gleitender Mittelwert und Median in der Bildverarbeitung .......................... 22
3 Lineare zeitinvariante Systeme ........................................................................ 25
3.1 Zeitdiskrete LTI-Systeme ..................................................................................... 25
3.1.1 Impulsantwort ..................................................................................................... 25
3.1.2 Sprungantwort .................................................................................................... 29
3.1.3 Kausalität ............................................................................................................ 29
3.1.4 Stabilität .............................................................................................................. 29
3.1.5 Eigenfunktion ..................................................................................................... 30
3.1.6 Beispiel: Barker-Code ........................................................................................ 31
3.2 Zeitkontinuierliche LTI-Systeme ........................................................................ 32
3.2.1 Impulsantwort ..................................................................................................... 33
3.2.2 Sprungantwort .................................................................................................... 35
3.2.3 Kausalität ............................................................................................................ 36
3.2.4 Stabilität .............................................................................................................. 36
3.2.5 Eigenfunktion ..................................................................................................... 36
3.2.6 Beispiel: RC-Glied ............................................................................................. 38
3.3 Gegenüberstellung I: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme ...... 39
4 Systeme mit linearen Differenzengleichungen ............................................. 41
4.1 Einführung .............................................................................................................. 41
4.2 Signalflussgraph .................................................................................................... 42
4.3 Übertragungsfunktion ........................................................................................... 45
4.4 Eigenschwingungen .............................................................................................. 46
VIII Inhaltsverzeichnis

4.5 Ein- und Ausschwingen, Transienten ................................................................. 48
4.5.1 Homogene Lösung der DGL 1. Ordnung ........................................................... 48
4.5.2 Partikuläre Lösung der DGL 1. Ordnung ........................................................... 49
4.5.3 Transiente, stationärer Anteil, Ein- und Ausschwinganteil ................................ 50
4.6 Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität ............................................................. 52
4.7 Systemfunktionen für ein rekursives System 1. Ordnung ............................... 52
4.7.1 Impulsantwort ..................................................................................................... 52
4.7.2 Sprungantwort .................................................................................................... 53
4.7.3 Übertragungsfunktion ......................................................................................... 54
4.7.4 Lösungen für rekursive Systeme 1. Ordnung ...................................................... 54
4.8 Rekursive Systeme 2. Ordnung .................................................................... 55
4.8.1 Lösungen der homogenen DGL 2. Ordnung ....................................................... 55
4.8.2 Stabilität .............................................................................................................. 56
4.8.3 Lösung der DGL 2. Ordnung für exponentielle Erregungen .............................. 57
4.8.4 Systemfunktionen für ein rekursives System 2. Ordnung ................................... 60
4.9 Beispiele zu DGL und Systemen mit DGL ....................................................... 63
4.9.1 Widerstandsnetzwerk .......................................................................................... 63
4.9.2 Zinsformel .......................................................................................................... 65
4.9.3 System 2. Ordnung ............................................................................................. 67
4.9.4 Zeitdiskretes Analogon zum Schwingkreis ........................................................ 68
5 Systeme mit linearen Differenzialgleichungen ............................................. 70
5.1 Einführung .............................................................................................................. 70
5.2 Lineare DGL N-ter Ordnung ................................................................................ 70
5.3 Signalflussgraph .................................................................................................... 74
5.4 Übertragungsfunktion ........................................................................................... 75
5.5 Ein- und Ausschwingen, Transiente ................................................................... 76
5.5.1 Homogene Lösung der DGL ............................................................................... 76
5.5.2 Partikuläre Lösung der DGL ............................................................................... 77
5.5.3 Lösung der DGL mit Anfangsbedingungen ........................................................ 78
5.5.4 Ein- und Ausschwingen ...................................................................................... 78
5.6 Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität ............................................................. 80
5.7 Impulsantwort und Übertragungsfunktion ......................................................... 80
5.8 Beispiele mit RLC-Netzwerken .......................................................................... 83
5.8.1 System 1. Ordnung ............................................................................................. 83
5.8.2 Reihenschwingkreis ............................................................................................ 84
5.9 Gegenüberstellung II: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme ..... 86
6 z-Transformation und LTI-Systeme ............................................................... 88
6.1 Einführung .............................................................................................................. 88
6.2 Die z-Transformation ............................................................................................ 89
6.2.1 Definition ............................................................................................................ 89
6.2.2 Existenz .............................................................................................................. 90
6.2.3 Eigenschaften ...................................................................................................... 92
6.2.4 z-Transformierte von Standardsignalen .............................................................. 93
Inhaltsverzeichnis IX
6.3 Anwendung der z-Transformation bei LTI-Systemen ..................................... 95
6.3.1 Übertragungsfunktion ......................................................................................... 95
6.3.2 BIBO-Stabilität ................................................................................................... 98
6.3.3 Impulsantwort und Sprungantwort ..................................................................... 98
6.3.4 Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich .................................................... 98
6.4 Inverse z-Transformation ..................................................................................... 99
6.4.1 Komplexe Umkehrformel ................................................................................... 99
6.4.2 Inverse z-Transformation rationaler Funktionen ................................................ 99
6.4.3 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung .............................................. 101
6.4.4 Beispiel: Konvergenzgebiete und inverse z-Transformation .............................. 104
6.4.5 Inverse z-Transformation mit der Potenzreihenentwicklung .............................. 105
6.4.6 Beispiel: System 3. Ordnung .............................................................................. 106
6.5 Einseitige z-Transformation und ihre Anwendung ........................................... 110
7 Laplace-Transformation und LTI-Systeme .................................................. 114
7.1 Einführung .............................................................................................................. 114
7.2 Die Laplace-Transformation ................................................................................ 114
7.2.1 Definition ............................................................................................................ 114
7.2.2 Existenz .............................................................................................................. 115
7.2.3 Eigenschaften ..................................................................................................... 117
7.2.4 Laplace-Transformierte von Standardsignalen ................................................... 118
7.3 Anwendung der Laplace-Transformation bei LTI-Systemen ......................... 120
7.3.1 Übertragungsfunktion ......................................................................................... 120
7.3.2 BIBO-Stabilität ................................................................................................... 122
7.3.3 Impulsantwort und Sprungantwort ..................................................................... 123
7.3.4 Eingangs-Ausgangsgleichung im Bildbereich .................................................... 123
7.4 Inverse Laplace-Transformation ......................................................................... 125
7.4.1 Komplexe Umkehrformel ................................................................................... 125
7.4.2 Inverse Laplace-Transformation rationaler Funktionen ..................................... 125
7.4.3 Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung .............................................. 126
7.4.4 Beispiel: T-Glied ................................................................................................ 128
7.5 Einseitige Laplace-Transformation und ihre Anwendung ............................. 130
7.5.1 Differenziationssatz der einseitigen Laplace-Transformation ............................ 130
7.5.2 Ersatzschaltbild für Laplace-Transformierte ...................................................... 132
7.6 Gegenüberstellung III: zeitkontinuierliche und zeitdiskrete LTI-Systeme ... 137
8 Fourier-Transformation für zeitkontinuierliche Signale .......................... 139
8.1 Fourier-Reihen ....................................................................................................... 139
8.1.1 Trigonometrische Form ...................................................................................... 140
8.1.2 Harmonische Form ............................................................................................. 140
8.1.3 Komplexe Form .................................................................................................. 141
8.1.4 Parsevalsche Gleichung ...................................................................................... 143
8.2 Periodische Quellen in RLC-Netzwerken .......................................................... 144
8.3 Spektrum periodischer Signale und Frequenzgang von LTI-Systemen ........ 147
X Inhaltsverzeichnis

8.4 Die Fourier-Transformation ................................................................................. 151
8.4.1 Übergang von der Fourier-Reihe zur Fourier-Transformation ........................... 152
8.4.2 Definition der Fourier-Transformation ............................................................... 153
8.4.3 Existenz .............................................................................................................. 154
8.4.4 Zusammenhang mit der Laplace-Transformation ............................................... 155
8.4.5 Eigenschaften der Fourier-Transformation ......................................................... 156
8.4.6 Fourier-Transformierte von Standardsignalen .................................................... 157
8.4.7 Bandbreite ........................................................................................................... 161
8.4.8 Zeitdauer-Bandbreite-Produkt ............................................................................ 163
8.5 Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitkontinuierlichen
LTI-Systemen ........................................................................................................ 165
8.5.1 Frequenzgang ...................................................................................................... 165
8.5.2 Lineare Verzerrungen und verzerrungsfreie Übertragung .................................. 167
8.5.3 Lineare Filterung ................................................................................................ 169
8.6 Übungsbeispiele zur Fourier-Transformation ................................................... 173
9 Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale ........................................ 186
9.1 Einführung .............................................................................................................. 186
9.2 Definition der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale ..................... 186
9.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale .............. 189
9.4 Fourier-Transformierte von Standardsignalen .................................................. 191
9.5 Bandbreite .............................................................................................................. 194
9.6 Anwendung der Fourier-Transformation bei zeitdiskreten LTI-Systemen ... 195
9.6.1 Frequenzgang ...................................................................................................... 195
9.6.2 Lineare Filterung ................................................................................................ 196
9.7 Vergleich zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter LTI-Systeme
im Frequenzbereich ............................................................................................... 201
9.8 Übungsbeispiele zur Anwendung der Fourier-Transformation
auf zeitdiskrete Signale ......................................................................................... 201
10 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) ...................................................... 208
10.1 Definition und Eigenschaften der DFT .............................................................. 208
10.2 Zyklische Verschiebung, aperiodische und zyklische Faltung ....................... 214
10.2.1 Zyklische Faltung ............................................................................................... 215
10.2.2 Schnelle Faltung ................................................................................................. 218
10.3 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) ............................................................. 222
10.3.1 Einführung .......................................................................................................... 223
10.3.2 Radix-2-FFT-Algorithmus .................................................................................. 224
10.3.3 Beispiel: Tiefpassfilterung eines Bildsignals mit der FFT .................................. 228
10.4 Orthogonale Transformation ................................................................................ 230
10.5 Diskrete Kosinus-Transformation (DCT) .......................................................... 233
10.5.1 Von der DFT zur DCT ........................................................................................ 233
10.5.2 DCT als orthogonale Transformation ................................................................. 237
10.5.3 Beispiel: Anwendung der DCT auf ein Bildsignal ............................................. 239
Inhaltsverzeichnis XI
11 Digitale Verarbeitung analoger Signale ......................................................... 242
11.1 Einführung .............................................................................................................. 242
11.2 Abtastung von Signalen ........................................................................................ 243
11.2.1 Ideale Abtastung ................................................................................................. 243
11.2.2 Abtasttheorem und Spektren abgetasteter Signale .............................................. 245
11.2.3 A/D- und D/A-Umsetzung .................................................................................. 250
11.3 Zeitdiskrete Simulation analoger Systeme ........................................................ 252
11.3.1 Impulsinvariante Transformation ....................................................................... 252
11.3.2 Bilineare Transformation .................................................................................... 254
11.3.3 Beispiel: Butterworth-Tiefpass ........................................................................... 256
11.3.3.1 Analoger Butterworth-Tiefpass ..................................................................... 256
11.3.3.2 Beispiel: Impulsinvariante Transformation ................................................... 258
11.3.3.3 Beispiel: Bilineare Transformation ............................................................... 259
11.4 Anpassung der Abtastrate .................................................................................... 261
11.4.1 Unterabtastung .................................................................................................... 262
11.4.2 Interpolation ....................................................................................................... 264
11.4.3 Beispiel: Interpolation für die D/A-Umsetzung .................................................. 266
11.4 Übungsbeispiele zur digitalen Verarbeitung analoger Signale ....................... 270
12 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ...................................... 274
12.1 Einführung .............................................................................................................. 274
12.2 Zufallsexperimente und stochastische Variablen .............................................. 275
12.3 Charakterisierung stochastischer Variablen ...................................................... 277
12.4 Mehrere stochastische Variablen ........................................................................ 285
12.5 Übungsbeispiele zu stochastischen Variablen ................................................... 292
13 Stochastische Signale und LTI-Systeme ........................................................ 297
13.1 Stochastische Prozesse ......................................................................................... 297
13.1.1 Einführung .......................................................................................................... 297
13.1.2 Definition stochastischer Prozesse ..................................................................... 298
13.1.3 Kenngrößen reellwertiger und ergodischer stochastischer Prozesse .................. 299
13.1.4 Beispiele für Korrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren ................... 304
13.1.5 Weißes Rauschen ................................................................................................ 308
13.2 Reaktion von LTI-Systemen auf stochastische Signale ................................... 310
13.2.1 Zeitdiskrete stochastische Prozesse und LTI-Systeme ....................................... 310
13.2.2 Zeitkontinuierliche stochastische Prozesse und LTI-Systeme ............................ 316
13.3 Thermisches Rauschen ......................................................................................... 317
13.4 Detektion und Matched-Filter-Empfänger ......................................................... 320
13.4.1 Detektion ............................................................................................................ 320
13.4.2 Optimales Suchfilter – Matched Filter ............................................................... 324
13.4.3 Beispiel: Mehrkanal-Tokographie ...................................................................... 331
13.4.4 Beispiel: Chirp-Signal ........................................................................................ 333
13.5 Übungsbeispiele zu stochastischen Prozessen .................................................. 339
XII Inhaltsverzeichnis

14 Zustandsraumdarstellung ................................................................................. 354
14.1 Einführung .............................................................................................................. 354
14.2 Zustandsgrößen und Zustandsraumdarstellung ................................................. 354
14.2.1 Systeme 2. Ordnung ............................................................................................ 354
14.2.2 Systeme höherer Ordnung .................................................................................. 357
14.2.3 Allgemeine Struktur ............................................................................................ 359
14.2.4 Übertragungsfunktion und Impulsantwort .......................................................... 360
14.3 Charakteristische Gleichung, Diagonalform und
Ähnlichkeitstransformation .................................................................................. 362
14.3.1 Charakteristische Gleichung und Eigenwerte ..................................................... 362
14.3.2 Modalmatrix und Diagonalform ......................................................................... 363
14.3.3 Ähnlichkeitstransformation und Normalform ..................................................... 366
14.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 372
Anhang
A.1 Formelzeichen .......................................................................................................... 373
A.2 Abkürzungen ............................................................................................................ 376
A.3 Tabellenverzeichnis .................................................................................................. 377
Literaturverzeichnis ....................................................................................................... 378
Sachwortverzeichnis ...................................................................................................... 382