Thomas Frey | Martin Bossert Signal- und Systemtheorie Thomas Frey | Martin Bossert Signal- und Systemtheorie 2., korrigierte Auflage Mit117 Abbildungen, 26 Tabellen, 64 Aufgaben mit Lösungen und 84 Beispielen STUDIUM Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Dr.-Ing. Thomas Frey, geb. 1967, studierte von 1988 bis 1993 an der TU Karlsruhe Elektrotechnik und promovierte im Anschluß in der Abteilung Informationstechnik an der Universität Ulm. Seit 1999 ist er Systemingenieur und Algorithmenentwickler im Mobilfunkbereich bei Nokia Siemens Networks. Prof. Dr.-Ing. Martin Bossert, geb.1955, hat das Studium der Elektrotechnik an der TU Karlsruhe 1981 abgeschlossen und promovierte 1987 an der TH Darmstadt. Nach einem einjährigen Forschungsaufenthalt an der Universität Linkoeping, Schweden arbeitete er bei der Firma AEG Mobile Communication in Ulm. Seit 1993 ist er Professor an der Universität Ulm. Er ist Autor von mehreren Lehrbüchern und seine Forschungsinteressen liegen auf dem Gebiet der zuverlässigen und sicheren Datenübertragung. 1. Auflage 2004 2., korrigierte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner|GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Harald Wollstadt | Ellen Klabunde Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung:KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0249-1 Vorwort DieSystemtheorieistdieGrundlagevielerGebietederElektro-undInformationstechnik,etwa der Nachrichtentechnik, der Regelungstechnik, der digitalen Signalverarbeitung und der Hoch- frequenztechnik,umnureinigezunennen.SieerweistsichalseinmächtigesWerkzeugdesInge- nieurssowohlzurAnalysealsauchzurSynthesevonSystemenundermöglichteinVerständnis durch Abstraktion auf wesentliche Eigenschaften und Zusammenhänge. Die elegante Theorie derlinearenzeitinvariantenSystemehatnichtnurdievielfältigeKommunikations-undMedien- weltermöglicht,sondernhatauchEinzuginnahezualleBereichevonGebrauchsgegenständen gehalten,wobeiinzwischendiedigitalenSystemegegenüberdenanalogendominieren. DasvorliegendeBuchisteineelementareEinführungindieSignal-undSystemtheorie,wiesie von Studierenden der Fachrichtungen Elektrotechnik, Informationstechnik und Informatik im Grundstudium benötigt wird. Es ist in seiner Didaktik auf die Denk- und Vorgehensweise von Ingenieuren ausgerichtet. Definitionen werden zunächst anhand plausibler einfacher Beispiele motiviert, aus ihnen wird die mathematische Beschreibung und die Lösungsmethode hergelei- tet. Auf eine streng mathematische Beweisführung wird dabei zugunsten von Beispielen, Plau- sibilitätsbetrachtungen und Hinweisen auf Zusammenhänge verzichtet. Außerdem enthält das Buch viele Zusammenfassungen, Übersichten und Tabellen in kompakter, übersichtlicher Dar- stellung sowohl im Text als auch im Anhang. Es ist daher auch gut zum Nachschlagen und als Formelsammlung geeignet. Die benötigten Kenntnisse in höherer Mathematik sind im Anhang zusammengestellt. ZunächstwerdendiskreteSystemebehandelt,dadieseleichternachvollziehbarsind,seiesvon ‘Hand’ oder mit Hilfe eines Rechners. Der Leser kann sich dabei ganz auf die Systemtheorie konzentrieren. Die Notwendigkeit der z-Transformation wird anhand eines einfachen Beispiels verdeutlicht und damit die abstrakte Denkweise im transformierten und nicht-transformierten Bereich aufgezeigt. Nach einer kurzen Behandlung der mathematischen Grundlagen der Distri- butionen werden die kontinuierlichen Systeme beschrieben und die wesentlichen Ideen der Sy- stemtheoriewiederholt.AlsTransformationenwerdenhierFourier-undLaplace-Transformation behandelt. Die Beziehung zwischen diskreter und analoger ‘Welt’ erläutert das Abtasttheorem. Es werden die diskreten Fouriertransformationen eingeführt und die Zusammenhänge zu den anderenTransformationenaufgezeigt.DieaufgenommenenAufgabenmitLösungensindsoaus- gewählt, daß sie den Stoff veranschaulichen und vertiefen; teilweise werden auch interessante ergänzendeThemenbehandelt. Dieses Buch basiert auf der Vorlesung ‘Signale und Systeme’, die seit dem Wintersemester 1993/94anderUniversitätUlmfürStudierendederFachrichtungElektrotechnik,Informations- technik und Informatik im dritten Semester gehalten wird. Die Vorlesung deckt inhaltlich die elementarenGrundlagenderkontinuierlichenunddiskretenSystemeundstochastischenSignale, undderSystemtheorieab,undführtindiesystemtheoretischenAspektevonNetzwerkenein.Das BuchwurdeinLATEX unddieBildermitxfigerstellt,beiFunktionenverläufenmitUnterstützung durchMatlab. UnserDankgehtzunächstandiezahlreichenStudierenden,diedurchFragen,Kommentareund Anregungen zum vorhandenen Manuskript und zur ersten Buchversion beigetragen haben und diewirleidernichtnamentlichaufführenkönnen. VI Besonderer Dank gilt den wissenschaftlichen Mitarbeitern der Abteilung Telekommunikations- technikundAngewandteInformationstheoriefürihreMithilfe,vorallemfürdiewichtigenDis- kussionsbeiträgeüberInhaltundDarstellungdesStoffes. ÜberAnmerkungenundAnregungen,oderaberauchKritikundHinweiseaufFehlerwürdenwir unsfreuen.HierfürhabenwireineInternetseiteunter http://tait.e-technik.uni-ulm.de/buecher/signal_und_systemtheorie eingerichtet,aufderzusätzlichauchLinksaufkostenloseRechnertoolsundweitereInformatio- nenzufindensind. Ulm,imJuli2004 ThomasFrey MartinBossert Vorwortzur2.Auflage DievorliegendezweiteAuflagewurdeergänztumeineKurzeinführungindieProgrammeMat- lab und Octave im Hinblick auf den Einsatz für systemtheoretische Problemstellungen. Diese RechnertoolssindinzwischenweitverbreitetundstelleneinwichtigesHilfsmitteldesIngenieurs dar.ImRahmendiesesBucheskönnenundsollensiehelfen,dieInhaltebesserzuveranschauli- chenunddamiteintieferesVerständniszuerreichen. Ulm,imJuni2008 ThomasFrey MartinBossert Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 ZusammenfassungundBuchübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Signale 9 2.1 ElementareOperationenundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Verschiebung,Spiegelung,Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 KomplexeSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 GeradeundungeradeSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.4 PeriodischeSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.5 Zeitbegrenzte,kausaleundbeschränkteSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 SpezielleSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 SprungförmigeSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1.1 Impulsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1.2 SprungfolgeundSprungfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1.3 SignumfolgeundSignumfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1.4 Rechteck-undDreieckimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3.1 KomplexeExponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3.2 Sinus-undKosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3.3 si-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 WeitereEigenschaftenundVerknüpfungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 EnergieundLeistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 SkalarproduktundOrthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 KorrelationdeterministischerSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 DiskreteLTI-Systeme 33 3.1 AllgemeineBeschreibungsformundLösungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 BerechnungderSystemantwortmittelsz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 LösungimZeitbereich:DiskreteFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 HerleitungundDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 EigenschaftenundanschaulicheDeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.3 DarstellungvonMittelungsvorgängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.4 DarstellungperiodischerSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 VIII Inhaltsverzeichnis 3.3.5 DiskreteperiodischeFaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.6 ZusammenhangmitderKorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 DarstellungsformenundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.1 SystemfunktionundImpulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.2 Pol-Nullstellen-DiagrammundStabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.2.1 AnschaulicheDeutungderSystemfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.2.2 EinschwingvorgangundstationärerZustand . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.2.3 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.3 BlockdiagrammeundSystemstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.3.1 Rekursive(IIR-)Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3.2 Nichtrekursive(FIR-)Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.4 MatrizendarstellungvonFIR-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.5 EigenfolgenvonSystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 Diez-Transformation 73 4.1 DefinitionundKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 EigenschaftenundRechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.2 VerschiebungimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.3 Dämpfung/Modulation,Skalierungvonz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2.4 LineareGewichtung,AbleitungimBildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2.5 ZeitinversionundkonjugiertkomplexeFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.6 FaltungsregelundKorrelationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.7 MultiplikationimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2.8 Grenzwertsätzedereinseitigenz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.9 WeitereEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.9.1 DiskreteAbleitungundIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.9.2 PeriodischfortgesetzteFolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.9.3 EinfügenvonNullen,Upsampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.9.4 SummationüberZeitsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3 DieRücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3.1 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.2 KomplexesUmkehrintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.3 RekursiveLösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3.4 Reihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.4 Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Inhaltsverzeichnis IX 5 KontinuierlicheLTI-Systeme 107 5.1 AllgemeineBeschreibungsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 MathematischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2.1 VerallgemeinerteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2.2 SpeziellekontinuierlicheSignale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2.2.1 Dirac-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2.2.2 Sprungfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.2.3 Impulskamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.3 AbleitungvonSprung-undKnickstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3 BerechnungderSystemantwortmittelsLaplace-Transformation . . . . . . . . . . 116 5.4 LösungimZeitbereich:Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4.1 HerleitungundDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4.2 EigenschaftenundanschaulicheDeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.3 DarstellungderIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4.4 DarstellungperiodischerSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4.5 PeriodischeFaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4.6 ZusammenhangFaltungundKorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5 DarstellungsformenundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5.1 SystemfunktionundImpulsantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5.2 Pol-Nullstellen-DiagrammundStabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5.2.1 AnschaulicheDeutungderSystemfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5.2.2 EinschwingvorgangundstationärerZustand . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.5.2.3 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.5.2.4 StabilitätskriteriumnachHurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5.3 Blockdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.5.4 EigenfunktionenvonSystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.6 ElektrischeNetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.6.1 Grundelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.6.2 KomplexeWechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.6.3 Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.6.4 Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.7 Anwendungsgebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.7.1 Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.7.2 Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6 DieLaplace-undFourier-Transformation 171 6.1 DefinitionenundKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.1.1 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.1.2 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.1.3 VergleichvonLaplace-undFourier-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . 175 6.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.2.2 VerschiebungimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 X Inhaltsverzeichnis 6.2.3 Dämpfung/Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.2.4 LineareGewichtung,AbleitungimBildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2.5 Ableitung/IntegrationderZeitfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2.6 ZeitskalierungundkonjugiertkomplexeSignale . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.2.7 FaltungsregelundKorrelationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.2.8 MultiplikationimZeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.2.9 GrenzwertsätzederLaplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.3 SpezielleEigenschaftenderFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.3.1 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.3.2 ReelleSignale,Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.3.3 KausaleSignale,Hilberttransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.3.4 PeriodischeSignale,Fourier-Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.3.5 Zeit-Bandbreite-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.3.6 ParsevalschesTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.3.7 ZusammenhangmitkomplexerWechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . 196 6.4 SpezielleKorrespondenzenderFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.4.1 Sprung-undSignumfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.4.2 Rechteck-undDreieckimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.4.3 KomplexeExponentialfunktionenundSchwingungen. . . . . . . . . . . . . . 199 6.4.4 Impulskamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.5 DieRücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.5.1 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.5.2 KomplexesUmkehrintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.5.3 WeitereVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7 BeschreibungundAnalysevonLTI-SystemenimFrequenzbereich 207 7.1 ÜbertragungsfunktionundFrequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.1.1 SystembeschreibungundÜbertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.1.2 BetragsfrequenzgangundPhasengang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.1.3 AbschätzungdesFrequenzgangesanhanddesPol-Nullstellen-Diagramms . . . 211 7.1.4 KomplexesÜbertragungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.1.5 Phasen-undGruppenlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2 Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.2.1 Bode-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.2.2 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.3 FilterundAllpässe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.3.1 PrinzipielleFiltertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.3.2 AllpässeundminimalphasigeSysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.3.3 VerzerrungsfreieSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 7.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Inhaltsverzeichnis XI 8 ZusammenhangzwischendiskretenundkontinuierlichenSignalenundSystemen 233 8.1 Signalabtastungund-rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 8.1.1 IdealeAbtastungundRekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 8.1.2 Abtasttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 8.1.3 NichtidealeAbtastungundRekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8.1.3.1 NichtidealeAbtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8.1.3.2 NichtidealeRekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.2 DiskreteFourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 8.2.1 ZeitdiskreteFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.2.1.1 HerleitungundDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 8.2.1.2 EigenschaftenundRechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.2.1.3 FrequenzgangundGruppenlaufzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.2.2 Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 8.2.3 DiskreteFourier-Transformation(DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 8.2.3.1 ZeitdiskreteFourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 8.2.3.2 DefinitionderDFTundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.2.3.3 FastFourierTransformation(FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 8.3 ZusammenhangderTransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9 LösungenderAufgaben 275 Anhang 301 A MathematischerAnhang 303 A.1 KomplexeZahlenundFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 A.2 PolynomeundrationaleFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 A.3 NullstellenbestimmungvonPolynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 A.4 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 A.5 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 A.6 Kettenbruchentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 A.7 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 A.8 TrigonometrischeFormeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 A.9 WichtigemathematischeFormeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 B KurzeinführunginMatlabundOctave 327 B.1 Signaldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 B.1.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 B.1.2 DiskreteSignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 B.1.3 KontinuierlicheSignale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 B.2 GrundlegendeBerechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 B.2.1 Polynommultiplikation,diskreteFaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 B.2.2 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329